2017年湖南省長沙市中考數學試卷(含答案解析版)2017年湖南省長沙市中考數學試卷(含答案解析版)2017年湖南省長沙市中考數學試卷(含答案解析版)第23頁（共23頁）2017年湖南省長沙市中考數學試卷(含答案解析版)編輯整理：尊敬的讀者朋友們：這里是精品文檔編輯中心，本文檔內容是由我和我的同事精心編輯整理后發布的，發布之前我們對文中內容進行仔細校對，但是難免會有疏漏的地方，但是任然希望（2017年湖南省長沙市中考數學試卷(含答案解析版)）的內容能夠給您的工作和學習帶來便利。同時也真誠的希望收到您的建議和反饋，這將是我們進步的源泉，前進的動力。本文可編輯可修改，如果覺得對您有幫助請收藏以便隨時查閱，最后祝您生活愉快業績進步，以下為2017年湖南省長沙市中考數學試卷(含答案解析版)的全部內容。2017年湖南省長沙市中考數學試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）1．（3分)下列實數中,為有理數的是(）A． B．π C． D．12．(3分）下列計算正確的是(）A．= B．a+2a=2a2 C．x（1+y）=x+xy D．（mn2）3=mn63．（3分）據國家旅游局統計，2017年端午小長假全國各大景點共接待游客約為82600000人次,數據82600000用科學記數法表示為（）A．0。826×106 B．8.26×107 C．82.6×106 D．8。26×1084．(3分）在下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A．直角三角形 B．正五邊形 C．正方形 D．平行四邊形5．（3分)一個三角形的三個內角的度數之比為1：2：3，則這個三角形一定是（）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形6．（3分）下列說法正確的是（)A．檢測某批次燈泡的使用壽命，適宜用全面調查B．可能性是1%的事件在一次試驗中一定不會發生C．數據3，5,4，1,﹣2的中位數是4D．“367人中有2人同月同日出生”為必然事件7．(3分）某幾何體的三視圖如圖所示，因此幾何體是（）A．長方形 B．圓柱 C．球 D．正三棱柱8．(3分）拋物線y=2(x﹣3）2+4頂點坐標是（）A．（3，4） B．(﹣3，4） C．（3,﹣4） D．（2，4)9．（3分）如圖,已知直線a∥b,直線c分別與a，b相交，∠1=110°,則∠2的度數為（）A．60° B．70° C．80° D．110°10．（3分）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD的長分別為6cm,8cm，則這個菱形的周長為（）A．5cm B．10cm C．14cm D．20cm11．(3分）中國古代數學著作《算法統宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關，初日健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關．”其大意是，有人要去某關口,路程為378里，第一天健步行走,從第二天起,由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，一共走了六天才到達目的地，則此人第六天走的路程為（）A．24里 B．12里 C．6里 D．3里12．（3分)如圖，將正方形ABCD折疊，使頂點A與CD邊上的一點H重合(H不與端點C，D重合），折痕交AD于點E，交BC于點F，邊AB折疊后與邊BC交于點G．設正方形ABCD的周長為m,△CHG的周長為n，則的值為(）A． B．C． D．隨H點位置的變化而變化二、填空題（本大題共6小題，每小題3分,共18分)13．（3分）分解因式：2a2+4a+2=．14．（3分）方程組的解是．15．(3分）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E,已知CD=6，EB=1，則⊙O的半徑為．