《環境工程識圖與制圖》——點、直線的投影

《環境工程識圖與制圖》第1節點的投影第2節

直線的投影2主要內容第1節點的投影第2節直線的投影2主要內容Pb●●AP采用多面投影。

過空間點A的投射線與投影面P的交點即為點A在P面上的投影。B3●B2●B1●

點在一個投影面上的投影不能確定點的空間位置。一、點在一個投影面上的投影a●第1節點的投影解決辦法？3Pb●●AP采用多面投影。過空間點A的投射線與投二、點在三投影面體系第一分角中的投影

1.三投影面體系的建立HVWⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ4二、點在三投影面體系第一分角中的投影1.三投影面體系的建HWV2.點的三面投影投影面◆正面投影面（簡稱正面或V面）◆水平投影面（簡稱水平面或H面）◆側面投影面（簡稱側面或W面）投影軸OXZOX軸V面與H面的交線OZ軸

V面與W面的交線OY軸H面與W面的交線三個投影面互相垂直Y5HWV2.點的三面投影投影面◆正面投影面（簡稱正◆水平投影面WHVOXZY空間點A在三個投影面上的投影a點A的正面投影a點A的水平投影a點A的側面投影注意：空間點用大寫字母表示，點的投影用小寫字母表示。a●a●a●A●6WHVOXZY空間點A在三個投影面上的投影a點A的正面投影●●●●XYZOVHWAaaaxaazay向右翻向下翻不動投影面展開WVHaa●x●●azZaayayaXY

YO7●●●●XYZOVHWAaaaxaazay向右翻向下翻不●●●●XYZOVHWAaaa點的投影規律:①aa⊥OX軸②aax=

aax=aay=xaazay●●YZazaXYayOaaxaya●

aa⊥OZ軸=y=Aa（A到V面的距離）aaz=x=Aa（A到W面的距離）aay=z=Aa（A到H面的距離）aaz8●●●●XYZOVHWAaaa點的投影規律:①aa●●aaax例：已知點的兩個投影，求第三投影。●a●●aaaxazaz解法一:通過作45°線使aaz=aax解法二:用圓規直接量取aaz=aaxa●9●●aaax例：已知點的兩個投影，求第三投影。●a●●a3.兩點的相對位置

兩點的相對位置指兩點在空間的上下、前后、左右位置關系。判斷方法：▲x坐標大的在左

▲y坐標大的在前▲

z坐標大的在上B點在A點之前、之右、之下。baa

abb●●●●●●XYYZo103.兩點的相對位置兩點的相對位置指兩點在空間的上下、()a

cc重影點：

空間兩點在某一投影面上的投影重合為一點時，則稱此兩點為該投影面的重影點。●●●●●aac被擋住的投影加()A、C為哪個投影面的重影點呢？A、C為H面的重影點11()acc重影點：空間兩點在某一投影面上的aa

abbb●●●●●●第2節直線的投影

兩點確定一條直線，將兩點的同名投影用直線連接，就得到直線的同名投影。⒈直線對一個投影面的投影特性一、直線的投影特性BA●●●●ab直線垂直于投影面投影重合為一點積聚性直線平行于投影面投影反映線段實長

ab=AB直線傾斜于投影面投影比空間線段短ab=AB.cos●●AB●●abAMB●a≡b≡m●●●12aaabbb●●●●●●第2節直線的投影⒉直線在三個投影面中的投影特性投影面平行線平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜投影面垂直線正平線（平行于Ｖ面）側平線（平行于Ｗ面）水平線（平行于Ｈ面）正垂線（垂直于Ｖ面）側垂線（垂直于Ｗ面）鉛垂線（垂直于Ｈ面）一般位置直線與三個投影面都傾斜的直線統稱特殊位置直線垂直于某一投影面

