精選優質文檔-----傾情為你奉上精選優質文檔-----傾情為你奉上專心---專注---專業專心---專注---專業精選優質文檔-----傾情為你奉上專心---專注---專業雙等邊三角形如圖，C為線段AB上一動點（不與點A，B重合），在AB同側分別作正三角形ABD和正三角形CBE，AE與BD交于點O，AE與DC交于點M，BD與CE交于點N，連結MN．以下五個結論：①三對全等三角形（內含豐富的等量關系）：△ACE≌△DCB；△ACM≌△DCE；△MCE≌△NCB②△MCN是等邊三角形；③MN∥AB；④∠AOD=60°；⑤AO=DO+CO；⑥OC平分∠AOB；⑦；⑧；⑨若P、Q分別為AE、BD的中點，則△CPQ是等邊三角形；如圖A是CD上一點，DABC、DADE都是正三角形，求證CE=BD題2：如圖，DABD、DACE都是正三角形，求證CD=BE題3：如圖，分別以DABC的邊AB、AC為一邊畫正方形AEDB和正方形ACFG，連接CE、BG，求證BG=CE題4：如圖，有公共頂點的兩個正方形ABCD、BEFG，連接AG、EC，求證AG=EC題5：如圖，P是正方形ABCD內一點，DABP繞點B順時針方向旋轉能與DCBP’重合，若PB=3，求PP’如圖,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,CE與BD相交于點M,BD交AC于點N，證明:（1）BD=CE.（2）BD⊥CE.圖(1)圖(2)圖(3)(3)圖(1)圖(2)圖(3)證明：(1)△BAD≌△CAE,得BD=CE.………………(4分)(2)∠CMN=180°-∠NCM-∠MNC=180°-∠ABD-∠ANB=∠BAN=90°∴BD⊥CE.………………(7分)(3)結論仍成立,證法同上.………………(8分)證明過程完整BCDAE題目如圖，△ABD，△AEC都是等邊三角形．BE與DC有什么關系？你能用旋轉的性質說明上述關系成立的理由嗎？（人教課本PBCDAE解∵△ABD是等邊三角形，∴AB=AD，∠BAD=60．同理AE=AC，∠EAC=60．∴以點A為旋轉中心將△ABE順時針旋轉60就得到△CAD，∴△ABE≌△ADC，從而BE=DC．另法∵△ABD，△AEC都是等邊三角形，∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠EAC=60，于是∠CAD=∠CAB+∠BAD=∠CAB+∠EAC=∠EAB．從而有△CAD≌△EAB，∴DC=BE．點評由于旋轉是剛體運動，旋轉前、后的圖形全等，所以藉此可以在較復雜的圖形中發現等量（或全等）關系，或通過旋轉（割補）圖形，把分散的已知量聚合起來，便于打通解題思路，疏通解題突破口．CBCBAED變式1如圖，△ABC和△ECD都是等邊三角形，△EBC可以看作是△DAC經過什么圖形變換得到的？說明理由．（人教課本P805題）ACBED說明：如上題圖，去掉BC，把D，ACBEDCACABED（1）△ABC與△CDE在BC的異側．（2）點C在BD的延長線上．（3）C點在BD外．（4）△ACD與△BDE在BD的異側，且D點在BC的延長線上．BCDAFEGACBEDCBAED（5）△ABC與△CDE都改為頂角相等的等腰三角形，即AB=ACBCDAFEGACBEDCBAEDCCBAEDBCAED變式2如圖，四邊形ABCDBCAED與CE有什么關系？說明理由．變式3如圖，△ABD，△AEC都是等腰直角三角形，則BE與DC有什么關系？（2011廣東河源）如圖9,已知線段AB的長為2a，點P是AB上的動點（P不與A，B重合），分別以AP、PB為邊向線段AB的同一側作正△APC和正△PBD．（1）當△APC與△PBD的面積之生取最小值時，AP=；（直接寫結果）（2）連結AD、BC，相交于點Q，設∠AQC=α，那么α的大小是否會隨點P的移動面變化？請說明理由；（3）如圖10，若點P固定，將△PBD繞點P按順時針方向旋轉（旋轉角小于180°），此時α的大小是否發生變化？（只需直接寫出你的猜想，不必證明）（2010廣西桂林）如圖：已知AB=10，點C、D在線段AB上且AC=DB=2；P是線段CD上的動點，分別以AP、PB為邊在線段AB的同側作等邊△AEP和等邊△PFB，連結EF，設EF的中點為G；當點P從點C運動到點D時，則點G移動路徑的長是________．【答案】3(2007年黃岡市)如圖，分別以的直角邊AC，BC為邊，在外作兩個等邊三角形和，連結BE，AF.求證：BE=AF.AABCEEF.(08廣東東莞/中山/汕頭市)21.（本題滿分9分）（1）如圖7，點O是線段AD的中點，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連結AC和BD，相交于點E，連結BC．