數(shù)學(xué)本質(zhì)缺失歸因與策略探討

晉江市教師進修學(xué)校蔡福山石獅市教師進修學(xué)校黃玉香一.提出話題的背景

“注重實質(zhì)，淡化形式”“把根留住——追溯數(shù)學(xué)本源”重形式輕內(nèi)容、重氣氛輕本質(zhì)實踐層面鏡頭回放：案例1：一位教師上四年級下冊《圖形分類》一課，教師介紹了三角形具有穩(wěn)定性的特點后，要求學(xué)生找生活中哪些事物應(yīng)用了三角形的穩(wěn)定性。生1：我發(fā)現(xiàn)人字屋架具有穩(wěn)定性。生2：我發(fā)現(xiàn)了自行車的三角形車架具有穩(wěn)定性。生3：老師，紅領(lǐng)巾也是三角形，但它不具有穩(wěn)定性，可以任意地揉捏，容易變形。這一回答大大出乎教師意料！教師略一思考，“是啊，紅領(lǐng)巾是布做的，我們不能用紅領(lǐng)巾理解三角形的穩(wěn)定性，而要看人字架屋頂、自行車三角架這些物體，多牢固啊！”“拉得動、拉不動”“揉捏會不會變形”能作為判斷圖形是否具有穩(wěn)定性的標準嗎？

“只要三角形的邊長確定，則這個三角形的形狀和大小也就確定了。”——三角形穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)本質(zhì)活動1：圍一圍師：剛才同學(xué)們用三根牙簽圍成了一個三角形。想一想，用這三根牙簽還能圍成其他形狀的三角形嗎？生（齊）：能。教師請幾位學(xué)生到投影儀上演示，若干次嘗試后，大家發(fā)現(xiàn)，不管怎樣移動牙簽，三角形除姿勢變化外，其形狀、大小都不會改變。于是教師順勢引導(dǎo)學(xué)生歸納：“只要三角形三條邊的長度確定，這個三角形的形狀和大小也就確定了，這體現(xiàn)了三角形的穩(wěn)定性。”活動2：拉一拉。活動3：找一找。（略）“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)”數(shù)學(xué)活動有兩個要素:活動內(nèi)容和活動組織“內(nèi)容決定形式”“本質(zhì)決定形式”晉江市第二實驗小學(xué)許貽亮《百分數(shù)的認識》《福建教育》09、7《關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，組織有效教學(xué)活動》《福建教育》09、9《把握起點關(guān)注需求》許貽亮

《2009年福建省高考數(shù)學(xué)學(xué)科考試說明(文科)》在命題指導(dǎo)思想中提出：命題應(yīng)體現(xiàn)《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（實驗）》的理念，體現(xiàn)對知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價值觀等目標的要求，堅持能力立意，注重考查數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能和基本思想，著重考查考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解水平，以及進入高等學(xué)校繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能。福建高考命題組點評2009年高考數(shù)學(xué)試題：著眼選拔注重能力適度創(chuàng)新關(guān)注過程合理開放倡導(dǎo)探究注重本質(zhì)強調(diào)應(yīng)用（突出對相關(guān)數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)含義的考查）教什么比怎么教更重要！理論層面“這兩日正看一些攝影的書，發(fā)現(xiàn)有一本極為獨特，它不像別的書，一開始就介紹具體而煩瑣的成像知識，而是先給你講授攝影追求的是什么，一幅好照片有什么基本特征。寥寥數(shù)語，就將攝影的精華思想躍然紙上。當然操作技術(shù)也是重要的，可是沒有這些靈魂的東西，你怎么去把握技術(shù)，去處理變化無窮的情境呢？不了解其終極意義，又怎么知道要追求什么？‘大音希聲，大象無形’。真正的效率來自思想的動力。來自意義的感悟。教學(xué)也是這樣。”數(shù)學(xué)教學(xué)學(xué)的問題題“并不不在于教教學(xué)的最最好的方方式是什什么，而而在于數(shù)數(shù)學(xué)是什什么。………如果果不正視視數(shù)學(xué)的的本質(zhì)問問題，便便解決不不了關(guān)于于教學(xué)上上的爭議議”。