.PAGE31.第六章數列.PAGE31.二、重難點擊本章重點：數列的概念,等差數列,等比數列的定義,通項公式和前項和公式及運用,等差數列、等比數列的有關性質。注重提煉一些重要的思想和方法,如：觀察法、累加法、累乘法、待定系數法、倒序相加求和法、錯位相減求和法、裂項相消求和法、函數與方程思想、分類與討論思想、化歸與轉化思想等。知識網絡數列與正整數集關系數列與正整數集關系等差數列等比數列特殊數列求和方法公式法倒序相加法錯位相減法裂項相消法遞推公式通項公式數列第一課時數列..四、數列通項與前項和的關系1．2．課前熱身3．數列的通項公式為,則數列各項中最小項是<B>A．第４項B．第５項C．第６項D．第７項4．已知數列是遞增數列,其通項公式為,則實數的取值范圍是5．數列的前項和,,則題型一歸納、猜想法求數列通項[例1]根據下列數列的前幾項,分別寫出它們的一個通項公式=1\*GB2⑴7,77,777,7777,…=3\*GB2⑶1,3,3,5,5,7,7,9,9…解析：=1\*GB2⑴將數列變形為,=3\*GB2⑶將已知數列變為1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,9+0,…。可得數列的通項公式為點撥：本例的求解關鍵是通過分析、比較、聯想、歸納、轉換獲得項與項數的一般規律,從而求得通項。題型二應用求數列通項例2．已知數列的前項和,分別求其通項公式.=1\*GB2⑴解析：=1\*GB2⑴當,當又不適合上式,故三、利用遞推關系求數列的通項[例3]根據下列各個數列的首項和遞推關系,求其通項公式=1\*GB2⑴解析：=1\*GB2⑴因為,所以所以…,…,以上個式相加得即：點撥：在遞推關系中若求用累加法,若求用累乘法,若,求用待定系數法或迭代法。課外練習3設,<>,則的大小關系是<C>A．B．C．D．不能確定解：因為所以,選Ｃ．二、填空題5．已知數列的前項和則7．已知數列的通項〔,則數列的前30項中最大項和最小項分別是解：構造函數由函數性質可知,函數在上遞減,且函數在上遞增且三、解答題6.2等差數列..知識要點2．遞推關系與通項公式是數列成等差數列的充要條件。３．等差中項：若成等差數列,則稱的等差中項,且；成等差數列是的充要條件。４．前項和公式；是數列成等差數列的充要條件。5．等差數列的基本性質=1\*GB2⑴反之,不成立。=2\*GB2⑵=3\*GB2⑶=4\*GB2⑷仍成等差數列。６．判斷或證明一個數列是等差數列的方法：=1\*GB3①定義法：是等差數列=2\*GB3②中項法：是等差數列=3\*GB3③通項公式法：是等差數列=4\*GB3④前項和公式法：是等差數列課前熱身2．等差數列中,A．14B．15C．16D．17解解。3．等差數列中,,則前10或11項的和最大。解：∴為遞減等差數列∴為最大。4．已知等差數列的前10項和為100,前100項和為10,則前110項和為－110解：∵成等差數列,公差為D其首項為,前10項的和為６．設等差數列的前項和為,已知=1\*GB3①求出公差的范圍,=2\*GB3②指出中哪一個值最大,并說明理由。解：=1\*GB3①=2\*GB3②課外練習選擇題已知數列是等差數列,,其前10項的和,則其公差等于<D>已知等差數列中,等于〔AA．15B．30C．31D．64二、填空題設為等差數列的前項和,=54已知等差數列的前項和為,若設F是橢圓的右焦點,且橢圓上至少有21個不同點組成公差為的等差數列,則的取值范圍為解：橢圓的焦點F到橢圓上的點最大、最小距離分別為,由題意得：三、解答題等差數列的前項和記為,已知=1\*GB3①求通項；=2\*GB3②若=242,求解：由,=242甲、乙兩物體分別從相距70的兩處同時相向運動,甲第一分鐘走2,以后每分鐘比前一分鐘多走1,乙每分鐘走5,=1\*GB3①甲、乙開始運動后幾分鐘相遇？=2\*GB3②如果甲乙到對方起點后立即折返,甲繼續每分鐘比前一分鐘多走1,乙繼續每分鐘走5,那么,開始運動幾分鐘后第二次相遇？解：=1\*GB3①設分鐘后第一次相遇,依題意有：故第一次相遇是在開始運動后7分鐘。=2\*GB3②設分鐘后第二次相遇,則：故第二次相遇是在開始運動后15分鐘10．