BABAODCE圖8CCBOD圖7A（2）如圖8，ΔOAB固定不動，保持ΔOCD的形狀和大小不變，將ΔOCD繞著點O旋轉（ΔOAB和ΔOCD不能重疊)，求∠AEB的大小.解：（1）如圖7.∵△BOC和△ABO都是等邊三角形，且點O是線段AD的中點，∴OD=OC=OB=OA,∠1=∠2=60°,……1分∴∠4=∠5.又∵∠4+∠5=∠2=60°,3∴∠4=30°.…………2分3同理，∠6=30°.…………3分∵∠AEB=∠4+∠6,∴∠AEB=60°.………4分（2）如圖8.∵△BOC和△ABO都是等邊三角形，∴OD=OC,OB=OA,∠1=∠2=60°，………5分又∵OD=OA,∴OD＝OB，OA＝OC，∴∠4=∠5，∠6=∠7.…6分∵∠DOB=∠1+∠3,∠AOC=∠2+∠3,∴∠DOB=∠AOC.…………………7分∵∠4+∠5+∠DOB=180°,∠6+∠7+∠AOC=180°,∴2∠5=2∠6,∴∠5=∠6.………………8分又∵∠AEB=∠8-∠5，∠8=∠2+∠6，∴∠AEB＝∠2＋∠5－∠5＝∠2，∴∠AEB＝60°.…………9分（08山東濱州）17．如圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連結PQ．以下五個結論：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．恒成立的結論有______________（把你認為正確的序號都填上）．（1）（2）（3）（5）AABCEDOPQ（2008，濱州）如上右圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側分別作正三角形ABC和正三角形CDE、AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連結PQ.以下五個結論：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.恒成立的結論有_______________________（把你認為正確的序號都填上）。（2008，廣東汕頭）如圖6，點O是線段AD的中點，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連結AC和BD，相交于點E，連結BC．求∠AEB的大小；BABAODCE圖7CBOD圖6A（2）如圖7，ΔOAB固定不動，保持ΔOCD的形狀和大小不變，將ΔOCD繞著點O旋轉某一個角（ΔOAB和ΔOCD不能重疊)，求∠AEB的大小。（2007，湖北武漢）填空或解答：點B、C、E在同一直線上，點A、D在直線CE的同側，AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，直線AE、BD交于點F。(1)如圖①，若∠BAC＝60°，則∠AFB＝_________；如圖②，若∠BAC＝90°，則∠AFB＝_________；(2)如圖③，若∠BAC＝α，則∠AFB＝_________(用含α的式子表示)；AAABBBCCCDDDEEEFFF圖①圖②圖③(第24題圖)(3)將圖③中的△ABC繞點AAABBBCCCDDDEEEFFF圖①圖②圖③(第24題圖)AAABBCCDDEEFF圖④(第24題圖)圖⑤（2008，湖北襄樊）如圖12，是同一直線上的三個點，四邊形與四邊形都是正方形．連接．（1）觀察猜想與之間的大小關系，并證明你的結論；（2）圖中是否存在通過旋轉能夠互相重合的兩個三角形？若存在，請指出，并說出旋轉過程；若不存在，請說明理由．（2008，懷化）如圖10，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG,AE與CG相交于點M，CG與AD相交于點N．求證：（1）；（2）（2008，浙江義烏）如圖1，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個動點(點G與C、D不重合)，以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連結BG，DE．我們探究下列圖中線段BG、線段DE的長度關系及所關系及所在直線的位置關系；②將圖1中的正方形CEFG繞著點C按順時針(或逆時針)方向旋轉任意角度，得到如圖2、如圖3情形．請你通過觀察、測量等方法判斷①中得到的結論是否仍然成立,并選取圖2證明你的判斷．（2）將原題中正方形改為矩形（如圖4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb(ab，k0)，第(1)題①中得到的結論哪些成立，哪些不成立？若成立，以圖5為例簡要說明理由．（3）在第(2)題圖5中，連結、，且a=3，b=2，k=，求的值．