幾何四步曲在歷史上最早出現(xiàn)（和代數(shù)、分析比較）古希臘時(shí)代，阿基米德找出球與外切圓柱體積之比為2:3隨后的1800余年中，幾何學(xué)徘徊不前。因局限于綜合推理17世紀(jì)笛卡兒（法）把代數(shù)知識(shí)運(yùn)用到幾何上，以坐標(biāo)代表點(diǎn)，以方程代表曲線和曲面。幾何重復(fù)生機(jī)本世紀(jì)50年代后，幾何再遭忽視。線性代數(shù)占據(jù)重要位置幾何四步曲在歷史上最早出現(xiàn)（和代數(shù)、分析比較）第1章幾何空間中的向量第一節(jié)向量及其線性運(yùn)算1.定義（向量）既有數(shù)值大小（非負(fù)），又有方向的量。2.定義（范數(shù)/模）—向量的數(shù)值大小一、向量的概念第1章幾何空間中的向量第一節(jié)向量及其線性運(yùn)算4.定義位于同一直線上，或位于相互平行的直線上思考：

兩個(gè)向量三個(gè)向量線性相關(guān)平行？

共面？3.定義且方向相同；且方向相反。4.定義位于同一直線上，思考：3.定義且方向相同；且方向相反引例:力的合成---平行四邊形法三角形法注1：‘和’與起點(diǎn)A的選取無(wú)關(guān)1.加法運(yùn)算：3：加法法則（四條）4：向量可以相加，但不可以比較大小5：范數(shù)可比較大小二、向量的線性運(yùn)算及其性質(zhì)D運(yùn)算法則：2：減法引例:力的合成---平行四邊形法注1：‘和’與起點(diǎn)A的選取無(wú)2.數(shù)乘運(yùn)算：注1：數(shù)乘向量性質(zhì)（四條）注2：線性運(yùn)算、單位向量、向量空間（線性空間）運(yùn)算法則：3.模的性質(zhì)：2.數(shù)乘運(yùn)算：注1：數(shù)乘向量性質(zhì)（四條）運(yùn)算法則：3.模的三、向量的共線與共面1.共線：方向相同或相反

約定：零向量共線于任何向量定理1.6：特別地，推論：三、向量的共線與共面1.共線：方向相同或相反定理1.6：2.共面：將向量的支點(diǎn)放在同一點(diǎn)時(shí)，它們?cè)谕黄矫嫔稀＃ɑ?，平行于同一平面的向量）推?：平行六面體2.共面：將向量的支點(diǎn)放在同一點(diǎn)時(shí)，它們?cè)谕黄矫嫔稀？臻g解析幾何：用數(shù)量來(lái)研究向量的問(wèn)題，類似于平面解析幾何需引入空間坐標(biāo)系的概念?；仡櫍篛GNPxzyM第二節(jié)空間坐標(biāo)系空間解析幾何：用數(shù)量來(lái)研究向量的問(wèn)題，回顧：OGNPxz一、仿射坐標(biāo)系定義（仿射坐標(biāo)系）：

空間中一點(diǎn)O以及三個(gè)有次序的不共面向量e1,e2,e3,

構(gòu)成空間中一仿射坐標(biāo)系，記為[O;e1,e2,e3]

一、仿射坐標(biāo)系定義（仿射坐標(biāo)系）：1.定義（直角坐標(biāo)系）：e1,e2,e3為單位向量且兩兩垂直此時(shí)坐標(biāo)向量記為i,j,k注1：三坐標(biāo)軸，三坐標(biāo)平面兩兩垂直注2：規(guī)定x,y,z軸的正方向，使之成右手系定理：向量在坐標(biāo)系[o;i,j,k]上的坐標(biāo)x,y,z分別是在相應(yīng)坐標(biāo)軸上的投影。即()i=x,()j=y,()k=zzxyABOMC二、直角坐標(biāo)系1.定義（直角坐標(biāo)系）：e1,e2,e3為單位向量且兩兩2.定義（方向余弦）例：已知=（-3，6，2）,求的方向余弦和與平行的單位向量