已知數列中,前和=1\*GB3①求證：數列是等差數列=2\*GB3②求數列的通項公式=3\*GB3③設數列的前項和為,是否存在實數,使得對一切正整數都成立？若存在,求的最小值,若不存在,試說明理由。解：=1\*GB3①∵∴數列為等差數列。=2\*GB3②=3\*GB3③要使得對一切正整數恒成立,只要≥,所以存在實數使得對一切正整數都成立,的最小值為。..6.3等比數列..知識要點定義：如果一個數列從第二項起,每一項與它的前一項的比等于同一個常數,那么這個數列叫做等比數列,這個常數叫做等比數列的公比,記為。遞推關系與通項公式等比中項：若三個數成等比數列,則稱為的等比中項,且為是成等比數列的必要而不充分條件。前項和公式等比數列的基本性質,=1\*GB3①反之不真！=2\*GB3②=3\*GB3③為等比數列,則下標成等差數列的對應項成等比數列。=4\*GB3④仍成等比數列。等比數列與等比數列的轉化=1\*GB3①是等差數列是等比數列；=2\*GB3②是正項等比數列是等差數列；=3\*GB3③既是等差數列又是等比數列是各項不為零的常數列。等比數列的判定法=1\*GB3①定義法：為等比數列；=2\*GB3②中項法：為等比數列；=3\*GB3③通項公式法：為等比數列；=4\*GB3④前項和法：為等比數列。已知數列是等比數列,且70〔問題引入猜想：是等比數列,公比為。證明如下：∵即：,∴是首項為,公比為的等比數列。二、性質運用例2：=1\*GB2⑴在等比數列中,=1\*GB3①求,=2\*GB3②若=2\*GB2⑵在等比數列中,若,則有等式成立,類比上述性質,相應的在等比數列中,若則有等式成立。解：=1\*GB2⑴=1\*GB3①由等比數列的性質可知：=2\*GB3②由等比數列的性質可知,是等差數列,因為=2\*GB2⑵由題設可知,如果在等差數列中有成立,我們知道,如果,而對于等比數列,則有所以可以得出結論,若成立,在本題中點撥：歷年高考對性質考查較多,主要是利用"等積性",題目"小而巧"且背景不斷更新,要熟練掌握。典例精析錯位相減法求和例1：求和：解：=1\*GB2⑴=2\*GB2⑵=1\*GB3①=2\*GB3②由=1\*GB3①－=2\*GB3②得：點撥：=1\*GB3①若數列是等差數列,是等比數列,則求數列的前項和時,可采用錯位相減法；=2\*GB3②當等比數列公比為字母時,應對字母是否為1進行討論；=3\*GB3③當將與相減合并同類項時,注意錯位及未合并項的正負號。裂項相消法求和例2：數列滿足=8,〔=1\*GB3①求數列的通項公式；則所以,=8＋〔－1×〔－2＝―10－2=2\*GB3②對一切恒成立。故的最大整數值為5。點撥：=1\*GB3①若數列的通項能轉化為的形式,常采用裂項相消法求和。=2\*GB3②使用裂項消法求和時,要注意正負項相消時,消去了哪些項,保留了哪些項。奇偶分析法求和例3：設二次函數在等差數列中,=1,前項和滿足=1\*GB3①求數列的通項公式=2\*GB3②記,求數列的前項和。解：=1\*GB3①設數列的公差為,由所以==2\*GB3②由,有所以=1\*GB3①=2\*GB3②=1\*GB3①－=2\*GB3②得課外練習數列的前項和為,若等于〔B４．的定義域為,且是以2為周期的周期函數,數列是首項為,公差為1的等差數列,那么的值為〔CA．－1B．1C．0D．10解：因為函數的定義域為,且是以2為周期的周期函數,所以又數列是首項為,公差為1的等差數列故原式=0,選C。二、填空題５．設等比數列的公比與前項和分別為和,且≠1,6．數列滿足,則數列的前項和為=７．數列的前100項的和為。〔典例精析函數與數列的綜合問題=1\*GB3①設是常數,求證：成等差數列；=2\*GB3②若,的前項和是,當時,求解：=1\*GB3①,=2\*GB3②點撥：本例是數列與函數綜合的基本題型之一,特征是以函數為載體構建數列的遞推關系,通過由函數的解析式獲知數列的通項公式,從而問題得到求解。已知正項數列的前項和為,的等比中項,=1\*GB3①求證：數列是等差數列；=2\*GB3②若,數列的前項和為,求=3\*GB3③在=2\*GB3②的條件下,是否存在常數,使得數列為等比數列？若存在,試求出；若不存在,說明理由。