推理推理就是從一個或幾個已知判斷推出一個新判斷的思維形式。任何推理都是由兩部分組成，一部分是推理所依據的已知判斷，即前提；一部分是推出的新判斷，即結論。推理分為演繹推理、歸納推理和類比推理推理推理就是從一個或幾個已知判斷推出一個新判斷的思維形式。1演繹推理所謂演繹推理，是由一般性知識的前提，推出個別性知識結論的推理，即從一般到個別的推理。三段論：大前提、小前提和結論公理一：凡肯定一類就能肯定一類中的一部分公理二：凡否定一類就能否定一類中的一部分演繹法演繹推理所謂演繹推理，是由一般性知識的前提，推出個別性知識結2歸納推理歸納推理是以個別知識的判斷為前提，推出一般性知識的判斷為結論的推理。根據前提中是否考察了某類事物的全部對象，歸納推理可分為完全歸納推理和不完全歸納推理兩種。歸納推理歸納推理是以個別知識的判斷為前提，推出一般性知識的判3歸納推理的幾個特點1.歸納是依據特殊現象推斷一般現象,因而,由歸納所得的結論超越了前提所包容的范圍2.歸納是依據若干已知的、沒有窮盡的現象推斷尚屬未知的現象,因而結論具有猜測性3.歸納的前提是特殊的情況,因而歸納是立足于觀察、經驗和實驗的基礎之上歸納推理的幾個特點1.歸納是依據特殊現象推斷一般現象,因而,4歸納推理的一般步驟：試驗、觀察概括、推廣猜測一般性結論歸納推理的一般步驟：試驗、觀察概括、推廣猜測一般性結論5結論對于所有的自然數n,前五個均是質數結論對于所有的自然數n,前五個均是質數64=2+26=3+36＝3+3，8＝3+5，10＝5+5,12＝5+7，14＝7+7，16＝5+11,18=7+11,…，1000＝29+9711002=139+863,…前提:

“任何一個大于2的偶數都可以表示為兩個素數之和”----歌德巴赫猜想結論:目前最佳的結果是中國數學家陳景潤於1966年證明的，稱為陳氏定理.“任何充份大的偶數都是一個質數與一個自然數之和，而後者僅僅是兩個質數的乘積。”通常都簡稱這個結果為大偶數可表示為“1+2”的形式。4=2+2前提:“任何一個大于2的偶數都可以表示為兩個素7例1.已知數列{an}的第1項a1=1，且（n=1,2,…),試歸納出這個數列的通項公式.分別把n=1,2,3,4代入得:歸納:例1.已知數列{an}的第1項a1=1，且分別把n=1,8例2.有三根針和套在一根針上的若干金屬片.按下列規則,把金屬片從一根針上全部移到另一根針上.1.每次只能移動一個金屬片;2.較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面.試推測:把n個金屬片從1號針移到3號針,最少需要移動多少次?例2.有三根針和套在一根針上的若干金屬片.按下列規則,把金屬9n=1時,n=1時,10n=2時,n=1時,n=2時,n=1時,11n=3時,n=2時,n=1時,n=3時,n=2時,n=1時,12n=2時,n=1時,n=3時,n=2時,n=1時,n=3時,13n=4時,n=3時,n=2時,n=1時,n=4時,n=3時,n=2時,n=1時,14n=4時,n=3時,n=2時,n=1時,歸納:n=4時,n=3時,n=2時,n=1時,歸納:15例2:數一數圖中的凸多面體的面數F、頂點數V和棱數E,然后用歸納法推理得出它們之間的關系.例2:數一數圖中的凸多面體的面數F、頂點數V和棱數E,然后用16464556598464556598174645565986686128126104645565986686128126101846455659866861281261077916910151015F+V-E=2猜想歐拉公式46455659866861281261077916910119類比推理類比推理是兩個對象在一系列屬性上相同，而且已知其中一個對象還具有其他屬性，由此推斷另一個對象也具有同樣屬性的推理。類比的推理是一種“合情推理”，不是證明，它無法保證已知相同的屬性與推出的屬性之間有必然的聯系。但是，它是獲得新思路，新發現的一種觀點、一種手段。類比推理是探索真理的重要邏輯形式。

