專題01利用數軸解決集合運算問題【熱點聚焦與擴展】數形結合是解決高中數學問題的常用手段，其優點在于通過圖形能夠直觀的觀察到某些結果，與代數的精確性結合，能夠快速解決一些較麻煩的問題.在集合的運算中，涉及到單變量的取值范圍，數軸就是一個非常好用的工具，本專題以一些題目為例，來介紹如何使用數軸快速的進行集合的交集、并集及補集等運算.1、集合運算在數軸中的體現：在數軸上表示為在數軸上表示為表示區域的公共部分.表示區域的總和.在數軸上表示為中除去剩下的部分（要注意邊界值能否取到）.2、問題處理時的方法與技巧：（1）涉及到單變量的范圍問題，均可考慮利用數軸來進行數形結合，尤其是對于含有參數的問題時，由于數軸左邊小于右邊，所以能夠以此建立含參數的不等關系.（2）在同一數軸上作多個集合表示的區間時，可用不同顏色或不同高度來區分各個集合的區域.（3）涉及到多個集合交并運算時，數軸也是得力的工具，從圖上可清楚的看出公共部分和集合包含區域.交集即為公共部分，而并集為覆蓋的所有區域.（4）在解決含參數問題時，作圖可先從常系數的集合（或表達式）入手，然后根據條件放置參數即可.3、作圖時要注意的問題：（1）在數軸上作圖時，若邊界點不能取到，則用空心點表示；若邊界點能夠取到，則用實心點進行表示，這些細節要在數軸上體現出來以便于觀察.（2）處理含參數的問題時，要檢驗參數與邊界點重合時是否符合題意.【經典例題】例1【2017課標1，理1】已知集合A={x|x<1}，B={x|}，則（）A．B．D．C．【答案】A【解析】由可得，則，即，所以，結合數軸得，，故選A.例2【2018屆河北省衡水中學高三上學期七調】設集合，，全集，若，則有（）A.B.C.D.【答案】C【解析】,結合數軸得,故選C.例3【2018屆河北省武邑中學高三下學期開學】設常數，集合，，若，則的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由題得，因為，所以通過畫數軸分析得到，（注意一定要取等），故選B.【名師點睛】：（1）含有參數的問題時，可考慮參數所起到的作用，在本題中參數決定區間的端點；（2）含有參數的問題作圖時可先考慮做出常系數集合的圖象，再按要求放置含參的集合；（3）注意考慮端點處是否可以重合.例4【2018屆河北省衡水中學高三上學期九模】已知集合，，若，則實數的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D例5.已知函數，對，使得成立，則實數的取值范圍是__________【答案】【解析】思路：任取，則取到值域中的每一個元素，依題意，存在使得，意味著值域中的每一個元素都在的值域中，即的值域為的值域的子集，分別求出兩個函數值域，再利用子集關系求出的范圍解：時，時，綜上所述：答案：.例6.已知集合，若，則________【答案】【解析】本題主要考察如何根據所給條件，在數軸上標好集合的范圍.從而確定出的值，，所以.例7.已知集合，若，則實數的取值范圍為【答案】【解析】先解出的解集，意味著有公共部分，利用數軸可標注集合兩端點的位置，進而求出的范圍且.例8：在上定義運算的子集，則實數a的取值范圍是（），若關于的不等式或D．的解集是A．B．C．【答案】D【解析】首先將變為傳統不等式：，不等式含有參數，考慮根據條件對進行分類討論。設解集為，因為，所以首先解集要分空集與非空兩種情況：當圍即可時，則；當時，根據的取值分類討論計算出解集后再根據數軸求出的范解：設解集為當當時，則時：若時，時，若綜上所述：答案：D.【精選精練】1【2017北京，理1】若集合A={x|–2<x<1}，B={x|x<–1或x>3}，則AB=（A）{x|–2<x<–1}（B）{x|–2<x<3}（C）{x|–1<x<1}【答案】A（D）{x|1<x<3}【解析】利用數軸可知，故選A.2【2017山東，理1】設函數的定義域，函數的定義域為,則（A）（1,2）【答案】D（B）（C）（-2,1）（D）[-2,1)3.【2018屆東北三省三校（哈師大附中、東北師大附中、遼寧省實驗中學）高三第二次模擬】集合（），集合，則A.B.C.D.【答案】B【解析】因為，所以，選B.4．【2018屆湖南省（長郡中學、衡陽八中）、江西省（南昌二中）等十四校高三第二次聯考】設集合，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】故選D.5.【2018屆重慶市巴蜀中學高三3月月考】已知全集，集合，，則（）A.B.C.D.【答案】C點晴：集合的三要素是：確定性、互異性和無序性.研究一個集合，我們首先要看清楚它的研究對象，是實數還是點的坐標還是其它的一些元素，這是很關鍵的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我們首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的過程中，要注意分母不能為零.元素與集合之間是屬于和不屬于的關系，集合與集合間有包含關系.在求交集時注意區間端點的取舍.熟練畫數軸來解交集、并集和補集的題目.）6．已知全集,集合B.,則等于A.C.D.【答案】C【解析】全集,集合,.或.故選C.7．【2018屆寧夏吳忠市高三下學期高考模擬】已知全集，設函數的定義域為集合，函數的值域為集合，則（）A.B.C.D.【答案】D8．【2018屆江西省新余市高三上學期期末】設集合，，則等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由，即為，即，即為，解得,∴∴，由，即，∴=.9.【2018年衡水金卷三】已知集合，，若，則實數的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】對于集合，，解得.由于故.10．【2018屆北京市人大附中2017-2018學年高三十月月考】已知集合,集合若則實數的取值范圍是A.B.C.D.【答案】B【解析】由題得,因為,所以,故選B.11.【2018屆云南省曲靖市第一中學高三3月】已知集合，，若，則的取值范圍是()A.B.C.D.12．【2018屆東北三省三校（哈師大附中、東北師大附中、遼寧省實驗中學）高三第一次模擬】已知集合，，若，則實數的取值范圍是()A.B.C.D.【答案】A【解析】由已知得，由，則，又，所以.故選A.專題02充分條件與必要條件【熱點聚焦與擴展】高考對命題及其關系和充分條件、必要條件的考查主要是以小題的形式來考查，由于知識載體豐富，因此題目有一定綜合性，屬于中、低檔題．命題重點主要有三個：一是以函數、方程、三角函數、數列、不等式、立體幾何線面關系、平面解析幾何等為背景的充分條件和必要條件的判定與探求；二是考查等價轉化與化歸思想；三是由充分條件和必要條件探求參數的取值范圍．1、定義：（1）對于兩個條件，如果命題“若則”是真命題，則稱條件能夠推出條件，記為，（2）充分條件與必要條件：如果條件滿足，則稱條件是條件的充分條件；稱條件是條件的必要條件2、對于兩個條件而言，往往以其中一個條件為主角，考慮另一個條件與它的關系，這種關系既包含充分方面，也包含必要方面。所以在判斷時既要判斷“若則”的真假，也要判斷“若則”真假3、兩個條件之間可能的充分必要關系：（1）能推出，但推不出，則稱是的充分不必要條件（2）推不出，但能推出，則稱是的必要不充分條件（3）能推出，且能推出，記為，則稱是的充要條件，也稱等價（4）推不出，且推不出，則稱是的既不充分也不必要條件4、如何判斷兩個條件的充分必要關系(1)定義法：若充分條件；若件。，則是的充分而不必要條件；若，則是的充要條件；若，則是的必要而不，則是的既不充分也不必要條(2)等價法：即利用與；與；與的等價關系，對于條件或結論是否定形式的命題，一般運用等價法．