注2：?jiǎn)挝幌蛄康谋硎痉ǎ▋蓚€(gè)）注1：||||=？（勾股定理）在空間直角坐標(biāo)系中，向量與三個(gè)坐標(biāo)向量的夾角稱為向量的方向角；方向角的余弦稱為向量的方向余弦。2.定義（方向余弦）例：已知=（-3，6，2）,求的方向第三節(jié)向量的內(nèi)積、外積和混合積1.引例（做功）2.定義兩向量間的夾角：(I)已知兩個(gè)非零向量，經(jīng)平行移動(dòng)后使它們有共同的始點(diǎn)(II)夾角的范圍——無(wú)向角(III)幾種類型AA一、兩個(gè)向量的內(nèi)積第三節(jié)向量的內(nèi)積、外積和混合積1.引例（做功）2.定3.內(nèi)積定義注1:內(nèi)積是數(shù)，非向量。規(guī)定:零向量和任何向量正交（垂直）定理：內(nèi)積的運(yùn)算法則

正定性—交換律—線性性（k的符號(hào)）—分配律（重要）

注4:注3:注2:3.內(nèi)積定義注1:內(nèi)積是數(shù)，非向量。規(guī)定:零向量和任何向量正4.向量投影定義：注：投影是一數(shù)正交投影向量：oBAoBA4.向量投影定義：注：投影是一數(shù)正交投影向量：oBAoB例1：證明分配律例2：試證的三條高交于一點(diǎn)。AFBCDS例1：證明分配律例2：試證的三條高交于一點(diǎn)。AF1.11外積定義：注1：注2：

性質(zhì)：反交換律結(jié)合律分配律例：二、兩個(gè)向量的外積1.11外積定義：注1：注2：性質(zhì)：反交換律重點(diǎn)回顧

內(nèi)積外積

交角cossin

垂直平行

應(yīng)用

平行四邊形重點(diǎn)回顧內(nèi)積有了坐標(biāo)，便將幾何運(yùn)算—>代數(shù)運(yùn)算1.線性運(yùn)算加法數(shù)乘距離2.內(nèi)積

三、向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示有了坐標(biāo)，便將幾何運(yùn)算—>代數(shù)運(yùn)算1.線性運(yùn)算加法3.外積引進(jìn)二階行列式，規(guī)定太繁！再次書寫外積的結(jié)果！注意：的順序注：如何記憶？

兩兩組合！3.外積引進(jìn)二階行列式，規(guī)定太繁！再次書寫外積的結(jié)果！注意：4.體積與行列式PO注1：為何加||？4.體積與行列式PO注1：為何加||？定義（混合積）：推論：用行列式表示混合積四、三個(gè)向量的混合積定義（混合積）：推論：用行列式表示混合積四、三個(gè)向量的混合積ACBD（30）ACBD（30）一、平面的參數(shù)方程與一般式方程理論根據(jù)：第四節(jié)平面及其方程1、平面的參數(shù)方程：一、平面的參數(shù)方程與一般式方程理論根據(jù)：第四節(jié)平面及引：化簡(jiǎn)，并注意到和不平行,即(a1,b1,c1)k(a2,b2,c2)結(jié)論：ax+by+cz+d=0(a2+b2+c20)2、平面的一般方程：引：化簡(jiǎn)，并注意到和不平行,即(a1,b1,c1)定理1.4：每一個(gè)平面可用ax+by+cz+d=0表出，其中a2+b2+c20定理1.4’：任給ax+by+cz+d=0，其中a2+b2+c20，則它恒代表一個(gè)平面。定理1.4：每一個(gè)平面可用ax+by+cz+d=0表出，其中定義（法向量）：

