第=page1818頁(yè)，共=sectionpages1818頁(yè)第=page1717頁(yè)，共=sectionpages1818頁(yè)2021-2022學(xué)年甘肅省武威市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（文科）題號(hào)一二三總分得分一、單選題（本大題共12小題，共48.0分）若角，則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（）

①sinα＜α②α＜tanα③sinα＞cosα④tanα＞1A.0 B.1 C.2 D.3若f（x）=xcosx，則函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）等于（）A.1-sinx B.x-sinx C.sinx+xcosx D.cosx-xsinx“x=30°”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件曲線y=-x3+3x2在點(diǎn)（1，2）處的切線方程為（）A.y=3x-1 B.y=-3x+5 C.y=3x+5 D.y=2x連擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m和n，則向量=（m，n）與向量=（1，-1）的夾角為銳角的概率是（）A. B. C. D.下列拋物線中，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離最小的是（）A.y2=-x B.y2=2x C.2x2=y D.x2=-4y已知函數(shù)f（x）=x4+ax2+bx，且f'（0）=-13，f'（-1）=-27，則a+b=（）A.18 B.-18 C.8 D.-8在區(qū)間[-3，3]上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)X，則|X|≤1的概率為（）A. B. C. D.在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB|＝2，|AD|＝1，|CD|＝2x其中x∈（0，1），以A，B為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)D的雙曲線的離心率為e1，以C，D為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)A的橢圓的離心率為e2，若對(duì)任意x∈（0，1），不等式t＜e1+e2恒成立，則t的最大值為（）A. B. C.2 D.?定義在R上的奇函數(shù)y=f（x）滿足當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=xlnx，則當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）=（）A.-ln（-x）+1 B.ln（-x）+1 C.-ln（-x）-1 D.ln（-x）-1過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)F作直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，使得|AB|=4b，若這樣的直線有且僅有兩條，則離心率e的取值范圍是（）A.? B.

C. D.已知函數(shù)f（x）=x+，g（x）=2x+a，若?x1∈[，3]，f（x1）≥a，?x2∈[2，3]，使g（x2）≥0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.（-∞，4] B.[-4，+∞） C.[-8，4] D.[-4，4]二、單空題（本大題共4小題，共16.0分）某個(gè)游戲中，一個(gè)珠子按如圖所示的通道，由上至下的滑下，從最下面的六個(gè)出口出來(lái)，規(guī)定猜中者為勝，如果某人在該游戲中，猜得珠子從3號(hào)口出來(lái)，那么他取勝的概率為______．

已知函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)M（1，f（1））處的切線方程是y=x+2，則f（1）+f′（1）=______．已知雙曲線C的焦點(diǎn)、實(shí)軸端點(diǎn)恰好分別是橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)、焦點(diǎn)，則雙曲線C的漸近線方程是______．有下列命題：①是函數(shù)的極值點(diǎn)；②三次函數(shù)有極值點(diǎn)的充要條件是；③奇函數(shù)在區(qū)間上是遞增的；④曲線在處的切線方程為．其中真命題的序號(hào)是

．三、解答題（本大題共6小題，共56.0分）雙曲線C與橢圓+=1有相同的焦點(diǎn)，直線y=x為C的一條漸近線．求雙曲線C的方程．

已知函數(shù)f（x）=lnx-．

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）證明：當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜x-1；

（3）若存在x0＞1，當(dāng)x∈（1，x0）時(shí)，恒有f（x）＞k（x-1）成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

某商場(chǎng)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng),從裝有編號(hào)為0,1,2,3四個(gè)小球的抽獎(jiǎng)箱中同時(shí)抽出兩個(gè)小球,兩個(gè)小球號(hào)碼相加之和等于5中一等獎(jiǎng),等于4中二等獎(jiǎng),等于3中三等獎(jiǎng).

(1)求中三等獎(jiǎng)的概率;

(2)求中獎(jiǎng)的概率.