類比推理類比推理是兩個對象在一系列屬性上相同，而且已知其中一20類比推理的邏輯形式類比推理可用如下公式表示：A對象具有a、b、c、d屬性，B對象具有a、b、c屬性，因此，B對象可能也有d的屬性類比推理的特征(1)類比推理的方向是從個別到個別，或從一般到一般。(2)類比推理的結論是或然的。類比的結果是猜測性的不一定可靠,但它卻有發現的功能.類比推理的邏輯形式21⑶檢驗猜想。觀察、比較聯想、類推猜想新結論類比推理的一般步驟:⑴找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征；⑵用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個猜想；即類比推理的一般模式:所以B類事物可能具有性質d′.A類事物具有性質a,b,c,d,B類事物具有性質a′,b′,c′,(a,b,c與a′,b′,c′相似或相同）⑶檢驗猜想。觀察、比較聯想、類推猜想新結論類比推理的一般步22演繹歸納類比課件231.工匠魯班類比帶齒的草葉和蝗蟲的牙齒,發明了鋸;2.人們仿照魚類的外型和它們在水中沉浮的原理,發明了潛水艇.3.科學家對火星進行研究,發現火星與地球有許多類似的特征;1)火星是繞太陽運行、繞軸自轉的行星;2)有大氣層,在一年中也有季節變更;3)火星上大部分時間的溫度適合地球上某些已知生物的生存,等等.科學家猜想;火星上也可能有生命存在.1.工匠魯班類比帶齒的草葉和蝗蟲的牙齒,發明了鋸;2.人們仿24①②③④⑤⑥若，則

①②③④⑤⑥若，則

⑦⑦利用平面向量的性質類比得空間向量的性質①②③④⑤⑥若，則25例3.在平面幾何里,有勾股定理:“設△ABC的兩邊AB、AC互相垂直，則AB2+AC2=BC2.”拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，“設三棱錐A-BCD的三個側面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，研究三棱錐的側面面積與底面面積的關系,可以得出的猜想是______________________.”DABCＡＢＣabcc2=a2+b2例3.在平面幾何里,有勾股定理:“設△ABC的兩邊AB、A26類比平面內直角三角形的勾股定理,得空間中四面體性質的猜想．3個面兩兩垂直的四面體∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°4個面的面積S1，S2，S3和S

3個“直角面”S1，S2，S3和1個“斜面”S類比平面內直角三角形的勾股定理,得空間中四面體性質27例4、試將平面上的圓與空間的球進行類比.圓的定義：平面內到一個定點的距離等于定長的點的集合.球的定義：到一個定點的距離等于定長的點的集合.圓弦直徑周長面積球截面圓大圓表面積體積例4、試將平面上的圓與空間的球進行類比.圓的定義：平面內到一28圓的概念和性質球的概念和性質與圓心距離相等的兩弦相等與圓心距離不相等的兩弦不相等,距圓心較近的弦較長以點(x0,y0)為圓心,r為半徑的圓的方程為(x-x0)2+(y-y0)2=r2圓心與弦(非直徑)中點的連線垂直于弦球心與不過球心的截面(圓面)的圓點的連線垂直于截面與球心距離相等的兩截面面積相等與球心距離不相等的兩截面面積不相等,距球心較近的面積較大以點(x0,y0,z0)為球心,r為半徑的球的方程為(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2例5:利用圓的性質類比得出球的性質球的體積球的表面積圓的周長圓的面積圓的概念和性質球的概念和性質與圓心距離相等的兩弦相等與圓心距29例6.利用等差數列性質類比得等比數列性質例6.利用等差數列性質類比得等比數列性質30n+m=p+q時,am+an=ap+aqn+m=p+q時,aman=apaq任意實數a、b都有等差中項，為當且僅當a、b同號時才有等比中項，為成等差數列成等比數列下標等差,項等差下標等差,項等比n+m=p+q時,n+m=p+q時,任意實數a、b都有等差中31例4：試根據等式的性質猜想不等式的性質。等式的性質：(1)a=ba+c=b+c;(2)a=bac=bc;(3)a=ba2=b2;等等。猜想不等式的性質：(1)a＞ba+c＞b+c;(2)a＞bac＞bc;(3)a＞ba2＞b2;等等。思考：這樣猜想出的結論是否一定正確呢？又如,在平面內，若a⊥c,b⊥c,則a//b.類比到空間，你會得到什么結論？并判斷正誤.錯誤（可能相交）猜想:在空間中，若a⊥g，b⊥g,則a//b。例4：試根據等式的性質猜想不等式的性質。等式的性質：猜想不等32歸納推理和類比推理的共同點

