20XX年屆市高三上學(xué)期第一次診斷性檢測數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）20XX年屆市高三上學(xué)期第一次診斷性檢測數(shù)學(xué)（理）試題一、單項(xiàng)選擇題1．若復(fù)數(shù)與（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，則( )A．B．C．D．B由題意得復(fù)數(shù)z1與的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)，則

z1

可求．

∵復(fù)數(shù)

z1

與（i

為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，

∴復(fù)數(shù)

z1

與（i

為虛數(shù)單位）的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)，則z1＝．應(yīng)選：B．本題觀察復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．2．已知會(huì)集，，若，則實(shí)數(shù)的值為( )A．或B．或C．或D．或D依照會(huì)合并集的定義即可獲取答案.會(huì)集，，且，所以或.應(yīng)選：D本題主要觀察會(huì)合并集的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．3．若，則( )A．B．C．D．C由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式，求得，再利用倍角公式求得的值．，，得，.應(yīng)選：本題主要觀察同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、引誘公式，倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4．某校隨機(jī)抽取100名同學(xué)進(jìn)行“垃圾分類“的問卷測試，測試結(jié)果發(fā)現(xiàn)這100名同學(xué)的得分都在[50，100]內(nèi)，按得分分成5組：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，獲取以以下圖的頻率分布直方圖，則這100名同學(xué)的得分的中位數(shù)為( )A．B．C．D．A依照頻率分布直方圖求得中位數(shù)即可.在頻率分步直方圖中，小正方形的面積表示這組數(shù)據(jù)的頻率，中位數(shù)為：.應(yīng)選：A本題觀察頻率分布直方圖的相關(guān)知識(shí)，直方圖中的各個(gè)矩形的面積代表了頻率，所有各個(gè)矩形面積之和為1，也觀察了中位數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．5．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則( )A．B．C．D．D將S9，S5轉(zhuǎn)變成用a5，a3表達(dá)的算式即可獲取結(jié)論.由等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，＝＝，且，∴＝×3＝.應(yīng)選：D．本題觀察了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，等差中項(xiàng)的性質(zhì)，觀察計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6．已知是空間中兩個(gè)不相同的平面，是空間中兩條不相同的直線，則以下說法正確的選項(xiàng)是( )A．若，，且，則B．若，，且，則C．若，，且，則D．若，，且，則C由空間中直線與直線、直線與平面及平面與平面地址關(guān)系逐一核對(duì)四個(gè)選項(xiàng)得答案．由m∥α，n∥β，且α∥β，得m∥n或m與n異面，故A錯(cuò)誤；由m∥α，n∥β，且α⊥β，得m∥n或m與n訂交或m與n異面，故B錯(cuò)誤；由m⊥α，α∥β，得m⊥β，又n∥β，則m⊥n，故C正確；由m⊥α，n∥β且α⊥β，得m∥n或m與n訂交或m與n異面，故D錯(cuò)誤．應(yīng)選：C．本題觀察命題的真假判斷與應(yīng)用，觀察空間中直線與直線、直線與平面及平面與平面地址關(guān)系的判斷與應(yīng)用，觀察空間想象能力與思想能力，屬于中檔題．7．的張開式的常數(shù)項(xiàng)為( )A．B．C．D．B利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式計(jì)算即可得出．的張開式的通項(xiàng)公式為：Tr+1＝（）6﹣r=（）6﹣r=．令6﹣2r＝﹣2，或6﹣2r＝0，分別解得r＝4，或r＝3．所以的張開式的常數(shù)項(xiàng)為+2×＝應(yīng)選：本題觀察了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用、方程思想方法，觀察了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8．將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再把所得圖象向左平移個(gè)單位長度，獲取函數(shù)的圖象，則函數(shù)的解析式為( )A．