平面通過(guò)一點(diǎn)M0(x0,y0,z0)且垂直于一條直線l

設(shè)向量n//l,則稱n為平面的法向量，坐標(biāo)(a,b,c)根據(jù)：平面方程：二、平面的點(diǎn)法式方程1、點(diǎn)法式方程定義（法向量）：根據(jù)：平面方程：二、平面的點(diǎn)法式方程1、點(diǎn)法確定平面的條件：三個(gè)不共線的點(diǎn)2、三點(diǎn)式方程確定平面的條件：三個(gè)不共線的點(diǎn)2、三點(diǎn)式方程實(shí)質(zhì)：三點(diǎn)式方程

M1（a，0，0），M2（0，b，0），

M3（0，0，c），且

abc0平面方程：3、截距式方程實(shí)質(zhì)：三點(diǎn)式方程M1（a，0，0），M2（0，b，0）總結(jié)平面：（一）一點(diǎn)+兩個(gè)不平行的向量（二）一點(diǎn)+法向量例：求通過(guò)x軸和點(diǎn)(4,-3,-1)的平面方程用兩種方法（過(guò)原點(diǎn)）總結(jié)平面：例：求通過(guò)x軸和點(diǎn)(4,-3,-1)的平面方特殊平面1.a=02.d=0平面過(guò)原點(diǎn)3.d=a=0平面過(guò)x軸4.a=b=0平面//xoy平面特殊平面1.a=02.d=0平面過(guò)原點(diǎn)3.注意要加絕對(duì)值！三、兩個(gè)平面的位置關(guān)系注意要加絕對(duì)值！三、兩個(gè)平面的位置關(guān)系!!!如何找出交線上的點(diǎn)解：為什么???!!!如何找出交線上的點(diǎn)解：為什么???點(diǎn)到平面的距離：d=???點(diǎn)到平面的距離：d=???直線：一個(gè)點(diǎn)+一個(gè)方向（直線的方向）1.參數(shù)方程第五節(jié)空間直線及其方程一、空間直線的參數(shù)方程與對(duì)稱式方程直線：一個(gè)點(diǎn)+一個(gè)方向（直線的方向）1.參數(shù)方程第2.對(duì)稱式方程（標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)向式方程）直線L的方向向量的坐標(biāo)m，n，p稱為直線L的方向數(shù)。2.對(duì)稱式方程（標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)向式方程）直線L的方向向量的坐標(biāo)注：中點(diǎn)的表示（參數(shù)方程）3.兩點(diǎn)式方程注：中點(diǎn)的表示（參數(shù)方程）3.兩點(diǎn)式方程1.一般式方程（兩平面的交線）二、空間直線的一般式方程1.一般式方程（兩平面的交線）二、空間直線的一般式方程2.一般式與對(duì)稱式間的互換解：（1）（2）2.一般式與對(duì)稱式間的互換解：（1）（2）3.平面束原因：過(guò)直線l的平面有無(wú)窮多個(gè)問(wèn)題：如何表示這些過(guò)l的平面（平面束）？3.