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文檔簡介

2023年高考數學模擬試卷注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.閱讀下面的程序框圖,運行相應的程序,程序運行輸出的結果是()A.1.1 B.1 C.2.9 D.2.82.已知分別為雙曲線的左、右焦點,過的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點,若,則雙曲線的離心率為()A. B.4 C.2 D.3.已知雙曲線的中心在原點且一個焦點為,直線與其相交于,兩點,若中點的橫坐標為,則此雙曲線的方程是A. B.C. D.4.已知函數,則()A.1 B.2 C.3 D.45.數列滿足:,,,為其前n項和,則()A.0 B.1 C.3 D.46.從集合中隨機選取一個數記為,從集合中隨機選取一個數記為,則在方程表示雙曲線的條件下,方程表示焦點在軸上的雙曲線的概率為()A. B. C. D.7.已知集合,,則()A. B.C. D.8.已知雙曲線(a>0,b>0)的右焦點為F,若過點F且傾斜角為60°的直線l與雙曲線的右支有且只有一個交點,則此雙曲線的離心率e的取值范圍是()A. B.(1,2), C. D.9.如圖所示,網格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,其中左視圖中三角形為等腰直角三角形,則該幾何體外接球的體積是()A. B.C. D.10.已知雙曲線的左、右頂點分別為,點是雙曲線上與不重合的動點,若,則雙曲線的離心率為()A. B. C.4 D.211.已知雙曲線的左,右焦點分別為、,過的直線l交雙曲線的右支于點P,以雙曲線的實軸為直徑的圓與直線l相切,切點為H,若,則雙曲線C的離心率為()A. B. C. D.12.過雙曲線左焦點的直線交的左支于兩點,直線(是坐標原點)交的右支于點,若,且,則的離心率是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若,則=______,=______.14.為激發學生團結協作,敢于拼搏,不言放棄的精神,某校高三5個班進行班級間的拔河比賽.每兩班之間只比賽1場,目前(—)班已賽了4場,(二)班已賽了3場,(三)班已賽了2場,(四)班已賽了1場.則目前(五)班已經參加比賽的場次為__________.15.已知等比數列滿足公比,為其前項和,,,構成等差數列,則_______.16.已知不等式的解集不是空集,則實數的取值范圍是;若不等式對任意實數恒成立,則實數的取值范圍是___三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在底面邊長為1,側棱長為2的正四棱柱中,P是側棱上的一點,.(1)若,求直線AP與平面所成角;(2)在線段上是否存在一個定點Q,使得對任意的實數m,都有,并證明你的結論.18.(12分)已知數列滿足.(1)求數列的通項公式;(2)設數列的前項和為,證明:.19.(12分)已知數列是公比為正數的等比數列,其前項和為,滿足,且成等差數列.(1)求的通項公式;(2)若數列滿足,求的值.20.(12分)已知函數,,使得對任意兩個不等的正實數,都有恒成立.(1)求的解析式;(2)若方程有兩個實根,且,求證:.21.(12分)已知集合,.(1)若,則;(2)若,求實數的取值范圍.22.(10分)如圖1,在等腰梯形中,兩腰,底邊,,,是的三等分點,是的中點.分別沿,將四邊形和折起,使,重合于點,得到如圖2所示的幾何體.在圖2中,,分別為,的中點.(1)證明:平面.(2)求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】

根據程序框圖的模擬過程,寫出每執行一次的運行結果,屬于基礎題.【詳解】初始值,第一次循環:,;第二次循環:,;第三次循環:,;第四次循環:,;第五次循環:,;第六次循環:,;第七次循環:,;第九次循環:,;第十次循環:,;所以輸出.故選:C【點睛】本題考查了循環結構的程序框圖的讀取以及運行結果,屬于基礎題.2.A【解析】

由已知得,,由已知比值得,再利用雙曲線的定義可用表示出,,用勾股定理得出的等式,從而得離心率.【詳解】.又,可令,則.設,得,即,解得,∴,,由得,,,該雙曲線的離心率.故選:A.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率,解題關鍵是由向量數量積為0得出垂直關系,利用雙曲線的定義把雙曲線上的點到焦點的距離都用表示出來,從而再由勾股定理建立的關系.3.D【解析】

