..因式分解[知識梳理]因式分解的定義：把一個多項式化成幾個整式乘積的形式,這種變形叫因式分解。即：多項式幾個整式的積例：因式分解是對多項式進行的一種恒等變形,是整式乘法的逆過程。整式乘法是把幾個整式相乘,化為一個多項式；因式分解是把一個多項式化為幾個因式相乘；因式分解的最后結果應當是"積"的形式。[例題]判斷下面哪項是因式分解：因式分解的方法提公因式法：定義：如果一個多項式的各項有公因式,可以把這個公因式提到括號外面,從而將多項式化成因式乘積的形式,這個變形就是提公因式法分解因式。公因式：多項式的各項都含有的相同的因式。公因式可以是一個數字或字母,也可以是一個單項式或多項式。[例題]的公因式是．[解析]從多項式的系數和字母兩部分來考慮,系數部分分別是12、－8、6,它們的最大公約數為2；字母部分都含有因式,故多項式的公因式是2．小結提公因式的步驟：第一步：找出公因式；第二步：提公因式并確定另一個因式,提公因式時,可用原多項式除以公因式,所得商即是提公因式后剩下的另一個因式。注意：提取公因式后,對另一個因式要注意整理并化簡,務必使因式最簡。多項式中第一項有負號的,要先提取符號。[基礎練習]1．ax、ay、－ax的公因式是__________；6mn2、－2m2n3、4mn的公因式是___2．下列各式變形中,是因式分解的是〔A．a2－2ab＋b2－1＝〔a－b2－1 B．C．〔x＋2〔x－2＝x2－4 D．x4－1＝〔x2＋1〔x＋1〔x－13．將多項式－6x3y2＋3x2y2－12x2y3分解因式時,應提取的公因式是〔A．－3xyB．－3x2yC．－3x2y2D．－3x3y34．多項式an－a3n＋an＋2分解因式的結果是〔A．an〔1－a3＋a2B．an〔－a2n＋a2C．an〔1－a2n＋a2D．an〔－a3＋an5．把下列各式因式分解：5x2y＋10xy2－15xy 3x〔m－n＋2〔m－n3〔x－32－6〔3－xy〔x－y2－〔y－x3－2x2n－4xnx〔a－b2n＋xy〔b－a2n＋16．應用簡便方法計算：〔12012－201 〔24.3×199.8＋7.6×199.8－1.9×199.8〔3說明3200－4×3199＋10×3198能被7整除．[提高練習]1．把下列各式因式分解：〔1－16a2b－8ab＝_____________________〔2x3〔x－y2－x2〔y－x2＝________________________．2．在空白處填出適當的式子：〔1x〔y－1－〔＝〔y－1〔x＋1；〔2〔〔2a＋3bc．3．如果多項式x2＋mx＋n可因式分解為〔x＋1〔x－2,則m、n的值為〔A．m＝1,n＝2 B．m＝－1,n＝2C．m＝1,n＝－2 D．m＝－1,n＝－24．〔－210＋〔－211等于〔A．－210B．－211C．210D5．已知x,y滿足求7y〔x－3y2－2〔3y－x3的值．6．已知x＋y＝2,求x〔x＋y2〔1－y－x〔y＋x2的值7．因式分解：〔1ax＋ay＋bx＋by； 〔22ax＋3am－10bx－15bm．運用公式法定義：把乘法公式反過來用,就可以用來把某些多項式分解因式,這種分解因式的方法叫做運用公式法。平方差公式式子：語言：兩個數的平方差,等于這兩個數的和與這兩個數的差的積。這個公式就是平方差公式。[例題1]在括號內寫出適當的式子：0．25m4＝〔2；〔2；121a2b6＝〔2．[例題2]因式分解：〔1x2－y2＝〔〔；〔2m2－16＝〔〔；〔349a2－4＝〔〔；〔42b2[基礎練習]1．下列各式中,不能用平方差公式分解因式的是〔A．y2－49x2B．C．－m4－n2D．2．下列因式分解錯誤的是〔A．1－16a2＝〔1＋4a〔1－4aB．x3－x＝x〔C．a2－b2c2＝〔a＋bc〔a－bcD．3．把下列各式因式分解：〔a＋b2－64 m4－81n4〔2a－3b2－〔b＋a4．利用公式簡算：〔12008＋20082－20092；〔23.14×512－3.14×492．5．已知x＋2y＝3,x2－4y2＝－15,〔1求x－2y的值；〔2求x和y的值．[提高練習]1．因式分解下列各式：〔1＝_____________________；〔2x4－16＝_____________________；〔3＝_____________________；〔4x〔x2－1－x2＋1＝_________________．