第九章時間序列模型

關于標準回歸技術及其預測和檢驗我們已經在前面的章節討論過了，本章著重于時間序列模型的估計和定義，這些分析均是基于單方程回歸方法。這一部分屬于動態計量經濟學的范疇。通常是運用時間序列的過去值、當期值及滯后擾動項的加權和建立模型，來“解釋”時間序列的變化規律。

1第九章時間序列模型關于標準回歸技術及其預主要內容§9.1序列相關理論§9.2平穩時間序列建模§9.3非平穩時間序列建模§9.4協整和誤差修正模型2主要內容§9.1序列相關理論2§9.1

序列相關理論

第6章在對擾動項ut的一系列假設下，討論了古典線性回歸模型的估計、檢驗及預測問題。如果線性回歸方程的擾動項ut滿足古典回歸假設，使用OLS所得到的估計量是線性無偏最優的。但是如果擾動項ut不滿足古典回歸假設，回歸方程的估計結果會發生怎樣的變化呢？理論與實踐均證明，擾動項ut關于任何一條古典回歸假設的違背，都將導致回歸方程的估計結果不再具有上述的良好性質。因此，必須建立相關的理論，解決擾動項不滿足古典回歸假設所帶來的模型估計問題。3§9.1序列相關理論第6章在對擾動項ut的一系§9.1.1

序列相關及其產生的后果

對于線性回歸模型

(9.1.1)隨機誤差項之間不相關，即無序列相關的基本假設為

(9.1.2)如果擾動項序列ut表現為：(9.1.3)4§9.1.1序列相關及其產生的后果對于線性回即對于不同的樣本點，隨機擾動項之間不再是完全相互獨立的，而是存在某種相關性，則認為出現了序列相關性（serialcorrelation）。由于通常假設隨機擾動項都服從均值為0，同方差的正態分布，則序列相關性也可以表示為：(9.1.4)特別的，如果僅存在

(9.1.5)稱為一階序列相關，這是一種最為常見的序列相關問題。5即對于不同的樣本點，隨機擾動項之間不再是完全相互獨立的，而

如果回歸方程的擾動項存在序列相關，那么應用最小二乘法得到的參數估計量的方差將被高估或者低估。因此，檢驗參數顯著性水平的t統計量將不再可信。可以將序列相關可能引起的后果歸納為：②使用OLS公式計算出的標準差不正確，相應的顯著性水平的檢驗不再可信；

③如果在方程右邊有滯后因變量，OLS估計是有偏的且不一致。

①在線性估計中OLS估計量不再是有效的；

6如果回歸方程的擾動項存在序列相關，那么應用最小二乘法

EViews提供了檢測序列相關和估計方法的工具。但首先必須排除虛假序列相關。虛假序列相關是指模型的序列相關是由于省略了顯著的解釋變量而引起的。例如，在生產函數模型中，如果省略了資本這個重要的解釋變量，資本對產出的影響就被歸入隨機誤差項。由于資本在時間上的連續性，以及對產出影響的連續性，必然導致隨機誤差項的序列相關。所以在這種情況下，要把顯著的變量引入到解釋變量中。§9.1.2序列相關的檢驗方法7EViews提供了檢測序列相關和估計方法的工具。但首

EViews提供了以下幾種檢測序列相關的方法。1．D.W.統計量檢驗

Durbin-Watson統計量（簡稱D.W.統計量）用于檢驗一階序列相關，還可估算回歸模型鄰近殘差的線性聯系。對于擾動項ut建立一階自回歸方程：

(9.1.6)D.W.統計量檢驗的原假設：=0，備選假設是

0。

8EViews提供了以下幾種檢測序列相關的方法。8如果序列不相關，D.W.值在2附近。如果存在正序列相關，D.W.值將小于2。如果存在負序列相關，D.W.值將在2～4之間。正序列相關最為普遍。根據經驗，對于有大于50個觀測值和較少解釋變量的方程，D.W.值小于1.5的情況，說明殘差序列存在強的正一階序列相關。9如果序列不相關，D.W.值在2附近。9

