角平分線的再認識角平分線的再認識角平分線在幾何中占有重要地位，是解決許多問題的橋梁和紐帶．角平分線把一個角分成相等的兩個部分，其“軸對稱功能”衍生出“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”以及“等腰三角形三線合一”、“三角形的內心到三邊的距離相等”等性質，而角平分線與平行線相結合構造出等腰三角形，也常在解題中給我們帶來幫助，本課結合幾道比較典型的題目，給同學們介紹幾種常用的解題方法，僅供參考。角平分線的思考角平分線的思考問題1.角平分線從何而來？射線OP使得∠1=∠2角平分線的定義：從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的角平分線。問題1.角平分線從何而來？射線OP使得∠1=∠2角平分線的問題2.角平分線有何種性質以及如何判定？角平分線的性質定理：在角平分線上的點到這個角的兩條邊的距離相等已知∠AOP=∠BOP，點C在OP上，CM⊥OA，CN⊥OB垂足為M，NCM=CN已知∠AOB內，點C在OP上，CM⊥OA，CN⊥OB垂足為M，N，CM=CNOP為∠AOB平分線角平分線的判定定理：在角的內部到這個角的兩邊距離相等的點在這個

角的角平分線上問題2.角平分線有何種性質以及如何判定？角平分線的性質定理問題3：如何做一個角的平分線？：已知∠AOB.求作：∠AOB

的角平分線OC

（1）以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N；（2）分別以點M，N為圓心，大于

的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內部相交于C；（3）畫射線OC，射線OC即為所求問題3：如何做一個角的平分線？已知∠AOB.求作：∠AO問題4.已知角平分線我們可以如何應用？利用角平分線進行角的計算例題1:如圖，若∠B=42°,∠C=70°，AD平分∠BAC,你能求出圖中哪些角的度數呢？∠BAC=68°∠BAD=∠CAD=34°∠ADC=76°，∠ADB=104°問題4.已知角平分線我們可以如何應用？利用角平分線進行角的問題4.已知角平分線我們可以如何應用？利用角平分線構造全等三角形例題2:如圖，已知點C是∠MAN平分線上一點，請你在射線AM上取一點B,

在射線AN上取一點D,使△ABC

≌△ADC.截取AB=AD（AB>AC)截取AB=AD（AB<AC)做CB⊥AM于B，CD⊥AN于D過C做BD⊥AC問題4.已知角平分線我們可以如何應用？利用角平分線構造全等角平分線做輔助線的基本方法：1.做角兩邊的高構造全等

過點D做DM⊥AB，DN⊥AC垂足為M，N已知△ABC中，AD為∠BAC平分線△ADM

≌△ADN角平分線做輔助線的基本方法：1.做角兩邊的高構造全等過點D角平分線做輔助線的基本方法：1.做角兩邊的高構造全等

例題3:在△ABC中，O是∠ABC和∠ACB平分線BE和CD的交點，∠A=60°，求證：OD=OE

過點O做OM⊥AB，ON⊥ACOP⊥BC垂足為M，N，P△DOM≌△EONOM=OP=ON∠A=60°∠ABC和∠ACB平分線BE和CD交于點O∠BOC=120°∠DOE=120°∠DOM=∠EONOD=OE角平分線做輔助線的基本方法：1.做角兩邊的高構造全等例題3角平分線做輔助線的基本方法：2.截長補短構全等在AB上截取AE=AC，連接DE延長AC至F使AB=AF，連接DF△ADE

≌△ADC△ADB

≌△ADF已知△ABC中，AD為∠BAC平分線角平分線做輔助線的基本方法：2.截長補短構全等在AB上截取A角平分線做輔助線的基本方法：2.截長補短構全等在AC上截取AB=AE，連接DE△ABD

