第二節定積分在幾何學上的應用一、平面圖形的面積1.直角坐標情形面積元素:yo面積(1)由連續曲線y=f(x)(f(x)

0),直線x=a,x=b(a<b)及x軸所圍成的平面圖形的面積第二節定積分在幾何學上的應用一、平面圖形的面積1.直角坐1若f(x)有正有負,則曲邊梯形面積為xyoab若f(x)有正有負,則曲邊梯形面積為xyoab2xyoab面積元素:

(2)由連續曲線y=f(x),y=g(x),直線x=a,x=b(a<b)所圍成的平面圖形的面積:xyoab面積元素:(2)由連續曲線y=f3cxyoab一般地，cxyoab一般地，4dcxyo及y軸圍成的平面圖形的面積為

xyodc一般地，dcxyo及y軸圍成的平面圖形的面積為xyodc一般地，5及y軸圍成的平面圖形的面積為：

dcxyodcxyo一般地，及y軸圍成的平面圖形的面積為：dcxyodcxyo一般地，6解先求兩曲線的交點面積元素選x為積分變量,例1

解先求兩曲線的交點面積元素選x為積分變量,例17例2

圍成的平面圖形的面積.

xoy解

由對稱性,交點例2圍成的平面圖形的面積.xoy解由對稱性,交點8解兩曲線的交點例3

解兩曲線的交點例39此題選y為積分變量比較好,選擇積分變量的原則：

(1)積分容易；(2)盡量少分塊.

此題選y為積分變量比較好,選擇積分變量的原則：(1)積分容10y=x2t1yx1解例4

y=x2t1yx1解例411有時需要把邊界函數參數化.有時需要把邊界函數參數化.12解橢圓的參數方程由對稱性知總面積等于第一象限部分面積的4倍,例5

解橢圓的參數方程由對稱性知總面積等于第一象限部分面積的4倍,13解例6

345頁

解例6345頁14面積元素曲邊扇形的面積2.極坐標情形扇形面積公式

面積元素曲邊扇形的面積2.極坐標情形扇形面積公式15解例7

解例8

解例7解例816解例9

解例917

旋轉體就是由一個平面圖形繞這平面內一條直線旋轉一周而成的立體．這直線叫做旋轉軸．圓柱圓錐圓臺二、體積1.旋轉體的體積旋轉體就是由一個平面圖形繞這平面內一條直線旋轉一周而18abox

y體積元素:旋轉體的體積為aboxy體積元素:旋轉體的體積為19直線OP的方程為解例1

直線OP的方程為解例120例2

xyOab解

例2xyOab解21例3

解

xy利用圓面積例3解xy利用圓面積22x

ycdox

ydcxycdoxydc23例4

解

下面再補充介紹一個方法.例4解下面再補充介紹一個方法.24上例:ox

yab套筒法:上例:oxyab套筒法:25解例5

繞

x

軸旋轉的旋轉體體積解例5繞x軸旋轉的旋轉體體積26繞

y

軸旋轉的旋轉體體積:可看作平面圖OABC與OBC分別繞

y

軸旋轉構成旋轉體的體積之差.繞y軸旋轉的旋轉體體積:可看作平面圖OABC與OBC分別27繞

y

軸旋轉的旋轉體體積:可看作平面圖OABC與OBC分別繞

y

軸旋轉構成旋轉體的體積之差.或用“套筒法”:繞y軸旋轉的旋轉體體積:可看作平面圖OABC與OBC分別282.平行截面面積為已知的立體的體積xxx+dxA(x)ab2.平行截面面積為已知的立體的體積xxx+dxA(x)ab29解建立坐標系如圖,截面面積所以立體體積例6

垂直于

x

軸的截面為直角三角形,

解建立坐標系如圖,截面面積所以立體體積例6垂直于x軸的30三、平面曲線弧長并依次連接相鄰分點得一內接折線，

則稱此極限為曲線弧AB的弧長.此時稱弧為可求長的.三、平面曲線弧長并依次連接相鄰分點得一內接折線，則稱此極限31定理(弧長公式)

證在第三章“導數的應用”中弧微分一節知,

即得證.

推論1

定理(弧長公式)證在第三章“導數的應用”中弧微分一節知,32推論2

證推論2證33解例1

解例134例2

解

例3

解

例2解例3解35例4

解

的弧長.