16．(3分）如圖，△ABO三個頂點的坐標分別為A（2,4），B（6，0）,O(0,0），以原點O為位似中心，把這個三角形縮小為原來的，可以得到△A′B′O，已知點B′的坐標是(3,0）,則點A′的坐標是．17．(3分)甲、乙兩名同學進行跳高測試，每人10次跳高的平均成績恰好是1.6米,方差分別是S甲2=1。2,S乙2=0.5，則在本次測試中，同學的成績更穩定（填“甲”或“乙"）18．（3分）如圖，點M是函數y=x與y=的圖象在第一象限內的交點，OM=4，則k的值為．三、解答題（本大題共8小題,共66分）19．（6分）計算：｜﹣3|+(π﹣2017）0﹣2sin30°+（）﹣1．20．（6分）解不等式組，并把它的解集在數軸上表示出來．21．（8分）為了傳承中華優秀傳統文化,市教育局決定開展“經典誦讀進校園”活動，某校團委組織八年級100名學生進行“經典誦讀"選拔賽，賽后對全體參賽學生的成績進行整理，得到下列不完整的統計圖表．組別分數段頻次頻率A60≤x＜70170。17B70≤x＜8030aC80≤x＜90b0。45D90≤x＜10080。08請根據所給信息,解答以下問題：(1）表中a=，b=;(2）請計算扇形統計圖中B組對應扇形的圓心角的度數；（3)已知有四名同學均取得98分的最好成績，其中包括來自同一班級的甲、乙兩名同學,學校將從這四名同學中隨機選出兩名參加市級比賽，請用列表法或畫樹狀圖法求甲、乙兩名同學都被選中的概率．22．(8分）為了維護國家主權和海洋權利，海監部門對我國領海實現了常態化巡航管理,如圖,正在執行巡航任務的海監船以每小時50海里的速度向正東方航行，在A處測得燈塔P在北偏東60°方向上，繼續航行1小時到達B處,此時測得燈塔P在北偏東30°方向上．(1）求∠APB的度數；（2）已知在燈塔P的周圍25海里內有暗礁，問海監船繼續向正東方向航行是否安全？23．（9分)如圖，AB與⊙O相切于點C,OA，OB分別交⊙O于點D,E,=(1)求證：OA=OB；(2）已知AB=4,OA=4,求陰影部分的面積．24．(9分）自從湖南與歐洲的“湘歐快線”開通后，我省與歐洲各國經貿往來日益頻繁,某歐洲客商準備在湖南采購一批特色商品,經調查,用16000元采購A型商品的件數是用7500元采購B型商品的件數的2倍，一件A型商品的進價比一件B型商品的進價多10元．（1)求一件A，B型商品的進價分別為多少元？（2)若該歐洲客商購進A，B型商品共250件進行試銷，其中A型商品的件數不大于B型的件數，且不小于80件．已知A型商品的售價為240元/件，B型商品的售價為220元/件，且全部售出．設購進A型商品m件，求該客商銷售這批商品的利潤v與m之間的函數關系式，并寫出m的取值范圍；（3）在（2）的條件下，歐洲客商決定在試銷活動中每售出一件A型商品，就從一件A型商品的利潤中捐獻慈善資金a元,求該客商售完所有商品并捐獻慈善資金后獲得的最大收益．25．(10分）若三個非零實數x，y,z滿足：只要其中一個數的倒數等于另外兩個數的倒數的和，則稱這三個實數x，y，z構成“和諧三組數”．（1)實數1，2，3可以構成“和諧三組數”嗎?請說明理由；（2）若M（t，y1)，N（t+1，y2）,R（t+3，y3)三點均在函數y=(k為常數,k≠0）的圖象上,且這三點的縱坐標y1，y2,y3構成“和諧三組數”，求實數t的值；（3）若直線y=2bx+2c（bc≠0）與x軸交于點A（x1,0)，與拋物線y=ax2+3bx+3c(a≠0）交于B（x2，y2），C（x3，y3）兩點．①求證:A，B，C三點的橫坐標x1，x2，x3構成“和諧三組數”；②若a＞2b＞3c，x2=1,求點P（，）與原點O的距離OP的取值范圍．26．(10分）如圖，拋物線y=mx2﹣16mx+48m（m＞0）與x軸交于A，B兩點(點B在點A左側），與y軸交于點C,點D是拋物線上的一個動點，且位于第四象限,連接OD、BD、AC、AD，延長AD交y軸于點E．（1)若△OAC為等腰直角三角形，求m的值;(2）若對任意m＞0，C、E兩點總關于原點對稱,求點D的坐標（用含m的式子表示）；（3）當點D運動到某一位置時，恰好使得∠ODB=∠OAD，且點D為線段AE的中點,此時對于該拋物線上任意一點P（x0,y0）總有n+≥﹣4my02﹣12y0﹣50成立，求實數n的最小值．