(3)充要關系可以從集合的觀點理解，即若滿足命題p的集合為M，滿足命題q的集合為N，則M是N的真子集等價于p是q的充分不必要條件，N是M的真子集等價于p是q的必要不充分條件，M＝N等價于p和q互為充要條件，M，N不存在相互包含關系等價于p既不是q的充分條件也不是q的必要條件.4、充分條件、必要條件的應用，一般表現在參數問題的求解上．解題時需注意：(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據集合之間的關系列出關于參數的不等式(或不等式組)求解．(2)要注意區間端點值的檢驗．5、對于充要條件的證明問題，可用直接證法，即分別證明充分性與必要性.此時應注意分清楚哪是條件，哪是結論，充分性即由條件證明結論；而必要性則是由結論成立來證明條件也成立，千萬不要張冠李戴；也可用等價法，即進行等價轉化，此時應注意的是所得出的必須是前后能互相推出，而不僅僅是“推出”一方面（即由前者可推出后者，但后者不能推出前者）.【經典例題】例1【2017天津，理4】設，則“”是“”的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件【答案】【解析】，但，不滿足，所以是充分不必要條件，選A.例2【2018屆山東省天成大聯考高三第二次考試】已知，，，，則是（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】D例3【2018屆江西省高三監測】已知命題：；命題：，且的一個必要不充分條件是，則的取值范圍是（）A.B.D.C.【答案】A【解析】x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，故p：－3≤x≤1；命題q：，故q：。由q的一個必要不充分條件是p，可知q是p的充分不必要條件，故得.故選A.例4【2018屆東北三省三校高三第二次模擬】設，則使成立的必要不充分條件是（）A.B.C.D.【答案】B例5【2018屆河北省保定市高三第一次模擬】已知非向量，則或是向量與夾角為銳角的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】向量與夾角為銳角充要條件為且向量與不共線，即，故或是向量與夾角為銳角的必要不充分條件，選B.”是“直線有公共點”的例6.“與圓A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】.將直線方程代入圓的方程,化簡得.故為充分必要條件,選C.,判別式,解得例7【2018屆天津市十二重點中學高三聯考一】設條件：函數增，條件：存在成立，則是的（）在上單調遞使得不等式A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】條件：函數在上單調遞增，則；條件：存在使得不等式成立，則，則是的充要條件.故選C.例8【2018屆四川省棠湖中學高三3月月考】“”是“”的A.充分不必要條件B.充要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由可得．當時，不一定成立；反之，當時，必有．∴“”是“”的必要不充分條件．選C．例9【2018屆北京市西城區156中學高三上學期期中】設”是“”的（）．，，是兩個不同的平面，則“A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件【答案】A例10.已知，當“”是“”的充分不必要條件，則的取值范圍是__________【答案】【解析】思路：為兩個不等式的解集，因為“”是“”的充分不必要條件，所以是的真子集。考慮解出兩個不等式的解集，然后利用數軸求出的范圍即可解：由是的真子集可得：【名師點睛】：1、熟悉充分必要條件與集合的聯系：是的充分不必要條件應集合的真子集.對應集合是對2、處理含參問題時，秉承“先常數再參數”的順序分析，往往可利用所得條件對參數范圍加以限制，減少分類討論的情況.例如在本題中，若先處理，則解不等式面臨著分類討論的問題.但先處理之后，結合數軸會發現何種情況符合，省去了無謂的討論.【精選精練】1．【2018屆河南省濮陽市高三二模】對于實數對應的曲線是橢圓”的（），，“”是“方程A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A2．【2018屆河北省衡水中學高三十五模】已知等差數列的兩根”是“”的（）的前項和為，“，是方程A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】∵，是方程的兩根∴∴，∴+∴充分性具備；反之，不一定成立.∴“故選：A.，是方程的兩根”是“”的充分不必要條件3．【2018屆上海市黃浦區高三4月模擬（二模）】在空間中，“直線內無窮多條直線都垂直”的（）平面”是“直線與平面A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.非充分非必要條件【答案】A4．【2018屆上海市楊浦區高三二模】已知，，則“”是“直線與平行”的（）條件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分也非必要【答案】B【解析】直線，，則“”化為，即與平行”可推出：，，，則“平行”的必要不充分條件”是“直線與故選5．【2018屆重慶市高三4月二診】“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由，可得或，即或，所以是成立的必要不充分條件，故選B．是“函數6．【2018屆吉林省四平市高三質量檢測】A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分且必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A的最小正周期為”的()7．【2018屆北京東城五中2017-2018學年高三上期中】已知向量、為非零向量，則“的夾角為銳角”的（）．”是“、A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】∵等價于，的夾角是銳角或，∴“”是“，的夾角為銳角”的必要不充分條件，故選B.8．【2018屆江西省上饒市高三下學期二模】“垂直”的（）”是“直線與直線A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由直線與直線垂直可得，，解得或，所以“”是“直線與直線垂直”的充分不必要條件，故選A.9．【2018屆山東省聊城市高三一模】設等比數列”是“數列是遞增數列”的（）的各項均為正數，其前項和為，則“A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C10．【2018屆河南省八市學評高三下學期第一次】設等差數列是“為遞減數列”的()的首項大于0，公差為,則“”A.充要條件B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由題意，當時，，所以，即數列為遞減數列；若數列所以為遞減數列，則，因為，所以，是數列為遞減數列的充要條件，故選A．11．設命題實數使曲線表示一個圓；命題實數使曲線表示雙曲線.若是的充分不必要條件，求正實數的取值范圍.【答案】，故實數的取值范圍.12．已知命題：，命題：.（1）若，求實數的值；（2）若是的充分條件，求實數的取值范圍.