1第七講若干數(shù)學問題中的

數(shù)學文化

哥尼斯堡七橋問題

2016秋季數(shù)學教育碩士課程

2016年11月171第七講若干數(shù)學問題中的

數(shù)學文化

哥尼斯堡七2一、哥尼斯堡七橋問題現(xiàn)今俄羅斯的加里寧格勒是一座歷史名城，18世紀時稱為哥尼斯堡。當時那里是東普魯士的首府，曾經誕生和培育過許多偉大的人物。著名的哲學家、古典唯心主義的創(chuàng)始人康德，一直生活在那里。德國著名的數(shù)學家希爾伯特，也出生于此地。2一、哥尼斯堡七橋問題現(xiàn)今俄羅斯的加里寧格勒3哥尼斯堡風景秀美，碧波蕩漾的普累格爾河穿過該城；河中心有一座美麗的小島，島上商業(yè)繁榮，普累格爾河及其兩條支流把包含島在內的全城分為四個區(qū)域，有七座橋橫跨普累格爾河及其支流，連接了這四個區(qū)域。這一別致的橋群，古往今來，吸引著眾多的游人。3哥尼斯堡風景秀美，碧波蕩漾的普累4

45當?shù)氐木用裨洘嶂杂谙旅嬉粋€有趣的問題：能不能找到一條路線了，使得散步時不重復地走遍這七座橋。

尋找滿意路線的問題引起了許多人的興趣，但結果卻沒有一個人能夠做到。不是少走了一座橋，就是重復走了一座橋。5當?shù)氐木用裨洘嶂杂谙旅嬉粋€有趣6多次嘗試失敗后，有人寫信求教于當時的數(shù)學家歐拉。歐拉在親自觀察了哥尼斯堡七橋后，認真思考走法，但始終沒能成功，于是他懷疑七橋問題是不是原本就無解呢？這位年輕的瑞士數(shù)學家獨具慧眼，看出了這個似乎是趣味幾何問題的本質。6多次嘗試失敗后，有人寫信求教于當71736年，29歲的歐拉向圣彼得堡科學院遞交了《哥尼斯堡的七座橋》的論文，在解答問題的同時，開創(chuàng)了數(shù)學的一個新的分支——圖論。歐拉通過對七橋問題的研究，不僅圓滿地回答了哥尼斯堡居民提出的問題，而且得到并證明了更為廣泛的有關一筆畫的三條結論，人們通常稱之為“歐拉定理”。71736年，29歲的歐拉向圣彼得堡科學8在論文中，歐拉將七橋問題抽象出來，把每一塊陸地考慮成一個點，連接兩塊陸地的橋以線表示。并由此得到了如圖一樣的幾何圖形。若我們分別用A、B、C、D四個點表示為哥尼斯堡的四個區(qū)域。這樣著名的“七橋問題”便轉化為是否能夠一筆不重復的畫出過此七條線的問題了。8在論文中，歐拉將七橋問題抽象出來，9

9101011理論上需要解決的問題是：找到“一個圖形是一筆畫”的充分必要條件，并對是一筆畫的圖形給出一筆畫的方法。

11理論上需要解決的問題是：找到“一個圖形是一12

歐拉把圖形上的點分成兩類：如果以某點為端點的線有偶數(shù)條，就稱此點為偶結點，如果以某點為端點的線有奇數(shù)條，就稱此點為奇結點。1213要想不重復地一筆畫出某圖形，除去起始點和終止點兩個點外，其余每個點，如果畫進去一條線，就一定要畫出來一條線，從而都必須是偶結點。于是“一筆畫”的必要條件是“圖形中的奇結點的個數(shù)為0或2”（當起始點與終止點重合時，奇結點個數(shù)為0）。13要想不重復地一筆畫出某圖形，除去14反之也對：如果圖形中的奇結點個數(shù)為0或2時，就一定能完成一筆畫。當圖形中有兩個奇結點時，以其中一個為起始點，另一個為終止點，就能完成一筆畫。當圖形中沒有奇結點時，從任何一個點起始都可以完成一筆畫（不會出現(xiàn)圖形中只有一個奇結點的情況，因為每條線都有兩個端點）。14反之也對：如果圖形中的奇結點個數(shù)為15

這樣，歐拉就得出了圖形是一筆畫的充分必要條件：圖形中的奇結點個數(shù)為0或2。再看哥尼斯堡七橋問題，圖形中有四個奇結點，因此該圖形不是一筆畫，難怪所有的嘗試都失敗了。15這樣，歐拉就得出了圖形是一筆畫的16二、一筆畫

■⒈凡是由偶點組成的連通圖，一定可以一筆畫成。畫時可以把任一偶點為起點，最后一定能以這個點為終點畫完此圖。■⒉凡是只有兩個奇點的連通圖（其余都為偶點），一定可以一筆畫成。畫時必須把一個奇點為起點，另一個奇點為終點。■⒊其他情況的圖都不能一筆畫出。(奇點數(shù)除以二便可算出此圖需幾筆畫成。)16二、一筆畫171718二、一筆畫

姜伯駒先生的《一筆畫和郵遞路線問題》：最短郵遞路線問題18二、一筆畫19三、拓撲學

在上面的問題中，我們只研究圖形各部分位置的相對關系，而不考慮它們的大小和角度。萊布尼茨和歐拉為這種“位置幾何學”奠定了最初的基礎。龐加萊于19世紀末將其發(fā)展為一個系統(tǒng)的數(shù)學分支——拓撲學。有人把拓撲學說成是“橡皮幾何學”。19三、拓撲學20三、拓撲學