根據點差法得,再根據焦點坐標得,解方程組得,,即得結果.【詳解】設雙曲線的方程為,由題意可得,設,,則的中點為,由且,得,,即,聯立,解得,,故所求雙曲線的方程為.故選D.【點睛】本題主要考查利用點差法求雙曲線標準方程,考查基本求解能力,屬于中檔題.4.C【解析】

結合分段函數的解析式,先求出,進而可求出.【詳解】由題意可得,則.故選:C.【點睛】本題考查了求函數的值,考查了分段函數的性質,考查運算求解能力,屬于基礎題.5.D【解析】

用去換中的n,得,相加即可找到數列的周期,再利用計算.【詳解】由已知,①,所以②,①+②,得,從而,數列是以6為周期的周期數列,且前6項分別為1,2,1,-1,-2,-1,所以,.故選:D.【點睛】本題考查周期數列的應用,在求時,先算出一個周期的和即,再將表示成即可,本題是一道中檔題.6.A【解析】

設事件A為“方程表示雙曲線”,事件B為“方程表示焦點在軸上的雙曲線”,分別計算出,再利用公式計算即可.【詳解】設事件A為“方程表示雙曲線”,事件B為“方程表示焦點在軸上的雙曲線”,由題意,,,則所求的概率為.故選:A.【點睛】本題考查利用定義計算條件概率的問題,涉及到雙曲線的定義,是一道容易題.7.C【解析】

求出集合,計算出和,即可得出結論.【詳解】,,,.故選:C.【點睛】本題考查交集和并集的計算,考查計算能力,屬于基礎題.8.A【解析】

若過點且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點,則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率.根據這個結論可以求出雙曲線離心率的取值范圍.【詳解】已知雙曲線的右焦點為,若過點且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點,則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率,,離心率,,故選:.【點睛】本題考查雙曲線的性質及其應用,解題時要注意挖掘隱含條件.9.C【解析】

作出三視圖所表示幾何體的直觀圖,可得直觀圖為直三棱柱,并且底面為等腰直角三角形,即可求得外接球的半徑,即可得外接球的體積.【詳解】如圖為幾何體的直觀圖,上下底面為腰長為的等腰直角三角形,三棱柱的高為4,其外接球半徑為,所以體積為.故選:C【點睛】本題考查三視圖還原幾何體的直觀圖、球的體積公式,考查空間想象能力、運算求解能力,求解時注意球心的確定.10.D【解析】

設,,,根據可得①,再根據又②,由①②可得,化簡可得,即可求出離心率.【詳解】解:設,,,∵,∴,即,①又,②,由①②可得,∵,∴,∴,∴,即,故選:D.【點睛】本題考查雙曲線的方程和性質,考查了斜率的計算,離心率的求法,屬于基礎題和易錯題.11.A【解析】

在中,由余弦定理,得到,再利用即可建立的方程.【詳解】由已知,,在中,由余弦定理,得,又,,所以,,故選:A.【點睛】本題考查雙曲線離心率的計算問題,處理雙曲線離心率問題的關鍵是建立三者間的關系,本題是一道中檔題.12.D【解析】

如圖,設雙曲線的右焦點為,連接并延長交右支于,連接,設,利用雙曲線的幾何性質可以得到,,結合、可求離心率.【詳解】如圖,設雙曲線的右焦點為,連接,連接并延長交右支于.因為,故四邊形為平行四邊形,故.又雙曲線為中心對稱圖形,故.設,則,故,故.因為為直角三角形,故,解得.在中,有,所以.故選:D.【點睛】本題考查雙曲線離心率,注意利用雙曲線的對稱性(中心對稱、軸對稱)以及雙曲線的定義來構造關于的方程,本題屬于難題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.10【解析】

①根據換底公式計算即可得解;②根據同底對數加法法則,結合①的結果即可求解.【詳解】①由題:,則;②由①可得:.故答案為:①1,②0【點睛】此題考查對數的基本運算,涉及換底公式和同底對數加法運算,屬于基礎題目.14.2【解析】

根據比賽場次,分析,畫出圖象,計算結果.【詳解】畫圖所示,可知目前(五)班已經賽了2場.故答案為:2【點睛】本題考查推理,計數原理的圖形表示,意在考查數形結合分析問題的能力,屬于基礎題型.15.0【解析】

利用等差中項以及等比數列的前項和公式即可求解.【詳解】由,,是等差數列可知因為,所以,故答案為:0【點睛】本題考查了等差中項的應用、等比數列的前項和公式,需熟記公式,屬于基礎題.16.【解析】