如圖：區(qū)域A是正方形OABC（含邊界），區(qū)域B是三角形ABC（含邊界）．

（Ⅰ）向區(qū)域A隨機(jī)拋擲一粒黃豆，求黃豆落在區(qū)域B的概率；

（Ⅱ）若x，y分別表示甲、乙兩人各擲一次骰子所得的點(diǎn)數(shù)，求點(diǎn)（x，y）落在區(qū)域B的概率．

已知橢圓E：+=1的離心率為，點(diǎn)F1，F(xiàn)2是橢圓E的左、右焦點(diǎn)，過(guò)定點(diǎn)Q（0，2）的動(dòng)直線l與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)F1，A，B共線時(shí)，△F2AB的周長(zhǎng)為8．

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)弦AB的中點(diǎn)為D，點(diǎn)E（0，t）在y軸上，且滿足DE⊥AB，試求t的取值范圍．

已知函數(shù)f（x）=x2+（a-1）x+1在區(qū)間（，1）上是減函數(shù)．

（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）若f（x）的最小值為-3，求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程．

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：由，知：

在①中，設(shè)y=sinα-α，0＜α＜，

則y′=cosα-1＜0，∴y=sinα-α在（0，）是減函數(shù)，

當(dāng)α=0時(shí)，y=sinα-α=0，

∴y=sinα-α＜0，∴sinα＜α，故①正確；

在②中，設(shè)y=α-tanα，0＜α＜，

則y′=1-=-≤0，

∴y=α-tanα在（0，）是減函數(shù)，

當(dāng)α=0時(shí)，y=α-tanα=0，

∴y=α-tanα＜0，∴α＜tanα，故②正確；

在③中，當(dāng)α∈（0，）時(shí)，cosα＞sinα，

當(dāng)α∈（，）時(shí)，sinα＞cosα，故③錯(cuò)誤；

在④中，當(dāng)α∈（0，）時(shí)，tanα＜1，當(dāng)α∈（，）時(shí)，tanα＞1，故④錯(cuò)誤．

故選：C．

在①中，設(shè)y=sinα-α，0＜α＜，則y′=cosα-1＜0，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)推導(dǎo)出sinα＜α；在②中，設(shè)y=α-tanα，0＜α＜，y′=1-=-≤0，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)推導(dǎo)出α＜tanα；在③中，當(dāng)α∈（0，）時(shí)，cosα＞sinα，當(dāng)α∈（，）時(shí)，sinα＞cosα；在④中，當(dāng)α∈（0，）時(shí)，tanα＜1，當(dāng)α∈（，）時(shí)，tanα＞1．

本題考查命題真假的判斷，考查三角函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查推理論論能力、運(yùn)算求解能力，是中檔題．

2.【答案】D

【解析】解：f（x）=xcosx，則函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）=cosx-xsinx，

故選：D

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可．

本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題．

3.【答案】A

【解析】解：因?yàn)椤皒=30°”?“”正確，

但是解得x=k?360°+30°或x=k?360°+150°，k∈Z，所以后者推不出前者，

所以“x=30°”是“”的充分而不必要條件．

故選A．

通過(guò)前者推出后者，后者推不出前者，利用充要條件的判斷方法，得到結(jié)果．

本題考查必要條件、充分條件與充要條件的判斷，考查基本知識(shí)的應(yīng)用．

4.【答案】A

【解析】【分析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，屬于基礎(chǔ)題．

???????根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=1處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，再用點(diǎn)斜式寫出切線方程，化成斜截式即可．【解答】解：∵y=-x3+3x2，∴y'=-3x2+6x，

∴y'|x=1=（-3x2+6x）|x=1=3，

∴曲線y=-x3+3x2在點(diǎn)（1，2）處的切線方程為y-2=3（x-1），

即y=3x-1，

故選：A．

5.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法以及向量的夾角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．

基本事件總數(shù)N=6×6=36，由向量=（m，n）與向量=（1，-1）的夾角為銳角，得=m-n＞0，由此能求出向量=（m，n）與向量=（1，-1）的夾角為銳角的概率．【解答】