解：=1\*GB3①的等比中項,所以數列是等差數列。=2\*GB3②所以當且僅當3+=0,即=－3時,數列為等比數列。已知在正項數列中,=2,且在雙曲線上,數列中,點〔,在直線上,其中是數列的前項和,=1\*GB3①求數列的通項公式；=2\*GB3②求證：數列是等比數列。=3\*GB3③若。解：=1\*GB3①由已知帶點在上知,－＝１,所以數列是以2為首項,以1為公差的等差數列。所以=2\*GB3②因為點〔,在直線上,=3\*GB3③一、選擇題1.〔2009XX卷理已知等比數列滿足,且,則當時,A.B.C.D.[解析]由得,,則,,選C.答案C2.〔2009XX卷理設等比數列{}的前n項和為,若=3,則=A.2B.C.D.3[解析]設公比為q,則＝1＋q3＝3q3＝2于是[答案]B14.<2009XX卷理>已知數列滿足：〔m為正整數,若,則m所有可能的取值為__________。答案4532解析〔1若為偶數,則為偶,故①當仍為偶數時,故②當為奇數時,故得m=4。〔2若為奇數,則為偶數,故必為偶數,所以=1可得m=516.〔2009XX卷文設等差數列的前n項和為,若,則.解析:由可得的公差d=2,首項=2,故易得2n.答案:2n17.<2009XX卷理>設等差數列的前n項和為,若,則.答案：122.〔2009全國卷Ⅰ理在數列中,〔I設,求數列的通項公式〔II求數列的前項和分析：〔I由已知有利用累差迭加即可求出數列的通項公式:<>〔II由〔I知,=而,又是一個典型的錯位相減法模型,易得=23.〔2009北京理已知數集具有性質；對任意的,與兩數中至少有一個屬于.〔Ⅰ分別判斷數集與是否具有性質,并說明理由；〔Ⅱ證明：,且；〔Ⅲ證明：當時,成等比數列.[解析]本題主要考查集合、等比數列的性質,考查運算能力、推理論證能力、分分類討論等數學思想方法．本題是數列與不等式的綜合題,屬于較難層次題.〔Ⅰ由于與均不屬于數集,∴該數集不具有性質P.由于都屬于數集,∴該數集具有性質P.〔Ⅱ∵具有性質P,∴與中至少有一個屬于A,由于,∴,故.從而,∴.∵,∴,故.由A具有性質P可知.又∵,∴,從而,∴.〔Ⅲ由〔Ⅱ知,當時,有,即,∵,∴,∴,由A具有性質P可知.,得,且,∴,∴,即是首項為1,公比為成等比數列.25〔2009XX卷對于正整數≥2,用表示關于的一元二次方程有實數根的有序數組的組數,其中〔和可以相等；對于隨機選取的〔和可以相等,記為關于的一元二次方程有實數根的概率。〔1求和；〔2求證：對任意正整數≥2,有.[解析][必做題]本小題主要考查概率的基本知識和記數原理,考查探究能力。滿分10分。29.〔2009XX卷理各項均為正數的數列,,且對滿足的正整數都有〔1當時,求通項〔2證明：對任意,存在與有關的常數,使得對于每個正整數,都有解：〔1由得將代入化簡得所以故數列為等比數列,從而即可驗證,滿足題設條件.<2>由題設的值僅與有關,記為則考察函數,則在定義域上有故對,恒成立.又,注意到,解上式得取,即有.30.<2009XX卷理>已知數列的前n項和〔n為正整數。〔Ⅰ令,求證數列是等差數列,并求數列的通項公式；<Ⅱ令,試比較與的大小,并予以證明。解〔I在中,令n=1,可得,即當時,,..又數列是首項和公差均為1的等差數列.于是.<II>由〔I得,所以由①-②得于是確定的大小關系等價于比較的大小由可猜想當證明如下：證法1：〔1當n=3時,由上驗算顯示成立。〔2假設時所以當時猜想也成立綜合〔1〔2可知,對一切的正整數,都有證法2：當時綜上所述,當,當時31.〔2009XX卷文設數列的前項和為,對任意的正整數,都有成立,記。〔I求數列與數列的通項公式；〔II設數列的前項和為,是否存在正整數,使得成立？若存在,找出一個正整數；若不存在,請說明理由；〔III記,設數列的前項和為,求證：對任意正整數都有；解〔I當時,又∴數列是首項為,公比為的等比數列,∴,…………………3分〔II不存在正整數,使得成立。證明：由〔I知∴當n為偶數時,設∴當n為奇數時,設∴∴對于一切的正整數n,都有∴不存在正整數,使得成立。…………………8分〔III由得又,當時,,當時,32.〔2009XX卷文對于數列,若存在常數M＞0,對任意的,恒有,則稱數列為數列.〔Ⅰ首項為1,公比為的等比數列是否為B-數列？