平面束原因：過(guò)直線l的平面有無(wú)窮多個(gè)問(wèn)題：如何表示這些過(guò)例.求點(diǎn)M0(－6,7,0)關(guān)于平面π:4x-2y-z-4=0的對(duì)稱點(diǎn)M1的坐標(biāo)。例.求過(guò)直線L:x+3y-5=0x-y-2z+4=0且在x軸和y軸上截距相等的平面方程。例.求點(diǎn)M0(－6,7,0)關(guān)于平面π:4x-2y-z-4=三、直線與平面、二直線之間的位置關(guān)系1、兩直線間的相互位置給定兩條直線（1）若共面，則平行相交重合（2）異面三、直線與平面、二直線之間的位置關(guān)系1、兩直線間的相互位置給已知：2、直線與平面的位置關(guān)系已知：2、直線與平面的位置關(guān)系四、直線與平面的夾角四、直線與平面的夾角M0M’0M1注：d與M0的選擇無(wú)關(guān)四、點(diǎn)到直線的距離設(shè)直線l方程為：M0M’0M1注：d與M0的選擇無(wú)關(guān)四、點(diǎn)到直線的距離設(shè)直線olP0P1olP0P1幾何與代數(shù)第一章課件行向量列向量o第六節(jié)Rn中的幾何向量簡(jiǎn)介一、Rn中的向量代數(shù)定義1（n維向量）n個(gè)有順序的數(shù)所在組成的數(shù)組稱為一個(gè)n維向量。行向量列向量o第六節(jié)幾何與代數(shù)第一章課件二、Rn中的內(nèi)積二、Rn中的內(nèi)積**外積的概念只在三維空間中才有意義！內(nèi)積性質(zhì)：對(duì)稱性線性非負(fù)性**外積的概念只在三維空間中才有意義！內(nèi)積性質(zhì)：對(duì)稱性可化為一般式：另外，直線可看成m個(gè)超平面的交，即三、Rn中的直線和超平面直線：點(diǎn)和方向向量為，直線L的參數(shù)方程平面：點(diǎn)和法向量為，超平面點(diǎn)法式方程可化為一般式：另外，直線可看成m個(gè)超平面的交，即三、Rn中問(wèn)題:如何求解線性方程組/齊次線性方程組？？？問(wèn)題:如何求解線性方程組/齊次線性方程組？？？幾何四步曲在歷史上最早出現(xiàn)（和代數(shù)、分析比較）古希臘時(shí)代，阿基米德找出球與外切圓柱體積之比為2:3隨后的1800余年中，幾何學(xué)徘徊不前。因局限于綜合推理17世紀(jì)笛卡兒（法）把代數(shù)知識(shí)運(yùn)用到幾何上，以坐標(biāo)代表點(diǎn)，以方程代表曲線和曲面。幾何重復(fù)生機(jī)本世紀(jì)50年代后，幾何再遭忽視。線性代數(shù)占據(jù)重要位置幾何四步曲在歷史上最早出現(xiàn)（和代數(shù)、分析比較）第1章幾何空間中的向量第一節(jié)向量及其線性運(yùn)算1.定義（向量）既有數(shù)值大?。ǚ秦?fù)），又有方向的量。2.定義（范數(shù)/模）—向量的數(shù)值大小一、向量的概念第1章幾何空間中的向量第一節(jié)向量及其線性運(yùn)算4.定義位于同一直線上，或位于相互平行的直線上思考：

