第四章一次函數1函數一、教學目標1.經歷從具體實例中抽象出函數概念的過程，進一步感悟抽象的數學思想，積累抽象概括的活動經驗.2.初步理解函數的概念，能判斷兩個變量間的關系是不是函數關系，初步形成利用函數的觀點認識現實世界的意識.3.掌握函數的三種表示方法，會根據兩個變量之間的關系式求函數值.4.會確定簡單實際問題中函數關系式，并能確定自變量的取值范圍.二、教學重難點重點：掌握函數的概念以及表示方法.難點：會求函數的值，并確定自變量的取值范圍.三、教學用具電腦、多媒體、課件、教學用具等四、教學過程設計教學環節教師活動學生活動設計意圖環節一創設情境教師活動：請同學們欣賞兩首古詩，感受一下古人是怎么描寫時間的變化的.窗間梅熟落蒂，墻下筍成出林。連雨不知春去，一晴方覺夏深。——范成大紛紛紅紫已成塵，布谷聲中夏令新。——陸游教師活動：一場秋雨一場寒，十場秋雨穿上棉.說明__________隨______的變化而變化.教師活動：會當凌絕頂，一覽眾山小，說明____________隨__________的變化而變化.萬物皆變，大到天體、小到分子都處在不停的運動變化之中，如何從數學的角度來刻畫這些運動變化并尋找規律呢?我們這節課就來研究一下吧.回答問題：天氣溫度隨時間的變化而變化.搶答：人的視野隨著海拔高度的變化而變化.創設有助于學生探索思考的問題情境，激起學生的興趣.本節課先從學生熟悉的古詩和諺語出發，然后引導學思考生活中的變化如何通過數學的角度來尋找規律.環節二探究新知【探究】教師活動：你坐過摩天輪嗎？想一想，如果你坐在摩天輪上，隨著時間的變化，你離開地面的高度是如何變化的？預設答案：由低變高，再由高變低.右圖反映了摩天輪上的一點的高度h(m)與旋轉時間t(min)之間的關系.請根據圖象填表：預設答案：3；14；36；47；36；14...旋轉的時間變化時，摩天輪上一點的高度也___________.旋轉的時間確定時，摩天輪上一點的高度也___________.預設答案：隨著變化；隨著確定.教師活動：對于給定的時間t，相應的高度h隨之確定.【做一做】問題一：罐頭盒等圓柱形的物體常常如下圖那樣堆放.隨著層數的增加，物體的總數是如何變化的？填寫下表：預設答案：1；3；6；10；15追問：其中對于給定的每一個層數n，物體總數y的值確定嗎？教師活動：確定！只要給定層數，就能求出物體總數.問題二：一定質量的氣體在體積不變時，假若溫度降低到-273℃，則氣體的壓強為零.因此，物理學把-273℃作為熱力學溫度的零度.熱力學溫度T(K)與攝氏溫度t(℃)之間有如下數量關系：T=t+273，T≥0.(1)當t分別等于-43℃，-27℃，0℃，18℃時，相應的熱力學溫度T是多少？(2)給定一個大于-273℃的t值，你都能求出相應的T值嗎？預設答案：解(1)：當t為-43℃時，T=-43+273=230(K)；當t為-27℃時，T=-27+273=246(K)；當t為0℃時，T=0+273=273(K)；當t為18℃時，T=18+273=291(K)；(2)：能！代入關系式即可.教師活動：有且只有唯一一個T值.追問：上面的三個問題，有什么共同點？預設答案：共同特點：1.都有兩個變量.2.給定其中某一個變量的值，相應地就確定了另一個變量的值.【歸納總結】一般地，如果在一個變化過程中有兩個變量x和y，并且對于變量x的每一個值，變量y都有唯一的值與它對應，那么我們稱y是x的函數，其中x是自變量.教師活動：注意：函數不是數，它是指某一變化過程中兩個變量之間的關系.【做一做】下面哪個量是自變量？哪個量是自變量的函數？(1)S=60t；(2)y=10-x2；(3)S=πr2.預設答案：(1)t是自變量，S是自變量的函數.(2)x是自變量，y是自變量的函數.(3)r是自變量，S是自變量的函數.下列各式中，x是自變量，請判斷y是不是x的函數？y=4x；(2)y=x2；(3)y=x3；(4)|y|=x.預設答案：(1)是(2)是(3)是(4)不是教師活動：對于x的每一個值，y總有唯一的值與它對應，y才是x的函數.【思考】在摩天輪旋轉中，時間t可以看成是高度h的函數嗎？為什么？教師活動：當高度h確定時，對應的時間t有多個，所以t不是h的函數.【探究】表示函數的方法一般有哪些呢？表示函數的一般方法有：圖象法、列表法和關系式法.教師活動：三種函數表示法可以互相轉化.【做一做】將“問題一”中的列表法轉化為關系式法.預設答案：問題：上述的三個問題中，要使函數有意義，自變量能取哪些值？預設答案：自變量t的取值范圍：t≥0.預設答案：自變量n的取值范圍：n取正整數.