例4解的弧長.36練習：P279習題6-21.2.(1)(3)3.5.(1)(2)6.7.8.(1)12.13.14.15.(1)(3)18.20.22.26.28.30.練習：P279習題6-237謝謝！謝謝！38第二節定積分在幾何學上的應用一、平面圖形的面積1.直角坐標情形面積元素:yo面積(1)由連續曲線y=f(x)(f(x)

0),直線x=a,x=b(a<b)及x軸所圍成的平面圖形的面積第二節定積分在幾何學上的應用一、平面圖形的面積1.直角坐39若f(x)有正有負,則曲邊梯形面積為xyoab若f(x)有正有負,則曲邊梯形面積為xyoab40xyoab面積元素:

(2)由連續曲線y=f(x),y=g(x),直線x=a,x=b(a<b)所圍成的平面圖形的面積:xyoab面積元素:(2)由連續曲線y=f41cxyoab一般地，cxyoab一般地，42dcxyo及y軸圍成的平面圖形的面積為

xyodc一般地，dcxyo及y軸圍成的平面圖形的面積為xyodc一般地，43及y軸圍成的平面圖形的面積為：

dcxyodcxyo一般地，及y軸圍成的平面圖形的面積為：dcxyodcxyo一般地，44解先求兩曲線的交點面積元素選x為積分變量,例1

解先求兩曲線的交點面積元素選x為積分變量,例145例2

圍成的平面圖形的面積.

xoy解

由對稱性,交點例2圍成的平面圖形的面積.xoy解由對稱性,交點46解兩曲線的交點例3

解兩曲線的交點例347此題選y為積分變量比較好,選擇積分變量的原則：

(1)積分容易；(2)盡量少分塊.

此題選y為積分變量比較好,選擇積分變量的原則：(1)積分容48y=x2t1yx1解例4

y=x2t1yx1解例449有時需要把邊界函數參數化.有時需要把邊界函數參數化.50解橢圓的參數方程由對稱性知總面積等于第一象限部分面積的4倍,例5

解橢圓的參數方程由對稱性知總面積等于第一象限部分面積的4倍,51解例6

345頁

解例6345頁52面積元素曲邊扇形的面積2.極坐標情形扇形面積公式

面積元素曲邊扇形的面積2.極坐標情形扇形面積公式53解例7

解例8

解例7解例854解例9

解例955

旋轉體就是由一個平面圖形繞這平面內一條直線旋轉一周而成的立體．這直線叫做旋轉軸．圓柱圓錐圓臺二、體積1.旋轉體的體積旋轉體就是由一個平面圖形繞這平面內一條直線旋轉一周而56abox

y體積元素:旋轉體的體積為aboxy體積元素:旋轉體的體積為57直線OP的方程為解例1

直線OP的方程為解例158例2

xyOab解

例2xyOab解59例3

解

xy利用圓面積例3解xy利用圓面積60x

ycdox

ydcxycdoxydc61例4

解

下面再補充介紹一個方法.例4解下面再補充介紹一個方法.62上例:ox

yab套筒法:上例:oxyab套筒法:63解例5

繞

x

軸旋轉的旋轉體體積解例5繞x軸旋轉的旋轉體體積64繞

y

軸旋轉的旋轉體體積:可看作平面圖OABC與OBC分別繞

y

軸旋轉構成旋轉體的體積之差.繞y軸旋轉的旋轉體體積:可看作平面圖OABC與OBC分別65繞

y

軸旋轉的旋轉體體積:可看作平面圖OABC與OBC分別繞

y

軸旋轉構成旋轉體的體積之差.或用“套筒法”:繞y軸旋轉的旋轉體體積:可看作平面圖OABC與OBC分別662.平行截面面積為已知的立體的體積xxx+dxA(x)ab2.平行截面面積為已知的立體的體積xxx+dxA(x)ab67解建立坐標系如圖,截面面積所以立體體積例6

垂直于

x

軸的截面為直角三角形,

解建立坐標系如圖,截面面積所以立體體積例6垂直于x軸的68三、平面曲線弧長并依次連接相鄰分點得一內接折線，

則稱此極限為曲線弧AB的弧長.此時稱弧為可求長的.三、平面曲線弧長并依次連接相鄰分點得一內接折線，則稱此極限69定理(弧長公式)

證在第三章“導數的應用”中弧微分一節知,

即得證.

推論1

定理(弧長公式)證在第三章“導數的應用”中弧微分一節知,70推論2

證推論2證71解例1

解例172例2

解

例3

解

例2解例3解73例4