P．歐內(nèi)內(nèi)斯特(P．Ernest)同一個教教學(xué)內(nèi)容容，可以以有多種種教學(xué)設(shè)設(shè)計。無無容置疑疑，每一一種新設(shè)設(shè)計都在在探求教教學(xué)的更更好方式式。但數(shù)數(shù)學(xué)教學(xué)學(xué)的首要要問題，，不在于于教學(xué)的的更好方方式是什什么，而而在于所所教內(nèi)容容的數(shù)學(xué)學(xué)本質(zhì)是是什么。。教學(xué)為為什么這這樣安排排，而不不那么安安排，首首先是由由所教內(nèi)內(nèi)容的數(shù)數(shù)學(xué)本質(zhì)質(zhì)決定的的，雖然然它不是是惟一的的決定因因素。蔡蔡圣圣宏理論層面面數(shù)學(xué)課標標修訂稿稿“教學(xué)學(xué)建議””中提出出：●●教教師應(yīng)應(yīng)當準確確把握教教學(xué)內(nèi)容容的數(shù)學(xué)學(xué)本質(zhì)和和學(xué)生的的實際情情況，確確定合理理的教學(xué)學(xué)目標，，設(shè)計一一個好的的教學(xué)方方案。數(shù)學(xué)課標標修訂稿稿“教學(xué)學(xué)建議””中提出出：●為了幫幫助學(xué)生生真正理理解數(shù)學(xué)學(xué)知識，，教師應(yīng)應(yīng)注重數(shù)數(shù)學(xué)知識識與學(xué)生生生活經(jīng)經(jīng)驗的聯(lián)聯(lián)系、與與學(xué)生學(xué)學(xué)科知識識的聯(lián)系系。教師師還應(yīng)提提示知識識的數(shù)學(xué)學(xué)本質(zhì)及及其體現(xiàn)現(xiàn)的數(shù)學(xué)學(xué)思想，，幫助學(xué)學(xué)生理清清相關(guān)知知識之間間的區(qū)別別和聯(lián)系系。數(shù)學(xué)課標標修訂稿稿“教學(xué)學(xué)建議””中提出出：●教學(xué)學(xué)中應(yīng)當當努力創(chuàng)創(chuàng)設(shè)源于于學(xué)生生生活的現(xiàn)現(xiàn)實情境境。好的的“現(xiàn)實實情境””，應(yīng)當當是學(xué)生生熟悉的的、簡明明的、有有利于引引向數(shù)學(xué)學(xué)本質(zhì)的的、真實實或合理理的。“評價建建議”中中提出：：●對基基礎(chǔ)知識識和基本本技能的的考查，，要注重重考查學(xué)學(xué)生對其其所蘊涵涵的數(shù)學(xué)學(xué)本質(zhì)的的理解，，考察學(xué)學(xué)生能否否在具體體情境中中合理應(yīng)應(yīng)用。“教材編編寫建議議”中提提出：●素材的的選用應(yīng)應(yīng)當充分分考慮學(xué)學(xué)生的認認知水平平和活動動經(jīng)驗。。這些素素材應(yīng)當當在反映映數(shù)學(xué)本本質(zhì)的前前提下盡盡可能地地貼近學(xué)學(xué)生的現(xiàn)現(xiàn)實，以以利于他他們經(jīng)歷歷從現(xiàn)實實情境中中抽象出出數(shù)學(xué)知知識與方方法的過過程。二.概念解讀讀本質(zhì):就是是指事物本身身所固有的、、決定事物性性質(zhì)、面貌和和發(fā)展的根本本屬性。數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)現(xiàn)實世界的空空間形式和數(shù)數(shù)量關(guān)系的科科學(xué)（恩格斯斯語，《辭海海》）。數(shù)學(xué)是一門自自然科學(xué)、經(jīng)經(jīng)驗科學(xué)。數(shù)學(xué)是一門演演繹科學(xué)。組成數(shù)學(xué)整體體的另一個非非常重要的方方面是數(shù)學(xué)研研究的過程，，是數(shù)學(xué)真理理的抽象概括括過程。數(shù)學(xué)是在內(nèi)容容和形式的互互相影響之中中的一種發(fā)現(xiàn)現(xiàn)和組織的活活動（弗賴登登塔爾）。數(shù)學(xué)是人類的的一種文化,它的內(nèi)容、、思想、方法法和語言是現(xiàn)現(xiàn)代文明的重重要組成部分分。數(shù)學(xué)是一種對對待事物的基基本態(tài)度和方方法，一種精精神和觀念，，即數(shù)學(xué)精神神、數(shù)學(xué)觀念念和態(tài)度。