解：連擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m和n，

基本事件總數(shù)N=6×6=36．

∵向量=（m，n）與向量=（1，-1）的夾角為銳角，

∴=m-n＞0，

則向量=（m，n）與向量=（1，-1）的夾角為銳角包含的基本事件（m，n）為：

（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），

（5，4），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），共15個(gè)，

則向量=（m，n）與向量=（1，-1）的夾角為銳角的概率是P==．

故選：B．

6.【答案】C

【解析】解：y2=-x的P=，y2=2x的p=1，

2x2=y的P=，x2=-4y的p=2．

可知，選項(xiàng)C正確．

故選：C．

求出選項(xiàng)拋物線的P的大小，半徑即可．

本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．

7.【答案】D

【解析】解：∵y′=4x3+2ax+b，

∴-1、0是4x3+2ax+b=0的兩根，

∴

∴a=5，b=-13．

則a+b=-8．

故選：D．

由題意知，函數(shù)有二個(gè)極值點(diǎn)，說(shuō)明導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)方程的根即可求出a，b的值．

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，屬于基礎(chǔ)題．

8.【答案】B

【解析】解：不等式|X|≤1的解為-1≤X≤1，

則在區(qū)間[-3，3]上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)X，

滿足|X|≤1的概率為

P==．

故選：B．

求出不等式的解集，根據(jù)幾何概型的概率公式計(jì)算即可．

本題考查了幾何概型的概率計(jì)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．

9.【答案】B

【解析】【分析】本題主要考查與橢圓、雙曲線離心率有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題，屬于拔高題．

連接BD，過(guò)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，根據(jù)雙曲線的定義有|BD|-|AD|=2a1，求得，而根據(jù)橢圓的定義求得，令e1=m，則，利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【解答】解：如圖所示，連接BD，過(guò)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，則|AE|=1-x，所以，

又，故,

則，

根據(jù)雙曲線的定義有|BD|-|AD|=2a1，

即,

∴，

而根據(jù)橢圓的定義有，

∴，令e1=m，則由0<x<1，可知，

又,則，

由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，

又t<e1+e2???????恒成立，即t的最大值為，

故選：B．

10.【答案】B

【解析】解：設(shè)x＜0，則-x＞0，

∵奇函數(shù)y=f（x）滿足當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=xlnx，

∴f（x）=-f（-x）=-（-x）ln（-x）=xln（-x），

則f′（x）=ln（-x）+x×=ln（-x）+1，

故選：B．

設(shè)x＜0則-x＞0，由奇函數(shù)的性質(zhì)和題意求出x＜0時(shí)的解析式，再利用求導(dǎo)公式求出當(dāng)x＜0時(shí)f′（x）的表達(dá)式．

本題考查了利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式，以及求導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

11.【答案】D

【解析】【分析】本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，屬于中檔題.

根據(jù)直線與雙曲線相交的情形，分兩種情況討論：①AB只與雙曲線左支相交，②AB與雙曲線的兩支都相交，分析其弦長(zhǎng)的最小值，利用符合條件的直線的數(shù)目，綜合可得答案．【解答】解：由題意過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)F作直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，使得|AB|=4b，

（1）當(dāng)直線l與左支交于兩點(diǎn)時(shí)，可得＜|AB|=4b，并且2a＞4b，

解得：，可得：1；

（2）當(dāng)直線l與兩支都相交時(shí)，可得|AB|=4b，并且2a4b，

解得：，可得：e＞；

綜上可知：有2條直線符合條件時(shí)，e＞或1．

故選D．

12.【答案】C

【解析】解：當(dāng)x1∈[，3]時(shí)，由f（x）=x+，得，f′（x）=，

令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：x＜2，

∴f（x）在[，2]單調(diào)遞減，在（2，3]遞增，

∴f（2）=4是函數(shù)的最小值，

當(dāng)x2∈[2，3]時(shí)，g（x）=2x+a為增函數(shù)，

∴g（2）=a+4是函數(shù)的最小值，

又∵?x1∈[，3]，都?x2∈[2，3]，使得f（x1）≥g（x2），

可得f（x）在x1∈[，3]的最小值不小于g（x）在x2∈[2，3]的最小值，

即8+a≥0，解得：a≥-9，

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍：[-8，4]