2017年湖南省長沙市中考數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題(本大題共12小題，每小題3分，共36分）1．（3分)下列實數中，為有理數的是（）A． B．π C． D．1【分析】根據有理數是有限小數或無限循環小數，無理數是無限不循環小數，可得答案．【解答】解：,π，是無理數,1是有理數，故選：D．【點評】本題考查了實數，正確區分有理數與無理數是解題關鍵．2．（3分）下列計算正確的是（）A．= B．a+2a=2a2 C．x（1+y)=x+xy D．（mn2）3=mn6【分析】分別利用合并同類項法則以及單項式乘以多項式和積的乘方運算法則化簡判斷即可．【解答】解：A、+無法計算，故此選項錯誤；B、a+2a=3a,故此選項錯誤;C、x（1+y）=x+xy，正確；D、（mn2)3=m3n6，故此選項錯誤；故選：C．【點評】此題主要考查了合并同類項以及單項式乘以多項式和積的乘方運算等知識，正確掌握運算法則是解題關鍵．3．（3分)據國家旅游局統計，2017年端午小長假全國各大景點共接待游客約為82600000人次，數據82600000用科學記數法表示為（)A．0.826×106 B．8.26×107 C．82.6×106 D．8。26×108【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤｜a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時,小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值＞1時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．【解答】解：將82600000用科學記數法表示為:8.26×107．故選B．【點評】此題考查了科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式,其中1≤｜a｜＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．4．（3分）在下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（)A．直角三角形 B．正五邊形 C．正方形 D．平行四邊形【分析】根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．【解答】解：A、既不是軸對稱圖形,也不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；C、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形,故本選項正確；D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項錯誤．故選C．【點評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸,圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心,旋轉180度后兩部分重合．5．（3分)一個三角形的三個內角的度數之比為1：2:3,則這個三角形一定是（）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形【分析】根據三角形內角和等于180°計算即可．