直接證明與間接證明◆高考導航·順風出發(fā)◆最新考綱常有題型1.認識直接證明的兩種基本方法——解析法和綜合法；了以解答題形式出現(xiàn)，是歷年的高考解解析法和綜合法的思慮過程和特點．熱點，難度較大，占5～13分2.認識反證法的思慮過程和特點.[知識梳理]1．直接證明內容綜合法解析法從已知條件出發(fā)，經(jīng)過漸漸的推從待證結論出發(fā)，一步一步追求結論成立的充分條件，最后達到題設的已理，最后達到待證結論的方法，是定義知條件或已被證明的事實的方法，是一種一種從原因推導到結果的思從結果追想到產生這一結果的原因維方法的思想方法從“已知”看“可知”，漸漸從“未知”看“需知”，漸漸靠特點推向“未知”，其漸漸推理，實質攏“已知”，其漸漸推理，實際上是上是要搜尋它的必要條件要搜尋它的充分條件.步驟的符號表P0(已知)?P1?P2?P3?P4(結論)B(結論)?B1?B2?Bn?A(已知)示2．間接證明反證法定義要證明某一結論Q是正確的，但不直接證明，而是先去假設Q不成立(即Q的反面非Q

是正確的

)，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設非

Q是錯誤的，從而判斷結論

Q是正確的，這種證明方法叫做反證法證明步驟

(4)由矛盾斷言假設不成立，從而必然原命題的結論成立(1)否定性命題；

(2)命題的結論中出現(xiàn)“最少”、“至多”、“唯一”等詞語的；

(3)適用當命題成立特別顯然，而要直接證明所用的理論太少，且不簡單說明，而其逆否命范圍題又是特別簡單證明的，(4)要談論的情況很復雜，而反面情況很少[知識感悟]1．辨明兩個易誤點(1)用解析法證明數(shù)學問題時，要注意書寫格式的規(guī)范性，常常用“要證(欲證)”“即要證”“就要證”平解析到一個顯然成立的結論．利用反證法證明數(shù)學問題時，要假設結論錯誤，并用假設命題進行推理，沒適用假設命題推理而推出矛盾結果，其推理過程是錯誤的．2．證題的三種思路(1)綜合法證題的一般思路用綜合法證明命題時，必定第一找到正確的出發(fā)點，般的辦理方法是廣泛地聯(lián)想已知條件所具備的各種性質，

也就是能想到從哪里起步，我們一逐層推進，從而由已知漸漸推出結論．(2)解析法證題的一般思路解析法的思路是逆向思想，用解析法證題必定從結論出發(fā)，倒著解析，搜尋結論成立的充分條件．應用解析法證明問題時要嚴格按解析法的語言表達，下一步是上一步的充分條件．(3)反證法證題的一般思路反證法證題的實質是證明它的逆否命題成立．反證法的主要依據(jù)是邏輯中的排中律，排中律的一般形式是：也許是A，也許是非A，即在同一談論過程中，A和非A有且僅有一個是正確的，不能夠有第三種情況出現(xiàn)．[知識自測]1．判斷以下結論可否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)綜合法是直接證明，解析法是間接證明．()(2)解析法是從要證明的結論出發(fā)，漸漸搜尋使結論成立的充要條件．()(3)用反證法證明結論“a>b”時，應假設“a<b”．()(4)反證法是指將結論和條件同時否定，推出矛盾．()在解決問題時，常常用解析法搜尋解題的思路與方法，再用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程．()(6)證明不等式2＋7<3＋6最合適的方法是解析法．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×(5)√(6)√2．要證：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要證明()A．2ab－1－a2b2≤04＋b4B．a2＋b2－1－a≤02C.a＋b2D．(a2－1)(b2－1)≥02－1－a2b2≤0[解析]由于a2＋b2－1－a2b2≤0?(a2－1)(b2－1)≥0.[答案]D3．若是aa＋bb>ab＋ba，則a、b應滿足的條件是______．[解析]∵aa＋bb－(ab＋ba)a(a－b)＋b(b－a)＝(a－b)(a－b)(a－b)2(a＋b)．∴當a≥0，b≥0且a≠b時，(a－b)2(a＋b)>0.∴aa＋bb>ab＋ba成立的條件是a≥0，b≥0且a≠b.[答案]a≥0，b≥0且a≠b題型一綜合法的應用(高頻考點題、多角打破)考向一與立體幾何有關的證明1．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中點．(1)求證：EC∥平面PAD；(2)求證：平面EAC⊥平面PBC.[證明](1)作線段AB的中點F，連接EF，CF(圖略)，則AF＝CD，AF∥CD，∴四邊形ADCF是平行四邊形，則CF∥AD.又EF∥AP，且CF∩EF＝F，∴平面CFE∥平面PAD.又EC?平面CEF，∴EC∥平面PAD.(2)∵PC⊥底面ABCD，∴PC⊥AC.∵四邊形ABCD是直角梯形，且AB＝2AD＝2CD＝2，AC＝2，BC＝2.AB2＝AC2＋BC2，∴AC⊥BC，∵PC∩BC＝C，∴AC⊥平面PBC，∵AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC.考向二與數(shù)列有關的證明2．(2016天·津高考)已知{an}是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為d，對任意的n∈N*，b是a和an＋1的等比中項．nnn22*，求證：數(shù)列{cn}是等差數(shù)列；n＋1n(1)設c＝b－b，n∈N2nk2*n11(2)設a1＝d，Tn＝k＝1(－1)bk，n∈N，求證：<2d2.k＝1Tk[證明](1)由題意得2bn＝anan＋1，22＝an＋1an＋2－anan＋1＝2dan＋1.cn＝bn＋1－bn因此cn＋1－cn＝2d(an＋2－an＋1)＝2d2，因此{cn}是等差數(shù)列．222222(2)Tn＝(－b1＋b2)＋(－b3＋b4)＋＋(－b2n－1＋b2n)na2＋a2n＝2d2n(n＋1)．＝2d(a2＋a4＋＋a2n)＝2d·2n11n11n1－111因此＝2d2kk＋1＝2d2＝k＝1－n＋1＝Tk＝k＋12d2·k1k1k1