歸納推理和類比推理都是根據已有的事實,經過觀察、分析、比較、聯想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統稱為合情推理.從具體問題出發觀察、分析、比較、聯想歸納、類比提出猜想歸納推理和類比推理的共同點歸納推理和類比推理33分割問題中的類比

1．問題：5個平面最多把空間分為幾個部分？

平面互相盡可能多地相交，才能分割最多。如果5個平面全都平行，那末空間分成的是6部分，就較少。但5個平面如何相交最多以致分割最多，一時也想不清楚，先把問題一般化，再把問題特殊化，逐漸找規律。分割問題中的類比1．問題：5個平面最多把空34

2．問題一般化：n個平面最多把空間分為幾個部分？記分為個部分，再令把問題特殊化。2．問題一般化：n個平面最多把空35

3．問題特殊化：從簡單的情況做起，以便“類比”

4個平面的情況不易想清楚了。但想到要使平面相交最多，才能把空間分割最多。平面相交最多，有兩個含義，一是每個平面都與其它的所有平面相交，二是每個平面都不過它以外任意三個平面的交點（三個平面一般情況下相交于一個點）。3．問題特殊化：從簡單的情況做起，以36

由此我們想到了空間的四面體，這似乎是四個平面相交最多（從而分割最多）的情況，把四面體的四個面延展成四個平面，是否就能把空間分為最多的部分呢？到底現在把空間分成了幾個部分呢？暫難想象。由此我們想到去類比“直線分割平面”的情形。由此我們想到了空間的四面體，這似37

4．類比3條直線分割平面的情形這也可以看成是把三角形的三條邊均延長為直線，看這3條直線把平面分為幾部分。數一數，是7部分。這對我們有什么啟示？4．類比3條直線分割平面的情形38

②①③④⑤⑥⑦

39我們分析一下這7個部分：①是有限的部分，原三角形內部；而幾個無限部分，或與原三角形有公共頂點（②，③，④），或與原三角形有公共邊（⑤，⑥，⑦）。把它們加起來，于是1+3+3=7。所以3條直線分割平面，最多分為7個部分。我們分析一下這7個部分：①是有限的40

5．類比考慮四面體的四個面延展成4個平面，把空間分為幾個部分：有限部分（四面體內部）數為1；無限部分與原四面體或有一個公共頂點（有4個部分），或有一條公共棱（有6個部分），或有一個公共面（有4個部分），于是所分空間總的部分數為1+4+6+4=15。以下仍要考慮這就是一開始提出的問題：5個平面最多把空間分為幾個部分？5．41

這一問題在平面上的類似問題是什么？是5條還是4條直線分割平面？又如何類比？想不清楚了。對我們來說，不如在“一般情形”下考慮問題：個平面分割空間和條直線分割平面。條直線“處于一般位置”的要求也可以說是：任何兩條不平行；任何三條不共點。個平面“處于一般位置”的要求是：任兩平面不平行；任四平面不共點[（或說任三平面不共線）這是四平面不共點的必要條件，并非充分]。這一問題在平面上的類似問題是什么？是42進而，我們類比直線上的問題：個一般位置的點分割直線的問題。這一問題比較簡單：個點最多把直線分為個部分。這對我們會有啟發。如果我們把極端情況——有零個分割元素的情況——也考慮在內，那么被“分割”成的部分數是1。下圖綜合列出點分直線、直線分平面、平面分空間的已取得的結果。進而，我們類比直線上的問題：個一般43