【解答】解：設三角形的三個內角的度數之比為x、2x、3x，則x+2x+3x=180°，解得，x=30°，則3x=90°，∴這個三角形一定是直角三角形，故選:B．【點評】本題考查的是三角形內角和定理的應用，掌握三角形內角和等于180°是解題的關鍵．6．(3分)下列說法正確的是(）A．檢測某批次燈泡的使用壽命，適宜用全面調查B．可能性是1％的事件在一次試驗中一定不會發生C．數據3，5,4,1，﹣2的中位數是4D．“367人中有2人同月同日出生”為必然事件【分析】根據可能性的大小、全面調查與抽樣調查的定義及中位數概念、必然事件、不可能事件、隨機事件的概念進行判斷即可．【解答】解：A、檢測某批次燈泡的使用壽命，調查具有破壞性，應采用抽樣調查，此選項錯誤；B、可能性是1%的事件在一次試驗中可能發生，此選項錯誤；C、數據3，5，4,1，﹣2的中位數是3，此選項錯誤；D、“367人中有2人同月同日出生”為必然事件，此選項正確；故選:D．【點評】本題主要考查可能性的大小、全面調查與抽樣調查的定義及中位數概念、隨機事件，熟練掌握基本定義是解題的關鍵．7．(3分）某幾何體的三視圖如圖所示，因此幾何體是（）A．長方形 B．圓柱 C．球 D．正三棱柱【分析】從正面看到的圖叫做主視圖，從左面看到的圖叫做左視圖，從上面看到的圖叫做俯視圖．【解答】解:從正面看,是一個矩形；從左面看，是一個矩形；從上面看，是圓，這樣的幾何體是圓柱，故選B．【點評】本題考查了幾何體的三種視圖，注意所有的看到的棱都應表現在三視圖中．8．（3分）拋物線y=2（x﹣3）2+4頂點坐標是(）A．(3，4) B．（﹣3,4） C．（3，﹣4） D．（2，4）【分析】已知解析式為頂點式，可直接根據頂點式的坐標特點，求頂點坐標．【解答】解：y=2（x﹣3）2+4是拋物線的頂點式，根據頂點式的坐標特點可知，頂點坐標為（3，4)．故選A．【點評】此題主要考查了二次函數的性質,關鍵是熟記：頂點式y=a(x﹣h）2+k，頂點坐標是(h，k），對稱軸是x=h．9．（3分）如圖,已知直線a∥b,直線c分別與a，b相交，∠1=110°,則∠2的度數為（)A．60° B．70° C．80° D．110°【分析】直接根據平行線的性質即可得出結論．【解答】解：∵直線a∥b,∴∠3=∠1=110°，∴∠2=180°﹣110°=70°，故選B．【點評】本題考查的是平行線的性質,用到的知識點為:兩直線平行，同位角相等．10．（3分）如圖,菱形ABCD的對角線AC，BD的長分別為6cm，8cm，則這個菱形的周長為（)A．5cm B．10cm C．14cm D．20cm【分析】根據菱形的對角線互相垂直平分可得AC⊥BD，OA=AC，OB=BD，再利用勾股定理列式求出AB，然后根據菱形的四條邊都相等列式計算即可得解．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=AC=×6=3cm，OB=BD=×8=4cm，根據勾股定理得,AB===5cm，所以，這個菱形的周長=4×5=20cm．故選D．【點評】本題考查了菱形的性質，勾股定理，主要利用了菱形的對角線互相垂直平分，需熟記．11．（3分）中國古代數學著作《算法統宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關，初日健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關．”其大意是，有人要去某關口，路程為378里，第一天健步行走，從第二天起,由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，一共走了六天才到達目的地,則此人第六天走的路程為（)A．24里 B．12里 C．6里 D．3里【分析】設第一天走了x里，則第二天走了x里，第三天走了×x…第六天走了（）5x里，根據路程為378里列出方程并解答．【解答】解:設第一天走了x里，依題意得：x+x+x+x+x+x=378，解得x=192．則(）5x=（）5×192=6（里)．