第11課時導數應用第11課時導數應用導數應用課件1．函數的單調性與導數在區間(a，b)內，函數的單調性與其導數的正負有如下關系：如果

，那么函數y＝f(x)在這個區間內單調遞增；如果

，那么函數y＝f(x)在這個區間內單調遞減；如果

，那么f(x)在這個區間內為常數．【思考探究】1.若函數f(x)在(a，b)內單調遞增，那么一定有f′(x)＞0嗎？f′(x)＞0是否是f(x)在(a，b)內單調遞增的充要條件？提示：

函數f(x)在(a，b)內單調遞增，則f′(x)≥0，f′(x)＞0是f(x)在(a，b)內單調遞增的充分不必要條件．f′(x)＞0f′(x)＜0f′(x)＝01．函數的單調性與導數f′(x)＞0f′(x)＜0f′(x)2．函數的極值與導數在包含x0的一個區間(a，b)內，函數f(x)在任何一點的函數值

x0點的函數值，就說f(x0)是函數f(x)的一個極

值，記作y極大(小)值＝f(x0)，x0是極大(小)值點．極小值點，極大值點統稱為極值點，極大值和極小值統稱為極值．不大于(小于)大(小)不大于(小于)大(小)3．函數的最值(1)如果在區間[a，b]上函數y＝f(x)的圖象是一條

的曲線，那么它必有最大值和最小值．(2)求函數y＝f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟①求函數y＝f(x)在(a，b)內的 ．②將函數y＝f(x)的各極值與

比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．連續不斷極值端點處的函數值f(a)、f(b)連續不斷極值端點處的函數值f(a)、f(b)【思考探究】2.極值點一定是最值點這句話對嗎？提示：

函數的極值表示函數在一點附近的情況，是在局部對函數值的比較；函數的最值是表示函數在一個區間上的情況，是對函數在整個區間上的函數值的比較．函數的極值不一定是最值，最值點也不一定是極值點．導數應用課件答案：B答案：B2．函數f(x)的定義域為R，導函數f′(x)的圖象如圖所示，則函數f(x)()A．無極大值點、有四個極小值點B．有三個極大值點、兩個極小值點C．有兩個極大值點、兩個極小值點D．有四個極大值點、無極小值點解析：

設f′(x)與x軸的4個交點，從左至右依次為x1、x2、x3、x4，當x＜x1時，f′(x)＞0，f(x)為增函數，當x1＜x＜x2時，f′(x)＜0，f(x)為減函數，則x＝x1為極大值點，同理，x＝x3為極大值點，x＝x2，x＝x4為極小值點，故選C.答案：

C2．函數f(x)的定義域為R，導函數f′(x)的圖象如圖所示答案：B答案：B4．已知a>0，函數f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是單調增函數，則a的最大值是________．解析：

f′(x)＝3x2－a在x∈[1，＋∞)上f′(x)≥0，則f′(1)＝0?a＝3.答案：

3導數應用課件5．面積為S的一矩形中，其周長最小時的邊長是________．5．面積為S的一矩形中，其周長最小時的邊長是________導數應用課件求可導函數單調區間的一般步驟和方法(1)確定函數f(x)的定義域；(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定義域內的一切實根；(3)把函數f(x)的間斷點(即f(x)的無定義點)的橫坐標和上面的各實數根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數f(x)的定義區間分成若干個小區間；(4)確定f′(x)在各個開區間內的符號，根據f′(x)的符號判定函數f(x)在每個相應小開區間內的增減性．【注意】

