第三章空間向量與立體幾何3.1空間向量及其運算3.1.1空間向量及其加減運算3.1.2空間向量的數乘運算

第三章空間向量與立體幾何1⒈定義：既有大小又有方向的量叫向量．幾何表示法：用有向線段表示.字母表示法：用字母a,b等或者用有向線段的起點與終點字母表示．相等的向量：長度相等且方向相同的向量．ABCD引入

復習平面向量⒈定義：既有大小又有方向的量叫向量．幾何表示法：用有向線段2⑴向量的加法：平行四邊形法則三角形法則(首尾相連)⒉平面向量的加減法運算⑴向量的加法：平行四邊形法則三角形法則(首尾相連)⒉平面向量3⑵向量的減法三角形法則

減向量終點指向被減向量終點⑵向量的減法三角形法則減向量終點指向被減向量終點4看下面建筑

這個建筑鋼架中有很多向量，但它們有些并不在同一平面內——這就是我們今天要學習的空間向量.看下面建筑這個建筑鋼架中有很多向量，但它們有些5

1.空間向量

在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量（spacevector

）.

向量的大小叫做向量的長度或模(modulus).探究點1概念1.空間向量探究點1概念62.空間向量的表示AB

向量

的起點是A，終點是B，則向量也可以記作AB，其模記為||或|AB|2.空間向量的表示AB向量的起點是7

(1)我們規定，長度為0的向量叫做零向量（zerovector），記為.當有向線段的起點A與終點B重合時，AB=.(2)模為1的向量稱為單位向量（unitvector）.(3)兩個向量不能比較大小，因為決定向量的兩個因素是大小和方向，其中方向不能比較大小.總結歸納(1)我們規定，長度為0的向量叫做零向量（zero8

3.相反向量

與向量

長度相等而方向相反的向量,稱為

的相反向量，記為–.

4.相等向量（equalvector）

方向相同且模相等的向量稱為相等向量.3.相反向量9

（1）空間的一個平移就是一個向量.

（2）向量一般用有向線段表示,同向等長的有向線段表示同一或相等的向量.

（3）空間的兩個向量可用同一平面內的兩條有向線段來表示.總結歸納（1）空間的一個平移就是一個向量.總結歸納10

結論：空間任意兩個向量都是共面向量，所以它們可用同一平面內的兩條有向線段表示.bAOBaba結論：空間任意兩個向量都是共面向量，bAOB111.空間向量的加減運算

由于任意兩個空間向量都能平移到同一空間，所以空間向量的加減運算與平面向量的加減運算相同.AoabB探究點2空間向量的加減運算1.空間向量的加減運算AoabB探究點2空間向量的加減運12a-ba+baboABC加法:OB=OA+AB=a+b，減法：CA=OA-OC=a-b.a-ba+baboABC加法:OB=OA+AB=a+b，132.空間向量的加法運算律

（1）加法交換律

a+b=b+a

（2）加法結合律

(a+b)+c=a+(b+c)

你能證明下列性質嗎？2.空間向量的加法運算律你能證明下列性質嗎？14證明加法交換律:aa+baboABCb因為

OA=CB=a，

AB=OC=b，所以a+b=b+a.證明加法交換律:aa+baboABCb因為OA=CB15證明加法結合律:abca+b+ca+b

ABCO因為OC=OB+BC=(OA+AB)+BC=(a+b)+c,OC=OA+AC=OA+(AB+BC)=a+(b+c),所以(a+b)+c=a+(b+c).證明加法結合律:abca+b+ca+bAB16(1)空間向量的運算就是平面向量運算的推廣.(2)兩個向量相加的平行四邊形法則在空間仍然成立.(3)空間向量的加法運算可以推廣至若干個向量相加.3.對空間向量的加減法的說明(1)空間向量的運算就是平面向量運算的推廣.3.對空174.擴展

（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的量．即：4.擴展（1）首尾相接的若干向量之和，等于由18

（2）首尾相接的若干向量構成一個封閉圖形，則它們的和為零向量．即：（2）首尾相接的若干向量構成一個封閉圖形，則它們的和19探究點3空間向量的數乘運算探究點3空間向量的數乘運算20311-312-？空間向量及線性運算課件21

顯然,空間向量的數乘運算滿足分配律及結合律如果表示空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合,則這些向量叫做共線向量或平行向量.顯然,空間向量的數乘運算滿足分配律及結合律如果22311-312-？空間向量及線性運算課件23

