第十一章統計與概率第1講抽樣方法與總體分布的估計一、選擇題1．為了了解所加工一批零件的長度，抽測了其中200個零件的長度，在這個問題中，200個零件的長度是()．A．總體 B．個體是每一個零件C．總體的一個樣本 D．樣本容量解析200個零件的長度是總體的一個樣本．答案C2．用隨機數表法從100名學生(其中男生25人)中抽取20人進行評教，某男學生被抽到的概率是()．A.eq\f(1,100)B.eq\f(1,25)C.eq\f(1,5)D.eq\f(1,4)解析從容量N＝100的總體中抽取一個容量為n＝20的樣本，每個個體被抽到的概率都是eq\f(n,N)＝eq\f(1,5).答案C3．樣本中共有五個個體，其值分別為a,0,1,2,3.若該樣本的平均值為1，則樣本方差為()．A.eq\r(\f(6,5)) B.eq\f(6,5) C.eq\r(2) D．2解析由題可知樣本的平均值為1，所以eq\f(a＋0＋1＋2＋3,5)＝1，解得a＝－1，所以樣本的方差為eq\f(1,5)[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.答案D4．甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形統計圖如圖所示，則 ()．A．甲的成績的平均數小于乙的成績的平均數B．甲的成績的中位數等于乙的成績的中位數C．甲的成績的方差小于乙的成績的方差D．甲的成績的極差小于乙的成績的極差解析由題意可知，甲的成績為4,5,6,7,8，乙的成績為5,5,5,6,9.所以甲、乙的成績的平均數均為6，A錯；甲、乙的成績的中位數分別為6,5，B錯；甲、乙的成績的方差分別為eq\f(1,5)×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，eq\f(1,5)×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝eq\f(12,5)，C對；甲、乙的成績的極差均為4，D錯．答案C5．為了檢查某超市貨架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要從編號依次為1到50的袋裝奶粉中抽取5袋進行檢驗，用每部分選取的號碼間隔一樣的系統抽樣方法確定所選取的5袋奶粉的編號可能是()．A．5,10,15,20,25 B．2,4,8,16,32C．1,2,3,4,5 D．7,17,27,37,47解析利用系統抽樣，把編號分為5段，每段10個，每段抽取一個，號碼間隔為10，故選D.答案D6．一組數據的平均數是2.8，方差是3.6，若將這組數據中的每一個數據都加上60，得到一組新數據，則所得新數據的平均數和方差分別是()．A．57.2,3.6B．57.2,56.4C．62.8,63.6D．62.8,3.6解析平均數增加，方差不變．答案D二、填空題7．體育彩票000001～100000編號中，凡彩票號碼最后三位數為345的中一等獎，采用的抽樣方法是________．解析系統抽樣的步驟可概括為：總體編號，確定間隔，總體分段，在第一段內確定起始個體編號，每段內規則取樣等幾步．該抽樣符合系統抽樣的特點．答案系統抽樣8．某學校為了解學生數學課程的學習情況，在1000名學生中隨機抽取200名，并統計這200名學生的某次數學考試成績，得到了樣本的頻率分布直方圖(如圖)．根據頻率分布直方圖可估計這1000名學生在該次數學考試中成績不低于60分的學生人數是________．解析低于60分學生所占頻率為(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.2，故低于60分的學生人數為1000×0.2＝200，所以不低于60分的學生人數為1000－200＝800.答案8009．沈陽市某高中有高一學生600人，高二學生500人，高三學生550人，現對學生關于消防安全知識了解情況進行分層抽樣調查，若抽取了一個容量為n的樣本，其中高三學生有11人，則n的值等于________．解析由eq\f(n,600＋500＋550)＝eq\f(11,550)，得n＝33(人)．答案3310．某年級120名學生在一次百米測試中，成績全部介于13秒與18秒之間．將測試結果分成5組：[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)，[17,18]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．如果從左到右的5個小矩形的面積之比為1∶3∶7∶6∶3，那么成績在[16,18]的學生人數是__________________________________________________________________．