Dubin-Waston統計量檢驗序列相關有三個主要不足：1．D-W統計量的擾動項在原假設下依賴于數據矩陣X。2．回歸方程右邊如果存在滯后因變量，D-W檢驗不再有效。3．僅僅檢驗是否存在一階序列相關。其他兩種檢驗序列相關方法：Q-統計量和Breush-GodfreyLM檢驗克服了上述不足，應用于大多數場合。

10Dubin-Waston統計量檢驗序列相關有2.相關圖和Q-統計量

我們還可以應用所估計回歸方程殘差序列的自相關和偏自相關系數（在本章9.2.4節給出相應的公式），以及Ljung-BoxQ-統計量來檢驗序列相關。Q-統計量的表達式為：其中：rj是殘差序列的j階自相關系數，T是觀測值的個數，p是設定的滯后階數。(9.1.7)112.相關圖和Q-統計量

p階滯后的Q-統計量的原假設是：序列不存在p階自相關；備選假設為：序列存在p階自相關。如果Q-統計量在某一滯后階數顯著不為零，則說明序列存在某種程度上的序列相關。在實際的檢驗中，通常會計算出不同滯后階數的Q-統計量、自相關系數和偏自相關系數。如果各階Q-統計量都沒有超過由設定的顯著性水平決定的臨界值，則不拒絕原假設，即不存在序列相關，并且此時，各階的自相關和偏自相關系數都接近于0。12p階滯后的Q-統計量的原假設是：序列不存

反之，如果在某一滯后階數p，Q-統計量超過設定的顯著性水平的臨界值，則拒絕原假設，說明殘差序列存在p階自相關。由于Q-統計量的P值要根據自由度p來估算，因此，一個較大的樣本容量是保證Q-統計量有效的重要因素。

在EViews軟件中的操作方法：

在方程工具欄選擇View/ResidualTests/correlogram-Q-statistics。EViews將顯示殘差的自相關和偏自相關函數以及對應于高階序列相關的Ljung-BoxQ統計量。如果殘差不存在序列相關，在各階滯后的自相關和偏自相關值都接近于零。所有的Q-統計量不顯著，并且有大的P值。13反之，如果在某一滯后階數p，Q-統計量例9.1:利用相關圖檢驗殘差序列的相關性

下面是這些檢驗程序應用的例子，考慮用普通最小二乘估計的簡單消費函數的結果：

14例9.1:利用相關圖檢驗殘差序列的相關性下面是這些

瀏覽這些結果：系數在統計上是很顯著的，并且擬合得很好。但是，如果誤差項是序列相關的，那么估計OLS標準誤差將是無效的，并且估計系數由于在方程右端有滯后因變量會發生偏倚和不一致。在這種情況下D-W統計量作為序列相關的檢驗是不合適的，因為在方程右端存在著一個滯后因變量。選擇View/Residualtest/Correlogram-Q-statistice會產生如下情況：15瀏覽這些結果：系數在統計上是很顯著的，并1616

虛線之間的區域是自相關中正負兩倍于估計標準差所夾成的。如果自相關值在這個區域內，則在顯著水平為5%的情形下與零沒有顯著區別。本例1～3階的自相關系數都超出了虛線，說明存在3階序列相關。各階滯后的Q-統計量的P值都小于5%，說明在5%的顯著性水平下，拒絕原假設，殘差序列存在序列相關。17虛線之間的區域是自相關中正負兩倍于估計標準差所夾成的。3.序列相關LM檢驗

與D.W.統計量僅檢驗擾動項是否存在一階自相關不同，Breush-GodfreyLM檢驗（Lagrangemultiplier，即拉格朗日乘數檢驗）也可應用于檢驗回歸方程的殘差序列是否存在高階自相關，而且在方程中存在滯后因變量的情況下，LM檢驗仍然有效。