其投影特性取決于直線與三個投影面間的相對位置。13⒉直線在三個投影面中的投影特性投影面平行線平行于某一投影面⑴投影面平行線14b2a2aba￠b￠b2aa2b￠ba￠①在其平行的那個投影面上的投影反映實長，并反映直線與另兩投影面的真實傾角。②另兩個投影面上的投影縮短,且平行于相應的投影軸.水平線側平線正平線γ投影特性：與H面的夾角:α與V面的夾角:β與W面的夾角:γ實長實長實長βγααβba2aa￠b￠b2⑴投影面平行線14b2a2aba￠b￠b2aa2b￠ba￠判斷下列直線是什么位置的直線？側平線正平線與H面的夾角:

與V面的角:β與W面的夾角:γ實長β實長γbaababbaabba直線與投影面夾角的表示法：15判斷下列直線是什么位置的直線？側平線正平線與H面的夾角:⑵投影面垂直線16

反映線段實長,

且垂直于相應的投影軸。鉛垂線正垂線側垂線②另外兩個投影，①在其垂直的投影面上，投影有積聚性。投影特性:●c￠(d￠)cdd2c2●a￠b￠a(b)a2b2●e￠f￠efe2(f2)⑵投影面垂直線16⑶一般位置直線ZYaOXabbaYb

三個投影都傾斜于投影軸，其與投影軸的夾角并不反映空間線段與三個投影面夾角的大小。三個投影的長度均比空間線段短，即都不反映空間線段的實長。投影特性HaβγaAbVBbWab17⑶一般位置直線ZYaOXabbaYb三個投cacXabcYYbOaZb′″′′″″cAHacaVbBabcCbW′′′″″″二、直線與點的相對位置

◆若點在直線上,則點的投影必在直線的同名投影上。

◆點的投影將線段的同名投影分割成與空間線段相同的比例。即：AC:CB=ac:cb=ac:cb=ac

:cb定比定理18cacXabcYYbOaZb′″′′″″cAHacaVbBa例1：判斷點C是否在線段AB上。②cabcab●●abcabc①●●在不在ab●c●●aabcb③c不在應用定比定理另一判斷法?19例1：判斷點C是否在線段AB上。②cabcab●●ab例2：已知點K在線段AB上，求點K正面投影。解法一：（應用第三投影）解法二：（應用定比定理）●aabbkab●k●k●aabbk●●k●20例2：已知點K在線段AB上，求點K正面投影。解法一：解法二：三、兩直線的相對位置空間兩直線的相對位置分為：平行、相交、交叉（異面）。⒈兩直線平行

空間兩直線平行，則其各同名投影必相互平行，反之亦然。bcdHAdaCcVaDbBacdbcdabOX21三、兩直線的相對位置空間兩直線的相對位置分為：⒈兩直線平行例：判斷圖中兩條直線是否平行。

對于一般位置直線，只要有兩組同名投影互相平行，空間兩直線就平行。AB與CD平行。AB與CD不平行。

對于特殊位置直線，只有兩組同名投影互相平行，空間直線不一定平行。abcdcbaddbac②bdca①abcdcabd22例：判斷圖中兩條直線是否平行。對于一般位置直線，只要2323⒉兩直線相交

若空間兩直線相交，則其同名投影必相交，且交點的投影必符合空間一點的投影特性。交點是兩直線的共有點acVXbHDacdkCAkKdbOBcabdbacdkk24⒉兩直線相交若空間兩直線相交，則其同名投影必相交，●cdkkd例1：過C點作水平線CD與AB相交。先作正面投影a●bbac25●cdkkd例1：過C點作水平線CD與AB相交。先作正面dacboYWYHzXaacddcbb例2：判斷兩直線的相對位置方法126dacboYWYHzXaacddcbb例baacddcbXkkdkck例2：判斷兩直線的相對位置方法227baacddcbXkkdkck例2：判斷兩⒊兩直線交叉為什么？兩直線相交嗎？不相交！