若P為A,B中點,則OABPal若P為A,B中點,則OABPal24lABPOlABPO25①和②都稱為空間直線的向量表示式，空間任意直線由空間一點及直線的方向向量惟一決定.由此可判斷空間任意三點是否共線.由②得：OP=OA+t(OB-OA)=（１－t）OA+tOB?OP=ｘOA+ｙOB且ｘ＋ｙ＝１?空間三點Ｐ，Ａ，Ｂ共線①和②都稱為空間直線的向量表示式，空間任意直線由空間一點及直26探究點4共面向量共面向量:平行于同一個平面的向量,叫做共面向量.注意：空間任意兩個向量是共面的，但空間任意三個向量既可能共面，也可能不共面.dbac探究點4共面向量共面向量:平行于同一個平面的向量,叫做共面27由平面向量基本定理知，如果，是平面內的兩個不共線的向量，那么對于這一平面內的任意向量，有且只有一對實數與，使那么什么情況下三個向量共面呢？由平面向量基本定理知，如果，是平面內的兩個不共線的向量28空間一點P位于平面ABC內的充要條件是存在有序實數對(x,y)使C空間一點P位于平面ABC內的充要條件是存在有序實數對(x,y29或對空間任一點O,有C③③式稱為空間平面ABC的向量表示式，空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量惟一確定.O或對空間任一點O,有C③③式稱為空間平面ABC的向量表示式，30?空間四點Ｐ，Ａ，Ｂ，C共面把③寫成：OP=OA+tAB+sAC=(1-t-s)OA+tOB+sOC?OP=ｘOA+ｙOB+zOC且ｘ＋ｙ+z＝１?空間四點Ｐ，Ａ，Ｂ，C共面把③寫成：OP=OA+tAB+s31P與A,B,C共面P與A,B,C共面32基礎訓練基礎訓練33[解析]

在同一條直線上的單位向量方向可能相同，也可能相反．1．下列命題中，假命題是()A．向量AB與BA的長度相等B．兩個相等的向量，若起點相同，則終點也相同C．只有零向量的模等于0D．在同一條直線上的單位向量都相等D[解析]在同一條直線上的單位向量方向可能相同，也可能相反．342．下列命題中正確的是(

)A．若a與b共線，b與c共線，則a與c共線B．向量a、b、c共面即它們所在的直線共面C．零向量沒有確定的方向D．若a∥b，則存在唯一的實數λ，使a＝λbC2．下列命題中正確的是()C35DD36311-312-？空間向量及線性運算課件37BB38311-312-？空間向量及線性運算課件390.50.50.50.540311-312-？空間向量及線性運算課件41311-312-？空間向量及線性運算課件42題型探究題型探究43題型一空間向量的加減運算題型一空間向量的加減運算44[分析][分析]45311-312-？空間向量及線性運算課件46[點評]化簡向量表達式主要是利用平行四邊形法則或三角形法則進行化簡，在化簡過程中遇到減法時可靈活應用相反向量轉化成加法，也可按減法法則進行運算，加減法之間可相互轉化．311-312-？空間向量及線性運算課件47311-312-？空間向量及線性運算課件48311-312-？空間向量及線性運算課件49題型二空間向量的數乘運算題型二空間向量的數乘運算50[分析]

由題目可以獲取以下主要信息：①ABCD是正方形，O為中心，PO⊥平面ABCD，Q為CD中點；②用已知向量表示指定向量．解答本題需先畫圖，利用三角形法則或平行四邊形法則表示出指定向量，再根據對應向量的系數相等．求出x、y即可．[分析]由題目可以獲取以下主要信息：51311-312-？空間向量及線性運算課件52311-312-？空間向量及線性運算課件53[點評]

1.用已知向量表示未知向量是一項重要的基本功，直接關系到本章學習的成敗，應認真體會，并通過訓練掌握向量線性運算法則和運算律．2．空間向量的數乘運算定義，運算律與平面向量一致．311-312-？空間向量及線性運算課件54311-312-？空間向量及線性運算課件55abc方法：找回路abc方法：找回路56311-312-？空間向量及線性運算課件57311-312-？空間向量及線性運算課件58題型三共線向量題型三共線向量59311-312-？空間向量及線性運算課件60311-312-？空間向量及線性運算課件61311-312-？空間向量及線性運算課件62311-312-？空間向量及線性運算課件63311-312-？空間向量及線性運算課件64311-312-？空間向量及線性運算課件65311-312-？空間向量及線性運算課件66題型三共面問題題型三共面問題67311-312-？空間向量及線性運算課件68311-312-？空間向量及線性運算課件69311-312-？空間向量及線性運算課件70311-312-？空間向量及線性運算課件71跟蹤練習4

如圖，已知E、F、G、H分別為空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點．用向量法證明E、F、G、H四點共面．跟蹤練習4如圖，已知E、F、G、H分別為空間四邊形ABCD72311-312-？空間向量及線性運算課件73易錯疑難辨析易錯疑難辨析74[錯解]因為3e1與－3e1共線，4e2與8e2共線，所以a與b共線．[辨析]