解析成績在[16,18]的學生的人數所占比例為eq\f(6＋3,1＋3＋7＋6＋3)＝eq\f(9,20)，所以成績在[16,18]的學生人數為120×eq\f(9,20)＝54.答案54三、解答題11．某公路設計院有工程師6人，技術員12人，技工18人，要從這些人中抽取n個人參加市里召開的科學技術大會．如果采用系統抽樣和分層抽樣的方法抽取，不用剔除個體，如果參會人數增加1個，則在采用系統抽樣時，需要在總體中先剔除1個個體，求n.解總體容量為6＋12＋18＝36.當樣本容量是n時，由題意知，系統抽樣的間隔為eq\f(36,n)，分層抽樣的比例是eq\f(n,36)，抽取的工程師人數為eq\f(n,36)×6＝eq\f(n,6)，技術員人數為eq\f(n,36)×12＝eq\f(n,3)，技工人數為eq\f(n,36)×18＝eq\f(n,2)，所以n應是6的倍數，36的約數，即n＝6,12,18.當樣本容量為(n＋1)時，總體容量是35人，系統抽樣的間隔為eq\f(35,n＋1)，因為eq\f(35,n＋1)必須是整數，所以n只能取6.即樣本容量n＝6.12．某校高一某班的某次數學測試成績(滿分為100分)的莖葉圖和頻率分布直方圖都受了不同程度的破壞，但可見部分如圖，據此解答下列問題：(1)求分數在[50,60]的頻率及全班人數；(2)求分數在[80,90]之間的頻數，并計算頻率分布直方圖中[80,90]間的矩形的高．解(1)分數在[50,60]的頻率為0.008×10＝0.08.由莖葉圖知，分數在[50,60]之間的頻數為2，所以全班人數為eq\f(2,0.08)＝25.(2)分數在[80,90]之間的頻數為25－2－7－10－2＝4，頻率分布直方圖中[80,90]間的矩形的高為eq\f(4,25)÷10＝0.016.13．汽車行業是碳排放量比較大的行業之一，歐盟規定，從2012年開始，對CO2排放量超過130g/km的MI型新車進行懲罰(視為排放量超標)，某檢測單位對甲、乙兩類MI型品牌的新車各抽取了5輛進行CO2排放量檢測，記錄如下(單位：g/km)：甲80110120140150乙100120xy160經測算發現，乙類品牌車CO2排放量的均值為eq\x\to(x)乙＝120g/km.(1)求甲類品牌汽車的排放量的平均值及方差；(2)若乙類品牌汽車比甲類品牌汽車CO2的排放量穩定性好，求x的取值范圍．解(1)甲類品牌汽車的CO2排放量的平均值eq\x\to(x)甲＝eq\f(80＋110＋120＋140＋150,5)＝120(g/km)，甲類品牌汽車的CO2排放量的方差seq\o\al(2,甲)＝eq\f(80－1202＋110－1202＋120－1202＋140－1202＋150－1202,5)＝600.(2)由題意知乙類品牌汽車的CO2排放量的平均值eq\x\to(x)乙＝eq\f(100＋120＋x＋y＋160,5)＝120(g/km)，得x＋y＝220，故y＝220－x，所以乙類品牌汽車的CO2排放量的方差seq\o\al(2,乙)＝eq\f(100－1202＋120－1202＋x－1202＋220－x－1202＋160－1202,5)，因為乙類品牌汽車比甲類品牌汽車CO2的排放量穩定性好，所以seq\o\al(2,乙)<seq\o\al(2,甲)，解得90<x<130.14．已知某單位有50名職工，現要從中抽取10名職工，將全體職工隨機按1～50編號，并按編號順序平均分成10組，按各組內抽取的編號依次增加5進行系統抽樣．若第5組抽出的號碼為22，寫出所有被抽出職工的號碼；(2)分別統計這10名職工的體重(單位：公斤)，獲得體重數據的莖葉圖如圖所示，求該樣本的方差；(3)在(2)的條件下，從這10名職工中隨機抽取兩名體重不輕于73公斤(≥73公斤)的職工，求體重為76公斤的職工被抽取到的概率．解(1)由題意，第5組抽出的號碼為22.因為k＋5×(5－1)＝22，所以第1組抽出的號碼應該為2，抽出的10名職工的號碼分別為2,7,12,17,22,27,32,37,42,47.(2)因為10名職工的平均體重為eq\x\to(x)＝eq\f(1,10)(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71，所以樣本方差為：s2＝eq\f(1,10)(102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122)＝52.(3)從10名職工中隨機抽取兩名體重不輕于73公斤的職工，共有10種不同的取法：(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(