《數(shù)學(xué)課程標標準(實驗稿稿)》在前言部分指指出:數(shù)學(xué)是人們對客觀世世界定性把握握和定量刻畫畫、逐漸抽象象概括、形成成方法和理論論，并進行廣廣泛應(yīng)用的過程。在基本理念部部分指出：數(shù)學(xué)是人類的一種文化,它的內(nèi)容、、思想、方法法和語言是現(xiàn)現(xiàn)代文明的重重要組成部分分。《數(shù)學(xué)課程標標準(修訂稿稿)》在設(shè)計理念部部分指出：““數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系系和空間形式式的科學(xué)。”數(shù)學(xué)作為對客客觀現(xiàn)象抽象象概括而逐漸漸形成的科學(xué)學(xué)語言與工具具…數(shù)學(xué)是人類文文化的重要組組成部分…數(shù)學(xué)本質(zhì)既體體現(xiàn)在數(shù)學(xué)研研究結(jié)果上，，又體現(xiàn)在研研究過程中；；不僅體現(xiàn)在在數(shù)學(xué)知識上上，還體現(xiàn)在在數(shù)學(xué)思想、、數(shù)學(xué)文化、、數(shù)學(xué)精神里里。它的特點點集中體現(xiàn)在在數(shù)學(xué)的抽象象、嚴密、簡簡潔，其中最最本質(zhì)的特點點是抽象性。。在宏觀上，可可以說數(shù)學(xué)本本質(zhì)就是數(shù)學(xué)學(xué)觀問題。在微觀上，數(shù)數(shù)學(xué)本質(zhì)就是是具體數(shù)學(xué)內(nèi)內(nèi)容的本質(zhì)意意義。●隱藏在客觀觀事物背后的的數(shù)學(xué)知識●統(tǒng)攝具體數(shù)數(shù)學(xué)知識與技技能的數(shù)學(xué)思思想方法●隱藏在數(shù)學(xué)學(xué)知識背后的的本質(zhì)屬性《長方體和立立方體的表面面積》創(chuàng)設(shè)情境，激激趣引入：猜猜一猜，做一一個長方體紙紙盒和一個立立方體紙盒，，哪個用紙板板多？（店員員阿姨做一個個生日禮物包包裝盒需要多多少包裝紙？？）平行：用運動的觀觀點觀察直線線的位置關(guān)系系，平行是直直線平移運動動的狀態(tài)。因因此平行的數(shù)數(shù)學(xué)本質(zhì)應(yīng)該該是直線的平平移運動，而而畫平行線的的關(guān)鍵是使畫畫直線的工具具發(fā)生平移。。百分數(shù)：表示示兩個數(shù)比的的關(guān)系，比的的結(jié)果用百分分數(shù)表示。整數(shù)、小數(shù)、、分數(shù)加減運運算法則：相相同計數(shù)單位位相加減。。測量：被測對對象含有幾個個測量單位。。解決問題：四四則運算意義義的運用。交換律：運算算形式變化但但運算結(jié)果保保持不變，即即“數(shù)量不變變”。方程：為了尋尋求未知數(shù)，，在已知數(shù)和和未知數(shù)之間間建立起來的的一種等量關(guān)關(guān)系。正比例、反比比例：函數(shù)思思想確定位置：坐坐標思想圓面積公式推推導(dǎo)：“化化曲為直”、、極限思想平移、旋轉(zhuǎn)：：剛體變換平均數(shù)、眾數(shù)數(shù)、中位數(shù)：：反映一組數(shù)數(shù)據(jù)的集中趨趨勢的統(tǒng)計量量四.“數(shù)學(xué)本本質(zhì)”缺失歸歸因分析思考一：書本本“存在的””就一定是““合理的”嗎嗎？案例2：x＝＝1，是不是是方程？“為了求未知知數(shù)，在己知知數(shù)和未知數(shù)數(shù)之間建立一一種等式關(guān)系系。”——方程的本本質(zhì)四.“數(shù)學(xué)本本質(zhì)”缺失歸歸因分析思考一：書本本“存在的””就一定是““合理的”嗎嗎？案例3：到底底應(yīng)該怎么分分？二年級（上冊冊）P35：：答案：下面幾幾種排法都是是正確的。（1）每排4人，排6排排（或每排6人，排4排排）；（2）每排12人，排2排（或每排排2人，排12排）；（3）每排24人，排1排（或每排排1人，排24排）。二年級（上冊冊）P95第第2題：答案：24名名同學(xué)進行分分組有多種方方法：每組2人，分12組；每組3人，分8組組；每組4人人，分6組………但如何確確定分組方法法合適，則與與跑道的條數(shù)數(shù)有關(guān)。二年級（上冊冊）P85第第5題：有幾個盤子2369每個盤子里放幾只杯子9632答案：五年級上冊P9第5題：：把48個球球裝在盒子里里，每個盒子子裝得同樣多多，有幾種裝裝法？每種裝裝法各需要幾幾個盒子？