交點不符合一個點的投影規律！cacabddbOX′′′′accAaCVbHddDBb′′′′28⒊兩直線交叉為什么？兩直線相交嗎？不相交！交點不符accAaCVbHddDBb′′′′cacabddbOX′′′′1(2)●2●′1●′兩直線交叉投影特性：★同名投影可能相交，但“交點”不符合空間一個點的投影規律。★“交點”是兩直線上的一對重影點的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置。211(2)ⅡⅠ′′●●●●●′′Ⅳ43(4)3Ⅲ●●●●●●3(4)34●●′′29accAaCVbHddDBb′′′′cacabddbOX′′⒋兩直線垂直相交（或垂直交叉）

若兩直線垂直，其中有一直線與投影面平行，則此二直線在該投影面上的投影也互相垂直。反之，當兩直線在某投影面上的投影為直角，且其中一條邊是該投影面的平行線時，則兩直線在空間也一定垂直。垂直交叉的投影特性：30⒋兩直線垂直相交（或垂直交叉）若兩直線垂直，其中有31d￠abca￠b￠c￠●●d例１：過C點作直線與AB垂直相交。AB為正平線,正面投影反映直角。.31d￠abca￠b￠c￠●●d例１：過C點作直線與AB垂五.直角三角形法求一般位置直線的實長和傾角aa’bb’αABzB-zA作圖要領：用線段在某一投影面上的投影長作為一條直角邊，再以線段的兩端點相對于該投影面的坐標差作為另一條直角邊，所作直角三角形的斜邊即為線段的實長，斜邊與投影之間的夾角即為線段與該投影面的夾角。αABB1abABzB-zA32五.直角三角形法求一般位置直線的實長和傾角aa’bb’αABABbbaaCXO（1）求直線的實長及對水平面的夾角角|zA-zB|XaabbABab|zA-zB|AB|zA-zB|ab|zA-zB|AB33ABbbaaCXO（1）求直線的實長及對水平面的夾角角ABbbaaCXO（2）求直線的實長及對正面投影面的夾角角|yA-yB|aXabbabABABab|yA-yB||yA-yB|AB|yA-yB|34ABbbaaCXO（2）求直線的實長及對正面投影面的夾角XZYO（3）求直線的實長及對側面投影面的夾角角ABbbabaaZXaaaOYHYWbbb|xA-xB||xA-xB|35XZYO（3）求直線的實長及對側面投影面的夾角角ABbb一、直角三角形的四個要素：

實長、投影長、坐標差及直線對投影面的傾角。已知四要素中的任意兩個，便可確定另外兩個。二、解題時，直角三角形畫在任何位置，都不影響解題結果，但用哪個長度來作直角邊不能搞錯。說明：36一、直角三角形的四個要素：說明：36ab例：已知點A的兩面投影a′和a，并知AB的實長，及=30°、β=45°，由A至B的方向為向右、向后、向下、求作AB的兩面投影。bXabABa|zA-zB|ab|yA-yB|ab|zA-zB||yA-yB|37ab例：已知點A的兩面投影a′和a，并知AB的實長，及=3838ThankYou!ThankYou!《環境工程識圖與制圖》——點、直線的投影

《環境工程識圖與制圖》第1節點的投影第2節

直線的投影41主要內容第1節點的投影第2節直線的投影2主要內容Pb●●AP采用多面投影。

過空間點A的投射線與投影面P的交點即為點A在P面上的投影。B3●B2●B1●

點在一個投影面上的投影不能確定點的空間位置。一、點在一個投影面上的投影a●第1節點的投影解決辦法？42Pb●●AP采用多面投影。過空間點A的投射線與投二、點在三投影面體系第一分角中的投影

1.三投影面體系的建立HVWⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ43二、點在三投影面體系第一分角中的投影1.三投影面體系的建HWV2.點的三面投影投影面◆正面投影面（簡稱正面或V面）◆水平投影面（簡稱水平面或H面）◆側面投影面（簡稱側面或W面）投影軸OXZOX軸V面與H面的交線OZ軸