請說明理由;〔Ⅱ設是數列的前n項和.給出下列兩組判斷：A組：①數列是B-數列,②數列不是B-數列;B組：③數列是B-數列,④數列不是B-數列.請以其中一組中的一個論斷為條件,另一組中的一個論斷為結論組成一個命題.判斷所給命題的真假,并證明你的結論；<Ⅲ>若數列是B-數列,證明：數列也是B-數列。解:〔Ⅰ設滿足題設的等比數列為,則.于是==所以首項為1,公比為的等比數列是B-數列.〔Ⅱ命題1：若數列是B-數列,則數列是B-數列.此命題為假命題.事實上設=1,,易知數列是B-數列,但=n,.由n的任意性知,數列不是B-數列。命題2：若數列是B-數列,則數列不是B-數列。此命題為真命題。事實上,因為數列是B-數列,所以存在正數M,對任意的,有,即.于是,所以數列是B-數列。〔注：按題中要求組成其它命題解答時,仿上述解法<Ⅲ>若數列是B-數列,則存在正數M,對任意的有.因為.記,則有.因此.故數列是B-數列.33.<2009XX卷理>已知數列滿足,.猜想數列的單調性,并證明你的結論；〔Ⅱ>證明：。證明〔1由由猜想：數列是遞減數列下面用數學歸納法證明：〔1當n=1時,已證命題成立〔2假設當n=k時命題成立,即易知,那么=即也就是說,當n=k+1時命題也成立,結合〔1和〔2知,命題成立〔2當n=1時,,結論成立當時,易知35.〔2009天津卷理已知等差數列{}的公差為d〔d0,等比數列{}的公比為q〔q>1。設=+…..+,=-+…..+<-1,n若==1,d=2,q=3,求的值；若=1,證明〔1-q-〔1+q=,n；<Ⅲ>若正數n滿足2nq,設的兩個不同的排列,,證明。本小題主要考查等差數列的通項公式、等比數列的通項公式與前n項和公式等基礎知識,考查運算能力,推理論證能力及綜合分析和解決問題的能力的能力,滿分14分。〔Ⅰ解：由題設,可得所以,〔Ⅱ證明：由題設可得則①②式減去②式,得式加上②式,得③式兩邊同乘q,得所以,<Ⅲ>證明：因為所以若,取i=n若,取i滿足且由〔1,<2>及題設知,且當時,得即,…,又所以因此當同理可得,因此綜上,37.〔20XX上海卷理已知是公差為的等差數列,是公比為的等比數列。若,是否存在,有說明理由；找出所有數列和,使對一切,,并說明理由；若試確定所有的,使數列中存在某個連續項的和是數列中的一項,請證明。[解法一]〔1由,得,．．．．．．2分整理后,可得,、,為整數,不存在、,使等式成立。．．．．．．5分〔2若,即,〔*〔ⅰ若則。當{}為非零常數列,{}為恒等于1的常數列,滿足要求。．．．．．．7分〔ⅱ若,〔*式等號左邊取極限得,〔*式等號右邊的極限只有當時,才能等于1。此時等號左邊是常數,,矛盾。綜上所述,只有當{}為非零常數列,{}為恒等于1的常數列,滿足要求。．．．．．．10分[解法二]設則若d=0,則若〔常數即,則d=0,矛盾綜上所述,有,10分〔3設.,.13分取15分由二項展開式可得正整數M1、M2,使得〔4-12s+2=4M1+1,故當且僅當p=3s,sN時,命題成立.說明：第〔3題若學生從以下角度解題,可分別得部分分〔即分步得分若p為偶數,則am+1+am+2+……+am+p為偶數,但3k為奇數故此等式不成立,所以,p一定為奇數。當p=1時,則am+1=bk,即4m+5=3k,而3k=<4-1>k=當ｋ為偶數時,存在ｍ,使４ｍ＋５＝3k成立1分當p=3時,則am+1+am+2+am+3=bk,即3am+2-bk,也即3〔4m+9=3k,所以4m+9=3k-1,4<m+1>+5=3k-1由已證可知,當k-1為偶數即k為奇數時,存在m,4m+9=3k成立2分當p=5時,則am+1+am+2+……+am+5=bk,即5am+3=bk也即5〔4m+13=3k,而3k不是5的倍數,所以,當p=5時,所要求的m不存在故不是所有奇數都成立.2分三、解答題10.〔2008全國I設函數．數列滿足,．〔Ⅰ證明：函數在區間是增函數；〔Ⅱ證明：；〔Ⅲ設,整數．證明：．〔Ⅰ證明：,故函數在區間<0,1>上是增函數；〔Ⅱ證明：〔用數學歸納法〔i當n=1時,,,由函數在區間是增函數,且函數在處連續,則在區間是增函數,,即成立；〔ⅱ假設當時,成立,即那么當時,由在區間是增函數,得.而,則,