每個盒子裝球個數(shù)241612864321需要盒子數(shù)2346812162448答案：48＝1××48＝2××24＝3××16＝4××12＝6××8，48有有1，2，3，4，6，，8，12，，16，24，48這10個因數(shù)，，最多有10種裝法，但由條件可知知至少用2個個盒子，所以共有9種裝法見下下表。四.“數(shù)學(xué)本本質(zhì)”缺失歸歸因分析思考一：書本本“存在的””就一定是““合理的”嗎嗎？歸因：教材編編寫的局限性性所導(dǎo)致。四.“數(shù)學(xué)本本質(zhì)”缺失歸歸因分析思考二：“站站在兒童角度度看問題”就就一定是對的的嗎？案例4：一定定要直觀地平平均分才能產(chǎn)產(chǎn)生分數(shù)嗎？？四.“數(shù)學(xué)本本質(zhì)”缺失歸歸因分析思考二：“站站在兒童角度度看問題”就就一定是對的的嗎？案例4：一定定要直觀地平平均分才能產(chǎn)產(chǎn)生分數(shù)嗎？？歸因：教師教教學(xué)思維的““童化”所導(dǎo)導(dǎo)致。四.“數(shù)學(xué)本本質(zhì)”缺失歸歸因分析思考三：我們們自身的專業(yè)業(yè)知識夠用嗎嗎？案例5：圓面面積計算公式式為什么不用用“≈”？歸因：教師本本體性知識的的欠缺所導(dǎo)致致。什么叫教師本本體性知識？？教師從事自己己的專業(yè)工作作所必須具備備的學(xué)科知識識。案例6：能用用拋硬幣實驗驗得出正面或或反面朝上的的概率相等嗎嗎？為了讓學(xué)生明明白硬幣正面面或反面朝上上的可能性相相等，老師先先安排同桌合合作拋硬幣10次，記下下正、反面朝朝上的次數(shù)，，再小組匯總總、全班匯總總，然后介紹紹數(shù)學(xué)家們的的實驗數(shù)據(jù)，，如下頁表格格，最后告訴訴學(xué)生，隨著著實驗次數(shù)越越來越多，正正面朝上與反反面朝上的次次數(shù)會越來越越接近，所以以說正面或反反面朝上的可可能性相等。。試驗者拋幣次數(shù)正面朝上次數(shù)反面朝上次數(shù)相差數(shù)德·摩根4092204820444蒲豐40402048199256費勒100004979502142皮爾遜24000120121198824羅曼諾夫斯基8064039699409411242合計12277260786619861200案例7：五年級（上冊）P38第2題，寫出分母是7的真分數(shù)。教師問：是不是真分數(shù)？07案例8：5÷x＝8是看作5÷×x＝8，還是看作5÷（x）＝8？141414案例9：用面積公式算算出的是面積積大小，怎么么會是鋼管的的根數(shù)呢？認為答案是的的，是將將甲數(shù)假設(shè)成成1，乙數(shù)假假設(shè)成，，÷÷1＝＝＝。。案例10：在一教學(xué)論壇壇中看到這樣樣一道數(shù)學(xué)題題：乙數(shù)是甲甲數(shù)的，，甲乙兩數(shù)數(shù)和的倒數(shù)除除以甲數(shù)，商商是（）。。結(jié)果出現(xiàn)了兩兩種答案，和和。。認為答案是的的，是把把乙數(shù)假設(shè)成成1，甲數(shù)假假設(shè)成2，÷÷2＝；；認為答案是的的，是將將甲數(shù)假設(shè)成成1，乙數(shù)假假設(shè)成，，÷÷1＝＝＝。。12162312+31616231211.5認為答案是的的，是將將甲數(shù)假設(shè)成成1，乙數(shù)假假設(shè)成，，÷÷1＝＝＝。。232311+1/2用“代數(shù)”的的方法：假設(shè)設(shè)乙數(shù)為x、甲數(shù)為2x，則有假設(shè)甲數(shù)為x、乙數(shù)為x，，則有÷2x＝x÷2x＝。。12X+X1316X223X212四.“數(shù)學(xué)本本質(zhì)”缺失歸歸因分析思考四：“生生活化”教學(xué)學(xué)即忠實生活活原貌嗎？折成的總份數(shù)數(shù)---數(shù)學(xué)學(xué)模型：2n對折次數(shù)12345……其中1份占整張紙幾分之幾……案例11：大大數(shù)次折紙的的可操作性值值得質(zhì)疑嗎？？拿一張長方形形紙對折，然然后攤開來看看看，這樣連連續(xù)折幾次，，寫出每次折折成的一小塊塊占整張的幾幾分之幾：“一尺之捶，，日取其半，，萬世不竭。。”——莊子《天天下篇》數(shù)學(xué)模型：2n(n取負整數(shù)數(shù))四.“數(shù)學(xué)本本質(zhì)”缺失歸歸因分析思考四：“生生活化”教學(xué)學(xué)即忠實生活活原貌嗎？歸因：生活經(jīng)經(jīng)驗的干擾所所導(dǎo)致。