故選：C．【點評】本題考查了一元一次方程的應用．根據題意得到（）5x里是解題的難點．12．（3分）如圖，將正方形ABCD折疊，使頂點A與CD邊上的一點H重合（H不與端點C,D重合），折痕交AD于點E,交BC于點F，邊AB折疊后與邊BC交于點G．設正方形ABCD的周長為m，△CHG的周長為n，則的值為（)A． B．C． D．隨H點位置的變化而變化【分析】設CH=x，DE=y，則DH=﹣x，EH=﹣y，然后利用正方形的性質和折疊可以證明△DEH∽△CHG,利用相似三角形的對應邊成比例可以把CG，HG分別用x，y分別表示，△CHG的周長也用x，y表示，然后在Rt△DEH中根據勾股定理可以得到x﹣x2=y，進而求出△CHG的周長．【解答】解：設CH=x，DE=y，則DH=﹣x，EH=﹣y，∵∠EHG=90°,∴∠DHE+∠CHG=90°．∵∠DHE+∠DEH=90°，∴∠DEH=∠CHG，又∵∠D=∠C=90°，△DEH∽△CHG，∴==，即==，∴CG=，HG=,△CHG的周長為n=CH+CG+HG=,在Rt△DEH中，DH2+DE2=EH2即（﹣x）2+y2=（﹣y）2整理得﹣x2=，∴n=CH+HG+CG===．∴=．故選：B．【點評】本題考查翻折變換及正方形的性質，正方形的有些題目有時用代數的計算證明比用幾何方法簡單，甚至幾何方法不能解決的用代數方法可以解決．本題綜合考查了相似三角形的應用和正方形性質的應用．二、填空題（本大題共6小題,每小題3分，共18分）13．（3分）分解因式：2a2+4a+2=2（a+1）2．【分析】原式提取2,再利用完全平方公式分解即可．【解答】解:原式=2（a2+2a+1)=2(a+1)2,故答案為：2（a+1）2．【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．14．（3分)方程組的解是．【分析】根據加減消元法,可得答案．【解答】解:兩式相加,得4x=4，解得x=1，把x=1代入x+y=1，解得y=0,方程組的解為,故答案為：．【點評】本題考查了解二元一次方程組，利用加減消元法是解題關鍵．15．（3分）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E,已知CD=6，EB=1,則⊙O的半徑為5．【分析】連接OC，由垂徑定理知，點E是CD的中點，AE=CD,在直角△OCE中，利用勾股定理即可得到關于半徑的方程，求得圓半徑即可．【解答】解：連接OC，∵AB為⊙O的直徑，AB⊥CD，∴CE=DE=CD=×6=3，設⊙O的半徑為xcm，則OC=xcm，OE=OB﹣BE=x﹣1，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2,∴x2=32+（x﹣1)2,解得:x=5，∴⊙O的半徑為5，故答案為:5．【點評】本題利用了垂徑定理和勾股定理求解，熟練掌握并應用定理是解題的關鍵．16．（3分）如圖，△ABO三個頂點的坐標分別為A（2,4），B（6，0），O（0，0）,以原點O為位似中心，把這個三角形縮小為原來的,可以得到△A′B′O，已知點B′的坐標是（3，0)，則點A′的坐標是(1，2)．【分析】根據位似變換的性質進行計算即可．【解答】解：∵點A的坐標為(2，4），以原點O為位似中心，把這個三角形縮小為原來的，∴點A′的坐標是（2×,4×），即(1，2)，故答案為：（1，2）．【點評】本題考查的是位似變換的性質,掌握平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k,那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或﹣k是解題的關鍵．17．（3分）甲、乙兩名同學進行跳高測試，每人10次跳高的平均成績恰好是1.6米，方差分別是S甲2=1.2,S乙2=0.5，則在本次測試中,乙同學的成績更穩定（填“甲”或“乙”）【分析】根據方差的意義可作出判斷．