6．類比一般化

（解釋記號，然后看圖）

6．類比一般化44于是，我們得到了一系列待解決的問題。孤立的問題有時難于理解，而解決系列問題有時比解決弧立問題好入手。現在，原問題“”已處在系列問題之中，比之原來的情形，求解已有進展。于是，我們得到了一系列待解決的問45

7．（用類比的觀點）猜想觀察上表中已得到的結果，表中的數字間有什么聯系？有什么規律性？從最右一列，先以為有“2的方冪”的規律，但8后邊的表明這個猜想不對。反復求索的結果，我們可能忽然看到表中有

34；78715

，以及聯想到3+4=7，7+8=15。這是一個獨特的聯系：表中已出現的每個數都可由它“頭上”的數與“左肩”上的數相加而得到。7．（用類比的觀點）猜想46這是我們解決原問題的鑰匙嗎？我們猜想它確是規律。那我們把表按此規律，順沿到，原問題的解就是？

這是我們解決原問題的鑰匙嗎？我們47

48類比不是證明但這種類比不是證明，只是合理的猜測；還需要分析這一猜測，以便證實這一猜測，或者否定這一猜測。這才是用類比、歸納的方法去研究問題的決定性步驟。類比不是證明49

8．分析、推理我們的分析從“時直線分平面”入手，我們已經通過“順沿上表”猜想：4條直線最多把平面劃分為11個部分。它是正確的嗎？我們在3條直線分平面為7個部分的基礎上，再添加一條直線（用紅色），這條直線與原來的每條直線都相交，但又不過任意兩條直線的交點。如右圖。我們數一下，現在確實把平面分成了11個部分。所以這猜測是對的，但它為什么是對的呢？我們再作分析，增加一些理性認識，也許還能從中找到理解一般情形的線索。8．分析、推理50演繹歸納類比課件51

3條直線分平面為7個部分；4條直線就分平面為11個部分了，即增加了4部分；從3條直線添一條直線，為什么分割平面正好多出4部分？分析一下：新添的直線與原來3條直線每條都相交，而且交在與原交點不同的點，這就交出了3個新交點，這3點把新添的直線分為4段，每一段把它穿過的（由前3條直線分成的）那個區域一分為二，因此“平面分割”增加了4個部分，這就是“4”的來歷，而且這個分析表明，這個“4”也正是3點把直線分為4部分的“4”，也就是“11”左肩上的“4”。11=4+7原來是這樣產生的。這種分析已經是邏輯推理了，令人信服，極大地增強了我們對所發現的規律的信心。3條直線分平面為7個部分；4條直線就分平面為52

9．再類比得一般情形的公式及我們再類比分析時平面分空間的情況。這時我們不容易在平面的黑板上作立體圖了，只能借助于剛才四面體延展的那個圖來想像。但是我們可以從思維上、語言上類比剛才的情形。9．再類比得一般情形的公式53我們在3個平面分空間為8個部分的基礎上，再添加一個平面，這個平面與原來的3個平面都相交，并且又不過原來3平面的交點，從而不過原來任兩平面的交線，這就交出了3條新直線，這3條直線把新添加的平面分為7個部分（就是上面“類比一般化”的大表格中的“7”），每一部分把它穿過的（由前3個平面分成的）區域一分為二，因此“空間分割”增加了7個部分，而原有8個部分，這就是15=7+8的來歷。我們在3個平面分空間為8個部分的基礎54