四.“數(shù)學(xué)本本質(zhì)”缺失歸歸因分析思考五：這樣樣的習(xí)題設(shè)計計合理嗎？（1）最小的的偶數(shù)是（））。（2）0.5×0.2的的積是（））位小數(shù)。.（3）判斷：0.9＜1。（）（4）判斷：：射線比直線線短，比線段段長。（））四.“數(shù)學(xué)本本質(zhì)”缺失歸歸因分析思考五：這樣樣的習(xí)題設(shè)計計合理嗎？（5）判斷：：自然數(shù)的個個數(shù)比偶數(shù)多多。（）（6）判斷：：某籃球運動動員任意投籃籃一次，投中中的可能性是是1/2。（（）（7）任意拋拋40次硬幣幣，可能有（（）次正面面朝上，可能能有（）次次反面朝上。。歸因：不良習(xí)習(xí)題的誤導(dǎo)所所導(dǎo)致。四.“數(shù)學(xué)本本質(zhì)”缺失歸歸因分析思考六：多媒媒體這樣使用用合理嗎？案例12：《鉛筆有多長長》在尺子上找毫毫米“你能在尺子子上找出1毫毫米嗎，找到到后指給你的的同桌看看。。”（同桌指指了之后，請請學(xué)生到課件件中放大的尺尺子上指出1毫米）指著課件中刻刻度0到刻度度1之間的放放大直尺圖：：“這樣的1小格是1毫毫米，2小格格是幾毫米？？3小格呢………”發(fā)現(xiàn)：：這1厘米里里面有10毫毫米。“是不是每1厘米里面都都是10毫米米呢，請同學(xué)學(xué)們在自己的的尺子中任選選1厘米，數(shù)數(shù)一數(shù)是否有有10毫米。。”（學(xué)生數(shù)數(shù)格子驗證））引導(dǎo)學(xué)生得得出：1厘米米=10毫米米四.“數(shù)學(xué)本本質(zhì)”缺失歸歸因分析思考六：多媒媒體這樣使用用合理嗎？歸因：多媒體體的使用不當當所導(dǎo)致。小結(jié)：“數(shù)學(xué)本質(zhì)””缺失歸因分分析——（一）教材編編寫的局限性性所導(dǎo)致；（二）教師教教學(xué)思維的““童化”所導(dǎo)導(dǎo)致；（三）教師本本體性知識的的欠缺所導(dǎo)致致；（四）生活經(jīng)經(jīng)驗的干擾所所導(dǎo)致；（五）不良習(xí)習(xí)題的誤導(dǎo)所所導(dǎo)致。（六）多媒體體的使用不當當所導(dǎo)致。幾點建議：正確歸因，理理性對待；課標要求，準準確把握；充實知識，提提升素養(yǎng)；深入思考，豐豐富策略。把握本質(zhì)，淡淡化形式。如何提升自身身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)養(yǎng)？“八個一”———●一本《辭海海》●一臺電腦（（利用網(wǎng)絡(luò)資資源：百度搜搜索、論壇））●一本專業(yè)雜雜志（全年訂訂閱）●一套中學(xué)數(shù)數(shù)學(xué)教材（補補充本體性知知識）●一套小學(xué)數(shù)數(shù)學(xué)教材（精精讀熟讀，了了解知識前后后聯(lián)系）●一組優(yōu)秀中中、小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)教師通訊錄錄●一本讀書筆筆記（摘錄對對自己有啟發(fā)發(fā)的觀點）●一本問題記記錄薄（問題題來自：學(xué)生生、同伴、自自己的課堂）四.凸顯“數(shù)數(shù)學(xué)本質(zhì)”教教學(xué)實施策略略“四關(guān)注”:關(guān)注核心知識識關(guān)注思想方法法關(guān)注理性精神神關(guān)注數(shù)學(xué)化過過程結(jié)構(gòu)性：有結(jié)結(jié)構(gòu)便有網(wǎng)絡(luò)絡(luò)、便有體系系，有體系便便有核心知識識（二）關(guān)注核心知識識“越是簡單的的往往越是本本質(zhì)的”今年高考數(shù)學(xué)學(xué)命題把重點點放在高中數(shù)數(shù)學(xué)課程最基基礎(chǔ)、最核心心的內(nèi)容上，，試卷緊緊地地圍繞“雙基基”，對中學(xué)學(xué)數(shù)學(xué)的核心心內(nèi)容和基本本能力進行重重點考查，特特別是對高中中數(shù)學(xué)的主干干知識進行較較為全面的考考查，主干知知識的占分比比例在文科卷卷中約為88%，在理科科卷中約為79%。（福福建省數(shù)學(xué)學(xué)學(xué)科高考命題題組）整體把握把握本質(zhì)屬性性把握知識的本本質(zhì)屬性：（二）關(guān)注核心知識識要了解為什么么要學(xué)習(xí)這一一個知識（必必要性）。這個知識的現(xiàn)現(xiàn)實原型是什什么。