LM檢驗原假設為：直到p階滯后不存在序列相關，p為預先定義好的整數；備選假設是：存在p階自相關。檢驗統計量由如下輔助回歸計算。183.序列相關LM檢驗與D.W.統計量僅檢驗擾動

1）估計回歸方程，并求出殘差et(9.1.8)2)檢驗統計量可以基于如下回歸得到(9.1.9)

這是對原始回歸因子Xt和直到p階的滯后殘差的回歸。LM檢驗通常給出兩個統計量：F統計量和T×R2統計量。F統計量是對式（9.1.9）所有滯后殘差聯合顯著性的一種檢驗。T×R2統計量是LM檢驗統計量，是觀測值個數T乘以回歸方程（9.1.9）的R2。一般情況下，T×R2統計量服從漸進的分布。191）估計回歸方程，并求出殘差et19

在給定的顯著性水平下，如果這兩個統計量小于設定顯著性水平下的臨界值，說明序列在設定的顯著性水平下不存在序列相關；反之，如果這兩個統計量大于設定顯著性水平下的臨界值，則說明序列存在序列相關性。

在軟件中的操作方法：

選擇View/ResidualTests/SerialcorrelationLMTest，一般地對高階的，含有ARMA誤差項的情況執行Breush-GodfreyLM。在滯后定義對話框，輸入要檢驗序列的最高階數。20在給定的顯著性水平下，如果這兩個統計量小于設定顯著性

上一例子中相關圖在滯后值3時出現峰值。Q統計量在各階滯后值中都具有顯著性，它顯示的是殘差中的顯著序列相關。進行序列相關的LM檢驗，選擇View/ResidualTests/SerialCorrelationLMTest，輸入p=2產生如下結果：例9.2:關于殘差序列相關的LM檢驗(1)21上一例子中相關圖在滯后值3時出現峰值。Q統計

此檢驗拒絕直至2階的無序列相關的假設。Q-統計和LM檢驗都表明：殘差是序列相關的，因此方程在被用于假設檢驗和預測之前應該重新定義。

22此檢驗拒絕直至2階的無序列相關的假設。Q-統計和LM例9.3:關于殘差序列相關的LM檢驗(2)

考慮美國的一個投資方程。美國的GNP和國內私人總投資INV是單位為10億美元的名義值，價格指數P為GNP的平減指數（1972=100），利息率R為半年期商業票據利息。回歸方程所采用的變量都是實際GNP和實際投資；它們是通過將名義變量除以價格指數得到的，分別用小寫字母gnp，inv表示。實際利息率的近似值r則是通過貼現率R減去價格指數變化率p得到的。樣本區間：1963年～1984年，應用最小二乘法得到的估計方程如下：23例9.3:關于殘差序列相關的LM檢驗(2)考慮美

t=（-1.32）（154.25）R2=0.80

D.W.=0.94

從D.W.值來看，這個模型存在正的序列相關，但是，看起來還不是強的正序列相關。24t=（-1.32）（154.2圖5.1回歸方程殘差圖圖5.1回歸方程殘差圖圖9.1回歸方程殘差圖從殘差圖9.1可以看到殘差序列的變化有相似的波動。所以，再采取上面介紹的其他檢驗序列相關的方法檢驗殘差序列的自相關性。25圖5.1回歸方程殘差圖圖5.1回歸方程殘差圖圖9.1下面采用LM統計量進行檢驗(p=2)，得到結果如下：LM統計量顯示，在5%的顯著性水平拒絕原假設，回歸方程的殘差序列存在序列相關性。因此，回歸方程的估計結果不再有效，必須采取相應的方式修正殘差的自相關性。當然，對于這個例子，我們也可以用Q-統計量進行檢驗，而且效果更為直觀，更有利于實際建模，但是這涉及到序列自相關和偏自相關系數的理論。26下面采用LM統計量進行檢驗(p=2)，得到結果如下：26§9.1.3擾動項存在序列相關的線性回歸方程的估計與修正線性回歸模型擾動項序列相關的存在，會導致模型估計結果的失真。因此，必須對擾動項序列的結構給予正確的描述，以期消除序列相關對模型估計結果帶來的不利影響。通常可以用AR(p)模型來描述一個平穩序列的自相關的結構，定義如下：(9.1.10)(9.1.11)27§9.1.3擾動項存在序列相關的線性回歸其中：ut是無條件誤差項，它是回歸方程（9.1.10）的誤差項，參數0，1,