當f(x)不含參數時，也可通過解不等式f′(x)＞0(或f′(x)＜0)直接得到單調遞增(或遞減)區間．導數應用課件導數應用課件【變式訓練】1.設x＝1和x＝2是函數f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1的兩個極值點．(1)求a和b的值；(2)求f(x)的單調區間．【變式訓練】1.設x＝1和x＝2是函數f(x)＝x5＋ax(1)確定函數f(x)的定義域；(2)求導數f′(x)；(3)求方程f′(x)＝0的根；(4)檢查在方程的根的左右兩側的符號，確定極值點(最好通過列表法)．如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值；如果f′(x)在點x0的左右兩側符號不變，則f(x0)不是函數極值．導數應用課件(2010·安徽卷)設函數f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0＜x＜2π，求函數f(x)的單調區間與極值．(2010·安徽卷)設函數f(x)＝sinx－cosx＋導數應用課件【變式訓練】2.已知函數y＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2處有極值，且其圖象在x＝1處的切線與直線6x＋2y＋5＝0平行．(1)求函數的單調區間；(2)求函數的極大值與極小值的差．【變式訓練】2.已知函數y＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x解y′＝3x2－6x<0，得0<x<2.∴函數的單調遞增區間是(－∞，0)，(2，＋∞)，單調遞減區間是(0,2)．(2)由(1)可知函數在x＝0時取得極大值c，在x＝2時取得極小值c－4，∴函數的極大值與極小值的差為c－(c－4)＝4.導數應用課件設函數f(x)在[a，b]上連續，在(a，b)內可導，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟(1)求函數y＝f(x)在(a，b)內的極值．(2)將函數y＝f(x)的各極值與端點處的函數值f(a)、f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．導數應用課件(2010·重慶卷)已知函數f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常數a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函數．(1)求f(x)的表達式；(2)討論g(x)的單調性，并求g(x)在區間[1,2]上的最大值與最小值．(2010·重慶卷)已知函數f(x)＝ax3＋x2＋bx(其導數應用課件導數應用課件導數應用課件解得m＝±1.∵切線l不過第四象限，∴m＝1.由于切點的橫坐標為x＝1，∴f(1)＝4.∴1＋a＋b＋c＝4，∴c＝5.(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，∴f′(x)＝3x2＋4x－4.令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝.當x變化時，f(x)和f′(x)的變化情況如下表：導數應用課件導數應用課件導數應用課件利用導數解決生活中優化問題的一般步驟(1)分析實際問題中各量之間的關系，列出實際問題的數學模型，寫出實際問題中變量之間的函數關系y＝f(x)，根據實際意義確定定義域；(2)求函數y＝f(x)的導數f′(x)，解方程f′(x)＝0得出定義域內的實根，確定極值點；(3)比較函數在區間端點和極值點處的函數值大小，獲得所求的最大(小)值；(4)還原到原實際問題中作答．導數應用課件導數應用課件導數應用課件導數應用課件導數應用課件【變式訓練】4.某市旅游部門開發一種旅游紀念品，每件產品的成本是15元，銷售價是20元，月平均銷售a件．通過改進工藝，產品的成本不變，質量和技術含金量提高，市場分析的結果表明，如果產品的銷售價提高的百分率為x(0＜x＜1)，那么月平均銷售量減少的百分率為x2.記改進工藝后，旅游部門銷售該紀念品的月平均利潤是y(元)．(1)寫出y與x的函數關系式；(2)改進工藝后，試確定該紀念品的銷售價，使得旅游部門銷售該紀念品的月平均利潤最大．【變式訓練】4.某市旅游部門開發一種旅游紀念品，每件產品的解析：

(1)改進工藝后，每件產品的銷售價為20(1＋x)元，月平均銷售量為a(1－x2)件，則月平均利潤y＝a(1－x2)×[20(1＋x)－15](元)．所以y與x的函數關系式為y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0＜x＜1)．導數應用課件導數應用課件1．在利用導數確定函數單調性時要注意結論“若y＝f(x)在(a，b)內可導，且f′(x)>0，則f(x)在區間(a，b)上是增函數”的使用方法，此結論并非充要條件，如f(x)＝x3.在(－∞，＋∞)上是遞增的，但f′(0)＝0；因此已知函數的單調區間求函數關系式中字母范圍時，要對f′(x)＝0處的點進行檢驗．導數應用課件2．可導函數極值存在的條件(1)可導函數的極值點x0一定滿足f′(x0)＝0，但當f′(x1)＝0時，x1不一定是極值點．如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是極值點．(2)可導函數y＝f(x)在點x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側與右側f′(x)的符號不同．3．函數的最大值與最小值的理解最值是一個整體性概念，是指函數在給定區間(或定義域)內所有函數值中最大的值與最小的值，在求函數的最值時，要注意以下幾點：2．可導函數極值存在的條件(1)最值與極值的區別極值是指某一點附近函數值的比較．因此，同一函數在某一點的極大(小)值，可以比另一點的極小(大)值小(大)；而最大、最小值是指閉區間[a，b]上所有函數值的比較，因而在一般情況下，兩者是有區別的，極大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是極大(小)值，但如果連續函數在區間(a，b)內只有一個極值，那么極大值就是最大值，極小值就是最小值．導數應用課件(2)最值與極值的求法的區別在閉區間[a，b]上連續，在開區間(a，b)內可導的函數f(x)，它的極值可以通過檢查導數f′(x)在每一個零點兩旁的符號來求得．而f(x)在[a，b]上的最大(小)值，則需通過將各極值與端點的函數值加以比較來求得，其中最大(小)的一個即為最大(小)值．(3)當f(x)為連續函數且在[a，b]上單調時，其最大值、最小值在端點處取得．導數應用課件導數應用課件每年全國及各省市的自主命題中都有導數應用的解答題出現，對導數的考查非常全面，既有選擇題、填空題等客觀題，又有解答題，通常以解答題為主，并且所占的分值較高．常見的考查方式有兩種形式，一是直接把導數應用于多項式函數性質的研究，考查多項式函數的單調性、極值、最值等；二是把導數與函數、方程、不等式、數列等相聯系，進行綜合考查，主要考查函數的最值或求參數的值(或范圍)．導數應用課件導數應用課件(2)在(－1,1)上，f(x)是增函數，當且僅當f′(x)＝4(x－1)(3ax2＋3ax－1)≥0，即3ax2＋3ax－1≤0.①7分a．當a＝0時，①恒成立.8分b．當a>0時，若要①成立，則需3a·12＋3a·1－1≤0，(2)在(－1,1)上，f(x)是增函數，當且僅當【閱后報告】