沒有準確理解向量共線的充要條件：任一向量a與非零向量b共線的充要條件是a＝λb.例題5已知e1、e2是不共線向量，a＝3e1＋4e2，b＝－3e1＋8e2，判斷a與b是否共線．[錯解]因為3e1與－3e1共線，4e2與8e2共線，所以75311-312-？空間向量及線性運算課件76課堂練習課堂練習771.給出以下命題：（1）兩個空間向量相等，則它們的起點、終點相同.（2）若空間向量滿足，則.（3）在正方體中，必有.（4）若空間向量滿足，則.（5）空間中任意兩個單位向量必相等.其中不正確命題的個數是（）A.1B.2C.3D.4C1.給出以下命題：C78②③②③79答案：②③答案：②③80DD81BB82解析：根據空間向量的加法法則及正方體的性質，逐一判斷可知①②③④都是符合題意的．D解析：根據空間向量的加法法則及正方體的性質，逐一判斷可知①②83②③④②③④84311-312-？空間向量及線性運算課件85311-312-？空間向量及線性運算課件86311-312-？空間向量及線性運算課件87第三章空間向量與立體幾何3.1空間向量及其運算3.1.1空間向量及其加減運算3.1.2空間向量的數乘運算

第三章空間向量與立體幾何88⒈定義：既有大小又有方向的量叫向量．幾何表示法：用有向線段表示.字母表示法：用字母a,b等或者用有向線段的起點與終點字母表示．相等的向量：長度相等且方向相同的向量．ABCD引入

復習平面向量⒈定義：既有大小又有方向的量叫向量．幾何表示法：用有向線段89⑴向量的加法：平行四邊形法則三角形法則(首尾相連)⒉平面向量的加減法運算⑴向量的加法：平行四邊形法則三角形法則(首尾相連)⒉平面向量90⑵向量的減法三角形法則

減向量終點指向被減向量終點⑵向量的減法三角形法則減向量終點指向被減向量終點91看下面建筑

這個建筑鋼架中有很多向量，但它們有些并不在同一平面內——這就是我們今天要學習的空間向量.看下面建筑這個建筑鋼架中有很多向量，但它們有些92

1.空間向量

在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量（spacevector

）.

向量的大小叫做向量的長度或模(modulus).探究點1概念1.空間向量探究點1概念932.空間向量的表示AB

向量

的起點是A，終點是B，則向量也可以記作AB，其模記為||或|AB|2.空間向量的表示AB向量的起點是94

(1)我們規定，長度為0的向量叫做零向量（zerovector），記為.當有向線段的起點A與終點B重合時，AB=.(2)模為1的向量稱為單位向量（unitvector）.(3)兩個向量不能比較大小，因為決定向量的兩個因素是大小和方向，其中方向不能比較大小.總結歸納(1)我們規定，長度為0的向量叫做零向量（zero95

3.相反向量

與向量

長度相等而方向相反的向量,稱為

的相反向量，記為–.

4.相等向量（equalvector）

方向相同且模相等的向量稱為相等向量.3.相反向量96

（1）空間的一個平移就是一個向量.

（2）向量一般用有向線段表示,同向等長的有向線段表示同一或相等的向量.

（3）空間的兩個向量可用同一平面內的兩條有向線段來表示.總結歸納（1）空間的一個平移就是一個向量.總結歸納97

結論：空間任意兩個向量都是共面向量，所以它們可用同一平面內的兩條有向線段表示.bAOBaba結論：空間任意兩個向量都是共面向量，bAOB981.空間向量的加減運算

由于任意兩個空間向量都能平移到同一空間，所以空間向量的加減運算與平面向量的加減運算相同.AoabB探究點2空間向量的加減運算1.空間向量的加減運算AoabB探究點2空間向量的加減運99a-ba+baboABC加法:OB=OA+AB=a+b，減法：CA=OA-OC=a-b.a-ba+baboABC加法:OB=OA+AB=a+b，1002.空間向量的加法運算律

（1）加法交換律

a+b=b+a

（2）加法結合律

(a+b)+c=a+(b+c)

你能證明下列性質嗎？2.空間向量的加法運算律你能證明下列性質嗎？101證明加法交換律:aa+baboABCb因為

OA=CB=a，

AB=OC=b，所以a+b=b+a.證明加法交換律:aa+baboABCb因為OA=CB102證明加法結合律:abca+b+ca+b

ABCO因為OC=OB+BC=(OA+AB)+BC=(a+b)+c,OC=OA+AC=OA+(AB+BC)=a+(b+c),所以(a+b)+c=a+(b+c).證明加法結合律:abca+b+ca+bAB103(1)空間向量的運算就是平面向量運算的推廣.(2)兩個向量相加的平行四邊形法則在空間仍然成立.(3)空間向量的加法運算可以推廣至若干個向量相加.3.對空間向量的加減法的說明(1)空間向量的運算就是平面向量運算的推廣.3.對空1044.擴展

