第五節兩個隨機變量的函數的分布Z=X+Y的分布Z=Y\X及Z=XY的分布M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布課堂練習第五節兩個隨機變量的函數的分布Z=X+Y的分布

在第二章中，我們討論了一維隨機變量函數的分布，現在我們進一步討論:當隨機變量X,Y的聯合分布已知時，如何求出它們的函數Z=g(X,Y)的分布?在第二章中，我們討論了一維隨機變量函數的例1若X、Y獨立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,…,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,…,求Z=X+Y的概率函數.解=a0br+a1br-1+…+arb0

由獨立性r=0,1,2,…一、的分布例1若X、Y獨立，P(X=k)=解依題意

例2

若X和Y相互獨立,它們分別服從參數為的泊松分布,證明Z=X+Y服從參數為于是i=0,1,2,…j=0,1,2,…的泊松分布.解依題意例2r=0,1,…即Z服從參數為的泊松分布.r=0,1,…即Z服從參數為例3

設X和Y的聯合密度為f(x,y),求Z=X+Y的概率密度.

這里積分區域D={(x,y):x+y≤z}解Z=X+Y的分布函數是:它是直線x+y=z及其左下方的半平面.例3設X和Y的聯合密度為f(x,化成累次積分,得固定z和y,對方括號內的積分作變量代換,令x=u-y,得變量代換交換積分次序化成累次積分,得固定z和y,對方括號內的由概率密度與分布函數的關系,即得Z=X+Y的概率密度為:

由X和Y的對稱性,fZ(z)又可寫成以上兩式即是兩個隨機變量和的概率密度的一般公式.由概率密度與分布函數的關系,即得Z=X+Y的概率密度為:

特別地，當X和Y獨立，設(X,Y)關于X,Y的邊緣密度分別為fX(x),fY(y),則上述兩式化為:

下面我們用卷積公式來求Z=X+Y的概率密度.卷積公式特別地，當X和Y獨立，設(X,Y)關于X,為確定積分限,先找出使被積函數不為0的區域例4若X和Y獨立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.解由卷積公式也即為確定積分限,先找出使被積函數不為0的區域例4暫時固定故當或時,當

時,當

時,于是暫時固定故當或時,

例5

若X和Y是兩個相互獨立的隨機變量,具有相同的分布N(0,1),求Z=X+Y的概率密度.解由卷積公式例5若X和Y是兩個相互獨立的隨機變令得可見Z=X+Y服從正態分布N(0,2).令得可見Z=X+Y服從正態分布N(0,2).用類似的方法可以證明:

若X和Y獨立,結論又如何呢?此結論可以推廣到n個獨立隨機變量之和的情形,請自行寫出結論.

若X和Y獨立,具有相同的分布N(0,1),則Z=X+Y服從正態分布N(0,2).用類似的方法可以證明:若X和Y獨立,結論又有限個獨立正態變量的線性組合仍然服從正態分布.即更一般地,可以證明:若相互獨立，則有限個獨立正態變量的線性組合仍然服從正態分布.二、Z=Y\X,Z=XY的分布設(X,Y)的概率密度為f(x,y)，則Z=Y\X的密度函數為當X,Y獨立時,二、Z=Y\X,Z=XY的分布設(X,Y解例6解例6兩個隨機變量的函數的分布課件三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布設X，Y是兩個相互獨立的隨機變量，它們的分布函數分別為FX(x)和FY(y),我們來求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函數.FM(z)=P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)由于X和Y相互獨立,于是得到M=max(X,Y)的分布函數為:=P(X≤z)P(Y≤z)FM(z)1.M=max(X,Y)的分布函數即有FM(z)=FX(z)FY(z)三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布即有FN(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]

=1-P(X>z,Y>z)FN(z)=P(N≤z)=1-P(N>z)2.N=min(X,Y)的分布函數由于X和Y相互獨立,于是得到N=min(X,Y)的分布函數為:=1-P(X>z)P(Y>z)FN(z)即有FN(z)=1-[1-FX(設X1,…,Xn是n個相互獨立的隨機變量,它們的分布函數分別為

我們來求M=max(X1,…,Xn)和N=min(X1,…,Xn)的分布函數.(i=1,…,n)用與二維時完全類似的方法，可得N=min(X1,…,Xn)的分布函數是

M=max(X1,…,Xn)的分布函數為:設X1,…,Xn是n個相互獨立的隨機特別地，當X1,…,Xn相互獨立且具有相同分布函數F(x)時，有特別地，當X1,…,Xn相互獨立且具有相同分