（2008，濱州）如上右圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側分別作正三角形ABC和正三角形CDE、AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連結PQ.以下五個結論：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.恒成立的結論有_______________________（把你認為正確的序號都填上）。（深圳3分）如圖，△ABC與△DEF均為等邊三角形，O為BC、EF的中點，則AD：BE的值為A.:1B.:1C.5:3D.不確定【答案】A。【考點】等邊三角形的性質，相似三角形的判定和性質。【分析】連接AO，DO。設等邊△ABC的邊長為，等邊△ABC的邊長為。∵O為BC、EF的中點，∴AO、DO是BC、EF的中垂線。∴∠AOC=∠DOC=900，∴∠AOD=1800—∠COE。又∵∠BOE=1800—∠COE，∴∠AOD=∠BOE。又由AO、DO是BC、EF的中垂線，得OB=，OE=，OA=，OD=。從而。∴AD：BE=:1。故選A。（河源9分）如圖1，已知線段AB的長為2，點P是AB上的動點（P不與A，B重合），分別以AP、PB為邊向線段AB的同一側作正△APC和正△PBD．（1）當△APC與△PBD的面積之和取最小值時，AP=；（直接寫結果）（2）連結AD、BC，相交于點Q，設∠AQC=α，那么α的大小是否會隨點P的移動而變化？請說明理由；（3）如圖2，若點P固定，將△PBD繞點P按順時針方向旋轉（旋轉角小于180°），此時α的大小是否發生變化？（只需直接寫出你的猜想，不必證明）【答案】解：(1)。（2）α的大小不隨點P的移動而變化。理由如下：設AD與CP相交于點S。在△APD和△CPB中，∵AP=CP，∠APD=∠CPD+600=∠CPB，DP=BP，∴△APD≌△CPB（SAS）。∴∠PAD=∠PCB，即∠SAP=∠SCQ。在△SAP和△SCQ中，∵∠SAP=∠SCQ，∠ASP=∠CSQ，∴△SAP∽△SCQ。∴α=∠AQC=∠APC=600。即α的大小不隨點P的移動而變化，總等于600。（3）若點P固定，將△PBD繞點P按順時針方向旋轉（旋轉角小于180°），此時α的大小不會發生變化，總等于600。【考點】三角函數，二次函數的最小值，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，旋轉的性質。【分析】(1)設△APC與△PBD的面積之和為S，AP=，PB=2—，則△APC的高為，△PBD的。。∴當時，S有最小值。（2）要證∠AQC=α不變化，只要證∠AQC=∠APC=600，只要△SAP∽△SCQ。在△SAP和△SCQ中，一方面∠ASP和∠CSQ是對頂角，是相等的；另一方面∠SAP和∠SCQ是三角形△APD和△CPB的對應角，由已知易證它們是全等的。從而得證。（3）考慮到圖形旋轉后，大小和形狀都不發生變化，基于（2）同樣的理由可以證明。（2010山東東營）如圖，點C是線段AB上的一個動點，△ACD和△BCE是在AB同側的兩個等邊三角形，DM，EN分別是△ACD和△BCE的高，點C在線段AB上沿著從點A向點B的方向移動(不與點A，B重合)，連接DE，得到四邊形DMNE．這個四邊形的面積變化情況為（）（A）逐漸增大(B)逐漸減小(C)始終不變(D)先增大后變小【答案】C（2010黑龍江綏化）如圖所示，已知△ABC和△DCE均是等邊三角形，點B、C、E在同一條直線上，AE與BD交于點O，AE與CD交于點G，AC與BD交于點F，連結OC、FG，則下列結論：①AE＝BD②AG＝BF③FG∥BE④∠BOC＝∠EOC，其中正確結論的個數（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】D（2010廣西桂林）如圖：已知AB=10，點C、D在線段AB上且AC=DB=2；P是線段CD上的動點，分別以AP、PB為邊在線段AB的同側作等邊△AEP和等邊△PFB，連結EF，設EF的中點為G；當點P從點C運動到點D時，則點G移動路徑的長是________．【答案】3（2010遼寧丹東市）如圖，已知等邊三角形ABC中，點D，E，F分別為邊AB，AC，BC的中點，M為直線BC上一動點，△DMN為等邊三角形（點M的位置改變時，△DMN也隨之整體移動）．（1）如圖①，當點M在點B左側時，請你判斷EN與MF有怎樣的數量關系？點F是否在直線NE上？都請直接寫出結論，不必證明或說明理由；（2）如圖②，當點M在BC上時，其它條件不變，（1）的結論中EN與MF的數量關系是否仍然成立?若成立，請利用圖②證明；若不成立，請說明理由；（3）若點M在點C右側時，請你在圖③中畫出相應的圖形，并判斷（1）的結論中EN與MF的數量關系是否仍然成立?若成立?請直接寫出結論，不必證明或說明理由．