【答案】(1)2;(2)實數a的取值范圍是（﹣∞，0]∪[4，+∞）.【解析】試題分析：（1）利用一元二次不等式的解法把集合化簡后，由，借助于數軸列方程組可解的值；（2）把是的充分條件轉化為集合和集合之間的包含關系，運用兩集合端點值之間的關系列不等式組求解的取值范圍.專題03命題形式變化及真假判定【熱點聚焦與擴展】（一）命題結構變換1、四類命題間的互化：設原命題為“若，則”的形式，則（1）否命題：“若”（2）逆命題：“若，則”（3）逆否命題：“若2、，則，則”，（1）用“或”字連接的兩個命題（或條件），表示兩個命題（或條件）中至少有一個成立即可，記為（2）用“且”字連接的兩個命題（或條件），表示兩個命題（或條件）要同時成立，記為3、命題的否定：命題的否定并不是簡單地在某個地方加一個“不”字，對于不同形式的命題也有不同的方法（1）一些常用詞的“否定”：是→不是全是→不全是至少一個→都沒有至多個→至少個小于→大于等于（2）含有邏輯聯結詞的否定：邏輯聯接詞對應改變，同時或→且→（3）全稱命題與存在性命題的否定均變為：且或全稱命題：存在性命題：規律為：兩變一不變①兩變：量詞對應發生變化（②一不變：所屬的原集合），條件要進行否定的不變化（二）命題真假的判斷：判斷命題真假需要借助所學過的數學知識，但在一組有關系的命題中，真假性也存在一定的關聯。1、四類命題：原命題與逆否命題真假性相同，同理，逆命題與否命題互為逆否命題，所以真假性也相同。而原命題與逆命題，原命題與否命題真假沒有關聯2、，，如下列真值表所示：或且真真假假真假真假真真真假真真假假真假真假真假假假簡而言之“一真則真”簡而言之“一假則假”3、：與命題真假相反。4、全稱命題：真：要證明每一個中的元素均可使命題成立假：只需舉出一個反例即可5、存在性命題：真：只需在假：要證明【經典例題】舉出一個使命題成立的元素即可中所有的元素均不能使命題成立例1【2017山東，理3】已知命題p:；命題q：若a＞b，則，下列命題為真命題的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【名師點睛】解答簡易邏輯聯結詞相關問題，關鍵是要首先明確各命題的真假，利用或、且、非真值表，進一步作出判斷.例2【2017北京，理13】能夠說明“設a，b，c是任意實數．若a＞b＞c，則a+b＞c”是假命題的一組整數a，b，c的值依次為______________________________．【答案】-1，-2，-3（答案不唯一）【名師點睛】對于判斷不等式恒成立問題，一般采用舉反例排除法．解答本題時利用賦值的方式舉反例進行驗證，答案不唯一．例3.命題“若，則”的逆否命題是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】B【解析】命題“若，則”的逆否命題是“若，故選C.，則，”故命題“若，則”的逆否命題是若，則例4【2018屆新疆烏魯木齊市高三第二次監測】命題若，則；是的逆命題，則（）A.真，真B.真，假C.假，真D.假，假【答案】C【解析】由題意，，所以，得，所以命題為假命題，又因為是的逆命題，所以命題：若例5.有下列命題:，則為真命題，故選C.①面積相等的三角形是全等三角形;②“若③“若,則,則”的逆命題;”的否命題;④“矩形的對角線互相垂直”的逆否命題.其中真命題為A.①②B.②③C.①③D.②④【答案】B【解析】逐一考查所給的命題：①面積相等的三角形不一定是全等三角形，該命題錯誤;②“若該命題正確;,則”的逆命題為“若”的否命題為“若,則”，③“若正確;,則,則”，該命題④“矩形的對角線互相垂直”為假命題，則其逆否命題為假命題，原命題錯誤.綜上可得：真命題為②③.本題選擇B選項.例6.已知命題出下列結論:,使;命題,都有.給A.命題是真命題B.命題“C.命題“”是真命題D.命題“”是真命題”是假命題【答案】B本題選擇B選項.例7.命題“A.”的否定是（）B.D.C.【答案】D【解析】特稱命題的否定為全稱命題，將存在量詞變為全稱量詞，同時將結論進行否定，故命題“”的否定是“”，故選D.，使得，都有例8【2018屆湖南省張家界市高三三模】命題：，的否定是（）A.C.，，B.D.，，【答案】C【解析】由題意可知，命題為全稱命題，其否定須由全稱命題來完成，并否定其結果，所以命題的.故選C.否定是，例9【2018屆北京市首師大附高三十月月考】已知命題“”是真命題,則實數的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】因為命題“”是真命題,，選C.x&kw所以例10【2018屆江西省八所重點中學高三下學期聯考】已知命題對任意，總有；命題直線），，若，則或；則下列命題中是真命題的是（A.B.C.D.【答案】D【精選精練】1．【2017山東，文5】已知命題p：;命題q：若,則a<b.下列命題為真命題的是（）A．B.C.D.【答案】B【解析】由題,故選B.時成立知p是真命題,由可知q是假命題,所以是真命【名師點睛】判斷一個命題為真命題,要給出推理證明；判斷一個命題是假命題,只需舉出反例．根據“原命題與逆否命題同真同假,逆命題與否命題同真同假”這一性質,當一個命題直接判斷不易進行時,可轉化為判斷其等價命題的真假．2．【2018屆安徽省江淮十校高三第三次（4月）聯考】下列命題中，真命題是（）A.，有B.C.函數有兩個零點D.，是的充分不必要條件【答案】D【解析】x=0時lnx=0,A錯誤；當sinx=-1時，，B錯誤；有三個零點，時，x=2,4,還有一個小于0，C錯誤；當成立，故D正確,選D.，時，一定有，但當，也3．【2018屆山西省榆社中學高三診斷性模擬】設集合，，現有下面四個命題：；若，則；：若，則；：若，則.其中所有的真命題為（）A.B.C.D.【答案】B【名師點睛】此題主要考查集合的補集、交集、并集、包含等基本關系與運算，以及二次不等式、命題的真假判斷等運算與技能，屬于中低檔題型，也是常考題型.在二次不等式的求解過程中，首先要算出其相應二次方程的根，當時，則有“大于號取兩邊，即，小于號取中間，即”.4．【2018屆河南省南陽市第一中學高三第十二次】設有下面四個命題：①“若②若，則與的夾角為銳角”及它的逆命題均為真命題,則③“”是“或”的充分不必要條件④命題“中，若，則”的逆命題為真命題其中正確命題的個數是()A.3B.2C.1D.0【答案】B5．命題函數且圖像恒過點命題有兩個零點，則下列結論中成立的是A.為真B.為真C.為假D.為真【答案】A【解析】函數圖像恒過點所以命題不正確；根據偶函數可知命題正確，所以根據復合命題的判斷方法可知正確，故選A.6．【2018屆河南省高三4月測試】下列說法中，正確的是（）A.命題“若B.命題“，則”的逆命題是真命題”的否定是“，，”C.命題“或”為真命題，則命題“”和命題“”均為真命題D.已知，則“”是“”的充分不必要條件【答案】B【解析】對于選項A,逆命題為“若”，當m=0時，不成立，所以是假命題；對于選項B，特稱命題的否定是正確的；對于選項C，命題“或”為真命題，則命題“”和命題“”至少有一個是真命題，不是全都是真命題，所以是假命題；對于選項D，“”是“”的必要不充分條件,所以是假命題.故選B.7．【2018屆湖南省（長郡中學、衡陽八中）、江西省（南昌二中）等十四校高三第二次聯考】已知命題：A.，；命題：，，則下列命題中為真命題的是（）B.C.D.【答案】A【解析】，，故為假命題，為真命題，因為，，所以命題：，，為假命題，所以為真命題，為真命題，故選A.8．若“”為真命題，則實數的最大值為________.【答案】09．【2018屆山東省桓臺第二中學高三4月月考】若命題“的取值范圍是________．