B．C．D．A利用函數(shù)的圖象平移變換和伸縮變換的應(yīng)用求出結(jié)果即可.函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象，再把所得圖象向左平移個(gè)單位長度，獲取函數(shù)f（x）＝的圖象.應(yīng)選：A．本題觀察了函數(shù)圖象的平移和伸縮變換的應(yīng)用，主要觀察學(xué)生的運(yùn)算能力和變換能力及思想能力，屬于基礎(chǔ)題．9．已知拋物線的焦點(diǎn)為，是拋物線上兩個(gè)不相同的點(diǎn)若，則線段的中點(diǎn)到軸的距離為( )A．B．C．D．B拋物線到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)變成到準(zhǔn)線的距離，可求出橫坐標(biāo)之和，進(jìn)而求出中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求出結(jié)果即可.由拋物線方程，得其準(zhǔn)線方程為：，設(shè)，，由拋物線的性質(zhì)得，，中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，線段的中點(diǎn)到軸的距離為：.應(yīng)選：B．本題觀察了拋物線定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．10．已知，，，則( )A．B．C．D．C利用根式的運(yùn)算性質(zhì)、冪函數(shù)的單調(diào)性可得a，b的大小關(guān)系，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出c＜1．∵＝，且=＝，∴，．∴．應(yīng)選：C．本題觀察了根式的運(yùn)算性質(zhì)、冪函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．11．已知定義在上的數(shù)滿足，當(dāng)時(shí).若關(guān)于的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )A．B．C．D．D依照f（2﹣x）＝f（2+x）可知函數(shù)f（x）關(guān)于x＝2對(duì)稱，利用當(dāng)時(shí)，畫出函數(shù)y＝f（x）的大體圖象．由題意轉(zhuǎn)變成y＝k（x﹣2）+e﹣1與f（x）有三個(gè)交點(diǎn)，直線恒過定點(diǎn)（2，e﹣1），再依照數(shù)形結(jié)合法可得k的取值范圍．由題意，當(dāng)x≤2時(shí)，（fx）＝（x﹣1）ex﹣1．f′（x）＝xex．①令f′（x）＝0，解得x＝0；②令f′（x）＜0，解得x＜0；③令f（′x）＞0，解得0＜x≤2．∴f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，2]上單調(diào)遞加，在x＝0處獲取極小值f（0）＝﹣2．且f（1）＝﹣1；x→﹣∞，f（x）→0．又∵函數(shù)f（x）在R上滿足f（2﹣x）＝f（2+x），∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x＝2對(duì)稱．∴函數(shù)y＝f（x）的大體圖象以以下圖：關(guān)于x的方程f（x）﹣kx+2k﹣e+1＝0可轉(zhuǎn)變成f（x）＝kx﹣2）+e﹣1．而一次函數(shù)y＝k（x﹣2）+e﹣1很明顯是恒過定點(diǎn)（2，e﹣1）．結(jié)合圖象，當(dāng)k＝0時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)，不吻合題意，當(dāng)k＝e時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)是（1，﹣1）．此時(shí)y＝f（x）與y＝k（x﹣2）+e﹣1正好相切．∴當(dāng)0＜k＜e時(shí)，有三個(gè)交點(diǎn)．同理可適合﹣e＜k＜0時(shí)，也有三個(gè)交點(diǎn)．實(shí)數(shù)k的取值范圍為：（﹣e，0）∪（0，e）．應(yīng)選：D．本題主要觀察數(shù)形結(jié)合法的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)解析函數(shù)的單調(diào)性并畫出函數(shù)圖象，再依照直線過定點(diǎn)而斜率變動(dòng)解析出斜率的取值范圍，屬于中檔題．12．如圖，在邊長為的正方形中，線段BC的端點(diǎn)分別在邊、上滑動(dòng)，且，現(xiàn)將，分別沿AB，AC折起使點(diǎn)重合，重合后記為點(diǎn)，獲取三被錐.現(xiàn)有以下結(jié)論：①平面；②當(dāng)分別為、的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為；③的取值范圍為；④三棱錐體積的最大值為.則正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為( )A．B．C．D．C依照題意得,折疊成的三棱錐P﹣ABC的三條側(cè)棱滿足PAPB、PAPC，由線面垂直的判判斷理得①正確；三棱錐P﹣ABC的外接球的直徑等于以PA、PB、PC為長、寬、高的長方體的對(duì)角線長，由此結(jié)合