利用絕對值的幾何意義,確定出的最小值,然后根據題意即可得到的取值范圍化簡不等式,求出的最大值,然后求出結果【詳解】的最小值為,則要使不等式的解集不是空集,則有化簡不等式有,即而當時滿足題意,解得或所以答案為【點睛】本題主要考查的是函數恒成立的問題和絕對值不等式,要注意到絕對值的幾何意義,數形結合來解答本題,注意去絕對值時的分類討論化簡三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2)存在,Q為線段中點【解析】

解法一:(1)作出平面與平面的交線,可證平面,計算,,得出,從而得出的大小;(2)證明平面,故而可得當Q為線段的中點時.解法二,以為原點,以為建立空間直角坐標系:(1)由,利用空間向量的數量積可求線面角;(2)設上存在一定點Q,設此點的橫坐標為,可得,由向量垂直,數量積等于零即可求解.【詳解】(1)解法一:連接交于,設與平面的公共點為,連接,則平面平面,四邊形是正方形,,平面,平面,,又,平面,為直線AP與平面所成角,平面,平面,平面平面,,又為的中點,,,,直線AP與平面所成角為.(2)四邊形正方形,,平面,平面,,又,平面,又平面,,當Q為線段中點時,對于任意的實數,都有.解法二:(1)建立如圖所示的空間直角坐標系,則,,所以,,,又由,,則為平面的一個法向量,設直線AP與平面所成角為,則,故當時,直線AP與平面所成角為.(2)若在上存在一定點Q,設此點的橫坐標為,則,,依題意,對于任意的實數要使,等價于,即,解得,即當Q為線段中點時,對于任意的實數,都有.【點睛】本題考查了線面垂直的判定定理、線面角的計算,考查了空間向量在立體幾何中的應用,屬于中檔題.18.(1)(2)證明見解析【解析】

(1),①當時,,②兩式相減即得數列的通項公式;(2)先求出,再利用裂項相消法求和證明.【詳解】(1)解:,①當時,.當時,,②由①-②,得,因為符合上式,所以.(2)證明:因為,所以.【點睛】本題主要考查數列通項的求法,考查數列求和,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.19.(1)(2)【解析】

(1)由公比表示出,由成等差數列可求得,從而數列的通項公式;(2)求(1)得,然后對和式兩兩并項后利用等差數列的前項和公式可求解.【詳解】(1)∵是等比數列,且成等差數列∴,即∴,解得:或∵,∴∵∴(2)∵∴【點睛】本題考查等比數列的通項公式,考查并項求和法及等差數列的項和公式.本題求數列通項公式所用方法為基本量法,求和是用并項求和法.數列的求和除公式法外,還有錯位相關法、裂項相消法、分組(并項)求和法等等.20.(1);(2)證明見解析.【解析】

(1)根據題意,在上單調遞減,求導得,分類討論的單調性,結合題意,得出的解析式;(2)由為方程的兩個實根,得出,,兩式相減,分別算出和,利用換元法令和構造函數,根據導數研究單調性,求出,即可證出結論.【詳解】(1)根據題意,對任意兩個不等的正實數,都有恒成立.則在上單調遞減,因為,當時,在內單調遞減.,當時,由,有,此時,當時,單調遞減,當時,單調遞增,綜上,,所以.(2)由為方程的兩個實根,得,兩式相減,可得,因此,令,由,得,則,構造函數.則,所以函數在上單調遞增,故,即,可知,故,命題得證.【點睛】本題考查利用導數研究函數的單調性求函數的解析式、以及利用構造函數法證明不等式,考查轉化思想、解題分析能力和計算能力.21.(1);(2)【解析】

(1)將代入可得集合B,解對數不等式可得集合A,由并集運算即可得解.(2)由可知B為A的子集,即;當符合題意,當B不為空集時,由不等式關系即可求得的取值范圍.【詳解】(1)若,則,依題意,故;(2)因為,故;若,即時,,符合題意;若,即時,,解得;綜上所述,實數的取值范圍為.【點睛】本題考查了集合的并集運算,由集合的包含關系求參數的取值范圍,注意討論集合是否為空集的情況,屬于基礎題.22.(1)證明見解析(2)【解析】

(1)先證,再證,由可得平面,從而推出平面

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