故選：C．

由?x1∈[，3]，都?x2∈[2，3]，使得f（x1）≥g（x2），可得f（x）在x1∈[，3]的最小值不小于g（x）在x2∈[2，3]的最小值，構(gòu)造關(guān)于a的不等式，可得結(jié)論．

本題考查的知識(shí)是指數(shù)函數(shù)以及對(duì)勾函數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考察導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，本題是一道中檔題．

13.【答案】

【解析】解：我們把從頂點(diǎn)A到3的路線圖單獨(dú)畫出來(lái)：

分析可得，

從頂點(diǎn)A到3總共有C52=10種走法，每一種走法的概率都是，

∴珠子從出口3出來(lái)是（）5=．

我們把從頂點(diǎn)A到3的路線圖單獨(dú)畫出來(lái)：分析可得從A到3總共有5個(gè)岔口，每一岔口走法的概率都是，而從A到3總共有C52=10種走法，計(jì)算可得答案．

本題是二項(xiàng)分布的一個(gè)模型，下面第n層第i個(gè)出口對(duì)應(yīng)的概率是（）n，i=1，2，…，n，代入計(jì)算即可．

14.【答案】3

【解析】解：∵點(diǎn)M（1，f（1））是切點(diǎn)，

∴點(diǎn)M在切線上，

∴f（1）=+2=，

∵函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)M（1，f（1））處的切線的方程是y=x+2，

∴切線斜率是，

即f′（1）=，

∴f（1）+f'（1）=+=3．

故答案為：3．

因?yàn)榍悬c(diǎn)坐標(biāo)一定滿足切線方程，所以據(jù)此可以求出f（1）的值，又因?yàn)榍芯€的斜率是函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就可求出f′（1）的值，把f（1）和f′（1）代入即可．

本題主要考查函數(shù)的切線斜率與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，屬于導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

15.【答案】

【解析】【分析】

本題考查橢圓與雙曲線得簡(jiǎn)單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

?利用橢圓的性質(zhì)可得其長(zhǎng)軸的端點(diǎn)、焦點(diǎn)，進(jìn)而得到雙曲線的c，a，b，即可得到雙曲線的漸近線方程．

【解答】

解：橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)為（-4，0），（4，0），焦點(diǎn)為（-3，0），（3，0），

∴對(duì)于雙曲線中，c=4，a=3，得b=，

∴雙曲線的漸近線方程為：，

故答案為．

16.【答案】②③④

【解析】【分析】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的判斷，關(guān)鍵了解性質(zhì)的判斷方法，屬中檔題.【解答】

解：對(duì)于①，，所以在R上單調(diào)遞增，沒(méi)有極值點(diǎn)；對(duì)于②，對(duì)于三次函數(shù)有極值點(diǎn)的充要條件是有兩個(gè)不相等的實(shí)根，所以即，正確；對(duì)于③，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，即，即對(duì)任意都成立，所以，此時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上遞增；對(duì)于④，因?yàn)椋郧€在處的切線方程為即；綜上可知②③④正確.故答案為②③④.

17.【答案】解：設(shè)雙曲線方程為（a＞0，b＞0）（1分）

由橢圓+=1，求得兩焦點(diǎn)為（-2，0），（2，0），（3分）

∴對(duì)于雙曲線C：c=2．（4分）

又y=x為雙曲線C的一條漸近線，

∴=

（6分）

解得a=1，b=，（9分）

∴雙曲線C的方程為．（10分）

【解析】求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)；據(jù)雙曲線的系數(shù)滿足c2=a2+b2；雙曲線的漸近線的方程與系數(shù)的關(guān)系列出方程組，求出a，b，寫出雙曲線方程．