這個知識特有有的數(shù)學(xué)內(nèi)涵涵是什么。以這個知識為為核心能否構(gòu)構(gòu)建一個“概概念網(wǎng)絡(luò)圖””。（二）關(guān)注核心知識識案例12：《《鉛筆有多長長》首先要讓學(xué)生生感受引入長長度單位分米米、毫米的必必要性，是度度量精確性的的需要。野豬菲菲的腳腳印比7厘米米多一些，又又不夠8厘米米，多出來的的這部分長度度怎么表示呢呢？感受1分米和和1毫米有多多長。總結(jié)米、分米米、厘米、毫毫米之間的關(guān)關(guān)系，并從大大到小排序知知識為核心能能否構(gòu)建一個個“概念網(wǎng)絡(luò)絡(luò)圖”。“思想有多遠遠，我們就能能走多遠。””“世界上有兩兩種力量，一一種是劍，一一種是思想，，而思想最終終總是戰(zhàn)勝劍劍。”（拿拿破侖）（二）關(guān)注思想方法法抓“數(shù)學(xué)本質(zhì)質(zhì)”教學(xué)，離離不開對數(shù)學(xué)學(xué)思想方法的的挖掘與滲透透，讓學(xué)生從從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過過程中獲得樸樸素而又廣泛泛的、深厚而而又靈動的、、能廣泛遷移移的、具有生生長性的思想想，幫助學(xué)生生通過數(shù)學(xué)學(xué)學(xué)會思維。（二）關(guān)注思想方法法變量（函數(shù)））思想設(shè)有兩個變量量x和y，當當x取其變化化范圍中的每每一個特定的的值時，相應(yīng)應(yīng)的有唯一的的y與它對應(yīng)應(yīng)，則稱y是是x的函數(shù)。。有了這些變量量思想的滲透透，上初中后后，學(xué)生接觸觸到一次函數(shù)數(shù)、二次函數(shù)數(shù)學(xué)習(xí)時，就就會有一種似似曾相識的感感覺，可以減減輕許多由陌陌生感而帶來來的認知上的的負荷。（二）關(guān)注思想方法法數(shù)形結(jié)合思想想就是把抽象的的數(shù)學(xué)語言、、數(shù)量關(guān)系與與直觀的幾何何圖形、位置置關(guān)系結(jié)合起起來，通過通通過抽象思維維與形象思維維的結(jié)合，使使復(fù)雜問題簡簡單化、抽象象問題具體化化，從而起到到優(yōu)化解題途途徑的目的。。數(shù)形結(jié)合思想想在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)教學(xué)中運用用很廣，比如如：數(shù)的認識：：直觀的計計算器、計計數(shù)單位模模型——抽抽象的數(shù)字字數(shù)的運算：：計數(shù)器———算理常見的量：：如面積、、體積單位位模型———進率探索規(guī)律：：借助直觀觀圖（點陣陣、三角形形小棒圖、、擺方塊……）——理理解規(guī)律解決問題：：線段圖數(shù)學(xué)思想方方法表格(鏈接).doc方程思想在處理某些些問題時，，往往根據(jù)據(jù)已知與未未知之間的的內(nèi)在聯(lián)系系和相等關(guān)關(guān)系先建立立方程（或或方程組）），再通過過解方程（（或方程組組）求得未未知量的值值，這種通通過方程（（組）來溝溝通已知與與未知，從從而使問題題獲得解決決的思想方方法稱之為為方程思想想。（三）關(guān)注理性精精神數(shù)學(xué)可以在在人的內(nèi)心心深處培植植理性的種種子，可以以讓你擁有有一顆理性性的大腦，，學(xué)會嚴謹謹、審慎地地看待問題題、理解世世界，而關(guān)關(guān)注“數(shù)學(xué)學(xué)本質(zhì)”教教學(xué)的文化化意義也恰恰在于此：：體驗數(shù)學(xué)學(xué)探索過程程中的執(zhí)著著和堅韌、、體驗論證證過程中的的嚴謹和務(wù)務(wù)實，這些些深沉的文文化力量正正是在揭示示“數(shù)學(xué)本本質(zhì)”的過過程中慢慢慢得以彰顯顯出來的。。課堂實錄———《交換換律》一個例子，，究竟能說說明什么？？師：觀察板板書“3+4=4+3”，你你有什么發(fā)發(fā)現(xiàn)？生：我發(fā)現(xiàn)現(xiàn)，交換兩兩個加數(shù)的的位置和不不變。師：其他同同學(xué)呢？有有沒有補充充意見？生：我覺得得單就一個個式子就得得出“交換換兩個加數(shù)數(shù)的位置和和不變”好好像不太好好。萬一其其他兩個數(shù)數(shù)相加，交交換它們的的位置和不不等呢？師：的確，，僅憑一個個特例就得得出“交換換兩個加數(shù)數(shù)的位置和和不變”這這樣的結(jié)論論，似乎草草率了點。。