方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越小，表明這組數據分布比較集中，各數據偏離平均數越小,即波動越小，數據越穩定．【解答】解：∵S甲2=1.2，S乙2=0.5，∴S甲＞S乙,∴甲、乙兩名同學成績更穩定的是乙；故答案為：乙．【點評】本題考查方差的意義．方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越大,表明這組數據偏離平均數越大，即波動越大，數據越不穩定；反之，方差越小，表明這組數據分布比較集中，各數據偏離平均數越小，即波動越小，數據越穩定．18．（3分）如圖，點M是函數y=x與y=的圖象在第一象限內的交點，OM=4，則k的值為4．【分析】作MN⊥x軸于N，得出M（x，x）,在Rt△OMN中，由勾股定理得出方程，解方程求出x=2，得出M（2，2），即可求出k的值．【解答】解：作MN⊥x軸于N，如圖所示：設M（x，y），∵點M是函數y=x與y=的圖象在第一象限內的交點，∴M（x，x)，在Rt△OMN中，由勾股定理得：x2+(x）2=42,解得:x=2,∴M（2，2)，代入y=得：k=2×2=4；故答案為：4．【點評】本題考查了反比例函數與一次函數的圖象得交點、勾股定理、反比例函數解析式的求法；求出點M的坐標是解決問題的關鍵．三、解答題(本大題共8小題,共66分）19．（6分）計算：｜﹣3|+（π﹣2017）0﹣2sin30°+（）﹣1．【分析】原式利用絕對值的代數意義，零指數冪、負整數指數冪法則，以及特殊角的三角函數值計算即可得到結果．【解答】解：原式=3+1﹣1+3=6．【點評】此題考查了實數的運算,絕對值，以及零指數冪、負整數指數冪，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．20．(6分）解不等式組,并把它的解集在數軸上表示出來．【分析】分別求出每一個不等式的解集,根據口訣:同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．【解答】解：解不等式2x≥﹣9﹣x，得：x≥﹣3，解不等式5x﹣1＞3(x+1）,得：x＞2，則不等式組的解集為x＞2,將解集表示在數軸上如下：【點評】本題考查的是解一元一次不等式組,正確求出每一個不等式解集是基礎,熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到"的原則是解答此題的關鍵．21．(8分）為了傳承中華優秀傳統文化，市教育局決定開展“經典誦讀進校園”活動，某校團委組織八年級100名學生進行“經典誦讀”選拔賽，賽后對全體參賽學生的成績進行整理,得到下列不完整的統計圖表．組別分數段頻次頻率A60≤x＜70170。17B70≤x＜8030aC80≤x＜90b0.45D90≤x＜10080。08請根據所給信息，解答以下問題:（1)表中a=0.3，b=45；（2）請計算扇形統計圖中B組對應扇形的圓心角的度數；（3）已知有四名同學均取得98分的最好成績,其中包括來自同一班級的甲、乙兩名同學，學校將從這四名同學中隨機選出兩名參加市級比賽，請用列表法或畫樹狀圖法求甲、乙兩名同學都被選中的概率．【分析】（1）首先根據A組頻數及其頻率可得總人數,再利用頻數、頻率之間的關系求得a、b；（2）B組的頻率乘以360°即可求得答案；（2）列樹形圖后即可將所有情況全部列舉出來，從而求得恰好抽中者兩人的概率；【解答】解：（1）本次調查的總人數為17÷0。17=100（人）,則a==0.3,b=100×0.45=45（人），故答案為：0.3，45；（2）360°×0。3=108°，答：扇形統計圖中B組對應扇形的圓心角為108°；（3）將同一班級的甲、乙學生記為A、B,另外兩學生記為C、D，列樹形圖得：∵共有12種等可能的情況，甲、乙兩名同學都被選中的情況有2種,∴甲、乙兩名同學都被選中的概率為=．