2．把〔3m＋2n2－〔3m－2nA．0 B．16n2C．36m2D3．下列因式分解正確的是〔A．－a2＋9b2＝〔2a＋3b〔2a－3bB．a5－81ab4＝a〔a2＋9b2〔a2－9C．D．x2－4y2－3x－6y＝〔x－2y〔x＋2y－34．把下列各式因式分解：m2〔x－y＋n2〔y－x3〔x＋y2－27〔3m2－n22－〔m2－35．已知求〔x＋y2－〔x－y2的值．6．分別根據所給條件求出自然數x和y的值：〔1x、y滿足x2＋xy＝35；〔2x、y滿足x2－y2＝45．完全平方公式式子：拓展：[例題]分解因式：[變式練習]1．分解因式：=；=．2．因式分解,正確的是<>A．B．C．D．[注意]=1\*GB3①公式中的字母可代表一個數、一個單項式或一個多項式。[例]=2\*GB3②當多項式的各項含有公因式時,通常先提出這個公因式,然后再進一步分解因式。[例][變式練習]1．分解因式：．2．分解因式：．3．分解因式：___________．4．分解因式：<a+b>3－4<a+b>=__________________________________________________．5．分解因式：3m<2x－y>2－3mn2＝_______________________________________________．6．因式分解：[基礎練習]1．在括號中填入適當的式子,使等式成立：〔1x2＋6x＋〔＝〔2；〔2x2－〔＋4y2＝〔2；〔3a2－5a＋〔＝〔2；〔44m2－122．若4x2－mxy＋25y2＝〔2x＋5y2,則m＝__________．3．將a2＋24aA．〔a＋18〔a＋8 B．〔a＋12〔a－12C．〔a＋122D．〔a－1224．下列各式中,能用完全平方公式分解因式的有〔①9a2－1；②x2＋4x＋4；③m2－4mn＋n2；④－a2－b2＋2ab⑤⑥〔x－y2－6z〔x＋y＋9z2．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個5．下列因式分解正確的是〔A．4〔m－n2－4〔m－n＋1＝〔2m－2n＋12B．18x－9x2－9＝－9〔x＋1C．4〔m－n2－4〔n－m＋1＝〔2m－2n＋12D．－a2－2ab－b2＝〔－a－b6．把下列各式因式分解：a2－16a＋64 －x2－4y2＋4〔a－b2－2〔a－b〔a＋b＋〔a＋b24x3＋4x2＋x7．計算：〔12972〔210.328．若a2＋2a＋1＋b2－6b＋9＝0,求a2－b2[提高練習]1．把下列各式因式分解：〔125〔p＋q2＋10〔p＋q＋1＝__________________________________________；〔2an＋1＋an－1－2an＝__________________________________________；〔3〔a＋1〔a＋5＋4＝__________________________________________．2．如果x2＋kxy＋9y2是一個完全平方公式,那么k是〔A．6 B．－6 C．±6 D．183．如果a2－ab－4m是一個完全平方公式,那么mA．B．C．D．4．如果x2＋2ax＋b是一個完全平方公式,那么a與b滿足的關系是〔A．b＝aB．a＝2bC．b＝2aD．b＝a5．把下列各式因式分解：2mx2－4mxy＋2my2x3y＋2x2y2＋xy3 〔m2＋n22－4m2n2x2＋2x＋1－y2x2－2xy＋y2－2x＋2〔a＋12〔2a－3－2〔a＋1〔3－2a＋6．若求的值．7．若a4＋b4＋a2b2＝5,ab＝2,求a2＋b2的值．8．已知x3＋y3＝〔x＋y〔x2－xy＋y2稱為立方和公式,x3－y3＝〔x－y〔x2＋xy＋y2稱為立方差公式,據此,試將下列各式因式分解：〔1a3＋8 〔227a3分組分解法<拓展>=1\*GB3①將多項式分組后能提公因式進行因式分解：<二二分項>形式：、等步驟：1．分組2．提取公因式[例題1]把多項式分解因式解：==[變式練習]因式分解：=2\*GB3②將多項式分組后能運用公式進行因式分解．