這里的到的過渡，并沒有任何特殊的地方，我們可以完全類似地分析由向過渡時發生的情況，得到一般的表達式。與段落“8”類似地可以得到公式：

與段落“9”類似地可以得到公式：

這兩個公式都是遞推公式。這種遞推公式與斐波那契數列的遞推公式有區別，但思想精神是相通的。這里的到55

我們只再敘述一遍較為復雜的公式

得到的過程。它實際上只要在上面的敘述中，把“3個平面”換為“個平面”，把“8個部分”換為“個部分”，把“3條新直線”換為“條新直線”，把“7個部分”換為“個部分”，把“15”換為“”就完成了。簡單說，是在“上上屏”的敘述中，做下邊的代換：，，，。我們只再敘述一遍較為復雜的公式56個平面把空間最多分為個部分，求，不厭其繁地詳細說一遍，就是：我們在個平面分空間為個部分的基礎上，再添加一個平面，這個平面與原來的個平面都相交，并且又不過原來任3個平面的交點，從而不過原來任兩平面的交線，這就交出了條新直線，這條直線把新添的平面分為個部分，每一部分把它穿過的（由前個平面分成的）區域一分為二，因此，“空間分割”增加了個部分，而原有個部分，所以現在，空間共被分割成的“部分數”是。這就是推出這一公式的邏輯推理過程。個平面把空間最多分為57

10．推出顯公式及

上邊得到的還只是遞推公式、關系公式，我們希望進一步得到像那樣的、關于及的顯公式，即直接用的解析式來表達及。下邊的技巧是常用的。10．推出顯公式58

1）直線分平面的情形2）平面分空間的情形1）直59推理推理就是從一個或幾個已知判斷推出一個新判斷的思維形式。任何推理都是由兩部分組成，一部分是推理所依據的已知判斷，即前提；一部分是推出的新判斷，即結論。推理分為演繹推理、歸納推理和類比推理推理推理就是從一個或幾個已知判斷推出一個新判斷的思維形式。60演繹推理所謂演繹推理，是由一般性知識的前提，推出個別性知識結論的推理，即從一般到個別的推理。三段論：大前提、小前提和結論公理一：凡肯定一類就能肯定一類中的一部分公理二：凡否定一類就能否定一類中的一部分演繹法演繹推理所謂演繹推理，是由一般性知識的前提，推出個別性知識結61歸納推理歸納推理是以個別知識的判斷為前提，推出一般性知識的判斷為結論的推理。根據前提中是否考察了某類事物的全部對象，歸納推理可分為完全歸納推理和不完全歸納推理兩種。歸納推理歸納推理是以個別知識的判斷為前提，推出一般性知識的判62歸納推理的幾個特點1.歸納是依據特殊現象推斷一般現象,因而,由歸納所得的結論超越了前提所包容的范圍2.歸納是依據若干已知的、沒有窮盡的現象推斷尚屬未知的現象,因而結論具有猜測性3.歸納的前提是特殊的情況,因而歸納是立足于觀察、經驗和實驗的基礎之上歸納推理的幾個特點1.歸納是依據特殊現象推斷一般現象,因而,63歸納推理的一般步驟：試驗、觀察概括、推廣猜測一般性結論歸納推理的一般步驟：試驗、觀察概括、推廣猜測一般性結論64結論對于所有的自然數n,前五個均是質數結論對于所有的自然數n,前五個均是質數654=2+26=3+36＝3+3，8＝3+5，10＝5+5,12＝5+7，14＝7+7，16＝5+11,18=7+11,…，1000＝29+9711002=139+863,…前提:

“任何一個大于2的偶數都可以表示為兩個素數之和”----歌德巴赫猜想結論:目前最佳的結果是中國數學家陳景潤於1966年證明的，稱為陳氏定理.“任何充份大的偶數都是一個質數與一個自然數之和，而後者僅僅是兩個質數的乘積。”通常都簡稱這個結果為大偶數可表示為“1+2”的形式。4=2+2前提:“任何一個大于2的偶數都可以表示為兩個素66例1.已知數列{an}的第1項a1=1，且（n=1,2,…),試歸納出這個數列的通項公式.分別把n=1,2,3,4代入得:歸納:例1.已知數列{an}的第1項a1=1，且分別把n=1,67例2.有三根針和套在一根針上的若干金屬片.按下列規則,把金屬片從一根針上全部移到另一根針上.1.每次只能移動一個金屬片;2.較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面.試推測:把n個金屬片從1號針移到3號針,最少需要移動多少次?例2.有三根針和套在一根針上的若干金屬片.按下列規則,把金屬68n=1時,n=1時,69n=2時,n=1時,n=2時,n=1時,70n=3時,n=2時,n=1時,n=3時,n=2時,n=1時,71n=2時,n=1時,n=3時,n=2時,n=1時,n=3時,72n=4時,n=3時,n=2時,n=1時,n=4時,n=3時,n=2時,n=1時,73n=4時,n=3時,n=2時,n=1時,歸納:n=4時,n=3時,n=2時,n=1時,歸納:74例2:數一數圖中的凸多面體的面數F、頂點數V和棱數E,然后用歸納法推理得出它們之間的關系.例2:數一數圖中的凸多面體的面數F、頂點數V和棱數E,然后用75464556598464556598764645565986686128126104645565986686128126107746455659866861281261077916910151015F+V-E=2猜想歐拉公式46455659866861281261077916910178類比推理類比推理是兩個對象在一系列屬性上相同，而且已知其中一個對象還具有其他屬性，由此推斷另一個對象也具有同樣屬性的推理。類比的推理是一種“合情推理”，不是證明，它無法保證已知相同的屬性與推出的屬性之間有必然的聯系。但是，它是獲得新思路，新發現的一種觀點、一種手段。類比推理是探索真理的重要邏輯形式。

類比推理類比推理是兩個對象在一系列屬性上相同，而且已知其中一79類比推理的邏輯形式類比推理可用如下公式表示：A對象具有a、b、c、d屬性，B對象具有a、b、c屬性，因此，B對象可能也有d的屬性類比推理的特征(1)類比推理的方向是從個別到個別，或從一般到一般。(2)類比推理的結論是或然的。類比的結果是猜測性的不一定可靠,但它卻有發現的功能.類比推理的邏輯形式80⑶檢驗猜想。觀察、比較聯想、類推猜想新結論類比推理的一般步驟:⑴找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征；⑵用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個猜想；即類比推理的一般模式:所以B類事物可能具有性質d′.A類事物具有性質a,b,c,d,B類事物具有性質a′,b′,c′,(a,b,c與a′,b′,c′相似或相同）⑶檢驗猜想。觀察、比較聯想、類推猜想新結論類比推理的一般步81演繹歸納類比課件821.工匠魯班類比帶齒的草葉和蝗蟲的牙齒,發明了鋸;2.人們仿照魚類的外型和它們在水中沉浮的原理,發明了潛水艇.3.科學家對火星進行研究,發現火星與地球有許多類似的特征;1)火星是繞太陽運行、繞軸自轉的行星;2)有大氣層,在一年中也有季節變更;3)火星上大部分時間的溫度適合地球上某些已知生物的生存,等等.科學家猜想;火星上也可能有生命存在.1.工匠魯班類比帶齒的草葉和蝗蟲的牙齒,發明了鋸;2.人們仿83①②③④⑤⑥若，則

①②③④⑤⑥若，則

⑦⑦利用平面向量的性質類比得空間向量的性質①②③④⑤⑥若，則84例3.在平面幾何里,有勾股定理:“設△ABC的兩邊AB、AC互相垂直，則AB2+AC2=BC2.”拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，“設三棱錐A-BCD的三個側面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，研究三棱錐的側面面積與底面面積的關系,可以得出的猜想是______________________.”DABCＡＢＣabcc2=a2+b2例3.在平面幾何里,有勾股定理:“設△ABC的兩邊AB、A85類比平面內直角三角形的勾股定理,得空間中四面體性質的猜想．3個面兩兩垂直的四面體∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°4個面的面積S1，S2，S3和S