1<2d2.考向三與三角解三角形有關的證明3．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B1.(1)求證：a，b，c成等差數(shù)列．2π(2)若C＝3，求證5a＝3b.[證明](1)由已知得sinAsinB＋sinBsinC＝2sin2B，由于sinB≠0，因此sinA＋sinC＝2sinB，由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差數(shù)列．2π(2)由C＝3，c＝2b－a及余弦定理得(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即5ab－3b2＝0，a3因此b＝5，即5a＝3b.考向四與函數(shù)、方程、不等式結合的證明題12134．已知函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝a＋bx－x＋x，函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝g(x)的圖象23在交點(0,0)處有公共切線．(1)求a，b的值；(2)證明：f(x)≤g(x)．[解](1)f′(x)＝1，g′(x)＝b－x＋x2，1＋xg0＝f0，解得a＝0，b＝1.由題意得f′0＝g′0，(2)證明：令h(x)＝f(x)－g(x)1ln(x＋1)－3x3＋2x2－x(x>－1)．h′(x)＝1－x2＋x－1＝－x3.x＋1x＋3h(x)在(－1,0)上為增函數(shù)，在(0，＋∞)上為減函數(shù)．h(x)max＝h(0)＝0，h(x)≤h(0)＝0，即f(x)≤g(x)．方法感悟綜合法證題的思路【針對補償】1x，a，b是正實數(shù)，A＝fa＋b2ab1．(上饒調研)已知函數(shù)f(x)＝22，B＝f(ab)，C＝fa＋b，則A，B，C的大小關系為()A．A≤B≤CC．B≤C≤Aa＋b[解析]∵2≥