V面與W面的交線OY軸H面與W面的交線三個投影面互相垂直Y44HWV2.點的三面投影投影面◆正面投影面（簡稱正◆水平投影面WHVOXZY空間點A在三個投影面上的投影a點A的正面投影a點A的水平投影a點A的側面投影注意：空間點用大寫字母表示，點的投影用小寫字母表示。a●a●a●A●45WHVOXZY空間點A在三個投影面上的投影a點A的正面投影●●●●XYZOVHWAaaaxaazay向右翻向下翻不動投影面展開WVHaa●x●●azZaayayaXY

YO46●●●●XYZOVHWAaaaxaazay向右翻向下翻不●●●●XYZOVHWAaaa點的投影規律:①aa⊥OX軸②aax=

aax=aay=xaazay●●YZazaXYayOaaxaya●

aa⊥OZ軸=y=Aa（A到V面的距離）aaz=x=Aa（A到W面的距離）aay=z=Aa（A到H面的距離）aaz47●●●●XYZOVHWAaaa點的投影規律:①aa●●aaax例：已知點的兩個投影，求第三投影。●a●●aaaxazaz解法一:通過作45°線使aaz=aax解法二:用圓規直接量取aaz=aaxa●48●●aaax例：已知點的兩個投影，求第三投影。●a●●a3.兩點的相對位置

兩點的相對位置指兩點在空間的上下、前后、左右位置關系。判斷方法：▲x坐標大的在左

▲y坐標大的在前▲

z坐標大的在上B點在A點之前、之右、之下。baa

abb●●●●●●XYYZo493.兩點的相對位置兩點的相對位置指兩點在空間的上下、()a

cc重影點：

空間兩點在某一投影面上的投影重合為一點時，則稱此兩點為該投影面的重影點。●●●●●aac被擋住的投影加()A、C為哪個投影面的重影點呢？A、C為H面的重影點50()acc重影點：空間兩點在某一投影面上的aa

abbb●●●●●●第2節直線的投影

兩點確定一條直線，將兩點的同名投影用直線連接，就得到直線的同名投影。⒈直線對一個投影面的投影特性一、直線的投影特性BA●●●●ab直線垂直于投影面投影重合為一點積聚性直線平行于投影面投影反映線段實長

ab=AB直線傾斜于投影面投影比空間線段短ab=AB.cos●●AB●●abAMB●a≡b≡m●●●51aaabbb●●●●●●第2節直線的投影⒉直線在三個投影面中的投影特性投影面平行線平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜投影面垂直線正平線（平行于Ｖ面）側平線（平行于Ｗ面）水平線（平行于Ｈ面）正垂線（垂直于Ｖ面）側垂線（垂直于Ｗ面）鉛垂線（垂直于Ｈ面）一般位置直線與三個投影面都傾斜的直線統稱特殊位置直線垂直于某一投影面

其投影特性取決于直線與三個投影面間的相對位置。52⒉直線在三個投影面中的投影特性投影面平行線平行于某一投影面⑴投影面平行線53b2a2aba￠b￠b2aa2b￠ba￠①在其平行的那個投影面上的投影反映實長，并反映直線與另兩投影面的真實傾角。②另兩個投影面上的投影縮短,且平行于相應的投影軸.水平線側平線正平線γ投影特性：與H面的夾角:α與V面的夾角:β與W面的夾角:γ實長實長實長βγααβba2aa￠b￠b2⑴投影面平行線14b2a2aba￠b￠b2aa2b￠ba￠判斷下列直線是什么位置的直線？側平線正平線與H面的夾角:

與V面的角:β與W面的夾角:γ實長β實長γbaababbaabba直線與投影面夾角的表示法：54判斷下列直線是什么位置的直線？側平線正平線與H面的夾角:⑵投影面垂直線55