兩個(gè)向量三個(gè)向量線性相關(guān)平行？

共面？3.定義且方向相同；且方向相反。4.定義位于同一直線上，思考：3.定義且方向相同；且方向相反引例:力的合成---平行四邊形法三角形法注1：‘和’與起點(diǎn)A的選取無(wú)關(guān)1.加法運(yùn)算：3：加法法則（四條）4：向量可以相加，但不可以比較大小5：范數(shù)可比較大小二、向量的線性運(yùn)算及其性質(zhì)D運(yùn)算法則：2：減法引例:力的合成---平行四邊形法注1：‘和’與起點(diǎn)A的選取無(wú)2.數(shù)乘運(yùn)算：注1：數(shù)乘向量性質(zhì)（四條）注2：線性運(yùn)算、單位向量、向量空間（線性空間）運(yùn)算法則：3.模的性質(zhì)：2.數(shù)乘運(yùn)算：注1：數(shù)乘向量性質(zhì)（四條）運(yùn)算法則：3.模的三、向量的共線與共面1.共線：方向相同或相反

約定：零向量共線于任何向量定理1.6：特別地，推論：三、向量的共線與共面1.共線：方向相同或相反定理1.6：2.共面：將向量的支點(diǎn)放在同一點(diǎn)時(shí)，它們?cè)谕黄矫嫔?。（或，平行于同一平面的向量）推?：平行六面體2.共面：將向量的支點(diǎn)放在同一點(diǎn)時(shí)，它們?cè)谕黄矫嫔??？臻g解析幾何：用數(shù)量來(lái)研究向量的問(wèn)題，類似于平面解析幾何需引入空間坐標(biāo)系的概念?；仡櫍篛GNPxzyM第二節(jié)空間坐標(biāo)系空間解析幾何：用數(shù)量來(lái)研究向量的問(wèn)題，回顧：OGNPxz一、仿射坐標(biāo)系定義（仿射坐標(biāo)系）：

空間中一點(diǎn)O以及三個(gè)有次序的不共面向量e1,e2,e3,

構(gòu)成空間中一仿射坐標(biāo)系，記為[O;e1,e2,e3]

一、仿射坐標(biāo)系定義（仿射坐標(biāo)系）：1.定義（直角坐標(biāo)系）：e1,e2,e3為單位向量且兩兩垂直此時(shí)坐標(biāo)向量記為i,j,k注1：三坐標(biāo)軸，三坐標(biāo)平面兩兩垂直注2：規(guī)定x,y,z軸的正方向，使之成右手系定理：向量在坐標(biāo)系[o;i,j,k]上的坐標(biāo)x,y,z分別是在相應(yīng)坐標(biāo)軸上的投影。即()i=x,()j=y,()k=zzxyABOMC二、直角坐標(biāo)系1.定義（直角坐標(biāo)系）：e1,e2,e3為單位向量且兩兩2.定義（方向余弦）例：已知=（-3，6，2）,求的方向余弦和與平行的單位向量

注2：?jiǎn)挝幌蛄康谋硎痉ǎ▋蓚€(gè)）注1：||||=？（勾股定理）在空間直角坐標(biāo)系中，向量與三個(gè)坐標(biāo)向量的夾角稱為向量的方向角；方向角的余弦稱為向量的方向余弦。2.定義（方向余弦）例：已知=（-3，6，2）,求的方向第三節(jié)向量的內(nèi)積、外積和混合積1.引例（做功）2.定義兩向量間的夾角：(I)已知兩個(gè)非零向量，經(jīng)平行移動(dòng)后使它們有共同的始點(diǎn)(II)夾角的范圍——無(wú)向角(III)幾種類型AA一、兩個(gè)向量的內(nèi)積第三節(jié)向量的內(nèi)積、外積和混合積1.引例（做功）2.定3.內(nèi)積定義注1:內(nèi)積是數(shù)，非向量。規(guī)定:零向量和任何向量正交（垂直）定理：內(nèi)積的運(yùn)算法則

正定性—交換律—線性性（k的符號(hào)）—分配律（重要）

注4:注3:注2:3.內(nèi)積定義注1:內(nèi)積是數(shù)，非向量。規(guī)定:零向量和任何向量正4.向量投影定義：注：投影是一數(shù)正交投影向量：oBAoBA4.向量投影定義：注：投影是一數(shù)正交投影向量：oBAoB例1：證明分配律例2：試證的三條高交于一點(diǎn)。AFBCDS例1：證明分配律例2：試證的三條高交于一點(diǎn)。AF1.11外積定義：注1：注2：

性質(zhì)：反交換律結(jié)合律分配律例：二、兩個(gè)向量的外積1.11外積定義：注1：注2：性質(zhì)：反交換律重點(diǎn)回顧

內(nèi)積外積

交角cossin

垂直平行

應(yīng)用

平行四邊形重點(diǎn)回顧內(nèi)積有了坐標(biāo)，便將幾何運(yùn)算—>代數(shù)運(yùn)算1.線性運(yùn)算加法數(shù)乘距離2.內(nèi)積

三、向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示有了坐標(biāo)，便將幾何運(yùn)算—>代數(shù)運(yùn)算1.線性運(yùn)算加法3.外積引進(jìn)二階行列式，規(guī)定太繁！再次書寫外積的結(jié)果！注意：的順序注：如何記憶？