本題考查了求函數的極值及函數的單調性問題，試題為中等題，本題難點是如何使3ax2＋3ax－1≤0在(－1,1)內恒成立，有些考生只注意利用判別式，而忽略x的范圍，從而失分．導數應用課件導數應用課件導數應用課件導數應用課件導數應用課件導數應用課件導數應用課件導數應用課件導數應用課件練規范、練技能、練速度練規范、練技能、練速度第11課時導數應用第11課時導數應用導數應用課件1．函數的單調性與導數在區間(a，b)內，函數的單調性與其導數的正負有如下關系：如果

，那么函數y＝f(x)在這個區間內單調遞增；如果

，那么函數y＝f(x)在這個區間內單調遞減；如果

，那么f(x)在這個區間內為常數．【思考探究】1.若函數f(x)在(a，b)內單調遞增，那么一定有f′(x)＞0嗎？f′(x)＞0是否是f(x)在(a，b)內單調遞增的充要條件？提示：

函數f(x)在(a，b)內單調遞增，則f′(x)≥0，f′(x)＞0是f(x)在(a，b)內單調遞增的充分不必要條件．f′(x)＞0f′(x)＜0f′(x)＝01．函數的單調性與導數f′(x)＞0f′(x)＜0f′(x)2．函數的極值與導數在包含x0的一個區間(a，b)內，函數f(x)在任何一點的函數值

x0點的函數值，就說f(x0)是函數f(x)的一個極

值，記作y極大(小)值＝f(x0)，x0是極大(小)值點．極小值點，極大值點統稱為極值點，極大值和極小值統稱為極值．不大于(小于)大(小)不大于(小于)大(小)3．函數的最值(1)如果在區間[a，b]上函數y＝f(x)的圖象是一條

的曲線，那么它必有最大值和最小值．(2)求函數y＝f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟①求函數y＝f(x)在(a，b)內的 ．②將函數y＝f(x)的各極值與

比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．連續不斷極值端點處的函數值f(a)、f(b)連續不斷極值端點處的函數值f(a)、f(b)【思考探究】2.極值點一定是最值點這句話對嗎？提示：

函數的極值表示函數在一點附近的情況，是在局部對函數值的比較；函數的最值是表示函數在一個區間上的情況，是對函數在整個區間上的函數值的比較．函數的極值不一定是最值，最值點也不一定是極值點．導數應用課件答案：B答案：B2．函數f(x)的定義域為R，導函數f′(x)的圖象如圖所示，則函數f(x)()A．無極大值點、有四個極小值點B．有三個極大值點、兩個極小值點C．有兩個極大值點、兩個極小值點D．有四個極大值點、無極小值點解析：

設f′(x)與x軸的4個交點，從左至右依次為x1、x2、x3、x4，當x＜x1時，f′(x)＞0，f(x)為增函數，當x1＜x＜x2時，f′(x)＜0，f(x)為減函數，則x＝x1為極大值點，同理，x＝x3為極大值點，x＝x2，x＝x4為極小值點，故選C.答案：

C2．函數f(x)的定義域為R，導函數f′(x)的圖象如圖所示答案：B答案：B4．已知a>0，函數f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是單調增函數，則a的最大值是________．解析：

f′(x)＝3x2－a在x∈[1，＋∞)上f′(x)≥0，則f′(1)＝0?a＝3.答案：

3導數應用課件5．面積為S的一矩形中，其周長最小時的邊長是________．5．面積為S的一矩形中，其周長最小時的邊長是________導數應用課件求可導函數單調區間的一般步驟和方法(1)確定函數f(x)的定義域；(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定義域內的一切實根；(3)把函數f(x)的間斷點(即f(x)的無定義點)的橫坐標和上面的各實數根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數f(x)的定義區間分成若干個小區間；(4)確定f′(x)在各個開區間內的符號，根據f′(x)的符號判定函數f(x)在每個相應小開區間內的增減性．【注意】