B．A≤C≤BD．C≤B≤A2abab≥，又f(x)＝1x在R上是減函數(shù)．2a＋b2ab∴f2≤f(ab)≤fa＋b，即A≤B≤C.[答案]A1132．在△ABC中，三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＋b＋b＋c＝a＋b＋c，試問A，B，C可否成等差數(shù)列，若不能等差數(shù)列，請說明原因．若成等差數(shù)列，請給出證明．[解]A，B，C成等差數(shù)列，下面用綜合法給出證明：∵1＋1＝3，∴a＋b＋c＋a＋b＋c＝3，a＋bb＋ca＋b＋ca＋bb＋cc＋a＝1，∴c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，a＋bb＋cb2＝a2＋c2－ac.在△ABC中，由余弦定理，得cosB＝a2＋c2－b2＝1，2ac＝ac2ac20°<B<180°，∴B＝60°，∴A＋C＝120°＝2B，∴A，B，C成等差數(shù)列．題型二解析法的應用(重點保分題、共同打破)已知函數(shù)f(x)＝3x－2x，試證：對于任意的x12fx＋fx≥fx＋x2，x∈R，均有121.22[證明]要證明fx1＋fx2≥fx1＋x2，22即證明3x1－2x1＋3x2－2x2x1＋x2x1＋x2，2≥32－2·因此只要證明3x21＋3x－(x12x＋x－(x122122＋x)≥32＋x)，即證明3x1＋3x2≥3x1＋x2，223x1＋3x2因此只要證明≥3x1·3x2，由于x1，x2∈R時，3x1>0,3x2>0，3x1＋3x2由基本不等式知≥3x1·3x2顯然成立，故原結論成立．方法感悟逆向思慮是用解析法證題的主要思想，經(jīng)過反推，漸漸搜尋使結論成立的充分條件．正確掌握轉變方向是使問題順利獲解的重點．(2)證明較復雜的問題時，能夠采用兩頭湊的方法，即經(jīng)過解析法找出某個與結論等價(或充分)的中間結論，爾后經(jīng)過綜合法證明這其中間結論，從而使原命題得證．[注意]注意書寫格式的規(guī)范性．【針對補償】3．已知a>0，證明a2＋12－2≥a＋1－2.aa[證明]要證a2＋1－2≥a＋1－2，a2a只要證a2＋12≥a＋1－(2－2)．aa由于a>0，因此1－(2－2)＞0，a＋a2121－2－22因此只要證a＋a2≥a＋a，11即2(2－2)a＋a≥8－42，只要證a＋a≥2.由于a＞0，1當且僅當a＝1＝1時等號成立a＋a≥2顯然成立a，因此要證的不等式成立．題型三反證法的應用(重點保分題、共同打破)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1＋2，S3＝9＋32.(1)求數(shù)列{an}的通項an與前n項和Sn；(2)設bn＝Snn(n∈N*)，求證：數(shù)列{bn}中任意不相同的三項都不能能成為等比數(shù)列．a1＝2＋1，[解](1)由已知得∴d＝2，3a1＋3d＝9＋32，故an＝2n－1＋2，Sn＝n(n＋2)．Sn＝n＋2.(2)證明：由(1)得bn＝n假設數(shù)列{bn}中存在三項pqr(p、q、r∈N*，且互不相等)成等比數(shù)列，則bq2prb，b，b＝bb.即(q＋2)2＝(p＋2)(r＋2)．(q2－pr)＋2(2q－p－r)＝0.q2－pr＝0，∵p，q，r∈N*，∴2q－p－r＝0.p＋r2＝pr，即(p－r)2＝0.∴p＝r，與p≠r矛盾．2∴假設不成立，即數(shù)列{bn}中任意不相同的三項都不能夠成為等比數(shù)列．方法感悟應用反證法證明數(shù)學命題，一般有以下幾個步驟：第一步：分清命題“p?q”的條件和結論；第二步：作出與命題結論q相反的假設綈q；第三步：由p和綈q出發(fā)，應用正確的推理方法，推出矛盾結果；第四步：判斷產生矛盾結果的原因在于開始所作的假設綈q不真，于是原結論q成立，從而間接地證了然命題p?q為真．所說的矛盾結果，平時是指推出的結果與已知公義、已知定義、已知定理或已知事實矛盾，與臨時假設矛盾以及自相矛盾等都是矛盾結果．【針對補償】4．(2018·南模擬濟)若f(x)的定義域為[a，b]，值域為[a，b](a＜b)，則稱函數(shù)f(x)是[a，b]上的“四維光軍”函數(shù)．13(1)設g(x)＝2x2－x＋2是[1，b]上的“四維光軍”函數(shù)，求常數(shù)b的值；1(2)可否存在常數(shù)a，b(a＞－2)，使函數(shù)h(x)＝是區(qū)間[a，b]上的“四維光軍”函數(shù)？若存在，求出a，b的值；若不存在，請說明原因．1，其圖象的對稱軸為x＝1，區(qū)間[1，b]在對稱軸的[解](1)由題設得g(x)＝(x－1)2＋12右邊，因此函數(shù)在區(qū)間[1，b]上單調遞加．由“四維光軍”函數(shù)的定義可知，g(1)＝1，g(b)b，即1b2－b＋3＝b，解得a＝1或b＝3.22由于b＞1，因此b＝3.1(2)假設函數(shù)h(x)＝x＋2在區(qū)間[a，b](a＞－2)上是“四維光軍”函數(shù)，1由于h(x)＝在區(qū)間(－2，＋∞)上單調遞減，ha＝b，1＝b，a＋2因此有即hb＝a，1＝a，b＋2解得a＝b，這與已知矛盾，故不存在．◆牛刀小試·成功靠岸◆課堂達標(五十八)[A基礎牢固練]1．(2018·原模擬太)命題“若是數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n2－3n，那么數(shù)列{an}必然是等差數(shù)列”可否成立