但我們不不妨把這一一結(jié)論當作作一個猜想想（教師隨隨即將結(jié)論論中的“。。”改為““？”）。。既然是猜猜想，那么么我們還得得——生：驗證。。驗證猜想，，需要怎樣樣的例子？？師：怎么驗驗證呢？生：我覺得得應(yīng)該舉無無數(shù)個例子子才行。不不然，永遠遠沒有說服服力。萬一一你沒有舉舉到的例子子中，正好好有一個加加法算式，，交換它們們的位置和和變了呢？？生：我反對對！舉無數(shù)數(shù)個例子是是不可能的的，永遠也也舉不完！！如果每次次驗證都需需要這樣的的話，那我我們永遠都都別想得到到結(jié)論。師：綜合兩兩人的觀點點，我覺得得是不是可可以這樣，，我們每人人都來舉三三四個例子子，全班合合起來那就就多了。同同時大家也也留心一下下，看能不不能找到““交換加數(shù)數(shù)位置和發(fā)發(fā)生變化””的情況，，如果有及及時告訴大大家。生寫完匯報報——生：我也舉舉了三個例例子，5+4=4+5，30+15=15+30，200+300=300+200。我發(fā)發(fā)現(xiàn)，不管管是一位數(shù)數(shù)、兩位數(shù)數(shù)，還是三三位數(shù)，交交換兩個加加數(shù)的位置置和都不變變。生：我舉的的是0+8=8+0，6+21=21+6，1/9+4/9=4/9+1/9，我我發(fā)現(xiàn)，不不但交換兩兩個整數(shù)加加數(shù)的位置置和不變，，交換兩個個分數(shù)加數(shù)數(shù)的位置和和也不變。。生：……師：現(xiàn)在，，有了這么么多例子，，能得出““交換兩個個加數(shù)的位位置和不變變”這個結(jié)結(jié)論了嗎？？有沒有誰誰舉例時發(fā)發(fā)現(xiàn)了反面面的例子，，也就是交交換兩個加加數(shù)和變了了的？（學(xué)學(xué)生搖頭））這樣看來來，我們能能驗證剛才才的猜想嗎嗎？生：能。（（教師重新新將“？””改成“。。”并補充充成為：““在加法中中，交換兩兩個加數(shù)的的位置和不不變。”））師：回顧剛剛才的學(xué)習(xí)習(xí)，除了得得到這一結(jié)結(jié)論外，你你還有什么么其他收獲獲？生：我發(fā)現(xiàn)現(xiàn)，只舉一一兩個例子子，是沒法法驗證某個個猜想的，，應(yīng)該多舉舉一些例子子才行。生：舉的例例子盡可能能不要雷同同，最好把把各種情況況都舉到。。師：在這一一規(guī)律中，，變化的是是兩個加數(shù)數(shù)的—（板板書：變））生：位置。。師：但不變變的是—生：它們的的和。（板板書：不變變）師：原來，，“變”和和“不變””有時也能能這樣巧妙妙地結(jié)合在在一起。結(jié)論，是終終點還是新新的起點？？師：從個別別特例中形形成猜想，，并舉例驗驗證，是一一種獲取結(jié)結(jié)論的方法法。但有時時，從已有有的結(jié)論通通過適當變變換、聯(lián)想想，同樣可可以形成新新的猜想，，進而形成成新的結(jié)論論。比如（（教師指讀讀剛才的結(jié)結(jié)論，加法法的“加””字予以重重音），““在加法中中，交換兩兩個加數(shù)的的位置和不不變。”那那么，在——生：減法中中，交換兩兩個數(shù)的位位置，差會會不會也不不變？（學(xué)生中馬馬上有人作作出反應(yīng)：：差肯定會會變！）生：同樣乘乘法中，交交換兩個乘乘數(shù)的位置置積會不會會變？生：除法中中呢？交換換兩個數(shù)的的位置商會會不會變呢呢？（教師板書書上述三個個猜想。））師：通過聯(lián)聯(lián)想，同學(xué)學(xué)們由“加加法”拓展展到了減法法、乘法和和除法，這這是一種很很有價值的的思考。大大家選擇猜猜想，再舉舉例驗證。。全班交流生：我只舉舉了一個例例子，8-6=2，，但6-8卻不夠減減，所以我我認為，減減法中交換換兩個數(shù)的的位置差會會變的，也也就是減法法中沒有交交換律。生：我發(fā)現(xiàn)現(xiàn)，要想說說明某個猜猜想是對的的，必須舉舉好多例子子來證明，，但要想說說明某個猜猜想是錯的的，只要舉舉出一個不不符合的例例子就可以以了。師：多深刻刻的認識啊啊！事實上上，你們剛剛才所提到到的符合猜猜想的例子子，數(shù)學(xué)上上我們就稱稱作“正例例”，不符符合猜想的的例子，數(shù)數(shù)學(xué)上我們們就稱為““反例”。。（猜想乘法法、除法的的過程略））怎樣的收獲獲更有價值值？師：通過今今天的學(xué)習(xí)習(xí)，你有哪哪些收獲？？生：加法和和乘法中有有交換律，，減法和除除法卻沒有有。