當f(x)不含參數時，也可通過解不等式f′(x)＞0(或f′(x)＜0)直接得到單調遞增(或遞減)區間．導數應用課件導數應用課件【變式訓練】1.設x＝1和x＝2是函數f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1的兩個極值點．(1)求a和b的值；(2)求f(x)的單調區間．【變式訓練】1.設x＝1和x＝2是函數f(x)＝x5＋ax(1)確定函數f(x)的定義域；(2)求導數f′(x)；(3)求方程f′(x)＝0的根；(4)檢查在方程的根的左右兩側的符號，確定極值點(最好通過列表法)．如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值；如果f′(x)在點x0的左右兩側符號不變，則f(x0)不是函數極值．導數應用課件(2010·安徽卷)設函數f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0＜x＜2π，求函數f(x)的單調區間與極值．(2010·安徽卷)設函數f(x)＝sinx－cosx＋導數應用課件【變式訓練】2.已知函數y＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2處有極值，且其圖象在x＝1處的切線與直線6x＋2y＋5＝0平行．(1)求函數的單調區間；(2)求函數的極大值與極小值的差．【變式訓練】2.已知函數y＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x解y′＝3x2－6x<0，得0<x<2.∴函數的單調遞增區間是(－∞，0)，(2，＋∞)，單調遞減區間是(0,2)．(2)由(1)可知函數在x＝0時取得極大值c，在x＝2時取得極小值c－4，∴函數的極大值與極小值的差為c－(c－4)＝4.導數應用課件設函數f(x)在[a，b]上連續，在(a，b)內可導，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟(1)求函數y＝f(x)在(a，b)內的極值．(2)將函數y＝f(x)的各極值與端點處的函數值f(a)、f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．導數應用課件(2010·重慶卷)已知函數f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常數a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函數．(1)求f(x)的表達式；(2)討論g(x)的單調性，并求g(x)在區間[1,2]上的最大值與最小值．(2010·重慶卷)已知函數f(x)＝ax3＋x2＋bx(其導數應用課件導數應用課件導數應用課件解得m＝±1.∵切線l不過第四象限，∴m＝1.由于切點的橫坐標為x＝1，∴f(1)＝4.∴1＋a＋b＋c＝4，∴c＝5.(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，∴f′(x)＝3x2＋4x－4.令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝.當x變化時，f(x)和f′(x)的變化情況如下表：導數應用課件導數應用課件導數應用課件利用導數解決生活中優化問題的一般步驟(1)分析實際問題中各量之間的關系，列出實際問題的數學模型，寫出實際問題中變量之間的函數關系y＝f(x)，根據實際意義確定定義域；(2)求函數y＝f(x)的導數f′(x)，解方程f′(x)＝0得出定義域內的實根，確定極值點；(3)比較函數在區間端點和極值點處的函數值大小，獲得所求的最大(小)值；(4)還原到原實際問題中作答．導數應用課件導數應用課件導數應用課件導數應用課件導數應用課件【變式訓練】4.某市旅游部門開發一種旅游紀念品，每件產品的成本是15元，銷售價是20元，月平均銷售a件．通過改進工藝，產品的成本不變，質量和技術含金量提高，市場分析的結果表明，如果產品的銷售價提高的百分率為x(0＜x＜1)，那么月平均銷售量減少的百分率為x2.記改進工藝后，旅游部門銷售該紀念品的月平均利潤是y(元)．(1)寫出y與x的函數關系式；(2)改進工藝后，試確定該紀念品的銷售價，使得旅游部門銷售該紀念品的月平均利潤最大．【變式訓練】4.某市旅游部門開發一種旅游紀念品，每件產品的解析：

(1)改進工藝后，每件產品的銷售價為20(1＋x)元，月平均銷售量為a(1－x2)件，則月平均利潤y＝a(1－x2)×[20(1＋x)－15](元)．所以y與x的函數關系式為y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0＜x＜1)．導數應用課件導數應用課件1．在利用導數確定函數單調性時要注意結論“若y＝f(x)在(a，b)內可導，且f′(x)>0，則f(x)在區間(a，b)上是增函數”的使用方法，此結論并非充要條件，如f(x)＝x3.在(－∞，＋∞)上是遞增的，但f′(0)＝0；因此已知函數的單調區間求函數關系式中字母范圍時，要對f′(x)＝0處的點進行檢驗．導數應用課件2．可導函數極值存在的條件(1)可導函數的極值點x0一定滿足f′(x0)＝0，但當f′(x1)＝0時，x1不一定是極值點．如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是極值點．(2)可導函數y＝f(x)在點x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側與右側f′(x)的符