，使得”是假命題，則實數【答案】【解析】因為命題“，使得”是假命題，所以“，使得”為真命題，因此10．下列命題：①若，則；②已知，，且與的夾角為銳角，則實數的取值范圍是；③已知是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則的軌跡一定通過的重心；④在中，，邊長分別為，則只有一解；⑤如果△ABC內接于半徑為的圓，且則△ABC的面積的最大值；其中正確的序號為_______________________。【答案】①③⑤【解析】①若,則代入上式得到，故正確；②已知，，且與的夾角為銳角，則實數的取值范圍是且，故選項不正確；∴cosC=，∵角C為三角形的內角，∴角C的大小為∵c=2Rsin=Rx/k//*w∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2a?bcosC，可得2R2=a2+b2﹣∴ab≤a?b≥2ab﹣ab=（2﹣）ab，當且僅當a=b時等號成立∴S△ABC=absinC≤?R2?=即△ABC面積的最大值為故答案為：①③⑤.；故⑤正確，11．設：對任意的都有，：存在，使，如果命題為真，命題為假，求實數的取值范圍.【答案】∴一真一假，①真假時，,②假真時，.綜上，.12．已知：實數滿足，其中，：實數滿足（1）當（2）若，且為真時，求實數的取值范圍；是的充分不必要條件，求實數的取值范圍.（2）【答案】（1）（2），的解為，則，對應解為，是的充分不必要條件，即，即對應的集合是對應集合的子集，，所以.專題04函數的定義域、值域的求法【熱點聚焦與擴展】函數的定義域作為函數的要素之一，是研究函數的基礎，也是高考的熱點.函數的值域也是高考中的一個重要考點，并且值域問題通常會滲透在各類題目之中，成為解題過程的一部分.所以在掌握定義域求法的基礎上，掌握一些求值域的基本方法，當需要求函數的取值范圍時便可抓住解析式的特點，尋找對應的方法從容解決.（一）函數的定義域1.求函數定義域的主要依據是：分式的分母不能為零；偶次方根的被開方式其值非負；對數式中真數大于零，底數大于零且不等于1.2.①若②若的定義域為的定義域為，則不等式，則函數的解集即為函數的定義域；的定義域．在上的的值域即為函數3.對于分段函數知道自變量求函數值或者知道函數值求自變量的問題，應依據已知條件準確找出利用哪一段求解.4.與定義域有關的幾類問題第一類是給出函數的解析式，這時函數的定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍；第二類是實際問題或幾何問題，此時除要考慮解析式有意義外，還應考慮使實際問題或幾何問題有意義；第三類是不給出函數的解析式，而由的定義域確定函數的定義域或由的定義域確定函數的定義域．第四類是已知函數的定義域，求參數范圍問題，常轉化為恒成立問題來解決．（二）函數的值域1.利用函數的單調性:若小(大)值,最大(小)值.是上的單調增(減)函數,則,分別是在區間上取得最2.利用配方法:形如型,用此種方法,注意自變量x的范圍.3.利用三角函數的有界性,如.4.利用“分離常數”法:形如y=或(至少有一個不為零)的函數,求其值域可用此法.一般地，①②：換元→分離常數→反比例函數模型：換元→分離常數→模型③④：同時除以分子：→②的模型：分離常數→③的模型共同點：讓分式的分子變為常數5.利用換元法:在高中階段，與指對數，三角函數相關的常見的復合函數分為兩種：①：此類問題通常以指對，三角作為主要結構，在求值域時可先確定的范圍，再求出函數的范圍.②：此類函數的解析式會充斥的大量括號里的項，所以可利用換元將解析式轉為形如的形式，然后求值域即可.型,可用此法求其值域.6.利用基本不等式法:7.導數法:利用導數與函數的連續性求圖復雜函數的極值和最值,然后求出值域8.分段函數的函數值時，應根據所給自變量值的大小選擇相應的解析式求解，有時每段交替使用求值．若給出函數值或函數值的范圍求自變量值或自變量的取值范圍，應根據每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量值域范圍是否符合相應段的自變量的取值范圍．數形結合法也可很方便的計算值域.9.由判別式法來判斷函數的值域時，若原函數的定義域不是實數集時，應綜合函數的定義域，將擴大的部分剔除.10.數形結合法：即作出函數的圖象，通過觀察曲線所覆蓋函數值的區域確定值域，以下函數常會考慮進行數形結合.（1）的函數值為多個函數中函數值的最大值或最小值，此時需將多個函數作于同一坐標系中，然后確定靠下（或靠上）的部分為該函數的圖象，從而利用圖象求得函數的值域.（2）函數的解析式具備一定的幾何含義，需作圖并與解析幾何中的相關知識進行聯系，數形結合求得值域，如：分式→直線的斜率；被開方數為平方和的根式→兩點間距離公式.（三）常見函數的值域：在處理常見函數的值域時，通常可以通過數形結合，利用函數圖像將值域解出，熟練處理常見函數的值域也便于將復雜的解析式通過變形與換元向常見函數進行化歸.（1）一次函數（）：一次函數為單調函數，圖像為一條直線，所以可利用邊界點來確定值域.（2）二次函數（），給定區間.二次函數的圖像為拋物線，通常可進行配方確定函數的對稱軸，然后利用圖像進行求解.（關鍵點：①拋物線開口方向，②頂點是否在區間內）.（3）反比例函數：（1）圖像關于原點中心對稱（2）當，當.（4）對勾函數：①解析式特點：的系數為1；注：因為此類函數的值域與相關，求的值時要先保證的系數為，再去確定的值例：，并不能直接確定，而是先要變形為，再求得②極值點：③極值點坐標：④定義域：⑤自然定義域下的值域：（5）函數：注意與對勾函數進行對比①解析式特點：的系數為1；②函數的零點：③值域：（5）指數函數（）：其函數圖像分為與兩種情況，可根據圖像求得值域，在自然定義域下的值域為（6）對數函數（）其函數圖像分為與兩種情況，可根據圖像求得值域，在自然定義域下的值域為【經典例題】例1【2017山東理】設函數的定義域，函數的定義域為,則（）（A）（1,2）【答案】D（B）（C）（-2,1）（D）[-2,1)【解析】試題分析：由得，由得，故，選D.例2【2018屆湖南省邵陽市高三上學期期末】設函數，則函數的定義域為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】的定義域為,故,所以選B.例3【2018屆河南省中原名校（即豫南九校）高三第六次質量考評】已知函數（且），若有最小值，則實數的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】有最小值故選例4【2018屆廣東省深圳市南山區高三上學期期末】設函數的定義域為，若滿足條件：存在，使在上的值域為，則稱為“倍縮函數”．若函數為“倍縮函數”，則實數的取值范圍是（）A.（﹣∞，ln2﹣1）B.（﹣∞，ln2﹣1]C.（1﹣ln2，+∞）D.[1﹣ln2，+∞）【答案】C令g′（x）＞0，解得：x＞2，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜2，故g（x）在（0，2）遞減，在（2，+∞）遞增，故g（x）≥g（2）=1﹣ln2，故t＞1﹣ln2，故選C：．【名師點睛】由于函數y＝f(x)的零點就是方程f(x)＝0的根，所以在研究方程的有關問題時，如比較方程根的大小、確定方程根的分布、證明根的存在性等，都可以將方程問題轉化為函數問題解決.此類問題的切入點是借助函數的零點，結合函數的圖象，采用數形結合思想加以解決例5.