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文檔簡介

第五章積分變換法

積分變換：通過積分運(yùn)算，把一個函數(shù)變成另一個函數(shù)的變換。具體地說，就是把某函數(shù)類A中的函數(shù)f(x)，乘上一個確定的二元函數(shù)k(x,α)，然后計(jì)算含參量的積分。

這樣，便變成了另一個函數(shù)類B中的函數(shù)F

(α)。其中k(x,α)是一個確定的二元函數(shù)，稱為積分變換的核。當(dāng)選取不同的積分域和變換核時，就得到不同名稱的積分變換。f(x)稱為像原函數(shù)，F(xiàn)(α)稱為f(x)的像函數(shù)。在一定的條件下，它們是一一對應(yīng)的，并且變換是可逆的。

常用的積分變換是傅立葉變換和拉普拉斯變換。積分變換的一個主要應(yīng)用:假若不容易從原方程中直接求得未知的解x，那么便去求它的某種積分變換的像函數(shù)X，然后再由求得的X去找x。當(dāng)然，這種變換的選擇應(yīng)當(dāng)把x的方程變成x的像函數(shù)X的方程是容易解出的。

積分變換法是通過積分變換，將數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化，從而簡化定解問題的一種求解方法。例如，線性偏微分方程施行積分變換，可以減少自變量的個數(shù)，直至化為常微分方程。這樣，通過積分變換偏微分方程化為常微分方程，常微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程。

§5.1傅立葉變換一、定義：若函數(shù)在上滿足

1）逐段光滑:即在任意有限區(qū)間上滿足狄氏條件；

2）絕對可積:即

收斂，稱

為的傅氏變換（像函數(shù)），記為

可以推出

（5.1.2）式稱為的傅氏逆變換（像原函數(shù)）。F(ω)=F

[f(x)]記為

f(x)=F-1

[F(ω)]例求矩形脈沖函數(shù)

的博氏變換。

解：容易證明f(t)滿足傅氏變換存在的條件,

可推廣到n維情形，若函數(shù)滿足傅氏變換存在的條件，則的傅氏變換為

F相應(yīng)的傅氏逆變換為

實(shí)際應(yīng)用中，許多函數(shù)不滿足傅氏變換存在的條件——絕對可積

如常數(shù)，單位階躍函數(shù)，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)等。但可按廣義傅氏變換定義求出它們的相應(yīng)的傅氏變換。

實(shí)際應(yīng)用時，有傅氏變換表可供查用，不需按定義計(jì)算。

二、傅氏變換的性質(zhì)假定性質(zhì)中需要取傅氏變換的函數(shù)，都滿足傅氏變換存在條件。

1、線性性質(zhì)：設(shè)

FFF2、位移性質(zhì)

FFFFF同樣，逆變換也有類似性質(zhì)

F事實(shí)上

F3、微分性質(zhì)：FFFF推論若則有

FF類似地，傅立葉逆變換有

F事實(shí)上

4、積分性質(zhì)：F如果時，則

FF證：因?yàn)?/p>

所以

FF根據(jù)微分性質(zhì)，有

FF故

FFFF5、卷積定理

定義：已知函數(shù)則積分

稱為函數(shù)

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