【點評】本題考查的是條形統計圖和扇形統計圖的綜合運用，讀懂統計圖，從不同的統計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．條形統計圖能清楚地表示出每個項目的數據；扇形統計圖直接反映部分占總體的百分比大小．22．（8分）為了維護國家主權和海洋權利，海監部門對我國領海實現了常態化巡航管理，如圖，正在執行巡航任務的海監船以每小時50海里的速度向正東方航行，在A處測得燈塔P在北偏東60°方向上，繼續航行1小時到達B處,此時測得燈塔P在北偏東30°方向上．（1）求∠APB的度數;（2）已知在燈塔P的周圍25海里內有暗礁,問海監船繼續向正東方向航行是否安全？【分析】(1）在△ABP中，求出∠PAB、∠PBA的度數即可解決問題；（2）作PH⊥AB于H．求出PH的值即可判定;【解答】解:(1)∵∠PAB=30°，∠ABP=120°，∴∠APB=180°﹣∠PAB﹣∠ABP=30°．（2）作PH⊥AB于H．∵∠BAP=∠BPA=30°，∴BA=BP=50，在Rt△PBH中，PH=PB?sin60°=50×=25，∵25＞25，∴海監船繼續向正東方向航行是安全的．【點評】本題考查的是解直角三角形的應用﹣方向角問題，正確根據題意畫出圖形、準確標注方向角、熟練掌握銳角三角函數的概念是解題的關鍵．23．（9分）如圖,AB與⊙O相切于點C，OA,OB分別交⊙O于點D,E，=（1)求證：OA=OB；(2）已知AB=4，OA=4，求陰影部分的面積．【分析】（1）連接OC，由切線的性質可知∠ACO=90°，由于=，所以∠AOC=∠BOC，從而可證明∠A=∠B，從而可知OA=OB；（2)由（1）可知:△AOB是等腰三角形，所以AC=2，從可求出扇形OCE的面積以及△OCB的面積【解答】解：（1)連接OC，∵AB與⊙O相切于點C∴∠ACO=90°,由于=，∴∠AOC=∠BOC,∴∠A=∠B∴OA=OB，（2）由(1）可知：△OAB是等腰三角形,∴BC=AB=2,∴sin∠COB==，∴∠COB=60°,∴∠B=30°，∴OC=OB=2，∴扇形OCE的面積為:=，△OCB的面積為：×2×2=2∴S陰影=2﹣π【點評】本題考查切線的性質，解題的關鍵是求證OA=OB,然后利用等腰三角形的三線合一定理求出BC與OC的長度,從而可知扇形OCE與△OCB的面積,本題屬于中等題型．24．（9分）自從湖南與歐洲的“湘歐快線”開通后，我省與歐洲各國經貿往來日益頻繁，某歐洲客商準備在湖南采購一批特色商品，經調查，用16000元采購A型商品的件數是用7500元采購B型商品的件數的2倍，一件A型商品的進價比一件B型商品的進價多10元．（1）求一件A,B型商品的進價分別為多少元？（2)若該歐洲客商購進A,B型商品共250件進行試銷,其中A型商品的件數不大于B型的件數，且不小于80件．已知A型商品的售價為240元/件，B型商品的售價為220元/件，且全部售出．設購進A型商品m件,求該客商銷售這批商品的利潤v與m之間的函數關系式,并寫出m的取值范圍;(3）在（2)的條件下，歐洲客商決定在試銷活動中每售出一件A型商品，就從一件A型商品的利潤中捐獻慈善資金a元，求該客商售完所有商品并捐獻慈善資金后獲得的最大收益．【分析】（1）設一件B型商品的進價為x元，則一件A型商品的進價為（x+10）元．根據16000元采購A型商品的件數是用7500元采購B型商品的件數的2倍，列出方程即可解決問題；（2)根據總利潤=兩種商品的利潤之和，列出式子即可解決問題；（3）設利潤為w元．則w=（80﹣a）m+70（250﹣m）=（10﹣a）m+17500,分三種情形討論即可解決問題．【解答】解：(1）設一件B型商品的進價為x元，則一件A型商品的進價為（x+10)元．由題意:=×2，解得x=150,經檢驗x=150是分式方程的解，答：一件B型商品的進價為150元，則一件A型商品的進價為160元．（2）因為客商購進A型商品m件，所以客商購進B型商品（250﹣m）件．由題意：v=80m+70(250﹣m)=10m+17500，∵80≤m≤250﹣m，∴80≤m≤125，（3)設利潤為w元．