≌△AED例題4:在△ABC中，AD是角平分線，2∠C=∠B，證明：AC=BD+AB

∠AED=∠B=2∠C

∠EDC=∠CDE=ECAC=BD+AB角平分線做輔助線的基本方法：2.截長補短構全等在AC上截取A角平分線做輔助線的基本方法：3.截長補短構全等例題3:在△ABC中，AD是角平分線，2∠C=∠B，證明：AC=BD+AB在AB延長線上截取AF=AC，連接FD角平分線做輔助線的基本方法：3.截長補短構全等例題3:在△A1.例題3還有沒有其他證明方法2.角平分線做輔助線常見的方法還有哪些

？請思考1.例題3還有沒有其他證明方法請思考角平分線做輔助線的基本方法：3.做角平分線的垂線構造等腰三角形已知在△ABC中，BD是角平分線，，CD⊥BD于D延長BA，CD交于點E△BCD

≌△BDE△BCE為等腰三角形角平分線做輔助線的基本方法：3.做角平分線的垂線構造等腰三角角平分線做輔助線的基本方法：3.做角平分線的垂線構造等腰三角形例題5:在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，BD是角平分線，AE⊥BD于E

證明：BD=2AE延長BC，AE交于點F△BCD

≌△ACF△BAF為等腰三角形AF=2AEAF=BDBD=2AE角平分線做輔助線的基本方法：3.做角平分線的垂線構造等腰三角角平分線做輔助線的基本方法：4.平行線造等腰三角形

已知△ABC中，CD為∠BCA平分線過點D做BC平行線交AC于M△DMC為等腰三角形過點B做AC平行線交CD延長線于N過點A做CD平行線交BC延長線于P△BCN為等腰三角形△ACP為等腰三角形角平分線做輔助線的基本方法：4.平行線造等腰三角形已知△A角平分線做輔助線的基本方法：4.做平行線構造等腰三角形

例題6:如圖，在□ABCD中，線段AE，BF分別平分∠DAB和∠ABC，交CD于點E，F，線段AE，BF相交于點M．證明：DF=CE.

AB//CD∠DEA=∠EABAE

平分∠DAB∠DAE=∠BAEDA=DECB=CFDA=CBDE=CF∠DAE=∠DEADF=CE角平分線做輔助線的基本方法：4.做平行線構造等腰三角形例題角平分線做輔助線的基本方法：

總結圖中有角平分線，可向兩邊做垂線;圖中有角平分線，可將圖形對折看;角平分線加垂線，三線合一試試看角平分線平行線，等腰三角形出現。角平分線做輔助線的基本方法：總結圖中有角平分線，可向兩邊做練習：已知如圖所示基本條件：（1）BE平分∠CBD（2）∠BCE+∠BDE=180°（3）CE=DE以上三條其中兩個作為條件，另一個作為結論，我們可以得到三個命題，請問：他們是否都是真命題？練習：已知如圖所示基本條件：以上三條其中兩個作為條件，另一個命題1:已知，如圖：BE平分∠CBD，∠BCE+∠BDE=180°求證：CE=DE方法1:過點E做∠CBD兩邊的垂線方法2：在BD上截取BF=BC方法3：在BC上截取BG=BD命題1:方法1:過點E做∠CBD兩邊的垂線方法2：在BD上命題1:已知，如圖：BE平分∠CBD，∠BCE+∠BDE=180°求證：CE=DE方法4：做∠DEH=∠CEB交BD于點H方法5：做∠CEH=∠BED交BC于點H命題1:方法4：做∠DEH=∠CEB交BD于點H方法5：做∠命題2:已知，如圖：∠BCE+∠BDE=180°，CE=DE，求證：BE平分∠CBD過點E做∠CBD兩邊的垂線命題2:過點E做∠CBD兩邊的垂線命題3:已知：BE平分∠CBD，CE=DE，求證：∠BCE+∠BDE=180°命題3:課后練習：1.在△ABC中，∠

C=90°，AD為∠BAC的平分線，

DE⊥AB，BC＝7，DE＝3.則BD的長為

；

2.如圖，已知BQ是∠ABC的內角平分線，CQ是∠ACB的外角平分線，

由Q出發，作點Q到BC、AC和AB的垂線QM、QN和QK，垂足分別

為M、N、K，則QM、QN、QK的關系是

；

3.在△ABC中，AD是中線，∠1=∠2，CE//AB，若∠BAC=120°

AB=12，AC=8則EC的長度

.

