寄語假舟楫者，非能水也，而絕江河。假輿馬者，非利足也，而致千里；------旬子1寄語假舟楫者，非能水也，而絕江河。假輿馬者，非利第21章第一節、二重積分概念

第三節、格林公式-曲線積分與路線的無關性重積分第21章本章內容：第二節、直角坐標系下二重積分的計算第四節、二重積分的變量替換第五節、三重積分第六節、重積分的應用第七節、第八節、第九節---N重積分；反常二重積分；變量替換公式證明-----略去2第21章第一節、二重積分概念第三節、格林公式-曲線積分與第4節二重積分的變量變換一、二重積分的變量變換公式二、利用極坐標計算二重積分第21章本節內容：主要研究問題：二重積分的計算---換元3第4節二重積分的變量變換一、二重積分的變量變換公式二定積分換元法一、換元法—二重積分變量變換公式

滿足一階偏導數連續;雅可比行列式(3)變換則定理21.13變換:是一一對應的,4定積分換元法一、換元法—二重積分變量變換公式滿足一階偏導證:(簡化證明)根據定理條件用平行于坐標軸的直線分割區域任取其中一個小矩形,其頂點為通過變換T,在xoy面上得到一個四邊形,其對應頂點為則可知變換T可逆.5證:(簡化證明)根據定理條件用平行于坐標軸的直線分同理得當h,k充分小時,曲邊四邊形M1M2M3M4近似于平行四邊形,故其面積近似為6同理得當h,k充分小時,曲邊四邊形M1M2M3M4近因此面積元素的關系為從而得二重積分的換元公式:7因此面積元素的關系為從而得二重積分的換元公式:7例1.

計算其中D是x軸y軸和直線所圍成的閉域.（P236例1）解:令則注:可簡化被積函數.8例1.計算其中D是x軸y軸和直線所圍成的閉域.例2.計算由所圍成的閉區域D的面積S.(例2)解:令則注:可簡化積分區域.9例2.計算由所圍成的閉區域D的面積S.(例2)二、利用極坐標計算二重積分直角坐標轉化為極坐標時,10二、利用極坐標計算二重積分直角坐標轉化為極坐標時,10設則特別,對11設則特別,對11若f≡1則可求得D的面積思考:下列各圖中域D分別與x,y軸相切于原點,試答:問的變化范圍是什么?(1)(2)12若f≡1則可求得D的面積思考:下列各圖中域D分例3.將化成極坐標下的二重積分。13例3.將化成極坐標下的二重積分。13(3).(4).14(3).(4).14例4.計算其中解:在極坐標系下原式的原函數不是初等函數,故本題無法用直角由于故坐標計算.(P241例5.)15例4.計算其中解:在極坐標系下原式的原函數不是初等函數注:利用例4可得到一個在概率論與數理統計及工程上非常有用的反常積分公式事實上,當D為R2時,利用例4的結果,得①故①式成立.16注:利用例4可得到一個在概率論與數理統計及工程上非常有用的反例5.

求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內的)立體的體積.(P240例4)解:設由對稱性可知17例5.求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內的)立體的體積.(例6.

試計算橢球體解:由對稱性令(廣義極坐標變換)則D的原象:的體積V.(P241例6.

)18例6.試計算橢球體解:由對稱性令(廣義極坐標變換)則D內容小結(1)二重積分化為累次積分的方法直角坐標系情形:

若積分區域為則

若積分區域為則19內容小結(1)二重積分化為累次積分的方法直角坐標系情形:則(2)一般換元公式且則極坐標系情形:若積分區域為在變換下20則(2)一般換元公式且則極坐標系情形:若積分區域為在變(3)計算步驟及注意事項?畫出積分域?選擇坐標系?確定積分序?寫出積分限?計算要簡便域邊界應盡量多為坐標線被積函數關于坐標變量易分離積分域分塊要少累次積好算為妙圖示法不等式(先積一條線,后掃積分域)充分利用對稱性應用換元公式21(3)計算步驟及注意事項?畫出積分域?選擇坐標系?1.交換積分順序提示:積分域如圖思考與練習221.交換積分順序提示:積分域如圖思考與練習22作業P2421(1),(3);2(2),(4);3(1),(3);

4(2);5(1);6(1);

7;

23作業P2421(1),(3);2(2備用題1.計算其中D為由圓及直線解：所圍成的平面閉區域.24備用題1.計算其中D為由圓及直線解：所圍成的平面2.計算解：先求交點252.計算解：先求交點253.計算解：先畫D域（分析D域在第一象限）263.計算解：先畫D域（分析D域在第一象限）264.