預設答案：t≥-273.對于自變量在可取值范圍內的一個確定的值a，函數有唯一確定的對應值，這個對應值稱為當自變量等于a時的函數值.T(K)與t(℃)的函數關系：T=t+273，T≥0.當t=1時，T=1+273=274(K)，那么，274就是當t=1時的函數值.教師活動：即：如果y是x的函數，當x=a時，y=b，那么b叫做當x=a時的函數值.學生思考，回答問題.學生思考，舉手回答問題.認真思考并舉手回答認真思考并舉手回答學生小組討論，思考完成問題.認真思考并舉手回答.在教師的引導下，說出三者的共同點.認真思考并舉手回答.認真思考并舉手回答.認真思考并舉手回答學生小組討論，思考完成問題.對于八年級學生來說，函數概念是相當抽象的，學生認識起來有一定的困難.為此，我們可以從具有函數關系、生動有趣、簡單而又能說明問題的生活實例開始，進行分析說明，以激發學生的好奇心與求知欲.本課提供的是游樂園中的摩天輪這一生活實例，從圖象和表格兩個方面，讓學生體會、思考其中蘊含的變量之間的關系.通過提問的方式引導學生思考、探究，使學生們初步感受到：現實生活中存在大量的變量間的關系，并且一個變量是隨著另一個變量的變化而變化的；變量之間的關系表示方式是多樣的(圖象、列表和解析式等).感受變量之間的依存關系，給定自變量的值，會求函數值.通過“做一做”和對問題的思考讓學生加深對函數定義的理解.在此過程中，培養學生的數學素養和學習數學的能力，激發學生的學習興趣，同時點明本章所要解決的主要問題.上面分別以圖象、表格、表達式三種形式呈現了三個生活化的情境，通過對這三個問題的研究，使學生明確“給定其中某一個變量的值，相應地就確定了另一個變量的值”這一共性，從而歸納出函數的概念，同時也暗示了函數的三種表示方法.函數有兩個重要要素：一個是對應法則，它明確地給出一個變量的值是怎樣隨另一個變量的值的確定而確定的；另一個就是自變量的取值范圍.自變量的取值范圍是函數的一個有機組成部分.環節三應用新知【典型例題】教師提出問題，學生先獨立思考，然后再小組交流探討.教師板書一道例題書寫過程，其余題目可由學生代表板書完成，最終教師展示答題過程.【例1】汽車開始行駛時油箱內有油40升，如果每小時耗油5升，則油箱內剩余油量Q(升)隨行駛時間t(小時)的增加而減少.(1)寫出表示Q與t的函數關系的式子.(2)指出自變量t的取值范圍.解：(1)函數關系式為：Q=40-5t分析：也可叫做函數的解析式.解：(2)由t≥0及40-5t≥0得0≤t≤8，所以自變量的取值范圍是0≤t≤8.總結：汽車行駛里程，油箱中的油量均不能為負數！確定自變量的取值范圍時，不僅要考慮使函數解析式有意義，而且還要注意各變量所代表的實際意義.【例2】已知函數.(1)指出自變量x的取值范圍.(2)當x=2，-2，3時，函數的值.解：(1)由x-1≠0，得x≠1，所以自變量的取值范圍是x≠1.教師活動：分母不能為0.(2)當x=2時，y=8;當x=-2時，y=;當x=3時，y=教師活動：把自變量x的值帶入關系式中，即可求出函數的值.思考問題，嘗試回答問題，明確例題的做法明確例題的做法通過典型例題的分析和講解，讓學生初步掌握函數概念，理解兩個變量之間的關系是否為函數關系.理解函數值的意義.會據簡單的實際問題，確定自變量的取值范圍.強化學生對自變量取值范圍的認識.給出問題，激發學生思考，并討論交流.引導學生從數學現象背后發現數學規律.環節四鞏固新知教師給出練習，隨時觀察學生完成情況并相應指導，最后給出答案，根據學生完成情況適當分析講解.1.選擇.(1)函數自變量x的取值范圍是()A.x≠5B.x>2且x≠5C.x≥2D.x≥2且x≠5(2)張老師帶領x名學生到某動物園參觀，已知成人票每張10元，學生票每張5元，設門票的總費用為y元，則y與x的關系式為()A.y=5x+10B.y=5x-10C.y=10x+5D.y=10x-5答案：DA.2.設路程為s，時間為t，速度為v，當v=50時，路程和時間的關系式為，這個關系式中，是變量，是的函數.3.表格列出了一項實驗的統計數據，表示小球從高度x(單位：m)落下時彈跳高度y(單位：m)與下落高的關系，據表可以寫出的一個關系式是

．答案：2.s=50t；t和s；s;t.3.y=0.5x4.已知矩形周長為18，其中一條邊長為x，設另一邊長為y.(1)寫出y與x的函數關系式；(2)求自變量x的取值范圍.解：(1)函數關系式為：y=18-2x.(2)由18-2x>0且x＞0得x<9，且x＞0;所以自變量的取值范圍是0<x<9.學生自主完成練習，然后集體交流評價