問題的提出：插值法與數據擬合函數插值問題回設已知某個函數關系yf(x在某些離散點上的xxyx0y0xnynxnyn

yf(x),xxi,i,的函數值f(x)，或計算函數的一階、二階導數數據（曲線）擬和的概數據擬合法不要求曲線通過所有的節點，而是根生物：青蛙的腿的粗細和眼睛大小有什么關化學：反應物的量和生成物的量有什么關。。例1某種合成纖維的強度與其拉伸倍數有直接關系，下表表3-123456789數據散9876強度y43210

6拉伸倍數

12設 這時各坐標值大體滿足方程a1.9ba2b

選ab使到的程與際合最簡單法就3.2中任意出兩個方 ，例a2ba10ba=-0.4，b=0.85i

構造擬合曲線可以采用下列三種準則(1)使誤差的最大絕根據最小二乘原理，(2)使誤差的絕對值之和為小Q為最小，由此代

(3)使誤差的平方和為分析以上三種準則1)(2)兩種由于含有絕對值運算,不便于實際應用。最常用的是(3)，稱(a,b)

242

( (abx

24(a,b)

2( (abx

24a對a，b求偏微商，使偏微商等24a

（值點的階導數為

(yiabxi)

即即

方程方程

(yiabxi)xi

xiax2bx 解上述方程組得，a=0.15，b=0.859，推出直線y*0.15由此得本問題計第一步：計算x2i及xiyi，列成表3-224a127.5b第四步：解方程組求出a，b由此得直線擬合問題計算步觀察數據散點圖，大致呈直線關系，用直線進行擬合計

x,

,x

x i i i i寫出正規方程組，求出bxi axix2ix 寫出擬合直線方程y*=ax+b最小二乘法計算步驟（1）由觀測數據表中的數值點畫出函數粗略的圖形從粗略圖形中確定近似公式的函數類通過最小二乘原理，確定函數中的未知參數注：其中函數類型包括：直線型、二次函數、指數函數。。

(x)xi,yi)處的偏差,即ixi)yi

i=1,2,…,m)嚴格為零,2為了使近似曲線盡量反映所給數據點的變化,需對偏差有所2mm

|||i

最小,此即稱為最小二乘原很多實際問題中影響變量y的因素多于一個，如k個因x1，x2，…，xk.，做N次試驗得數據表,…y1…2………………N…若變量y與k個因素的每一個都是線性關系，選y*aaxax...a 通常實驗次數大于因素個數N>k,N個條件，k個待定量， 用直線擬合的最小二乘原理求擬合方最小二乘法：使誤差的平方和每次試驗的誤

ye eeyy*y(aa a

...akxki按最小二乘法,作直線擬合

e2

iiiN(a,a...a)( (a a a ...a ))2 2i i1為最小，極小值點一階導數為0得方程

... akN(a,a...a)( (a a a ...a ))2N 2i i1

2(y

a

a1x1

a

x2

... a

xki) 求偏微分：

iN

(y a a1x1 a2x2 ... akxki)x1 ...

iNkk

2( ...

) 整理

i

1 2 ki kiNNNaNx 1ia1NaNx

x2ia

...

xkia yNNNNNNN1 i i i iNNNNNNN1x 1ia x

x1i2

x1ix2ia

...

x1

xkia

x1iyi...

i

i

i

iN

...

x2 N k N

ki 1 ki 2

ki

ki NiN

i i

i

iNa0x1ia1x2ia2NNi1i1...xkiakNNi1i1xN i1Nx2a1i1Nx 2 xa...Nx1ixkiakx1iyii1N...i1i1NNi1xkia0xkix1ia1xkix2ia2N...NNxkiak2xkiyii1i1i1i1解出a0,aa，y*aaxax...a 可化簡整理為另一形式先解出a1,a2,…,ak,然后解其中例1.兩個因素，假設兩個因素，選擬合方兩個因素擬合方

y*0.0740.0999x ….. ….. …..設函數y=f(x)在n個互異點的觀測數非線性數據擬合:變量之間的關系不呈線性關系。例如解決途 根據專業知識和經驗來確定經驗曲線的畫散點圖,根據散點圖的分布形狀及特點來選擇適當常見非多項式的非線性關系冪函數φ(x指數函數：φ(x)=對數函（2）將非線性關系轉換為線性關系A.通過變量替換將非線性方程轉換為線性方程,冪函數φ(x指數函數：φ(x對數函數冪函數冪函數φ(x)abx‘=xc，φ(xabxc=a指數函數：φ(x)ab令x’=ecxφ(xabecx=a對數函數：φ(x)ab令xlnxφ(xablnxa均均可通過變量替換轉換為φ(x’=a然后用直線擬合的最小二乘法進行數據此方法可推廣解決其它可化為線性的非線性擬合問例（（）散點圖1根據散點圖， 曲y

abx1ab 做變量

y'1 x' 得線性關系 y'abx'針對數據x’，y’的正規方程 bii 'iix'y' bx' a

bx'2

x' 表3-6，計算x’，y’，及正規方程的寫出正規方程2.050883a b

a0.008966,by'*0.008966 x變量替換回原變量x和y* 0.008966x冪函數:y=axb指數函數：ya則通常會對近似方程兩邊取對冪函數lnylna+b指數函數：lnylnay’=lny，x’=lny’=lny’=lny，x’=lny’=lnlnylny=lna+blny=lna例求一經驗函數形如y=aebx的公式，a，b為常數，使與數據相擬合x12345678y 解：先對經驗公式兩邊取常用lgy=lga+bxlg變量替換得

y’=lgy，A==lga，B=blgy’=A+B變量替換后正規

B A Bx2 正規方 B

8A36B13.0197 36A204B63 解A Bx2

A1.0583, B0.1265從而算出a和a11.44, b0.2913得出經驗公式y11.44e0.2913x多項式數據擬合除前面所講直接用最小也可以用轉換為多變量線性關系做多變量直線擬合的設函數y=f(x)在n個互異點的觀 ….. …..用n次多項式做變量替換：z1=x,z2=x2z3=x3變為線

y=anzn+an-1zn-z1=x,擬擬擬擬多項式線性線性關 定理：x*是Ax=b的最小二乘解的充要條件為：x*是ATAx=ATbx1x2x1x2 x 12的最小二乘解

5x 解：方程組可記為Ax=b，其中A 1x

xx1,b4 2

2 解ATAx=ATb，得最小二

6x1

29

x

6x2

2