2,

,

k是回歸模型的系數。式（9.1.11）是誤差項ut的

p階自回歸模型，參數1,

2,

,

p是p階自回歸模型的系數，t是相應的擾動項，并且是均值為0，方差為常數的白噪聲序列，它是因變量真實值和以解釋變量及以前預測誤差為基礎的預測值之差。下面將討論如何利用AR(p)模型修正擾動項的序列相關，以及用什么方法來估計消除擾動項后方程的未知參數。28其中：ut是無條件誤差項，它是回歸方程（9.1.10）的誤1．修正一階序列相關

最簡單且最常用的序列相關模型是一階自回歸AR(1)模型。為了便于理解，先討論一元線性回歸模型，并且具有一階序列相關的情形，即p=1的情形：(9.1.12)(9.1.13)把式（9.1.13）帶入式（9.1.12）中得到(9.1.14)291．修正一階序列相關把式（9.1.13）帶入式（9.1.1然而，由式（9.1.12）可得(9.1.15)再把式（9.1.15）代入式（9.1.14）中，并整理(9.1.16)令，代入式（9.1.16）中有(9.1.17)如果已知

的具體值，可以直接使用OLS方法進行估計。如果

的值未知，通常可以采用Gauss—Newton迭代法求解，同時得到

，

0，

1的估計量。

30然而，由式（9.1.12）可得302．修正高階序列相關

通常如果殘差序列存在p階序列相關，誤差形式可以由AR(p)過程給出。對于高階自回歸過程，可以采取與一階序列相關類似的方法，把滯后誤差逐項代入，最終得到一個擾動項為白噪聲序列，參數為非線性的回歸方程，并且采用Gauss-Newton迭代法求得非線性回歸方程的參數。

例如：仍討論一元線性回歸模型，并且殘差序列具有3階序列相關的情形，即p=3的情形：312．修正高階序列相關31(9.1.18)(9.1.19)按照上面處理AR(1)的方法，把擾動項的滯后項代入原方程中去，得到如下表達式：(9.1.20)

通過一系列的化簡后，仍然可以得到參數為非線性，擾動項t為白噪聲序列的回歸方程。運用非線性最小二乘法，可以估計出回歸方程的未知參數

0,

1,

1,

2,

3。32(9.1.18)(9.1.19)按照上面處理AR(1我們可以將上述討論引申到更一般的情形：對于非線性形式為f(xt,

)的非線性模型，，，若殘差序列存在p階序列相關，(9.1.21)(9.1.22)也可用類似方法轉換成誤差項t為白噪聲序列的非線性回歸方程，以p=1為例，(9.1.23)使用Gauss-Newton算法來估計參數。33我們可以將上述討論引申到更一般的情形：對于非線性形式3.在Eviews中的操作過程：選擇Quick/EstimateEquation或Object/NewObject/Equation打開一個方程，輸入方程變量，最后輸入ar(1)ar(2)ar(3)。針對例5.1定義方程為：343.在Eviews中的操作過程：34需要注意的是，輸入的ar(1)ar(2)ar(3)分別代表3個滯后項的系數，因此，如果我們認為殘差僅僅在滯后2階和滯后4階存在自相關，其他滯后項不存在自相關，即則估計時應輸入：cscgdpcs(-1)ar(2)ar(4)EViews在消除序列相關時給予很大靈活性，可以輸入模型中想包括的各個自回歸項。例如，如果有季度數據而且想用一個單項來消除季節自回歸，可以輸入：cscgdpcs(-1)ar(4)。35需要注意的是，輸入的ar(1)ar(2)aARMA估計選擇