3個“直角面”S1，S2，S3和1個“斜面”S類比平面內直角三角形的勾股定理,得空間中四面體性質86例4、試將平面上的圓與空間的球進行類比.圓的定義：平面內到一個定點的距離等于定長的點的集合.球的定義：到一個定點的距離等于定長的點的集合.圓弦直徑周長面積球截面圓大圓表面積體積例4、試將平面上的圓與空間的球進行類比.圓的定義：平面內到一87圓的概念和性質球的概念和性質與圓心距離相等的兩弦相等與圓心距離不相等的兩弦不相等,距圓心較近的弦較長以點(x0,y0)為圓心,r為半徑的圓的方程為(x-x0)2+(y-y0)2=r2圓心與弦(非直徑)中點的連線垂直于弦球心與不過球心的截面(圓面)的圓點的連線垂直于截面與球心距離相等的兩截面面積相等與球心距離不相等的兩截面面積不相等,距球心較近的面積較大以點(x0,y0,z0)為球心,r為半徑的球的方程為(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2例5:利用圓的性質類比得出球的性質球的體積球的表面積圓的周長圓的面積圓的概念和性質球的概念和性質與圓心距離相等的兩弦相等與圓心距88例6.利用等差數列性質類比得等比數列性質例6.利用等差數列性質類比得等比數列性質89n+m=p+q時,am+an=ap+aqn+m=p+q時,aman=apaq任意實數a、b都有等差中項，為當且僅當a、b同號時才有等比中項，為成等差數列成等比數列下標等差,項等差下標等差,項等比n+m=p+q時,n+m=p+q時,任意實數a、b都有等差中90例4：試根據等式的性質猜想不等式的性質。等式的性質：(1)a=ba+c=b+c;(2)a=bac=bc;(3)a=ba2=b2;等等。猜想不等式的性質：(1)a＞ba+c＞b+c;(2)a＞bac＞bc;(3)a＞ba2＞b2;等等。思考：這樣猜想出的結論是否一定正確呢？又如,在平面內，若a⊥c,b⊥c,則a//b.類比到空間，你會得到什么結論？并判斷正誤.錯誤（可能相交）猜想:在空間中，若a⊥g，b⊥g,則a//b。例4：試根據等式的性質猜想不等式的性質。等式的性質：猜想不等91歸納推理和類比推理的共同點

歸納推理和類比推理都是根據已有的事實,經過觀察、分析、比較、聯想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統稱為合情推理.從具體問題出發觀察、分析、比較、聯想歸納、類比提出猜想歸納推理和類比推理的共同點歸納推理和類比推理92分割問題中的類比

1．問題：5個平面最多把空間分為幾個部分？

平面互相盡可能多地相交，才能分割最多。如果5個平面全都平行，那末空間分成的是6部分，就較少。但5個平面如何相交最多以致分割最多，一時也想不清楚，先把問題一般化，再把問題特殊化，逐漸找規律。分割問題中的類比1．問題：5個平面最多把空93

2．問題一般化：n個平面最多把空間分為幾個部分？記分為個部分，再令把問題特殊化。2．問題一般化：n個平面最多把空94

3．問題特殊化：從簡單的情況做起，以便“類比”

4個平面的情況不易想清楚了。但想到要使平面相交最多，才能把空間分割最多。平面相交最多，有兩個含義，一是每個平面都與其它的所有平面相交，二是每個平面都不過它以外任意三個平面的交點（三個平面一般情況下相交于一個點）。3．問題特殊化：從簡單的情況做起，以95

由此我們想到了空間的四面體，這似乎是四個平面相交最多（從而分割最多）的情況，把四面體的四個面延展成四個平面，是否就能把空間分為最多的部分呢？到底現在把空間分成了幾個部分呢？暫難想象。由此我們想到去類比“直線分割平面”的情形。由此我們想到了空間的四面體，這似96

4．類比3條直線分割平面的情形這也可以看成是把三角形的三條邊均延長為直線，看這3條直線把平面分為幾部分。數一數，是7部分。這對我們有什么啟示？4．類比3條直線分割平面的情形97

②①③④⑤⑥⑦

98我們分析一下這7個部分：①是有限的部分，原三角形內部；而幾個無限部分，或與原三角形有公共頂點（②，③，④），或與原三角形有公共邊（⑤，⑥，⑦）。把它們加起來，于是1+3+3=7。所以3條直線分割平面，最多分為7個部分。我們分析一下這7個部分：①是有限的99