AP＝2、BP＝CP＝1，得外接球的半徑R＝，由此得三棱錐P﹣ABC的外接球的體積，故②正確；由題意得，，，在中，由邊長關(guān)系得，故③正確；由等體積轉(zhuǎn)變計(jì)算即可，故④錯(cuò)誤.由題意得，折疊成的三棱錐P﹣ABC的三條側(cè)棱滿足PAPB、PAPC，在①中，由PAPB，PAPC，且PBPC，所以平面建立，故①正確；在②中，當(dāng)分別為、的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐P﹣ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，三棱錐P﹣ABC的外接球直徑等于以PA、PB、PC為長、寬、高的長方體的對(duì)角線長，結(jié)合AP＝2、BP＝CP＝，得外接球的半徑R＝，因別的接球的表面積為，故②正確；在③中，正方形的邊長為2，所以，，，在中，由邊長關(guān)系得+，解得，故③正確；在④中，正方形的邊長為2，且，則，所以在上遞減，無最大值，故④錯(cuò)誤.應(yīng)選：C本題將正方形折疊成三棱錐，求三棱錐的外接球的表面積．重視觀察了長方體的對(duì)角線長公式、等體積轉(zhuǎn)變求三棱錐的體積最值等知識(shí)，屬于中檔題．二、填空題13．已知實(shí)數(shù)滿足拘束條件，則的最大值為_______6.作出不等式對(duì)應(yīng)的平面地域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，經(jīng)過平移即可求z的最大值．作出實(shí)數(shù)x，y滿足拘束條件對(duì)應(yīng)的平面地域如圖：（陰影部分）由得y＝﹣x+z，平移直線y＝﹣x+z，由圖象可知當(dāng)直線y＝﹣x+z經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線y＝﹣x+z的截距最大，此時(shí)z最大．由，解得A（2，2），代入目標(biāo)函數(shù)z＝x+2y得z2×2+2＝6.故答案為：6．本題主要觀察線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用圖象平行求得目標(biāo)函數(shù)的最大值和最小值，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃問題中的基本方法，屬于基礎(chǔ)題．14．設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，，則_______.將已知條件轉(zhuǎn)變成基本量a1，q的方程組，解方程組獲取a1，q，進(jìn)而可以獲取an．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，得，解得，∴an＝＝3-3n﹣1＝3n.故答案為：3n本題觀察了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，主要觀察計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15．已知平面向量，滿足，，且，則向量與的夾角的大小為_______.利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，求出向量與的夾角即可．∵平面向量，滿足，，且，∴，∴．設(shè)向量與的夾角的大小為θ，則2--cosθ＝，求得cosθ＝，∵，故θ＝.故答案為：．本題主要觀察兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，屬于基礎(chǔ)題．16．已知直線與雙曲線訂交于不相同的兩點(diǎn)，為雙曲線的左焦點(diǎn)，且滿足，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為_______.取雙曲線的右焦點(diǎn)，連接A，B，可得四邊形ABF為平行四邊形，運(yùn)用雙曲線的定義和平行四邊形的對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和，以及離心率公式可得所求值．設(shè)|BF|＝m，則|，取雙曲線的右焦點(diǎn)，連接A，B，可得四邊形ABF為平行四邊形，可得|A|＝|BF|＝m，設(shè)A在第一象限，可得3m﹣m＝2a，即m＝a，由平行四邊形的對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和，可得（2b）2+（2c）2＝2（a2+9a2），化為c2＝3a2，則e＝＝．故答案為：．本題觀察雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，觀察平行四邊形的性質(zhì)，以及化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題．三、解答題17．在中，角的對(duì)邊分別為，且.（1）求的值；（2）若的面積為，且，求的周長.（1）；（2）（1）由已知條件結(jié)合余弦定理可求cosA的值，進(jìn)而依照同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinA的值．（2）利用三角形的面積公式可求bc的值，由正弦定理化簡已知等式可得b＝3c，解得b，c的值，依照余弦定理可求a的值，即可求解三角形的周長．（1）∵，∴由余弦定理可得2bccosA＝bc，∴cosA＝，∴在△ABC中，sinA＝＝．（2）∵△ABC的面積為，即bcsinA＝bc＝，∴bc＝6，又∵sinB＝3sinC，由正弦定理可得b＝3c，∴b＝3，c＝2，則a2＝b2+c2﹣2bccosA＝6，，所以周長為.本題主要觀察了余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形的面積公式，正弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，觀察了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)變思想，屬于中檔題．18．某公司有1000名員工，其中男性員工400名，采用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取100名員工進(jìn)行5G手機(jī)購買意向的檢查，將計(jì)劃在今年購買5G手機(jī)的員工稱為“追光族“，計(jì)劃在明年及明年今后才購買5G手機(jī)的員工稱為“觀看者”，檢查結(jié)果發(fā)現(xiàn)抽取的這100名員工中屬于“追光族”的女性員工和男性員工各有20人.（1）完成以以下聯(lián)表，并判斷可否有95%的掌握認(rèn)為該公司員工屬于“追光族“與“性別“相關(guān)；屬于“追光族“屬于“觀看者“合計(jì)女性員工男性員工合計(jì)100（2）已知被抽取的這100名員工中有10名是人事部的員工，這10名中有3名屬于“追光族”現(xiàn).從這10名中隨機(jī)抽取3名，記被抽取的3名中屬于“追光族”的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求的分布列及數(shù)學(xué)希望.附，其中0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（1）表見解析，沒有95%的掌握認(rèn)為該公司員工屬于“追光族“與“性別“相關(guān)；（2）分布列見解析，（1）依照題意，列出列聯(lián)表，計(jì)算K2，查表判斷即可；（2）隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3，分布求出對(duì)應(yīng)概率，列出分布列，求希望即可．（1）由題意得，2×2列聯(lián)表以下：屬于“追光族“屬于“觀看者“合計(jì)女性員工204060男性員工202040合計(jì)4060100，故沒有95%的掌握認(rèn)為該公司員工屬于“追光族“與“性別“相關(guān)；（2）由題意得，隨機(jī)變量X的所有可能的取值為0，1，2，3，；；；.所以的分布列為X0123P本題觀察了獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查了超幾何分布，主要觀察解析解決問題的能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．19．如圖，在四棱錐中，平面，底面為菱形，且，為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若，，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.（1）見解析；（2）（1）依照菱形基本性質(zhì)得BC⊥AE，再由線面垂直得BC⊥AP，故