課后練習：課后練習答案：1：在△ABC中，∠C=90°，AD為∠BAC的平分線，

DE⊥AB，BC＝9，DE＝3.則BD的長為6；

2.如圖，已知BQ是∠ABC的內角平分線，CQ是∠ACB的外角平分線，

由Q出發，作點Q到BC、AC和AB的垂線QM、QN和QK，垂足分別

為M、N、K，則QM、QN、QK的關系是QM=QN=QK；

3.在△ABC中，AD是中線，∠1=∠2，CE//AB，若∠BAC=120°

AB=12，AC=8則EC的長度5.

課后練習答案：角平分線的再認識角平分線的再認識角平分線在幾何中占有重要地位，是解決許多問題的橋梁和紐帶．角平分線把一個角分成相等的兩個部分，其“軸對稱功能”衍生出“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”以及“等腰三角形三線合一”、“三角形的內心到三邊的距離相等”等性質，而角平分線與平行線相結合構造出等腰三角形，也常在解題中給我們帶來幫助，本課結合幾道比較典型的題目，給同學們介紹幾種常用的解題方法，僅供參考。角平分線的思考角平分線的思考問題1.角平分線從何而來？射線OP使得∠1=∠2角平分線的定義：從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的角平分線。問題1.角平分線從何而來？射線OP使得∠1=∠2角平分線的問題2.角平分線有何種性質以及如何判定？角平分線的性質定理：在角平分線上的點到這個角的兩條邊的距離相等已知∠AOP=∠BOP，點C在OP上，CM⊥OA，CN⊥OB垂足為M，NCM=CN已知∠AOB內，點C在OP上，CM⊥OA，CN⊥OB垂足為M，N，CM=CNOP為∠AOB平分線角平分線的判定定理：在角的內部到這個角的兩邊距離相等的點在這個

角的角平分線上問題2.角平分線有何種性質以及如何判定？角平分線的性質定理問題3：如何做一個角的平分線？：已知∠AOB.求作：∠AOB

的角平分線OC

（1）以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N；（2）分別以點M，N為圓心，大于

的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內部相交于C；（3）畫射線OC，射線OC即為所求問題3：如何做一個角的平分線？已知∠AOB.求作：∠AO問題4.已知角平分線我們可以如何應用？利用角平分線進行角的計算例題1:如圖，若∠B=42°,∠C=70°，AD平分∠BAC,你能求出圖中哪些角的度數呢？∠BAC=68°∠BAD=∠CAD=34°∠ADC=76°，∠ADB=104°問題4.已知角平分線我們可以如何應用？利用角平分線進行角的問題4.已知角平分線我們可以如何應用？利用角平分線構造全等三角形例題2:如圖，已知點C是∠MAN平分線上一點，請你在射線AM上取一點B,

在射線AN上取一點D,使△ABC

≌△ADC.截取AB=AD（AB>AC)截取AB=AD（AB<AC)做CB⊥AM于B，CD⊥AN于D過C做BD⊥AC問題4.已知角平分線我們可以如何應用？利用角平分線構造全等角平分線做輔助線的基本方法：1.做角兩邊的高構造全等

過點D做DM⊥AB，DN⊥AC垂足為M，N已知△ABC中，AD為∠BAC平分線△ADM

≌△ADN角平分線做輔助線的基本方法：1.做角兩邊的高構造全等過點D角平分線做輔助線的基本方法：1.做角兩邊的高構造全等

例題3:在△ABC中，O是∠ABC和∠ACB平分線BE和CD的交點，∠A=60°，求證：OD=OE

過點O做OM⊥AB，ON⊥ACOP⊥BC垂足為M，N，P△DOM≌△EONOM=OP=ON∠A=60°∠ABC和∠ACB平分線BE和CD交于點O∠BOC=120°∠DOE=120°∠DOM=∠EONOD=OE角平分線做輔助線的基本方法：1.做角兩邊的高構造全等例題3角平分線做輔助線的基本方法：2.截長補短構全等在AB上截取AE=AC，連接DE延長AC至F使AB=AF，連接DF△ADE