本題考查利用待定系數(shù)法求圓錐曲線的方程其中橢圓中三系數(shù)的關(guān)系是：a2=b2+c2；雙曲線中系數(shù)的關(guān)系是：c2=a2+b2．

18.【答案】解：（1）f′（x）=，x∈（0，+∞），

由f′（x）＞0，得，解得：0＜x＜，

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，）；

（2）證明：設(shè)g（x）=f（x）-（x-1），x∈（1，+∞），

則g′（x）=，

當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＜0，所以g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＜g（1）=0，

即當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜x-1；

（3）①當(dāng)k=1時(shí)，由（2）知，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜x-1，

此時(shí)不存在x0＞1，不滿足題意；

②當(dāng)k＞1時(shí)，x＞1，f（x）＜x-1＜k（x-1），

此時(shí)不存在x0＞1，不滿足題意；

③當(dāng)k＜1時(shí)，設(shè)h（x）=f（x）-k（x-1），x＞1，

則h′（x）=，

令h′（x）=0，即-x2+（1-k）x+1=0，

得x1=＜0，x2=＞1，

所以當(dāng)x∈（1，x2）時(shí)，h′（x）＞0，所以h（x）在（1，x2）上單調(diào)遞增，

取x0=x2，所以當(dāng)x∈（1，x0）時(shí)，h（x）＞h（1）=0，f（x）＞k（x-1），

綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-∞，1）．

【解析】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的不等式，以及分類討論的思想，是一道中檔題．

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

（2）設(shè)g（x）=f（x）-（x-1），求出g（x）的單調(diào)區(qū)間，從而證出結(jié)論即可；

（3）通過(guò)討論k的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合題意求出k的范圍即可．

19.【答案】解：從袋中同時(shí)抽兩個(gè)小球共有

（0，1）,（0，2）,（0，3）,（1，2）,（1，3）,（2，3）六種情況.

（1）設(shè)抽出兩個(gè)球的號(hào)碼之和為3為事件A，事件A共包含（0，3）（1，2）兩種情況,

∴.

（2）設(shè)抽出兩球的號(hào)碼之和為5為事件B，兩球的號(hào)碼之和為4為事件C，

由上知,.

∴中獎(jiǎng)概率為P=.

【解析】本題考查古典概型及其計(jì)算，互斥事件的概率，屬于基礎(chǔ)題.求古典概型事件的概率，首先要求出各個(gè)事件包含的基本事件，求基本事件個(gè)數(shù)的常用方法有：列舉法、排列、組合法、圖表法．

（1）先列舉出從袋中同時(shí)抽兩個(gè)小球的所有情況，得到號(hào)碼之和為3的所有情況，據(jù)古典概型概率公式求出中三等獎(jiǎng)的概率．

（2）先列舉出從袋中同時(shí)抽兩個(gè)小球的所有情況，得到號(hào)碼之和為4，5的所有情況，據(jù)古典概型概率公式求出中一等獎(jiǎng)，中二等獎(jiǎng)的概率，利用互斥事件的概率公式求出中獎(jiǎng)概率．

20.【答案】解：（Ⅰ）向區(qū)域A隨機(jī)拋擲一枚黃豆，

黃豆落在區(qū)域B的概率；

（Ⅱ）甲、乙兩人各擲一次骰子，

占（x，y）共36種結(jié)可能．

其中落在B內(nèi)的有26種可能，

即（1，5），（1，6），（2，4），（2，5），（2，6），

（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，2），

（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），

（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），

（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），

點(diǎn)（x，y）落在區(qū)B的概率p==．

【解析】（Ⅰ）根據(jù)三角形和正方形的面積之比求出滿足條件的概率即可；（Ⅱ）求出落在B內(nèi)的可能，從而求出滿足條件的概率即可．

本題考查了幾何概型問(wèn)題，考查列舉法求概率問(wèn)題，是一道基礎(chǔ)題．

21.【答案】解：（1）由題意得，解得a=2，b=，

所以橢圓E

的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l即為y軸，