BC⊥平面

PAE；（2）以P為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面BAP與平面CDP的法向量計(jì)算即可.（1）連接AC，因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，且∠ABC＝60°，所以ABC為正三角形，因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以BC⊥AE，又因?yàn)锳P⊥平面PBC，BC?平面PBC，所以BC⊥AP，因?yàn)锳P∩AEA，AP，AE?平面PAE，所以BC⊥平面PAE；2）因?yàn)锳P⊥平面PBC，PB?平面PBC，所以AP⊥PB，又因?yàn)锳B＝2，PA＝1，所以PB＝，由（1）得BC⊥PE，又因?yàn)镋為BC中點(diǎn)，所以PB＝PC＝，EC＝1，所以PE＝，如圖，過點(diǎn)P作BC的平行線PQ，則PQ，PE，PA兩兩互相垂直，以P為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x，y，z軸建立以以下圖的空間直角坐標(biāo)系，則P（0，0，0），A（0，0，1），B（，﹣1，0），C（，1，0），D（0，2，1），設(shè)平面BAP的一個(gè)法向量＝（x，y，z），又＝（0，0，1），＝（，﹣1，0），由，得x﹣y＝0，z＝0，令x＝1，則＝（1，，0），設(shè)平面CDP的一個(gè)法向量＝（a，b，c），又＝（，1，0），＝（0，2，1），由，得a+b＝0，2y+z＝0，令a＝1，則＝（1，﹣，2），所以，即平面ABP與平面CDP所成銳二面角的余弦值為．本題觀察空間平面二面角問題，涉及證明線面垂直等知識(shí)點(diǎn)，建系是解決該類問題的常用方法，屬于中檔題．20．已知函數(shù)，（1）談?wù)摵瘮?shù)的單調(diào)性；2）當(dāng)時(shí)，證明：，（1）答案不唯一，見解析；2）見解析；1）求出導(dǎo)數(shù)，談?wù)揳的取值范圍，求出單調(diào)區(qū)間；2）由（1）得函數(shù)函數(shù)在內(nèi)的最小值為，依照題意轉(zhuǎn)變成在恒建馬上可.（1）,因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，函數(shù)在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞加；當(dāng)時(shí)，即，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞加，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞加；當(dāng)時(shí)，即，函數(shù)在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞加，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞加；綜上：當(dāng)時(shí)，在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞加；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞加，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞加；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞加；當(dāng)時(shí)，在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞加，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞加.（2）當(dāng)時(shí)，由（1）可得函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞加，函數(shù)在內(nèi)的最小值為，要證：不等式建立，即證：，即證：，，即證：，令，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，，因?yàn)椋瑒t，即當(dāng)時(shí)，建立則當(dāng)時(shí)，建立.本題觀察利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，運(yùn)用分類談?wù)撍枷胧且c(diǎn)，涉及構(gòu)造新函數(shù)求區(qū)間等問題，屬于中檔題．21．已知橢圓:的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線（不與軸重合）與橢圓訂交于，兩點(diǎn)，直線：與軸訂交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為D．（1）求四邊形（為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的取值范圍；2）證明直線過定點(diǎn)，并求出點(diǎn)的坐標(biāo).（1）；2）證明見解析，（1）由題意設(shè)直線AB的方程，代入橢圓整理得縱坐標(biāo)之和與之積，將四邊形的面積分成2個(gè)三角形，依照底相同，列出關(guān)于面積的函數(shù)式，再結(jié)合均值不等式可得面積的取值范圍；2）由（1）得B，D的坐標(biāo)，設(shè)直線BD的方程，令縱坐標(biāo)為零得橫坐標(biāo)是定值，即直線BD過定點(diǎn)．（1）由題F（1,0），設(shè)直線AB：，聯(lián)立，消去x，得，因?yàn)椋瑒t所以四邊形OAHB的面積，令因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)t=1即m=0時(shí)取等號(hào)），所以，所以四邊形OAHB的面積取值范圍為；（2），所以直線BD的斜率，所以直線BD的方程為，令y=0，可得①由（1）可得化簡①可得則直線BD過定點(diǎn).本題觀察了直線和橢圓的地址關(guān)系，四邊形面積的取值范圍，求直線的方程，證明直線過定點(diǎn)的等問題，觀察