≌△ADC△ADB

≌△ADF已知△ABC中，AD為∠BAC平分線角平分線做輔助線的基本方法：2.截長補短構全等在AB上截取A角平分線做輔助線的基本方法：2.截長補短構全等在AC上截取AB=AE，連接DE△ABD

≌△AED例題4:在△ABC中，AD是角平分線，2∠C=∠B，證明：AC=BD+AB

∠AED=∠B=2∠C

∠EDC=∠CDE=ECAC=BD+AB角平分線做輔助線的基本方法：2.截長補短構全等在AC上截取A角平分線做輔助線的基本方法：3.截長補短構全等例題3:在△ABC中，AD是角平分線，2∠C=∠B，證明：AC=BD+AB在AB延長線上截取AF=AC，連接FD角平分線做輔助線的基本方法：3.截長補短構全等例題3:在△A1.例題3還有沒有其他證明方法2.角平分線做輔助線常見的方法還有哪些

？請思考1.例題3還有沒有其他證明方法請思考角平分線做輔助線的基本方法：3.做角平分線的垂線構造等腰三角形已知在△ABC中，BD是角平分線，，CD⊥BD于D延長BA，CD交于點E△BCD

≌△BDE△BCE為等腰三角形角平分線做輔助線的基本方法：3.做角平分線的垂線構造等腰三角角平分線做輔助線的基本方法：3.做角平分線的垂線構造等腰三角形例題5:在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，BD是角平分線，AE⊥BD于E

證明：BD=2AE延長BC，AE交于點F△BCD

≌△ACF△BAF為等腰三角形AF=2AEAF=BDBD=2AE角平分線做輔助線的基本方法：3.做角平分線的垂線構造等腰三角角平分線做輔助線的基本方法：4.平行線造等腰三角形

已知△ABC中，CD為∠BCA平分線過點D做BC平行線交AC于M△DMC為等腰三角形過點B做AC平行線交CD延長線于N過點A做CD平行線交BC延長線于P△BCN為等腰三角形△ACP為等腰三角形角平分線做輔助線的基本方法：4.平行線造等腰三角形已知△A角平分線做輔助線的基本方法：4.做平行線構造等腰三角形

例題6:如圖，在□ABCD中，線段AE，BF分別平分∠DAB和∠ABC，交CD于點E，F，線段AE，BF相交于點M．證明：DF=CE.

AB//CD∠DEA=∠EABAE

平分∠DAB∠DAE=∠BAEDA=DECB=CFDA=CBDE=CF∠DAE=∠DEADF=CE角平分線做輔助線的基本方法：4.做平行線構造等腰三角形例題角平分線做輔助線的基本方法：

總結圖中有角平分線，可向兩邊做垂線;圖中有角平分線，可將圖形對折看;角平分線加垂線，三線合一試試看角平分線平行線，等腰三角形出現。角平分線做輔助線的基本方法：總結圖中有角平分線，可向兩邊做練習：已知如圖所示基本條件：（1）BE平分∠CBD（2）∠BCE+∠BDE=180°（3）CE=DE以上三條其中兩個作為條件，另一個作為結論，我們可以得到三個命題，請問：他們是否都是真命題？練習：已知如圖所示基本條件：以上三條其中兩個作為條件，另一個命題1:已知，如圖：BE平分∠CBD，∠BCE+∠BDE=180°求證：CE=DE方法1:過點E做∠CBD兩邊的垂線方法2：在BD上截取BF=BC方法3：在BC上截取BG=BD命題1:方法1:過點E做∠CBD兩邊的垂線方法2：在BD上命題1:已知，如圖：BE平分∠CBD，∠BCE+∠BDE=180°求證：CE=DE方法4：做∠DEH=∠CEB交BD于點H方法5：做∠CEH=∠BED交BC于點H命題1:方法4：做∠DEH=∠CEB交BD于點H方法5：做∠