圖圖①圖②圖③第25題圖A·BCDEF···【答案】（1）判斷：EN與MF相等（或EN=MF），點F在直線NE上， 3分（說明：答對一個給2分）（2）成立． 4分證明：法一：連結DE，DF． 5分∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC．又∵D，E，F是三邊的中點，∴DE，DF，EF為三角形的中位線．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．又∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°，∴∠MDF=∠NDE． 7分在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN，∠MDF=∠NDE，∴△DMF≌△DNE． 8分NCABFMDENCABFMDENCABFMDE法二：延長EN，則EN過點F． 5分∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC．又∵D，E，F是三邊的中點，∴EF=DF=BF．∵∠BDM+∠MDF=60°，∠FDN+∠MDF=60°，∴∠BDM=∠FDN． 7分又∵DM=DN，∠ABM=∠DFN=60°，∴△DBM≌△DFN． 8分∴BM=FN．∵BF=EF，∴MF=EN． 9分法三：連結DF，NF． 5分∵△ABC是等邊三角形，∴AC=BC=AC．又∵D，E，F是三邊的中點，∴DF為三角形的中位線，∴DF=AC=AB=DB．又∠BDM+∠MDF=60°，∠NDF+∠MDF=60°，∴∠BDM=∠FDN． 7分在△DBM和△DFN中，DF=DB，DM=DN，∠BDM=∠NDF，∴△DBM≌△DFN．∴∠B=∠DFN=60°． 8分又∵△DEF是△ABC各邊中點所構成的三角形，∴∠DFE=60°．∴可得點N在EF上，∴MF=EN． 9分（3）畫出圖形（連出線段NE）， 11分MF與EN相等的結論仍然成立（或MF=NE成立）． 12分如圖，點A、B、C在同一直線上，△ABD，△BCE都是等邊三角形。（1）求證：AE=CD；(4分)（2）若M，N分別是AE，CD的中點，試判斷△BMN的形狀，并證明你的結論。(6分)BBACEDNM（2010福建晉江）（13分）如圖，在等邊中，線段為邊上的中線.動點在直線上時，以為一邊且在的下方作等邊，連結.(1)填空：度；(2)當點在線段上(點不運動到點)時，試求出的值；(3)若，以點為圓心，以5為半徑作⊙與直線相交于點、兩點，在點運動的過程中(點與點重合除外)，試求的長.AABC備用圖(1)ABC備用圖(2)【答案】26.（本小題13分）(1)60；…………（3分）(2)∵與都是等邊三角形∴，，∴∴……………（5分）∴≌∴，∴.………（7分）(3)①當點在線段上（不與點重合）時，由(2)可知≌，則，作于點，則，連結，則.在中，，，則.在中，由勾股定理得：，則.………（9分）②當點在線段的延長線上時，∵與都是等邊三角形∴，，∴∴∴≌∴，同理可得：.…………（11分）③當點在線段的延長線上時，∵與都是等邊三角形∴，，∴∴∴≌∴∵∴∴.同理可得：.綜上，的長是6.………（13分）（2010福建晉江）（13分）如圖，在等邊中，線段為邊上的中線.動點在直線上時，以為一邊且在的下方作等邊，連結.(1)填空：度；(2)當點在線段上(點不運動到點)時，試求出的值；(3)若，以點為圓心，以5為半徑作⊙與直線相交于點、兩點，在點運動的過程中(點與點重合除外)，試求的長.AABC備用圖(1)ABC備用圖(2)【答案】26.（本小題13分）(1)60；…………（3分）(2)∵與都是等邊三角形∴，，∴∴……………（5分）∴≌∴，∴.………（7分）(3)①當點在線段上（不與點重合）時，由(2)可知≌，則，作于點，則，連結，則.在中，，，則.在中，由勾股定理得：，則.………（9分）②當點在線段的延長線上時，∵與都是等邊三角形∴，，∴∴∴≌∴，同理可得：.…………（11分）③當點在線段的延長線上時，∵與都是等邊三角形∴，，∴∴∴≌∴∵∴∴.同理可得：.綜上，的長是6.………（13分）（09年湖南常德）26．如圖9，若和為等邊三角形，M，N分別EB，CD的中點，易證：CD=BE，是等邊三角形．（1）當把繞A點旋轉到圖10的位置時，CD=BE是否仍然成立？若成立請證明，若不成立請說明理由；（4分）（2）當繞A點旋轉到圖11的位置時，是否還是等邊三角形？若是，請給出證明，并求出當AB=2AD時，與的面積之比；若不是，請說明理由．（6分）圖圖9 圖10圖11圖8（09年湖南常德26題解析）解：（1）CD=BE．理由如下: 1分∵和為等邊三角形∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60o∵∠BAE=∠BAC－∠EAC