例7

設系統L由兩個相互獨立的子系統連接而成,連接的方式分別為(i)串聯,(ii)并聯,(iii)備用(當系統損壞時,系統開始工作),如下圖所示.設的壽命分別為已知它們的概率密度分別為其中且試分別就以上三種連接方式寫出的壽命的概率密度.XYXYXY例7設系統L由兩個相互獨立的子系統XY解(i)串聯的情況由于當系統中有一個損壞時,系統L就停止工作,所以此時L的壽命為因為X的概率密度為所以X的分布函數為XY解(i)串聯的情況由于當系統當

x>0時,當

x0時,故類似地,可求得Y的分布函數為當x>0時,當x0時,故類于是的分布函數為=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]的概率密度為于是XY(ii)并聯的情況由于當且僅當系統都損壞時,系統L才停止工作,所以此時L的壽命為故的分布函數為XY(ii)并聯的情況由于當且僅當系統XY于是的概率密度為(iii)備用的情況因此整個系統L的壽命為由于當系統損壞時,系統才開始工作,XY于是當

z0時,當

z>0時,當且僅當即時,上述積分的被積函數不等于零.故當z0時,當z>0時,當且僅當于是的概率密度為于是的概率密度為例8設相互獨立的兩個隨機變量X,Y具有同一分布律,且X的分布律為于是解例8設相互獨立的兩個隨機變量X,Y具有同一于是解兩個隨機變量的函數的分布課件需要指出的是，當X1,…,Xn相互獨立且具有相同分布函數F(x)時,常稱M=max(X1,…,Xn)，N=min(X1,…,Xn)為極值.由于一些災害性的自然現象，如地震、洪水等等都是極值，研究極值分布具有重要的意義和實用價值.需要指出的是，當X1,…,Xn相互獨立且具有三、課堂練習設是相互獨立的隨機變量,它們都服從正態分布.試驗證隨機變量具有概率密度三、課堂練習設是相互獨立的隨機變量,1,設隨機變量且滿足P{X1X2=0}=1，求（1）(X1,X2)的聯合概率分布；（2）P{X1<X2}；（3）P{X1=X2}。1,設隨機變量且滿足P{X1X2=0}=1，求2.設隨機變量X與Y獨立，其中X的概率分布為而Y的概率密度為f(y)，求隨機變量U=X+Y的概率密度g(u).2.設隨機變量X與Y獨立，其中X的概率分布為而Y的概率密度3.設二維隨機變量(X,Y)的概率分布為0100.4a1b0.1已知隨機事件與相互獨立，則有（B）(A)a=0.2,b=0.3(B)a=0.4,b=0.1(C)a=0.3,b=0.2(D)a=0.1,b=0.43.設二維隨機變量(X,Y)的概率分布為04.設隨機變量X與Y獨立分布,且X的概率分布為記求(U,V)的概率分布;解易知U,V的可能取值均為:1,2.且4.設隨機變量X與Y獨立分布,且X的概率分布為記求(U,兩個隨機變量的函數的分布課件5.設X1,X2獨立同分布，且X1的分布律為X11234P0.10.20.30.4Y=max{X1,X2}，求（1）Y的概率分布：（2）(Y,X1)的聯合概率分布。5.設X1,X2獨立同分布，且X1的分布律為X1為確定積分限,先找出使被積函數不為0的區域6.若X和Y獨立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.解由卷積公式也即為確定積分限,先找出使被積函數不為0的區域6.若X暫時固定故當或時,當

時,當

時,于是暫時固定故當或時,第五節兩個隨機變量的函數的分布Z=X+Y的分布Z=Y\X及Z=XY的分布M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布課堂練習第五節兩個隨機變量的函數的分布Z=X+Y的分布

在第二章中，我們討論了一維隨機變量函數的分布，現在我們進一步討論:當隨機變量X,Y的聯合分布已知時，如何求出它們的函數Z=g(X,Y)的分布?在第二章中，我們討論了一維隨機變量函數的例1若X、Y獨立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,…,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,…,求Z=X+Y的概率函數.解=a0br+a1br-1+…+arb0

由獨立性r=0,1,2,…一、的分布例1若X、Y獨立，P(X=k)=解依題意

例2

若X和Y相互獨立,它們分別服從參數為的泊松分布,證明Z=X+Y服從參數為于是i=0,1,2,…j=0,1,2,…的泊松分布.解依題意例2r=0,1,…即Z服從參數為的泊松分布.r=0,1,…即Z服從參數為例3

設X和Y的聯合密度為f(x,y),求Z=X+Y的概率密度.