兩兩組合！3.外積引進(jìn)二階行列式，規(guī)定太繁！再次書寫外積的結(jié)果！注意：4.體積與行列式PO注1：為何加||？4.體積與行列式PO注1：為何加||？定義（混合積）：推論：用行列式表示混合積四、三個(gè)向量的混合積定義（混合積）：推論：用行列式表示混合積四、三個(gè)向量的混合積ACBD（30）ACBD（30）一、平面的參數(shù)方程與一般式方程理論根據(jù)：第四節(jié)平面及其方程1、平面的參數(shù)方程：一、平面的參數(shù)方程與一般式方程理論根據(jù)：第四節(jié)平面及引：化簡(jiǎn)，并注意到和不平行,即(a1,b1,c1)k(a2,b2,c2)結(jié)論：ax+by+cz+d=0(a2+b2+c20)2、平面的一般方程：引：化簡(jiǎn)，并注意到和不平行,即(a1,b1,c1)定理1.4：每一個(gè)平面可用ax+by+cz+d=0表出，其中a2+b2+c20定理1.4’：任給ax+by+cz+d=0，其中a2+b2+c20，則它恒代表一個(gè)平面。定理1.4：每一個(gè)平面可用ax+by+cz+d=0表出，其中定義（法向量）：

平面通過(guò)一點(diǎn)M0(x0,y0,z0)且垂直于一條直線l

設(shè)向量n//l,則稱n為平面的法向量，坐標(biāo)(a,b,c)根據(jù)：平面方程：二、平面的點(diǎn)法式方程1、點(diǎn)法式方程定義（法向量）：根據(jù)：平面方程：二、平面的點(diǎn)法式方程1、點(diǎn)法確定平面的條件：三個(gè)不共線的點(diǎn)2、三點(diǎn)式方程確定平面的條件：三個(gè)不共線的點(diǎn)2、三點(diǎn)式方程實(shí)質(zhì)：三點(diǎn)式方程

M1（a，0，0），M2（0，b，0），

M3（0，0，c），且

abc0平面方程：3、截距式方程實(shí)質(zhì)：三點(diǎn)式方程M1（a，0，0），M2（0，b，0）總結(jié)平面：（一）一點(diǎn)+兩個(gè)不平行的向量（二）一點(diǎn)+法向量例：求通過(guò)x軸和點(diǎn)(4,-3,-1)的平面方程用兩種方法（過(guò)原點(diǎn)）總結(jié)平面：例：求通過(guò)x軸和點(diǎn)(4,-3,-1)的平面方特殊平面1.a=02.d=0平面過(guò)原點(diǎn)3.d=a=0平面過(guò)x軸4.a=b=0平面//xoy平面特殊平面1.a=02.d=0平面過(guò)原點(diǎn)3.注意要加絕對(duì)值！三、兩個(gè)平面的位置關(guān)系注意要加絕對(duì)值！三、兩個(gè)平面的位置關(guān)系!!!如何找出交線上的點(diǎn)解：為什么???!!!如何找出交線上的點(diǎn)解：為什么???點(diǎn)到平面的距離：d=???點(diǎn)到平面的距離：d=???直線：一個(gè)點(diǎn)+一個(gè)方向（直線的方向）1.參數(shù)方程第五節(jié)空間直線及其方程一、空間直線的參數(shù)方程與對(duì)稱式方程直線：一個(gè)點(diǎn)+一個(gè)方向（直線的方向）1.參數(shù)方程第2.對(duì)稱式方程（標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)向式方程）直線L的方向向量的坐標(biāo)m，n，p稱為直線L的方向數(shù)。2.對(duì)稱式方程（標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)向式方程）直線L的方向向量的坐標(biāo)注：中點(diǎn)的表示（參數(shù)方程）3.兩點(diǎn)式方程注：中點(diǎn)的表示（參數(shù)方程）3.兩點(diǎn)式方程1.一般式方程