(

)A．不成立

B．成立C．不能夠判斷

D．與

n取值有關[解析]

由于

Sn＝2n2－3n，因此

n＝1

時

a1＝S1＝－1，當

n≥2

時，an＝Sn－Sn－1＝2n23n－2(n－1)2＋3(n－1)＝4n－5，n＝1時合適an，且an－an－1＝4，故{an}為等差數(shù)列，即命題成立．[答案]

B2．(2018

·波模擬寧)解析法又稱執(zhí)果索因法，若用解析法證明：“設

a>b>c，且

a＋b＋c＝0，求證

b2－ac<3a”索的因應是

(

)A．a－b>0

B．a－c>0C．(a－

b)(a－c)>0

D．(a－b)(a－c)<0[解析]

b2－ac<

3a?b2－ac<3a2，(a＋c)2－ac<3a2?a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0－2a2＋ac＋c2<0?2a2－ac－c2>0(a－c)(2a＋c)>0?(a－c)(a－b)>0.[答案]C3．(2018上·饒月考)設x，y，z>0，則三個數(shù)yyzzx＋xx＋，＋，()zxyzyA．都大于2B．最少有一個大于2C．最少有一個不小于2D．最少有一個不大于2yyzzxx[解析]由于x＋z＋x＋y＋z＋yyxyzzx＝x＋y＋z＋y＋x＋z≥6，當且僅當x＝y(tǒng)＝z時等號成立．因此三個數(shù)中最少有一個不小于2，應選C.[答案]C4．(2018山·西質量監(jiān)測)對累乘運算∏有以下定義：na＝a×a××a，則以下命題k12nk＝1中的真命題是()0072k不能夠被10100整除k＝120154k－2k＝1B.＝2201520142k－1k＝1008(2k－1)不能夠被5100整除k＝1100810072015(2k－1)2k＝kk＝1k＝1k＝110081007[解析]由于(2k－1)2k＝(1×3×5××2015)×(2×4×6××2014)＝k＝1k＝120151×2×3××2014×2015＝k，應選D.＝1[答案]D5．(2016·江卷浙)已知實數(shù)a，b，c()A．若|a2＋b＋c|＋|a＋b2＋c|≤1，則a2＋b2＋c2<100B．若|a2＋b＋c|＋|a2＋b－c|≤1，則a2＋b2＋c2<100C．若|a＋b＋c2|＋|a＋b－c2|≤1，則a2＋b2＋c2<100D．若|a2＋b＋c|＋|a＋b2－c|≤1，則a2＋b2＋c2<100[解析]舉反例消除法：A．令a＝b＝10，c＝－110，消除此選項，B．令a＝10，b＝－100，c＝0，消除此選項，C．令a＝100，b＝－100，c＝0，消除此選項．應選D.[答案]D6．設a，b是兩個實數(shù)，給出以下條件：a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出：“a，b中最少有一個大于1”的條件是()A．②③B．①②③C．③D．③④⑤[解析]若a＝1，b＝2，則a＋b>1，23但a<1，b<1，故①推不出；若a＝b＝1，則a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，則a2＋b2>2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，則ab>1，故⑤推不出；對于③，即a＋b>2，則a，b中最少有一個大于1，反證法：假設a≤1且b≤1，則a＋b≤2與a＋b>2矛盾，因此假設不成立，a，b中最少有一個大于1.[答案]

C7．設[解析]

a>b>0，m＝a－b，n＝a－b，則m，n的大小關系是取a＝2，b＝1，得m<n.再用解析法證明：

______．a－b<a－b?a<b＋a－b?a<b＋2b·a－b＋a－b?2b·a－b>0，顯然成立．[答案]m<n8．凸函數(shù)的性質定理為若是函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù)，則對于區(qū)間D內的任意x1，x2，，xn，有fx1＋fx2＋＋fxn≤fx1＋x2＋＋xn，已知函數(shù)y＝sinx在區(qū)間(0，π)上是凸函nn數(shù)，則在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值為______．[解析]∵f(x)＝sinx在區(qū)間(0，π)上是凸函數(shù)，且A、B、C∈(0，π)，fA∴