如前所述，帶有AR或MA的模型用非線性最小二乘法估計。非線性估計方法對所有系數估計都要求初值。有時當迭代次數最大值達到時，方程終止迭代，盡管還未達到收斂。從前一步初值重新開始方程，使方程從中止處開始而不是從開始處開始。也可以試試不同的初值來保證估計是全部而不是局部平方誤差最小，可以通過提供初值加速估計過程。

36ARMA估計選擇如前所述，帶有AR或MA的模型為控制ARMA估計初值，在方程定義對話框單擊options。在EViews提供的選項中，有幾項設置初值的選擇。EViews缺省方法是OLS/TSLS，這種方法先進行沒有ARMA項的預備估計，再從這些值開始非線性估計。另一選擇是使用OLS或TSLS系數的一部分作為初值。可以選擇0.3，0.5，0.8或者可以將所有初值設為零。用戶確定初值選項是UserSupplied。在這個選項下，EViews使用C系數向量中的值。為設置初值，雙擊圖標，為C系數向量開一窗口，進行編輯。37為控制ARMA估計初值，在方程定義對話框單擊o

為適當地設置初值，需對EViews如何為ARMA設置系數多些了解。EViews使用C系數向量。它按下列規則為變量安排系數：

1.變量系數，以輸入為序。2.定義的AR項，以輸入為序。3．SAR，MA，SMA系數（按階數由高到底）

38為適當地設置初值，需對EViews如何為ARMA設例如：下面兩種定義將有同樣規格的系數YcXma(2)ma(1)sma(4)ar(1)Ysma(4)car(1)ma(2)Xma(1)也可使用程序指令安排C向量值paramc(1)50c(2)0.8c(3)0.2c(4)0.6c(5)0.1c(6)0.5初值：常數是50，X系數的初值是0.8，ar(1)、ma(2)、ma(1)、sma(4)系數的初值分別是0.2，0.6，0.1，0.5。估計后，可在方程表達式Representation選項見到系數安排。也可以從估計方程中填寫C向量，選擇pros/update/coefsfromequations。39例如：下面兩種定義將有同樣規格的系數39例9.4:用AR(p)模型修正回歸方程殘差序列的自相關

例9.1中檢驗到帶有滯后因變量的回歸方程的殘差序列存在明顯的序列自相關。而且從相關圖看到，可以采用AR(3)模型來修正回歸方程的殘差序列的自相關性。回歸估計的結果如下：

40例9.4:用AR(p)模型修正回歸方程殘差序列的自相再對新的殘差序列進行LM檢驗，最終得到的檢驗結果如下：

41再對新的殘差序列進行LM檢驗，最終得含有AR項模型的估計輸出

當估計某個含有AR項的模型時，在解釋結果時一定要小心。在用通常的方法解釋估計系數、系數標準誤差和t-統計量時，涉及殘差的結果會不同于OLS的估計結果。要理解這些差別，記住一個含有AR項的模型有兩種殘差：第一種是無條件殘差

通過原始變量以及估計參數算出。在用同期信息對yt值進行預測時，這些殘差是可以觀測出的誤差，但要忽略滯后殘差中包含的信息。42含有AR項模型的估計輸出當估計某個含有AR項的模