5．類比考慮四面體的四個面延展成4個平面，把空間分為幾個部分：有限部分（四面體內部）數為1；無限部分與原四面體或有一個公共頂點（有4個部分），或有一條公共棱（有6個部分），或有一個公共面（有4個部分），于是所分空間總的部分數為1+4+6+4=15。以下仍要考慮這就是一開始提出的問題：5個平面最多把空間分為幾個部分？5．100

這一問題在平面上的類似問題是什么？是5條還是4條直線分割平面？又如何類比？想不清楚了。對我們來說，不如在“一般情形”下考慮問題：個平面分割空間和條直線分割平面。條直線“處于一般位置”的要求也可以說是：任何兩條不平行；任何三條不共點。個平面“處于一般位置”的要求是：任兩平面不平行；任四平面不共點[（或說任三平面不共線）這是四平面不共點的必要條件，并非充分]。這一問題在平面上的類似問題是什么？是101進而，我們類比直線上的問題：個一般位置的點分割直線的問題。這一問題比較簡單：個點最多把直線分為個部分。這對我們會有啟發。如果我們把極端情況——有零個分割元素的情況——也考慮在內，那么被“分割”成的部分數是1。下圖綜合列出點分直線、直線分平面、平面分空間的已取得的結果。進而，我們類比直線上的問題：個一般102

6．類比一般化

（解釋記號，然后看圖）

6．類比一般化103于是，我們得到了一系列待解決的問題。孤立的問題有時難于理解，而解決系列問題有時比解決弧立問題好入手。現在，原問題“”已處在系列問題之中，比之原來的情形，求解已有進展。于是，我們得到了一系列待解決的問104

7．（用類比的觀點）猜想觀察上表中已得到的結果，表中的數字間有什么聯系？有什么規律性？從最右一列，先以為有“2的方冪”的規律，但8后邊的表明這個猜想不對。反復求索的結果，我們可能忽然看到表中有

34；78715

，以及聯想到3+4=7，7+8=15。這是一個獨特的聯系：表中已出現的每個數都可由它“頭上”的數與“左肩”上的數相加而得到。7．（用類比的觀點）猜想105這是我們解決原問題的鑰匙嗎？我們猜想它確是規律。那我們把表按此規律，順沿到，原問題的解就是？

這是我們解決原問題的鑰匙嗎？我們106

107類比不是證明但這種類比不是證明，只是合理的猜測；還需要分析這一猜測，以便證實這一猜測，或者否定這一猜測。這才是用類比、歸納的方法去研究問題的決定性步驟。類比不是證明108

8．分析、推理我們的分析從“時直線分平面”入手，我們已經通過“順沿上表”猜想：4條直線最多把平面劃分為11個部分。它是正確的嗎？我們在3條直線分平面為7個部分的基礎上，再添加一條直線（用紅色），這條直線與原來的每條直線都相交，但又不過任意兩條直線的交點。如右圖。我們數一下，現在確實把平面分成了11個部分。所以這猜測是對的，但它為什么是對的呢？我們再作分析，增加一些理性認識，也許還能從中找到理解一般情形的線索。8．分析、推理109演繹歸納類比課件110

3條直線分平面為7個部分；4條直線就分平面為11個部分了，即增加了4部分；從3條直線添一條直線，為什么分割平面正好多出4部分？分析一下：新添的直線與原來3條直線每條都相交，而且交在與原交點不同的點，這就交出了3個新交點，這3點把新添的直線分為4段，每一段把它穿過的（由前3條直線分成的）那個區域一分為二，因此“平面分割”增加了4個部分，這就是“4”的來歷，而且這個分析表明，這個“4”也正是3點把直線分為4部分的“4”，也就是“11”左肩上的“4”。11=4+7原來是這樣產生的。這種分析已經是邏輯推理了，令人信服，極大地增強了我們對所發現的規律的信心。3條直線分平面為7個部分；4條直線就分平面為111

9．再類比得一般情形的公式