這里積分區域D={(x,y):x+y≤z}解Z=X+Y的分布函數是:它是直線x+y=z及其左下方的半平面.例3設X和Y的聯合密度為f(x,化成累次積分,得固定z和y,對方括號內的積分作變量代換,令x=u-y,得變量代換交換積分次序化成累次積分,得固定z和y,對方括號內的由概率密度與分布函數的關系,即得Z=X+Y的概率密度為:

由X和Y的對稱性,fZ(z)又可寫成以上兩式即是兩個隨機變量和的概率密度的一般公式.由概率密度與分布函數的關系,即得Z=X+Y的概率密度為:

特別地，當X和Y獨立，設(X,Y)關于X,Y的邊緣密度分別為fX(x),fY(y),則上述兩式化為:

下面我們用卷積公式來求Z=X+Y的概率密度.卷積公式特別地，當X和Y獨立，設(X,Y)關于X,為確定積分限,先找出使被積函數不為0的區域例4若X和Y獨立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.解由卷積公式也即為確定積分限,先找出使被積函數不為0的區域例4暫時固定故當或時,當

時,當

時,于是暫時固定故當或時,

例5

若X和Y是兩個相互獨立的隨機變量,具有相同的分布N(0,1),求Z=X+Y的概率密度.解由卷積公式例5若X和Y是兩個相互獨立的隨機變令得可見Z=X+Y服從正態分布N(0,2).令得可見Z=X+Y服從正態分布N(0,2).用類似的方法可以證明:

若X和Y獨立,結論又如何呢?此結論可以推廣到n個獨立隨機變量之和的情形,請自行寫出結論.

若X和Y獨立,具有相同的分布N(0,1),則Z=X+Y服從正態分布N(0,2).用類似的方法可以證明:若X和Y獨立,結論又有限個獨立正態變量的線性組合仍然服從正態分布.即更一般地,可以證明:若相互獨立，則有限個獨立正態變量的線性組合仍然服從正態分布.二、Z=Y\X,Z=XY的分布設(X,Y)的概率密度為f(x,y)，則Z=Y\X的密度函數為當X,Y獨立時,二、Z=Y\X,Z=XY的分布設(X,Y解例6解例6兩個隨機變量的函數的分布課件三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布設X，Y是兩個相互獨立的隨機變量，它們的分布函數分別為FX(x)和FY(y),我們來求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函數.FM(z)=P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)由于X和Y相互獨立,于是得到M=max(X,Y)的分布函數為:=P(X≤z)P(Y≤z)FM(z)1.M=max(X,Y)的分布函數即有FM(z)=FX(z)FY(z)三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布即有FN(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]

=1-P(X>z,Y>z)FN(z)=P(N≤z)=1-P(N>z)2.N=min(X,Y)的分布函數由于X和Y相互獨立,于是得到N=min(X,Y)的分布函數為:=1-P(X>z)P(Y>z)FN(z)即有FN(z)=1-[1-FX(設X1,…,Xn是n個相互獨立的隨機變量,它們的分布函數分別為

我們來求M=max(X1,…,Xn)和N=min(X1,…,Xn)的分布函數.(i=1,…,n)用與二維時完全類似的方法，可得N=min(X1,…,Xn)的分布函數是

M=max(X1,…,Xn)的分布函數為:設X1,…,Xn是n個相互獨立的隨機特別地，當X1,…,Xn相互獨立且具有相同分布函數F(x)時，有特別地，當X1,…,Xn相互獨立且具有相同分

例7

設系統L由兩個相互獨立的子系統連接而成,連接的方式分別為(i)串聯,(ii)并聯,(iii)備用(當系統損壞時,系統開始工作),如下圖所示.設的壽命分別為已知它們的概率密度分別為其中且試分別就以上三種連接方式寫出的壽命的概率密度.XYXYXY例7設系統L由兩個相互獨立的子系統XY解(i)串聯的情況由于當系統中有一個損壞時,系統L就停止工作,所以此時L的壽命為因為X的概率密度為所以X的分布函數為XY解(i)串聯的情況由于當系統當

x>0時,當

x0時,故類似地,可求得Y的分布函數為當x>0時,當x0時,故類于是的分布函數為=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]的概率密度為于是XY(ii)并聯的情況由于當且僅當系統都損壞時,系統L才停止工作,所以此時L的壽命為故的分布函數為XY(ii)并聯的情況由于當且僅當系統XY于是的概率密度為(iii)備用的情況因此整個系統L的壽命為由于當系統損壞時,系統才開始工作,XY于是當

z0時,當

z>0時,當且僅當即時,上述積分的被積函數不等于零.故當z0時,當z>0時,當且僅當于是的概率密度為于是的概率密度為例8設相互獨立的兩個隨機變量X,Y具有同一分布律,且X的分布律為于是解例8設相互獨立的兩個隨機變量X,Y具有同一于是解兩個隨機變量的函數的分布課件需要指出的是，當X1,…,Xn相互獨立且具有相同分布函數F(x)時,常稱M=max(X1,…,Xn)，N=min(X1,…,Xn)為極值.由于一些災害性的自然現象，如地震、洪水等等都是極值，研究極值分布具有重要的意義和實用價值.需要指出的是，當X1,…,Xn相互獨立且具有三、課堂練習設是相互獨立的隨機變量,它們都服從正態分布.試驗證隨機變量具有概率