第二種殘差是估計的一期向前預測誤差。由其名可知，這種殘差代表預測誤差。對于含有AR項的模型，基于殘差的回歸統計量，如R2、回歸標準誤差和D-W值都是以一期向前預測誤差為基礎的。含有AR項的模型獨有的統計量是估計的AR系數。43第二種殘差是估計的一期向前預測誤差。由其對于簡單AR(1)模型，是無條件殘差的序列相關系數。對于平穩AR(1)模型，在-1（極端負序列相關）和+1（極端正序列相關）之間。一般AR(p)平穩條件是：滯后算子多項式的根的倒數在單位圓內。EViews在回歸輸出的底部給出這些根：InvertedARRoots。如果存在虛根，根的模應該小于1。44對于簡單AR(1)模型，是無條件殘差的

另外：EViews可以估計帶有AR誤差項的非線性回歸模型。例如：將例5.4中的模型變為如下的非線性模型，估計如下帶有附加修正項AR(3)的非線性方程

單擊Quick/EstimateEquation，打開一個方程，用公式法輸入cs=c(1)+gdp^c(2)+c(3)*cs(-1)+[ar(1)=c(4),ar(2)=c(5),ar(3)=c(6)]45另外：EViews可以估計帶有AR誤差項的非

輸出結果顯示為：46輸出結果顯示為：46§9.2平穩時間序列建模本節將不再僅僅以一個回歸方程的殘差序列為研究對象，而是直接討論一個平穩時間序列的建模問題。在現實中很多問題，如利率波動、收益率變化及匯率變化等通常是一個平穩序列，或者通過差分等變換可以化成一個平穩序列。本節中介紹的ARMA模型（autoregressivemovingaveragemodels）可以用來研究這些經濟變量的變化規律，這樣的一種建模方式屬于時間序列分析的研究范疇。47§9.2平穩時間序列建模

如果隨機過程的均值和方差、自協方差都不取決于t，則稱u

t是協方差平穩的或弱平穩的：注意，如果一個隨機過程是弱平穩的，則ut與ut-s之間的協方差僅取決于s，即僅與觀測值之間的間隔長度s有關，而與時期t無關。一般所說的“平穩性”含義就是上述的弱平穩定義。§9.2.1平穩時間序列的概念對所有的

t

對所有的

t

對所有的t和s

(9.2.1)(9.2.2)(9.2.3)48注意，如果一個隨機過程是弱平穩的，則ut與§9.2.2ARMA模型1.自回歸模型AR(p)

p階自回歸模型記作AR(p)，滿足下面的方程：(9.2.4)其中：參數c為常數；1,

2,…,p是自回歸模型系數；p為自回歸模型階數；t是均值為0，方差為

2的白噪聲序列。49§9.2.2ARMA模型2.移動平均模型MA(q)

q階移動平均模型記作MA(q)，滿足下面的方程：(9.2.5)其中：參數為常數；參數1,2,…,q是q階移動平均模型的系數；t是均值為0，方差為

2的白噪聲序列。502.移動平均模型MA(q)503.ARMA(p,q)模型

(9.2.6)顯然此模型是模型（9.2.4）與（9.2.5）的組合形式，稱為混合模型，常記作ARMA(p，q)。當p=0時，ARMA(0,q)=MA(q)；當q=0時，ARMA(p,0)=AR(p)。513.ARMA(p,q)模型51§9.2.3ARMA模型的平穩性1.AR(p)模型的平穩性條件為了理解AR(p)、MA(q)和ARMA(p,q)模型的理論結構，簡單的算子理論是必不可少的。對于AR(p)模型(9.2.7)設L為滯后算子，則有，特別地，。則式（9.2.7）可以改寫為：

(9.2.8)52§9.2.3ARMA模型的平穩性若設，令(9.2.9)則(z)是一個關于z的p次多項式，AR(p)模型平穩的充要條件是(z)的根全部落在單位圓之外。式（9.2.7）可以改寫為滯后算子多項式的形式