生：我發(fā)現(xiàn)現(xiàn)，有了猜猜想，還需需要舉許多多例子來驗驗證，這樣樣得出的結(jié)結(jié)論才準確確。生：我還發(fā)發(fā)現(xiàn)，只要要能舉出一一個反例，，那我們就就能肯定猜猜想是錯誤誤的。生：舉例驗驗證時，例例子應(yīng)盡可可能多，而而且，應(yīng)盡盡可能舉一一些特殊的的例子，這這樣，得出出的結(jié)論才才更可靠。。必要的拓展展：讓結(jié)論論增值！師：在本課課即將結(jié)束束時，依然然有一些問問題要留給給大家進一一步展開思思考。（教教師出示如如下算式：：20-8-6○20-6-8；60÷2÷3○60÷÷3÷2））師：交換兩兩個減數(shù)或或除數(shù)，結(jié)結(jié)果又會怎怎樣？由此此，你是否否又可以形形成新的猜猜想？利用用本課所掌掌握的方法法，你能通通過進一步步的舉例驗驗證猜想并并得出結(jié)論論嗎？思考：“交交換律”只只是一個簡簡單的知識識點，為什什么張齊華華老師能把把它上成為為一節(jié)超越越知識之上上的體現(xiàn)思思想的啟迪迪、精神的的熏陶的具具有多元文文化價值的的數(shù)學(xué)課呢呢？“超越知識識之上”———作為某某一特定運運算的交換換律知識被被弱化了；；“思想的啟啟迪”———滲透“變變與不變””的辨證關(guān)關(guān)系，突顯顯由“此知知”及“彼彼知”的數(shù)數(shù)學(xué)聯(lián)想；；“精神的熏熏陶”———超越知識識學(xué)習(xí)的技技巧性與功功利性追求求，擁有數(shù)數(shù)學(xué)課堂本本該擁有的的思辨的文文化氣質(zhì)和和從容姿態(tài)態(tài)。（四）關(guān)注注數(shù)學(xué)化過過程“用數(shù)學(xué)方方法把實際際材料組織織起來叫做做數(shù)學(xué)化。。”（弗賴賴登塔爾））數(shù)學(xué)化由由低到高有有兩個層次次：一是橫橫向數(shù)學(xué)化化，即把生生活世界引引向符號世世界；二是是縱向數(shù)學(xué)學(xué)化，即在在符號世界界里，符號號生成、重重塑和被使使用。“將實際問問題抽象成成數(shù)學(xué)模型型”即數(shù)學(xué)學(xué)建模的過過程，我認認為這就既既是數(shù)學(xué)化化的過程，，也是數(shù)學(xué)學(xué)化的結(jié)果果。數(shù)學(xué)抽象的的本質(zhì)屬性性決定了數(shù)數(shù)學(xué)化是揭揭示“數(shù)學(xué)學(xué)本質(zhì)”的的必由之路路。（四）關(guān)注注數(shù)學(xué)化過過程首先，要處處理好“活活動化”與與“數(shù)學(xué)化化”的關(guān)系系。其次，要處處理好“生生活化”與與“數(shù)學(xué)化化”的關(guān)系系。（四）關(guān)注注數(shù)學(xué)化過過程首先，要處處理好“活活動化”與與“數(shù)學(xué)化化”的關(guān)系系。數(shù)學(xué)活動是是數(shù)學(xué)化的的載體，數(shù)數(shù)學(xué)化是數(shù)數(shù)學(xué)活動的的本質(zhì)特征征。（四）關(guān)注注數(shù)學(xué)化過過程案例15：：丁杭纓老老師《三三角形邊的的關(guān)系》課始，丁老老師組織了了一個圍一一圍的數(shù)學(xué)學(xué)活動：把把一根吸管管任意“剪剪”成三段段，用線把把它們首尾尾串起來，，再搜集三三種不同的的情況粘貼貼于黑板上上：①兩邊邊和大于第第三邊；②②兩邊和等等于第三邊邊；③兩邊邊和小于第第三邊，再再引導(dǎo)學(xué)生生思考“為為什么有的的不能圍成成三角形””，在思考考討論中學(xué)學(xué)生完成了了初步的建建構(gòu)：“三三角形兩條條邊之和大大于第三邊邊”。此時時建構(gòu)起來來的數(shù)學(xué)知知識還有一一定的局限限性，因此此丁老師又又通過數(shù)學(xué)學(xué)活動解構(gòu)構(gòu)概念，提提出了“只只要兩邊的的和大于第第三邊就一一定能圍成成三角形嗎嗎？”引導(dǎo)導(dǎo)學(xué)生從數(shù)數(shù)學(xué)邏輯推推理角度對對這個結(jié)論論加以驗證證和修正。。（四）關(guān)注注數(shù)學(xué)化過過程其次，要處處理好“生生活化”與與“數(shù)學(xué)化化”的關(guān)系系。數(shù)學(xué)化有兩兩個層次：：一是橫向向的數(shù)學(xué)化化，即把生生活世界引引向符號世世界。二是是縱向的數(shù)數(shù)學(xué)化，即即在符號世世界里，符符號生成、、重塑和被被使用。。兩個層次的