則w=（80﹣a）m+70（250﹣m）=（10﹣a）m+17500,①當10﹣a＞0時,w隨m的增大而增大，所以m=125時，最大利潤為（18750﹣125a）元．②當10﹣a=0時，最大利潤為17500元．③當10﹣a＜0時，w隨m的增大而減小，所以m=80時，最大利潤為(18300﹣80a）元．【點評】本題考查分式方程的應用、一次函數的應用等知識，解題的關鍵是理解題意，學會構建方程或一次函數解決問題，屬于中考常考題型．25．（10分）若三個非零實數x，y,z滿足:只要其中一個數的倒數等于另外兩個數的倒數的和，則稱這三個實數x,y，z構成“和諧三組數"．（1）實數1，2,3可以構成“和諧三組數”嗎？請說明理由；（2）若M（t,y1）,N（t+1，y2)，R（t+3，y3)三點均在函數y=（k為常數,k≠0）的圖象上，且這三點的縱坐標y1,y2,y3構成“和諧三組數”，求實數t的值；（3）若直線y=2bx+2c（bc≠0）與x軸交于點A（x1，0)，與拋物線y=ax2+3bx+3c(a≠0)交于B（x2，y2）,C（x3，y3）兩點．①求證:A，B，C三點的橫坐標x1，x2，x3構成“和諧三組數”；②若a＞2b＞3c，x2=1，求點P(，）與原點O的距離OP的取值范圍．【分析】(1)由和諧三組數的定義進行驗證即可；（2）把M、N、R三點的坐標分別代入反比例函數解析式，可用t和k分別表示出y1、y2、y3，再由和諧三組數的定義可得到關于t的方程，可求得t的值；（3）①由直線解析式可求得x1=﹣，聯立直線和拋物線解析式消去y，利用一元二次方程根與系數的關系可求得x2+x3=﹣，x2x3=，再利用和諧三數組的定義證明即可；②由條件可得到a+b+c=0，可得c=﹣（a+b)，由a＞2b＞3c可求得的取值范圍，令m=,利用兩點間距離公式可得到OP2關于m的二次函數，利用二次函數的性質可求得OP2的取值范圍，從而可求得OP的取值范圍．【解答】解：（1）不能，理由如下：∵1、2、3的倒數分別為1、、,∴+≠1,1+≠，1+≠∴實數1,2，3不可以構成“和諧三組數”；（2)∵M（t，y1），N(t+1,y2），R（t+3，y3)三點均在函數（k為常數，k≠0）的圖象上，∴y1、y2、y3均不為0，且y1=，y2=，y3=，∴=，=，=,∵y1，y2,y3構成“和諧三組數”，∴有以下三種情況：當=+時，則=+，即t=t+1+t+3,解得t=﹣4;當=+時，則=+，即t+1=t+t+3，解得t=﹣2；當=+時,則=+,即t+3=t+t+1，解得t=2；∴t的值為﹣4、﹣2或2;（3)①∵a、b、c均不為0,∴x1，x2，x3都不為0，∵直線y=2bx+2c（bc≠0）與x軸交于點A（x1,0)，∴0=2bx1+2c,解得x1=﹣，聯立直線與拋物線解析式，消去y可得2bx+2c=ax2+3bx+3c,即ax2+bx+c=0，∵直線與拋物線交與B（x2，y2）,C（x3，y3）兩點,∴x2、x3是方程ax2+bx+c=0的兩根，∴x2+x3=﹣，x2x3=，∴+===﹣=，∴x1，x2，x3構成“和諧三組數”；②∵x2=1，∴a+b+c=0,∴c=﹣a﹣b，∵a＞2b＞3c，∴a＞2b＞3（﹣a﹣b)，且a＞0，整理可得，解得﹣＜＜，∵P（，）∴OP2=（）2+（)2=（)2+（）2=2(）2+2+1=2（+）2+,令m=,則﹣＜m＜且m≠0，且OP2=2（m+）2+，∵2＞0,∴當﹣＜m＜﹣時，OP2隨m的增大而減小，當m=﹣時，OP2有最大值，當m=﹣時，OP2有最小值，當﹣＜m＜時，OP2隨m的增大而增大,當m=﹣時，OP2有最小值，當m=時,OP2有最大值，∴≤OP2＜且OP2≠1,∵P到原點的距離為非負數，∴≤OP＜且OP≠1．【點評】本題為二次函數的綜合應用，涉及新定義、函數圖象的交點、一元二次方程根與系數的關系、勾股定理、二次函數的性質、分類討論思想及轉化思想等知識．在（1）中注意利用和諧三數組的定義，在（2