<三一分項>形式：[例題2]將多項式因式分解解：=[變式練習]因式分解：十字相乘法<拓展>形式：<二次項系數為1>分析：常數項拆成兩個因數,這兩數的和為一次項系數。[例題1]分解因式：2．因式分解：形式：<拓展>分析：a=；c=,形式如的式子要進行因式分解,確定其中的是一個嘗試的過程。[例題2]分解因式所以[基礎練習]1．將下列各式因式分解：〔1x2－5x＋6＝________________；〔2x2－5x－6＝________________；〔3x2＋5x＋6＝________________；〔4x2＋5x－6＝________________．2．將a2＋10aA．〔a－2〔a＋8 B．〔a＋2〔a－8C．〔a＋2〔a＋8 D．〔a－2〔a－83．因式分解的結果是〔x－3〔x－4的多項式是〔A．x2－7x－12 B．x2－7x＋12C．x2＋7x＋12 D．x2＋7x－124．如果x2－px＋q＝〔x＋a〔x＋b,那么p等于〔A．abB．a＋bC．－ab D．－a－b5．若x2＋kx－36＝〔x－12〔x＋3,則k的值為〔A．－9B．15C．－15D．96．把下列各式因式分解m2－12m＋20 x2＋xy－6y2x2－10xy＋9y〔x－1〔x＋4－36 ma2－18ma－40mx3－5x2y－24xy27．已知x＋y＝0,x＋3y＝1,求3x2＋12xy＋13y2的值．[提高練習]1．多項式x2－3xy＋ay2可分解為〔x－5y〔x－by,則a、b的值為〔A．a＝10,b＝－2 B．a＝－10,b＝－2C．a＝10,b＝2 D．a＝－10,b＝22．若x2＋〔a＋bx＋ab＝x2－x－30,且b＜a,則b的值為〔A．5 B．－6 C．－5 D．63．將〔x＋y2－5〔x＋y－6因式分解的結果是〔A．〔x＋y＋2〔x＋y－3 B．〔x＋y－2〔x＋y＋3C．〔x＋y－6〔x＋y＋1 D．〔x＋y＋6〔x＋y－14．觀察下列各式：1×2×3×4＋1＝52；2×3×4×5＋1＝112；3×4×5×6＋1＝192；判斷是否任意四個連續正整數之積與1的和都是某個正整數的平方,并說明理由．[全章鞏固練習]1．把<x－y>2－<y－x>分解因式為<>A．<x－y><x－y－1>B．<y－x><x－y－1>C．<y－x><y－x－1>D．<y－x><y－x＋1>2．若a+b=4,則a2+2ab+b2的值是<>A．8B．16C．2D．43．能被下列數整除的是<>A．3B．5C．7D．94．下列分解因式結果正確的是<>A．6<x－2>+x<2－x>=<x－2><6+x>B．x3+2x2+x=x<x2+2x>C．a<a－b>2+ab<a－b>=a<a－b>D．3xn+1+6xn=3xn<x+2>5．如果b－a=－6,ab=7,那么a2b－ab2的值是<>A．42 B．－42C．13 D．－136．已知x2－7xy+12y2=0,那么x與y的關系是_________．7．利用因式分解簡便計算正確的是<>A．B．C．D．甲乙8．從邊長為的大正方形紙板中挖去一個邊長為的小正方形后,將其裁成四個相同的等腰梯形<如圖甲>,然后拼成一個平行四邊形<如圖乙>．那么通過計算陰影部分的面積可以驗證公式______________．甲乙<1><2>9<1><2>形,再沿虛線剪開,如圖<1>,然后拼成一個梯形,如圖<2>．根據這兩個圖形的面積關系,表明下列式子成立的是<>A．B．C．D．10．利用簡便方法計算：<1>23×2.718+59×2.718+18×2.718；<2>57.6×1.6+57.6×18.4+57.6×<－20>11．分解多項式：<1>16x2y2z2－9<2>81<a+b>2－4<a－b>2<3>x<x－y>－y<y－x><4>－12x3+12x2y－3xy2<5><x+y>2+mx+my<6>a<x－a><x+y>2－b<x－a>2<x+y>12．已知a－b＝2005,ab＝eq\f<2008,2005>,求a2b－ab2的值。13．已知<4x－2y－1>2+=0,求4x2y－4x2y2+xy2的值．14．求證：無論x、y為何值,的值恒為正。15．用分解因式說明：能被60整除。16．已知是△ABC的三邊的長,且滿足,試判斷此三角形的形狀．17．觀察下列各式：12+<1×2>2+22=9=3222+<2×3>2+32=49=72