反映線段實長,

且垂直于相應的投影軸。鉛垂線正垂線側垂線②另外兩個投影，①在其垂直的投影面上，投影有積聚性。投影特性:●c￠(d￠)cdd2c2●a￠b￠a(b)a2b2●e￠f￠efe2(f2)⑵投影面垂直線16⑶一般位置直線ZYaOXabbaYb

三個投影都傾斜于投影軸，其與投影軸的夾角并不反映空間線段與三個投影面夾角的大小。三個投影的長度均比空間線段短，即都不反映空間線段的實長。投影特性HaβγaAbVBbWab56⑶一般位置直線ZYaOXabbaYb三個投cacXabcYYbOaZb′″′′″″cAHacaVbBabcCbW′′′″″″二、直線與點的相對位置

◆若點在直線上,則點的投影必在直線的同名投影上。

◆點的投影將線段的同名投影分割成與空間線段相同的比例。即：AC:CB=ac:cb=ac:cb=ac

:cb定比定理57cacXabcYYbOaZb′″′′″″cAHacaVbBa例1：判斷點C是否在線段AB上。②cabcab●●abcabc①●●在不在ab●c●●aabcb③c不在應用定比定理另一判斷法?58例1：判斷點C是否在線段AB上。②cabcab●●ab例2：已知點K在線段AB上，求點K正面投影。解法一：（應用第三投影）解法二：（應用定比定理）●aabbkab●k●k●aabbk●●k●59例2：已知點K在線段AB上，求點K正面投影。解法一：解法二：三、兩直線的相對位置空間兩直線的相對位置分為：平行、相交、交叉（異面）。⒈兩直線平行

空間兩直線平行，則其各同名投影必相互平行，反之亦然。bcdHAdaCcVaDbBacdbcdabOX60三、兩直線的相對位置空間兩直線的相對位置分為：⒈兩直線平行例：判斷圖中兩條直線是否平行。

對于一般位置直線，只要有兩組同名投影互相平行，空間兩直線就平行。AB與CD平行。AB與CD不平行。

對于特殊位置直線，只有兩組同名投影互相平行，空間直線不一定平行。abcdcbaddbac②bdca①abcdcabd61例：判斷圖中兩條直線是否平行。對于一般位置直線，只要6223⒉兩直線相交

若空間兩直線相交，則其同名投影必相交，且交點的投影必符合空間一點的投影特性。交點是兩直線的共有點acVXbHDacdkCAkKdbOBcabdbacdkk63⒉兩直線相交若空間兩直線相交，則其同名投影必相交，●cdkkd例1：過C點作水平線CD與AB相交。先作正面投影a●bbac64●cdkkd例1：過C點作水平線CD與AB相交。先作正面dacboYWYHzXaacddcbb例2：判斷兩直線的相對位置方法165dacboYWYHzXaacddcbb例baacddcbXkkdkck例2：判斷兩直線的相對位置方法266baacddcbXkkdkck例2：判斷兩⒊兩直線交叉為什么？兩直線相交嗎？不相交！

交點不符合一個點的投影規律！cacabddbOX′′′′accAaCVbHddDBb′′′′67⒊兩直線交叉為什么？兩直線相交嗎？不相交！交點不符accAaCVbHddDBb′′′′cacabddbOX′′′′1(2)●2●′1●′兩直線交叉投影特性：★同名投影可能相交，但“交點”不符合空間一個點的投影規律。★“交點”是兩直線上的一對重影點的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置。211(2)ⅡⅠ′′●●●●●′′Ⅳ43(4)3Ⅲ●●●●●●3(4)34●●′′68accAaCVbHddDBb′′′′cacabddbOX′′⒋兩直線垂直相交（或垂直交叉）

若兩直線垂直，其中有一直線與投影面平行，則此二直線在該投影面上的投影也互相垂直。反之，當兩直