（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的量．即：4.擴展（1）首尾相接的若干向量之和，等于由105

（2）首尾相接的若干向量構成一個封閉圖形，則它們的和為零向量．即：（2）首尾相接的若干向量構成一個封閉圖形，則它們的和106探究點3空間向量的數乘運算探究點3空間向量的數乘運算107311-312-？空間向量及線性運算課件108

顯然,空間向量的數乘運算滿足分配律及結合律如果表示空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合,則這些向量叫做共線向量或平行向量.顯然,空間向量的數乘運算滿足分配律及結合律如果109311-312-？空間向量及線性運算課件110

若P為A,B中點,則OABPal若P為A,B中點,則OABPal111lABPOlABPO112①和②都稱為空間直線的向量表示式，空間任意直線由空間一點及直線的方向向量惟一決定.由此可判斷空間任意三點是否共線.由②得：OP=OA+t(OB-OA)=（１－t）OA+tOB?OP=ｘOA+ｙOB且ｘ＋ｙ＝１?空間三點Ｐ，Ａ，Ｂ共線①和②都稱為空間直線的向量表示式，空間任意直線由空間一點及直113探究點4共面向量共面向量:平行于同一個平面的向量,叫做共面向量.注意：空間任意兩個向量是共面的，但空間任意三個向量既可能共面，也可能不共面.dbac探究點4共面向量共面向量:平行于同一個平面的向量,叫做共面114由平面向量基本定理知，如果，是平面內的兩個不共線的向量，那么對于這一平面內的任意向量，有且只有一對實數與，使那么什么情況下三個向量共面呢？由平面向量基本定理知，如果，是平面內的兩個不共線的向量115空間一點P位于平面ABC內的充要條件是存在有序實數對(x,y)使C空間一點P位于平面ABC內的充要條件是存在有序實數對(x,y116或對空間任一點O,有C③③式稱為空間平面ABC的向量表示式，空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量惟一確定.O或對空間任一點O,有C③③式稱為空間平面ABC的向量表示式，117?空間四點Ｐ，Ａ，Ｂ，C共面把③寫成：OP=OA+tAB+sAC=(1-t-s)OA+tOB+sOC?OP=ｘOA+ｙOB+zOC且ｘ＋ｙ+z＝１?空間四點Ｐ，Ａ，Ｂ，C共面把③寫成：OP=OA+tAB+s118P與A,B,C共面P與A,B,C共面119基礎訓練基礎訓練120[解析]

在同一條直線上的單位向量方向可能相同，也可能相反．1．下列命題中，假命題是()A．向量AB與BA的長度相等B．兩個相等的向量，若起點相同，則終點也相同C．只有零向量的模等于0D．在同一條直線上的單位向量都相等D[解析]在同一條直線上的單位向量方向可能相同，也可能相反．1212．下列命題中正確的是(

)A．若a與b共線，b與c共線，則a與c共線B．向量a、b、c共面即它們所在的直線共面C．零向量沒有確定的方向D．若a∥b，則存在唯一的實數λ，使a＝λbC2．下列命題中正確的是()C122DD123311-312-？空間向量及線性運算課件124BB125311-312-？空間向量及線性運算課件1260.50.50.50.5127311-312-？空間向量及線性運算課件128311-312-？空間向量及線性運算課件129題型探究題型探究130題型一空間向量的加減運算題型一空間向量的加減運算131[分析][分析]132311-312-？空間向量及線性運算課件133[點評]化簡向量表達式主要是利用平行四邊形法則或三角形法則進行化簡，在化簡過程中遇到減法時可靈活應用相反向量轉化成加法，也可按減法法則進行運算，加減法之間可相互轉化．311-312-？空間向量及線性運算課件134311-312-？空間向量及線性運算課件135311-312-？空間向量及線性運算課件136題型二空間向量的數乘運算題型二空間向量的數乘運算137[分析]

由題目可以獲取以下主要信息：①ABCD是正方形，O為中心，PO⊥平面ABCD，Q為CD中點；②用已知向量表示指定向量．解答本題需先畫圖，利用三角形法則或平行四邊形法則表示出指定向量，再根據對應向量的系數相等．求出x、y即可．[分析]由題目可以獲取以下主要信息：138311-312-？空間向量及線性運算課件139311-312-？空間向量及線性運算課件140[點評]

1.用已知向量表示未知向量是一項重要的基本功，直接關系到本章學習的成敗，應認真體會，并通過訓練掌握向量線性運算法則和運算律．2．空間向量的數乘運算定義，運算律與平面向量一致．311-312-？空間向量及線性運算課件141311-312-？空間向量及線性運算課件142abc方法：找回路abc方法：找回路143311-312-？空間向量及線性運算課件144311-312-？空間向量及線性運算課件145題型三共線向量題型三共線向量146311-312-？空間向量及線性運算課件147311-3