已知函數在閉區間上的值域為，則滿足題意的有序實數對在坐標平面內所對應點組成圖形為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】∵y=x2+2x=（x+1）2﹣1，∴可畫出圖象如圖1所示．；故選：C．【名師點睛】本題考查了二次函數在給定區間上的值域問題，值域是確定的，而定義域是變動的，解題關鍵是分辨清楚最大值是在左端點取到還是在右端點取到，問題就迎刃而解了.例6.（1）函數的值域為（）A.B.C.D.（2）函數的值域為（）A.B.C.D.（3）函數的值域為________【答案】（1）D（2）B（3）【解析】（1）函數的定義域為.，含有雙根式，所以很難依靠傳統的換元解決問題，但的導數較易分析出單調性，所以考慮利用導數求出的單調區間，從而求得最值令即解不等式：【名師點睛】本題還可以利用換元解決，但利用的是三角換元：觀察到被開方數的和為常數，所以想到，從而可設，由可知，由，所以原函數的值域可求得轉化為求的值域，從而有.由此題可知：含雙根式的函數若通過變形可得到被開方數的和為常數，則可通過三角換元轉為三角函數值域問題（2）函數的定義域為，從而發現時，，所以函數的解析式為，觀察可得為增函數，且，所以當時，的值域為【名師點睛】①本題中函數的定義域對解析式的化簡有極大的促進作用.所以在求函數的值域時，若發現函數解析式較為特殊，則先確定其定義域.②本題也可用換元法，設后即可將函數轉為二次函數求值域，但不如觀察單調性求解簡便。（3）先確定函數的定義域：，為分式且含有根式，求導則導函數較為復雜.觀察分子分母可知：且關于單減，可知且關于單增，即單減，所以為減函數，由的值域為.【名師點睛】在函數單調性的判斷中有“增+增→增”，那么如果一個函數可表示為兩個函數的乘法，例如恒大于0，才能得到，則當均為增（減）函數，且為增（減）函數.例7：（1）函數的值域為（）A.B.C.D.（2）函數的值域為_________【答案】（1）D（2）解：由可得:函數的定義域為的取值只需讓方程有解即可當時，不成立，故舍去當時，即：綜上所述：函數的值域為.【名師點睛】①對于二次分式，若函數的定義域為，則可像本例這樣利用方程思想，將值域問題轉化為“取何值時方程有解”，然后利用二次方程根的判定稱為“判別式法”得到關于的不等式從而求解，這種方法也②若函數的定義域不是，而是一個限定區間（例如），那么如果也想按方程的思想處理，那么要解決的問題轉化為：“取何值時，方程在有根”，對于二次方程就變為了根分布問題，但因為只要方程有根就行，會按根的個數進行比較復雜的分類討論，所以此類問題通常利用分式的變形與換元進行解決（詳見附）（2）本題不易將函數變為僅含或的形式，考慮去分母得：則的取值只要讓方程有解即可。觀察左側式子特點可想到俯角公式，從而得到，可知方程有解的條件為：，解出的范圍即為值域解：且的定義域為，即，其中因為該方程有解【名師點睛】本題除了用方程思想，也可用數形結合進行解決，把分式視為連線斜率的問題，從而將問題轉化為定點與單位圓上點連線斜率的取值范圍。作圖求解即可。本類型運用方程思想處理的局限性在于輔角公式與的取值相關，不過因為，所以均能保證只要在中，則必有解。但如果本題對的范圍有所限制，則用方程的思想不易列出的不等式，所以還是用數形結合比較方便例8.設且，函數在的最大值是14，求的值．【答案】考點：二次函數的最值及指數函數的性質．【方法點晴】本題主要考查了二次函數的最值及指數函數的性質，其中解答中涉及到一元二次函數的圖象與性質、指數函數的圖象與性質等知識點的綜合考查，著重考查了學生分析問題和解答問題的能力，以及分類討論思想和轉化與化歸思想，本題的解得中根據指數函數的性質，分類討論是解答的關鍵，試題有一定的難度，屬于中檔試題．例9【2018屆山西省太原市實驗中學高三上學期9月月考】已知函數(1)判斷函數的奇偶性.(2)求的值域.【答案】(1)是奇函數（2），，的值域為.【名師點睛】本題考查了利用定義證明函數奇偶性，利用分離常數求分式型函數的值域問題，考查了指數冪的運算性質，屬于中檔題.例10【2018屆安徽省宿州市汴北三校聯考高三上學期期中】已知上的奇函數.是定義在（1）若（2）若，求的值;是函數的一個零點，求函數在區間的值域.【答案】（1）a=1，b=2；（2）[-7.5,-3].【解析】試題分析：（1）由奇函數定義域關于原點對稱得(b-3)+(b-1)=0，解得b=2，再由可得；（2）由是函數的一個零點，得a=-2，進而得函數單調性，由單調性求值域即可.試題解析：（1）由f(x)為奇函數，則(b-3)+(b-1)=0，解得b=2，【名師點睛】正確理解奇函數和偶函數的定義，必須把握好三個問題：（1）定義域關于原點對稱是函數f(x)為奇函數或偶函數的必要非充分條件；（2）f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定義域上的恒等式；（3）奇函數的圖像關于原點對稱，偶函數的圖像關于y軸對稱.【精選精練】1．【2018屆二輪同步（高考題）】下列函數中，其定義域和值域分別與函數y＝10lgx的定義域和值域相同的是()A.y＝xB.y＝lgxC.y＝2xD.y＝【答案】D【解析】y＝10lgx＝x，定義域與值域均為(0，＋∞)，只有D滿足，故選D.2．【2019屆高考一輪】已知集合A=,B={y|y=},則A∩(?RB)=()A.[-3,5]B.(-3,1)C.(-3,1]D.(-3,+∞)【答案】C【解析】由≤0，解得3<x≤5．故A={x|3<x≤5}．∵y=，∴y>1．∴B={y|y>1}．∴?RB={y|y≤1}．∴A∩(?RB)={x|3<x≤1}．選C．【名師點睛】解決集合運算問題的方法(1)用列舉法表示的集合進行交、并、補的運算，常采用Venn圖法解決，此時要搞清Venn圖中的各部分區域表示的實際意義．(2)用描述法表示的數集進行運算，常采用數軸分析法解決，此時要注意“端點”能否取到．(3)若給定的集合是點集，則可畫出圖象，采用數形結合法求解．3．【2018屆安徽合肥八高三上學期期中】函數A.(－3,0)B.(－3,0]的定義域是()C.(－∞，－3)∪(0，＋∞)D.(－∞，－3)∪(－3,0)【答案】A【名師點睛】本題主要考查了具體函數的定義域問題，屬于基礎題；常見的形式有：1、分式函數分母不能為0；2、偶次根式下大于等于0；3、對數函數的真數部分大于0；4、0的0次方無意義；5、對于正切函數，需滿足等等，當同時出現時，取其交集.4．【2018屆東北三省三校（哈師大附中、東北師大附中、遼寧省實驗中學）高三第一次模擬】已知集合，，若，則實數的取值范圍是()A.B.C.D.【答案】A【解析】由已知得，由，則，又，所以.故選A.5．已知函數的定義域是，則函數的定義域是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】函數所以函數的定義域是，所以，中有：，解得.即函數的定義域是.故選D.6．【2018屆江西省南昌市高三第一輪】已知函數的定義域是，則的定義域是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】，則，，則的定義域是，選A.x*k&w7．下列四個函數：①y＝3－x；②y＝2x－1(x>0)；③y＝x2＋2x－10；④y＝值域相同的函數的個數為()，其中定義域與A.1B.2C.3D.4【答案】B8．【2018屆江西省高三監測】函數的定義域為，若滿足：①在內是單調函數；②存在使得在上的值域為，則稱函數為“成功函數”.若函數（其中，且）是“成功函數”，則實數的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】D【名師點睛】本題以新定義為背景考查方程解的個數問題，利用變量分離的方法，把問題轉化為兩個圖象的交點問題，通過換元的手段把問題歸結為二次函數的圖象與性質問題.9．