＋fB3

＋fC

≤f

A＋B＋C3

＝f

π3，π33，即sinA＋sinB＋sinC≤3sin＝23因此sinA＋sinB＋sinC的最大值為323.[答案]3329．(2018湖·南省郴州市三模)已知數(shù)列{a}為等差數(shù)列，若a＝a，a＝b(n－m≥1，m，nmnn∈N)，則anb－ma{b}(b>0，n∈N)，若b＝c，b＝.類比上述結論，對于等比數(shù)列*m＋nnn*mn＝d(n－m≥2，m，n∈N*)，則能夠獲取bm＋n＝__________.[解析]經(jīng)過等差數(shù)列的結論類比推理可得：若mn*)，b＝c，b＝d(n－m≥2，m，n∈N則能夠獲取bm＋nn－mdnm＝c.證明以下：設等比數(shù)列的首項為b1，公比為q≠0.則bm＝c＝b1qm－1，bn＝b1qn－1，dn－(n－＋－n－mdn＋－c·qcq.[答案]n－mdncm10．已知非零向量a，b，且a⊥b，求證：|a|＋|b|≤2.|a＋b||a|＋|b|[證明]a⊥b?a·b＝0，要證|a＋b|≤2.只要證|a|＋|b|≤2|a＋b|，只要證|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)，只要證|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，只要證|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，上式顯然成立，故原不等式得證．[B能力提升練]a2＋b2的最小值是()1．(2018福·州模擬)設0<x<1，a>0，b>0，a，b為常數(shù)，x1－xA．4abB．2(a2＋b2)C．(a＋b)2D．(a－b)2a2b2[解析]＋x1－x(x＋1－x)＝a2＋a21－x＋b2x＋b2≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.當且僅當x＝a時，等號成立．x1－xa＋b[答案]C2．(2016北·京卷)袋中裝有偶數(shù)個球，其中紅球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三個空盒．每次從袋中任意取出兩個球，將其中一個球放入甲盒，若是這個球是紅球，就將另一個球放入乙盒，否則就放入丙盒．重復上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中，則()．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中紅球與丙盒中黑球相同多C．乙盒中紅球不多于丙盒中紅球D．乙盒中黑球與丙盒中紅球相同多[解析]

取兩個球共有

4種情況：①紅＋紅，則乙盒中紅球數(shù)加1個；②黑＋黑，則丙盒中黑球數(shù)加1個；③紅＋黑(紅球放入甲盒中)，則乙盒中黑球數(shù)加1個；④黑＋紅(黑球放入甲盒中)，則丙盒中紅球數(shù)加1個．設一共有球2a個，則a個紅球，a個黑球，甲中球的總個數(shù)為

a，其中紅球

x個，黑球y個，x＋y＝a.則乙中有x個球，其中k個紅球，j個黑球，k＋j＝x；丙中有y個球，其中l(wèi)個紅球，i個黑球，i＋l＝y(tǒng)；黑球總數(shù)a＝y(tǒng)＋i＋j，又x＋y＝a，故x＝i＋j，由于x＝k＋j，因此可得i＝k，即乙中的紅球等于丙中的黑球．應選B.[答案]B3．(2016·國Ⅱ卷全)有三張卡片，分別寫有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是__________.[解析]設三張卡片分別為A(1,2)，B(1,3)，C(2,3)，由丙得數(shù)字和不是5，則丙的卡片可能為A或B.若丙為A(1,2)，則乙為C(2,3)，甲為B(1,3)合題，若丙為B(1,3)，則甲、乙為相同數(shù)字2，不合題．[答案]1和34．(2018廣·東實驗中學段考)已知點A(x1，ax1)、B(x2，ax2)是函數(shù)y＝ax(a>1)的圖象上任意不相同兩點，依據(jù)圖象可知，線段AB總是位于A、B兩點之間函數(shù)圖象的上方，因此有結論ax1＋ax2＞ax1＋x2成立．運用類比思想方法可知，若點A(x1，sinx1)、B(x2，sinx2)是函22數(shù)y＝sinx[x∈(0，π)]圖象上的不相同兩點，則近似地有______成立．[解析]由題意知，點A、B是函數(shù)y＝ax(a＞1)的圖象上任意不相同兩點，函數(shù)y＝ax(aax＋ax2x＋x＞1)圖象下凸，線段AB總是位于A、B兩點之間函數(shù)圖象的上方，因此有結