平面上的歐拉公式：V+F-E=1。

空間中的歐拉公式：V+F-E=2。

利用多面體的歐拉公式可以證明：正多面體有且只有五種：正四面體、立方體、正八面體、正十二面體、正二十面體。

20三、拓撲學21本講結束謝謝！2122第七講若干數(shù)學問題中的

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2016年11月171第七講若干數(shù)學問題中的

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哥尼斯堡七23一、哥尼斯堡七橋問題現(xiàn)今俄羅斯的加里寧格勒是一座歷史名城，18世紀時稱為哥尼斯堡。當時那里是東普魯士的首府，曾經誕生和培育過許多偉大的人物。著名的哲學家、古典唯心主義的創(chuàng)始人康德，一直生活在那里。德國著名的數(shù)學家希爾伯特，也出生于此地。2一、哥尼斯堡七橋問題現(xiàn)今俄羅斯的加里寧格勒24哥尼斯堡風景秀美，碧波蕩漾的普累格爾河穿過該城；河中心有一座美麗的小島，島上商業(yè)繁榮，普累格爾河及其兩條支流把包含島在內的全城分為四個區(qū)域，有七座橋橫跨普累格爾河及其支流，連接了這四個區(qū)域。這一別致的橋群，古往今來，吸引著眾多的游人。3哥尼斯堡風景秀美，碧波蕩漾的普累25

426當?shù)氐木用裨洘嶂杂谙旅嬉粋€有趣的問題：能不能找到一條路線了，使得散步時不重復地走遍這七座橋。

尋找滿意路線的問題引起了許多人的興趣，但結果卻沒有一個人能夠做到。不是少走了一座橋，就是重復走了一座橋。5當?shù)氐木用裨洘嶂杂谙旅嬉粋€有趣27多次嘗試失敗后，有人寫信求教于當時的數(shù)學家歐拉。歐拉在親自觀察了哥尼斯堡七橋后，認真思考走法，但始終沒能成功，于是他懷疑七橋問題是不是原本就無解呢？這位年輕的瑞士數(shù)學家獨具慧眼，看出了這個似乎是趣味幾何問題的本質。6多次嘗試失敗后，有人寫信求教于當281736年，29歲的歐拉向圣彼得堡科學院遞交了《哥尼斯堡的七座橋》的論文，在解答問題的同時，開創(chuàng)了數(shù)學的一個新的分支——圖論。歐拉通過對七橋問題的研究，不僅圓滿地回答了哥尼斯堡居民提出的問題，而且得到并證明了更為廣泛的有關一筆畫的三條結論，人們通常稱之為“歐拉定理”。71736年，29歲的歐拉向圣彼得堡科學29在論文中，歐拉將七橋問題抽象出來，把每一塊陸地考慮成一個點，連接兩塊陸地的橋以線表示。并由此得到了如圖一樣的幾何圖形。若我們分別用A、B、C、D四個點表示為哥尼斯堡的四個區(qū)域。這樣著名的“七橋問題”便轉化為是否能夠一筆不重復的畫出過此七條線的問題了。8在論文中，歐拉將七橋問題抽象出來，30

9311032理論上需要解決的問題是：找到“一個圖形是一筆畫”的充分必要條件，并對是一筆畫的圖形給出一筆畫的方法。

11理論上需要解決的問題是：找到“一個圖形是一33

歐拉把圖形上的點分成兩類：如果以某點為端點的線有偶數(shù)條，就稱此點為偶結點，如果以某點為端點的線有奇數(shù)條，就稱此點為奇結點。1234要想不重復地一筆畫出某圖形，除去起始點和終止點兩個點外，其余每個點，如果畫進去一條線，就一定要畫出來一條線，從而都必須是偶結點。于是“一筆畫”的必要條件是“圖形中的奇結點的個數(shù)為0或2”（當起始點與終止點重合時，奇結點個數(shù)為0）。13要想不重復地一筆畫出某圖形，除去35反之也對：如果圖形中的奇結點個數(shù)為0或2時，就一定能完成一筆畫。當圖形中有兩個奇結點時，以其中一個為起始點，另一個為終止點，就能完成一筆畫。當圖形中沒有奇結點時，從任何一個點起始都可以完成一筆畫（不會出現(xiàn)圖形中只有一個奇結點的情況，因為每條線都有兩個端點）。14反之也對：如果圖形中的奇結點個數(shù)為36

這樣，歐拉就得出了圖形是一筆畫的充分必要條件：圖形中的奇結點個數(shù)為0或2。再看哥尼斯堡七橋問題，圖形中有四個奇結點，因此該圖形不是一筆畫，難怪所有的嘗試都失敗了。15這樣，歐拉就得出了圖形是一筆畫的37二、一筆畫

■⒈凡是由偶點組成的連通圖，一定可以一筆畫成。畫時可以把任一偶點為起點，最后一定能以這個點為終點畫完此圖。■⒉凡是只有兩個奇點的連通圖（其余都為偶點），一定可以一筆畫成。畫時必須把一個奇點為起點，另一個奇點為終點。■⒊其他情況的圖都不能一筆畫出。(奇點數(shù)除以二便可算出此圖需幾筆畫成。)16二、一筆畫381739二、一筆畫

姜伯駒先生的《一筆畫和郵遞路線問題》：最短郵遞路線問題18二、一筆畫40三、拓撲學

在上面的問題中，我們只研究圖形各部分位置的相對關系，而不考慮它們的大小和角度。萊布尼茨和歐拉為這種“位置幾何學”奠定了最初的基礎。