【2018屆北京西城31中高三上期中】若，則定義域__________．【答案】【解析】要使函數有意義，則，解得，故的定義域為，故答案為.10．【2018屆南京市、鹽城市高三一模】設函數取值范圍是________．的值域為，若，則實數的【答案】【解析】因為a,所以11．【2018屆北京市西城區高三期末】已知函數若，則的值域是____；若的值域是，則實數的取值范圍是____．【答案】12．已知函數的定義域為，若其值域也為，則稱區間為，則的值為__________.的保值區間，若的保值區間是【答案】1【解析】∵函數則稱區間為又∵的定義域為，若其值域也為，的保值區間．的保值區間是定義域為，∴，值域也為．∵，，∴函數在上單調遞減，在上單調遞增．∴在單調遞增．專題05函數的對稱性、周期性及其應用【熱點聚焦與擴展】高考對函數性質的考查往往是綜合性的，如將奇偶性、周期性、單調性及函數的零點綜合考查，因此，復習過程中應注意在掌握常見函數圖象和性質的基礎上，注重函數性質的綜合應用的演練.（一）函數的對稱性1、對定義域的要求：無論是軸對稱還是中心對稱，均要求函數的定義域要關于對稱軸（或對稱中心）對稱2、軸對稱的等價描述：（1）（2）關于關于軸對稱（當軸對稱時，恰好就是偶函數）在已知對稱軸的情況下，構造形如的等式只需注意兩點，一是等式兩側前面的符號相同，且括號內前面的符號相反；二是的取值保證為所給對稱軸即可。例如：關于軸對稱，或得到均可，只是在求函數值方面，一側是更為方便（3）是偶函數，則，進而可得到：關于軸對稱.①要注意偶函數是指自變量取相反數，函數值相等，所以在中，僅是括號中的一部分，偶函，要與以下的命題區分：數只是指其中的取相反數時，函數值相等，即若是偶函數，則：是偶函數中的占據整個括號，所以是指括號內取相反數，則函數值相等，所以有②本結論也可通過圖像變換來理解，是偶函數，則關于軸對稱，而可視為平移了個單位（方向由的符號決定），所以關于對稱.2、中心對稱的等價描述：（1）關于關于中心對稱（當中心對稱時，恰好就是奇函數）（2）在已知對稱中心的情況下，構造形如的等式同樣需注意兩點，一是等式兩側和前面的符號均相反；二是的取值保證為所給對稱中心即可。例如：關于中心對稱便，或得到均可，同樣在求函數值方面，一側是更為方（3）是奇函數，則，進而可得到：關于中心對稱。①要注意奇函數是指自變量取相反數，函數值相反，所以在中，僅是括號中的一部分，奇函，要與以下的命題區分：數只是指其中的取相反數時，函數值相反，即若是奇函數，則：是奇函數中的占據整個括號，所以是指括號內取相反數，則函數值相反，所以有②本結論也可通過圖像變換來理解，是奇函數，則關于中心對稱，而可視為平移了個單位（方向由的符號決定），所以關于對稱。4、對稱性的作用：最突出的作用為“知一半而得全部”，即一旦函數具備對稱性，則只需要分析一側的性質，便可得到整個函數的性質，主要體現在以下幾點：（1）可利用對稱性求得某些點的函數值（2）在作圖時可作出一側圖像，再利用對稱性得到另一半圖像（3）極值點關于對稱軸（對稱中心）對稱（4）在軸對稱函數中，關于對稱軸對稱的兩個單調區間單調性相反；在中心對稱函數中，關于對稱中心對稱的兩個單調區間單調性相同（二）函數的周期性1、定義：設的定義域為，若對，存在一個非零常數，有，則稱函數是一個周期函數，稱為的一個周期2、周期性的理解：可理解為間隔為的自變量函數值相等3、若是一個周期函數，則，那么，即也是的一個周期，進而可得：也是的一個周期4、最小正周期：正由第3條所說，也是的一個周期，所以在某些周期函數中，往往尋找周期中最小的正數，即稱為最小正周期。然而并非所有的周期函數都有最小正周期，比如常值函數5、函數周期性的判定：（1）（2）：可得為周期函數，其周期的周期分析：直接從等式入手無法得周期性，考慮等間距再構造一個等式：所以有：，即周期注：遇到此類問題，如果一個等式難以推斷周期，那么可考慮等間距再列一個等式，進而通過兩個等式看能否得出周期（3）的周期分析：（4）（為常數）（為常數）的周期分析：（5），兩式相減可得：的周期（6）雙對稱出周期：若一個函數存在兩個對稱關系，則是一個周期函數，具體情況如下：（假設）①若的圖像關于軸對稱，則是周期函數，周期分析：關于軸對稱關于軸對稱的周期為②若③若的圖像關于的圖像關于中心對稱，則是周期函數，周期軸對稱，且關于中心對稱，則是周期函數，周期7、函數周期性的作用：簡而言之“窺一斑而知全豹”，只要了解一個周期的性質，則得到整個函數的性質。（1）函數值：可利用周期性將自變量大小進行調整，進而利用已知條件求值（2）圖像：只要做出一個周期的函數圖象，其余部分的圖像可利用周期性進行“復制+粘貼”（3）單調區間：由于間隔的函數圖象相同，所以若在上單調增（減），則在上單調增（減）（4）對稱性：如果一個周期為的函數存在一條對稱軸（或對稱中心），則存在無數條對稱軸，其通式為證明：函數關于軸對稱的周期為關于軸對稱注：其中（3）（4）在三角函數中應用廣泛，可作為檢驗答案的方法.【經典例題】例1【2017山東，文14】已知f(x)是定義在R上的偶函數,且f(x+4)=f(x-2).若當時,,則f(919)=.【答案】【解析】【名師點睛】與函數奇偶性有關問題的解決方法已知函數的奇偶性,求函數值將待求值利用奇偶性轉化為已知區間上的函數值求解．已知函數的奇偶性求解析式將待求區間上的自變量,轉化到已知區間上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性構造關于f(x)的方程(組),從而得到f(x)的解析式．已知函數的奇偶性,求函數解析式中參數的值常常利用待定系數法：利用f(x)±f(－x)＝0得到關于待求參數的恒等式,由系數的對等性得參數的值或方程求解．應用奇偶性畫圖象和判斷單調性利用奇偶性可畫出另一對稱區間上的圖象及判斷另一區間上的單調性．例2.對于函數，部分與的對應關系如表：數列滿足：，且對于任意，點都在函數的圖象上，則的值為__________.【答案】7564【名師點睛】周期數列是周期現象的應用，周期數列問題在高考中常出現．這類試題綜合性強一般會融匯數列，數論，函數等知識解題，方法靈活多變，具有較高的技巧性．學生應進行相關的培訓，才能在應付這些試題時有比較好的把握．例3.【2018屆山西省康杰中學高三上學期第一次月考】定義在R上的函數,且時,,則滿足=A.1B.C.D.【答案】C【解析】∵，則時，∴∵∴，即∵∴故選C.例4.定義在上的函數對任意，都有，則等于（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由由已知可得及所求，所以可聯想到周期性，所以考慮，所以是周期為4的周期函數，故，而.例5【高考題】定義在上的函數滿足，則的值為（）A.B.C.D.【答案】C，而.【名師點睛】（1）本題的思路依然是將無解析式的自變量通過函數性質向含解析式的自變量靠攏，而數較大，所以考慮判斷函數周期性。（2）如何快速將較大自變量縮至已知范圍中？可利用帶余除法除以周期，觀察余數。則被除數的函數值與余數的函數值相同，而商即為被除數利用周期縮了多少次達到余數。例如本題中，從而（3）本題推導過程中也有其用處，其含義是間隔為3的自變量函數值互為相反數，相比周期，它的間隔更小，所以適用于利用周期縮小自變量范圍后，進行“微調”從而將自變量放置已知區間內.例6.已知是定義在上的函數，滿足，當時，，則函數的最小值為（）A.B.C.D.【答案】B例7.已知定義域為的函數滿足，且函數在區間上單調遞增，如果，且，則的值（）A.可正可負【答案】DB.恒大于0C.可能為0D.