計算二重積分其中

D為圓域解:利用對稱性.274.計算二重積分其中D為圓域解:利用對稱性.27解:5.28解:5.28解6.29解6.297.計算積分路徑沿著圓周的正向。解：應用格林公式307.計算積分路徑沿著圓周的正向。解：應用格林公式30所以由格林公式8.31所以由格林公式8.31對應有附、利用極坐標計算二重積分在極坐標系下,用同心圓r=常數則除包含邊界點的小區域外,小區域的面積在內取點及射線

=常數,分劃區域D為32對應有附、利用極坐標計算二重積分在極坐標系下,用同心圓r即33即33即對應有在內取點嚴格的推導：34即對應有在內取點嚴格的推導：34寄語假舟楫者，非能水也，而絕江河。假輿馬者，非利足也，而致千里；------旬子35寄語假舟楫者，非能水也，而絕江河。假輿馬者，非利第21章第一節、二重積分概念

第三節、格林公式-曲線積分與路線的無關性重積分第21章本章內容：第二節、直角坐標系下二重積分的計算第四節、二重積分的變量替換第五節、三重積分第六節、重積分的應用第七節、第八節、第九節---N重積分；反常二重積分；變量替換公式證明-----略去36第21章第一節、二重積分概念第三節、格林公式-曲線積分與第4節二重積分的變量變換一、二重積分的變量變換公式二、利用極坐標計算二重積分第21章本節內容：主要研究問題：二重積分的計算---換元37第4節二重積分的變量變換一、二重積分的變量變換公式二定積分換元法一、換元法—二重積分變量變換公式

滿足一階偏導數連續;雅可比行列式(3)變換則定理21.13變換:是一一對應的,38定積分換元法一、換元法—二重積分變量變換公式滿足一階偏導證:(簡化證明)根據定理條件用平行于坐標軸的直線分割區域任取其中一個小矩形,其頂點為通過變換T,在xoy面上得到一個四邊形,其對應頂點為則可知變換T可逆.39證:(簡化證明)根據定理條件用平行于坐標軸的直線分同理得當h,k充分小時,曲邊四邊形M1M2M3M4近似于平行四邊形,故其面積近似為40同理得當h,k充分小時,曲邊四邊形M1M2M3M4近因此面積元素的關系為從而得二重積分的換元公式:41因此面積元素的關系為從而得二重積分的換元公式:7例1.

計算其中D是x軸y軸和直線所圍成的閉域.（P236例1）解:令則注:可簡化被積函數.42例1.計算其中D是x軸y軸和直線所圍成的閉域.例2.計算由所圍成的閉區域D的面積S.(例2)解:令則注:可簡化積分區域.43例2.計算由所圍成的閉區域D的面積S.(例2)二、利用極坐標計算二重積分直角坐標轉化為極坐標時,44二、利用極坐標計算二重積分直角坐標轉化為極坐標時,10設則特別,對45設則特別,對11若f≡1則可求得D的面積思考:下列各圖中域D分別與x,y軸相切于原點,試答:問的變化范圍是什么?(1)(2)46若f≡1則可求得D的面積思考:下列各圖中域D分例3.將化成極坐標下的二重積分。47例3.將化成極坐標下的二重積分。13(3).(4).48(3).(4).14例4.計算其中解:在極坐標系下原式的原函數不是初等函數,故本題無法用直角由于故坐標計算.(P241例5.)49例4.計算其中解:在極坐標系下原式的原函數不是初等函數注:利用例4可得到一個在概率論與數理統計及工程上非常有用的反常積分公式事實上,當D為R2時,利用例4的結果,得①故①式成立.50注:利用例4可得到一個在概率論與數理統計及工程上非常有用的反例5.

求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內的)立體的體積.(P240例4)解:設由對稱性可知51例5.求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內的)立體的體積.(例6.

試計算橢球體解:由對稱性令(廣義極坐標變換)則D的原象:的體積V.(P241例6.

)52例6.試計算橢球體解:由對稱性令(廣義極坐標變換)則D內容小結(1)二重積分化為累次積分的方法直角坐標系情形:

若積分區域為則

若積分區域為則53內容小結(1)二重積分化為累次積分的方法直角坐標系情形:則(2)一般換元公式且則極坐標系情形:若積分區域為在變換下54則(2)一般換元公式且則極坐標系情形:若積分區域為在變(3)計算步驟及注意事項?畫出積分域?選擇坐標系?確定積分序?寫出積分限?計算要簡便域邊界應盡量多為坐標線被積函數關于坐標變量易分離積分域分塊要少累次積好算為妙圖示法不等式(先積一條線,后掃積分域)充分利用對稱性應用換元公式55(3)計算步驟及注意事項?畫出積分域?選擇坐標系?1.交換積分順序提示:積分域如圖思考與練習561.交換積分順序提示:積分域如圖思考與練習22作業P2421(1),(3);2(2),(4);3(1),(3);

4(2);5(1);6(1);

7;

57作業P2421(1),(3);2(2備用題1.計算其中D為由圓及直線解：所圍成的平面閉區域.58備用題1.計算其中D為由圓及直線解：所圍成的平面2.計算解：先求交點592.計算解：先求交點253.計算解：先畫D域（分析D域在第一象限）603.計算解：先畫D域（分析D域在第一象限）264.

計算二重積分其中

D為圓域解:利用對稱性.614.計算二重積分其中D為圓域解:利用對稱性.27解:5.62解:5.28解