恒小于0【解析】思路一：題目中給了單調區間，與自變量不等關系，所求為函數值的關系，從而想到單調性，而可得，因為，所以，進而將，由裝入了中，所以由可得關于可得，下一步需要轉化中心對稱，所以有.代入可得，從而思路二：本題運用數形結合更便于求解.先從分析出關于中心對稱，令代入到可得。中心對稱的函數對稱區間單調性相同，從而可作出草圖.而，即的中點位于的左側，所以比距離更遠，結合圖象便可分析出恒小于0.【名師點睛】（1）本題是單調性與對稱性的一個結合，入手點在于發現條件的自變量關系，與所求函數值關系，而連接它們大小關系的“橋梁”是函數的單調性，所以需要將自變量裝入同一單調區間內。而對稱性起到一個將函數值等價轉化的作用，進而與所求產生聯系.（2）數形結合的關鍵點有三個：第一個是中心對稱圖像的特點，不僅僅是單調性相同，而且是呈“對稱”的關系，從而在圖像上才能看出的符號；第二個是，進而可知；第三個是，既然是數形結合，則題中條件也要盡可能轉為圖像特點，而表現出中點的位置，從而能夠判斷出距離中心對稱點的遠近.例8.已知定義域為的函數在上有和兩個零點，且與都是偶函數，則A.在上的零點個數至少有（）個B.C.D.【答案】C解：為偶函數關于軸對稱為周期函數，且劃分為將關于軸對稱在中只含有四個零點而共組所以在中，含有零點共兩個所以一共有806個零點.【名師點睛】（1）周期函數處理零點個數時，可以考慮先統計一個周期的零點個數，再看所求區間包含幾個周期，相乘即可.如果有不滿一個周期的區間可單獨統計.（2）在為周期函數分段時有一個細節：“一開一閉”，分段的要求時“不重不漏”，所以在給周期函數分段時，一端為閉區間，另一端為開區間，不僅達到分段要求，而且每段之間保持隊型，結構整齊，便于分析.（3）當一個周期內含有對稱軸（或對稱中心）時，零點的統計不能僅限于已知條件，而要看是否由于對稱產生新的零點。其方法一是可以通過特殊值的代入，二是可以通過圖像，將零點和對稱軸標在數軸上，看是否有由對稱生成的零點（這個方法更直觀，不易丟解）.例9【2018屆安徽省六安市第一中學高三上學期第五次月考】設函數是定義在上的偶函數，且，當時，，若在區間內關于的方程有且只有4個不同的根，則實數的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】∵∴函數，圖象的對稱軸為，即，∵在區間∴函數內方程和有且只有4個不同的根，內僅有4個不同的公共點．的圖象在區間，解得結合圖象可得只需滿足．∴實數的取值范圍是．【名師點睛】已知函數零點個數（方程根的個數）求參數值（取值范圍）的方法（1）直接法：通過解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數的值（或范圍）；（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域的問題，并結合題意加以解決；（3）數形結合法：先對函數解析式變形，化為兩個函數的形式，然后在同一平面直角坐標系中畫出兩個函數的圖象，然后根據兩個圖象的位置關系得到關于參數的不等式（組），求得解集后可得范圍，解題時要注意一些特殊點的相對位置．例10【2018屆吉林省梅河口市第五中學高三4月月考】如果的定義域為，對于定義域內的任意，存在實數使得成立，則稱此函數具有“性質”；具有“性質”，且具有“性質”.給出下列命題：①函數具有“②若奇函數③若函數，則；性質”，圖象關于點成中心對稱，且在上單調遞減，則在上單調遞減，在上單調遞增；④若不恒為零的函數同時具有“性質”和“性質”，且函數對，都有成立，則函數是周期函數.其中正確的是__________（寫出所有正確命題的編號）．【答案】①③④【解析】∴函數②∵奇函數具有“具有“性質”；故①正確；性質”，且，是周期為4的函數，故②不正確；∵圖象關于點成中心對稱，且在上單調遞減，∴圖象也關于點成中心對稱，且在上上單調遞減，根據偶函數的對稱得出：在④∵若不恒為零的函數上單調遞增；故③正確；同時具有“性質”和“性質”，為偶函數，且周期為3，故④正確．故答案為：①③④．【精選精練】1．【2018屆河北省石家莊高三教學質量檢測（二）】已知定義在上的奇函數滿足，且當時，，則()A.B.18C.D.2【答案】C2．【2018屆江西省南昌市高三第一輪訓練】已知定義在上的奇函數（）滿足，且，則A.B.C.D.【答案】B【解析】,說明函數的周期為6，，則，由函，則數為定義在上的奇函數，則又，則，選B.3．【2018屆廣東省茂名市高三上學期第一次綜合測試】定義在R上函數的圖象關于直線x=?2對稱，且函數是偶函數.若當x∈[0,1]時，，則函數在區間[?2018,2018]上零點的個數為()A.2017B.2018C.4034D.4036【答案】D∴，故，∴函數是周期為2的偶函數．又當x∈[0,1]時，，畫出與圖象如下圖所示，由圖象可知在每個周期內兩函數的圖象有兩個交點，所以函數在區間[?2018,2018]上零點的個數為2018?2=4036．選D．【名師點睛】函數零點的應用是高考考查的熱點，主要考查利用零點的個數或存在情況求參數的取值范圍，難度較大．解題時常用的方法有以下幾種：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；(2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數值域的問題加以解決；(3)數形結合法：先對解析式變形得到兩個函數，并在同一平面直角坐標系中畫出兩個函數的圖象，然后利用數形結合求解．4．【2018屆河北省武邑中學高三上學期第五次調研】函數是定義在上的奇函數，且為偶函數，當時，，若有三個零點，則實數的取值集合是（）A.B.D.C.【答案】C【解析】因為函數是定義在上的奇函數，且當的部分圖象如圖所示，時，，故當時，，所以函數有三個零點，即函數上相切時，即和函數的圖象有三個交點，當直線與函數的圖象在有2周期為4，所以實數的取值集合是.故選C.【名師點睛】本題考查函數的零點、函數的對稱軸和周期性；本題的易錯點是利用函數為偶函數正確得到函數的對稱性，要注意判定奇偶性的自變量是，由為偶函數得到，而不是.5．【2018屆貴州省遵義市高三上學期第二次聯考】設是定義在上的偶函數，，都有，且當時，，若函數（）在區間內恰有三個不同零點，則實數的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由可得函數的圖象關于對稱，即∵函數（）在區間內恰有三個不同零點，∴函數和的圖象在區間內有三個不同的公共點．作出函數的圖象如圖所示．①當時，函數為增函數，結合圖象可得，要使兩函數的圖象有三個公共點，則需滿足在點A處的函數值小于2，在點B處的函數值大于2，即，解得；②當時，函數為減函數，【名師點睛】對于已知函數零點個數（或方程根的個數）求參數的取值或范圍時，一般轉化為兩函數的圖象的公共點的個數的問題，利用數形結合的方法求解．（1）若分離參數后得到（為參數）的形式，則作出函數的圖象后，根據直線和函數的圖象的相對位置得到參數的取值范圍．（2）若不能分離參數，則可由條件化為的形式，在同一坐標系內畫出函數和函數的圖象，根據兩圖象的相對位置關系得到參數的取值范圍．6．【2018屆四川省成都市第七中學高三上學期一診】定義在上的奇函數滿足是偶函數，且當時，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】函數，是定義在上的奇函數，，，函數是定義在上的偶，則，可得的周期是，，故選C.7．【2018屆山東省曲阜市高三上學期期中】已知函數的定義域為的奇函數，當（）時，，且，，則A.B.C.D.【答案】B8．【2018屆山東省棗莊市第三中學高三一調模擬】已知定義在上的函數；②對任意的圖象關于軸對稱，則下列結論正確的是（）滿足條件：①對任意的有；③函數的，都有且，都A.B.D.C.【答案】C【解析】∵對任意的x∈R,都有f(x+4)=f(x)；∴函數是4為周期的周期函數，∵函數f(x+2)的關于y軸對稱∴函數函數f(x)的關于x=2對稱，∵對任意的,且,都有.∴此時函數在[0,2]上為增函數，則函數在[2,4]上為減函數，則f(7)=f(3)，f(6.5)=f(2,5)，f(4.5)=f(0.5)=f(3.5)，則f(3.5)<f(3)<f(2.5)，即f(4.5)<f(7)<f(6.5)，故選：C.9.【2018屆江西省重點中學盟校高三第一次聯考】定義在上的偶函數滿足，且在上單調遞減，設,，，則,,的大小關系是（）A.B.C.D.【答案】C10【2018屆貴州省貴陽市第一中學高三12月月考】已知是定義在上的奇函數，滿足在區間，當時，，則函數上所有零點之和為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由已知是定義在R上的奇函數，所以，又時，，所以的周期是2，且得是其中一條對稱軸，又當，，于是圖象如圖所示，【名師點睛】本題主要考查函數的零點問題，根據條件判斷函數的周期性，對稱性，以及利用方程和函數之間的關系進行轉化是解決本題的關鍵．11．【2018屆山西省呂梁市高三上學期第一次模】函數在單調遞增，且關于對稱，若，則的的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】函數圖像是由圖像向左平移個單位后得到，故關于軸對稱，且在滿足上遞減.故等價于，解得.12【2018屆重慶市高三4月調研測試（二診）】已知定義在上的奇函數的值為（），且，則A.B.C.D.【答案】A∴，又∴，．選A．【名師點睛】函數的奇偶性、對稱性和周期性是函數的三個重要性質，這三個性質具有緊密的聯系，即已知其中的兩個則可推出第三個性質，考查時常將這三個性質結合在一起，并結合函數的圖象、零點等問題，這類問題的難度較大、具有一定的綜合性.專題06函數的圖象【熱點聚焦與擴展】高考對函數圖象的考查，形式多樣，命題形式主要有，由函數的性質及解析式選圖；由函數的圖象來研究函數的性質、圖象的變換、數形結合解決問題等，其重點是基本初等函數的圖象以及函數的性質在圖象上的直觀體現．常常與導數結合考查.（一）基礎知識1、描點法作函數圖象步驟：(1)確定函數的定義域；(2)化簡函數解析式；(3)討論函數的性質(奇偶性、單調性、周期性、對稱性等)；(4)列表(尤其注意特殊點、零點、最大值點、最小值點、與坐標軸的交點等)，描點，連線.2、做草圖需要注意的信息點：做草圖的原則是：速度快且能提供所需要的信息，通過草圖能夠顯示出函數的性質。在作圖中草圖框架的核心要素是函數的單調性，對于一個陌生的可導函數，可通過對導函數的符號分析得到單調區間，圖象形狀依賴于函數的凹凸性，可由二階導數的符號決定（詳見“知識點講解與分析”的第3點），這兩部分確定下來，則函數大致輪廓可定，但為了方便數形結合，讓圖象更好體現函數的性質，有一些信息點也要在圖象中通過計算體現出來，下面以常見函數為例，來說明作圖時常體現的幾個信息點：（1）一次函數：,若直線不與坐標軸平行，通常可利用直線與坐標軸的交點來確定直線.特點：兩點確定一條直線.信息點：與坐標軸的交點.（2）二次函數：，其特點在于存在對稱軸，故作圖時只需做出對稱軸一側的圖象，另一側由對稱性可得.函數先減再增，存在極值點——頂點，若與坐標軸相交，則標出交點坐標可使圖象更為精確.特點：對稱性信息點：對稱軸，極值點，坐標軸交點.（3）反比例函數：,其定義域為，是奇函數，只需做出正版軸圖象即可（負半軸依靠對稱做出），坐標軸為函數的漸近線.特點：奇函數（圖象關于原點中心對稱），漸近線.信息點：漸近線注：（1）所謂漸近線：是指若曲線無限接近一條直線但不相交，則稱這條直線為漸近線。漸近線在作圖中的作用體現為對曲線變化給予了一些限制，例如在反比例函數中，軸是漸近線，那么當無限向軸接近，但不相交，則函數在正半軸就不會有軸下方的部分。，曲線（2）水平漸近線的判定：需要對函數值進行估計：若（或）時，常數，則稱直線為函數的水平漸近線例如：當時，，故在軸正方向不存在漸近線當時，，故在軸負方向存在漸近線（3）豎直漸近線的判定：首先在處無定義，且當時，時，（或），那么稱為的豎直漸近線例如：在處無定義，當，所以為的一條漸近線.綜上所述：在作圖時以下信息點值得通過計算后體現在圖象中：與坐標軸的交點；對稱軸與對稱中心；極值點；漸近線.2、函數圖象變換：設函數（1）平移變換：，其它參數均為正數：：：的圖象向左平移個單位的圖象向右平移個單位的圖象向上平移個單位的圖象向下平移個單位：（2）對稱變換：：與：與的圖象關于軸對稱的圖象關于軸對稱的圖象關于原點對稱：與（3）伸縮變換：：：圖象縱坐標不變，橫坐標變為原來的圖象橫坐標不變，縱坐標變為原來的（4）翻折變換：：即正半軸的圖象不變，負半軸的原圖象不要，換上與正半軸圖象關于軸對稱的圖象：即軸上方的圖象不變，下方的圖象沿軸對稱的翻上去.（二）方法與技巧：1、在處理有關判斷正確圖象的選擇題中，常用的方法是排除法，通過尋找四個選項的不同，再結合函數的性質即可進行排除，常見的區分要素如下：（1）單調性：導函數的符號決定原函數的單調性，導函數圖象位于軸上方的區域表示原函數的單調增區間，位于軸下方的區域表示原函數的單調減區間（2）函數零點周圍的函數值符號：可通過帶入零點附近的特殊點來進行區分（3）極值點（4）對稱性（奇偶性）——易于判斷，進而優先觀察（5）函數的凹凸性：導函數的單調性決定原函數的凹凸性，導函數增區間即為函數的下凸部分，減區間為函數的上凸部分.2、利用圖象變換作圖的步驟：（1）尋找到模板函數（2）找到所求函數與（以此函數作為基礎進行圖象變換）的聯系（3）根據聯系制定變換策略，對圖象進行變換.3、如何制定圖象變換的策略（1）在尋找到聯系后可根據函數的形式了解變換所需要的步驟，其規律如下：①若變換發生在“括號”內部，則屬于橫坐標的變換②若變換發生在“括號”外部，則屬于縱坐標的變換（2）多個步驟的順序問題：在判斷了需要幾步變換以及屬于橫坐標還是縱坐標的變換后，在安排順序時注意以下原則：①橫坐標的變換與縱坐標的變換互不影響，無先后要求②橫坐標的多次變換中，每次變換只有發生相應變化例如：可有兩種方案方案一：先平移（向左平移1個單位），此時。再放縮（橫坐標變為原來的），此時系數只是添給，即方案二：先放縮（橫坐標變為原來的），此時，再平移時，若平移個單位，則，故向左平移個單位（只對加），可解得③縱坐標的多次變換中，每次變換將解析式看做一個整體進行例如：有兩種方案方案一：先放縮：，再平移時，將解析式看做一個整體，整體加1，即方案二：先平移：，則再放縮時，若縱坐標變為原來的倍，那么，無論取何值，也無法達到，所以需要對前一步進行調整：平移個單位，再進行放縮即可（）4、變換作圖的技巧：（1）圖象變換時可抓住對稱軸，零點，漸近線。在某一方向上他們會隨著平移而進行相同方向的移動。先把握住這些關鍵要素的位置，有助于提高圖象的精確性（2）圖象變換后要將一些關鍵點標出：如邊界點，新的零點與極值點，與軸的交點等【經典例題】例1【2017浙江，7】函數y=f(x)的導函數的圖像如圖所示，則函數y=f(x)的圖像可能是【答案】D【解析】原函數先減再增，再減再增，且由增變減時，極值點大于0，因此選D．例2【2017課標3】函數的部分圖像大致為（）ABD．C【答案】DD例3【2018屆江西師范大學附屬中學高三4月月考】函數y=x+cosx的大致圖象是（）A.B.C.D.【答案】B【方法點晴】本題通過對多個圖象的選擇考查函數的圖象與性質，屬于中檔題.這類題型也是近年