可以證明如果AR(p)模型滿足平穩性條件，則式（9.2.10）可以表示為如下MA()的形式

(9.2.10)53若設(9.2.11)其中且。假定平穩性條件滿足，將式（9.2.7）兩端取期望可以求得均值或

(9.2.13)(9.2.12)(9.2.14)54(9.2.11)其中(9.2.13)(9.2.12)(9.2式（9.2.11）表示ut可以由一個白噪聲序列的線性組合表示出來。現在可以看到，任何一個AR(p)模型均可以表示為白噪聲序列的線性組合。事實上，式（9.2.11）是沃爾德分解定理（Wold定理）的特例。沃爾德分解定理（Wold定理）任何零均值協方差平穩過程ut可表示成如下形式其中：。t是白噪聲序列，對于任意的j，t的值與t-j無關。t稱為ut的確定性分量，而稱為線性非確定性分量。(9.2.15)55式（9.2.11）表示ut可以由一個白噪聲2．MA(q)模型的可逆性考察MA(q)模型若的根全部落在單位圓之外，則式（9.2.16）的MA算子稱為可逆的。(9.2.16)562．MA(q)模型的可逆性(9.2.16(9.2.17)比較式（9.2.16）和式（9.2.17），可知(9.2.18)運用MA算子的逆運算，式（9.2.16）可寫成AR()的形式盡管不可逆時也可以表征任何給定的數據，但是一些參數估計和預測算法只有模型可逆時才有效。57(9.2.17)比較式（9.2.16）和式（9.2.17），3．ARMA(p,q)模型的平穩性條件ARMA(p,q)模型包括了一個自回歸模型AR(p)和一個移動平均模型MA(q)或者以滯后算子多項式的形式表示(9.2.19)(9.2.20)583．ARMA(p,q)模型的平穩性條件(若令則ARMA(p，q)模型（9.2.19）平穩的充要條件是(z)的根全部落在單位圓之外。在式（9.2.20）的兩邊除以，可以得到其中(9.2.21)(9.2.22)(9.2.23)59若令(9.2.21)(9.2.22)(9.2.23)59(9.2.24)(9.2.25)

ARMA模型構造了一種更為復雜的白噪聲序列的線性組合，近似逼近一個平穩序列。可以看出ARMA模型的平穩性完全取決于自回歸模型的參數，而與移動平均模型參數無關。

60(9.2.24)(9.2.25)ARMA模在Eviews中確定ARMA形式

1、ARMA項

模型中AR和MA部分應使用關鍵詞ar和ma定義。在上面AR定義中，我們已見過這種方法的例子。這對MA也同樣適用。

例如，估計一個2階自回歸和1階動平均過程ARMA(2,1)，應將AR(1),MA(1),AR(2)和其它解釋變量一起包含在回歸因子列表中：ycgovar(1)ar(2)ma(1)61在Eviews中確定ARMA形式1、ARMA項模如果采用公式法輸入方程，則要將AR和MA項系數明確列出，形式為：LS=c(1)+[ar(1)=c(2),ar(2)=c(3),ma(1)=c(4)]。

下面說明EViews是如何估計一個ARMA(p，q)模型的。單擊Quick/EstimateEquation打開一個方程，輸入LScar(1)ma(1)即可。62如果采用公式法輸入方程，則要將AR和MA項系2.季節ARMA項

對于帶有季節因素的季度數據，BoxandJenkins(1976)建議使用季節自回歸SAR和季節動平均SMA。SAR(p)定義為帶有p階滯后的季節自回歸項。估計中使用的滯后多項式是AR項和SAR項定義的結合。與此類似，SMA(q)定義為帶有q階滯后的季節動平均。估計中使用的滯后多項式是MA項和SMA項定義的結合。存在SAR項則允許建立一個滯后多項式。例如：沒有季節項的2階AR過程632.季節ARMA項對于帶有季節因素的季例如：沒有季節項的2階AR過程用滯后算子，則上式可表示為：可以通過回歸自變量的ar(1)，ar(2)項來估計這個過程。

對于季度數據，可以加入sar(4)來表示季節因素，定義方程：ycxar(1)ar(2)sar(4)估計誤差結構為：64例如：沒有季節項的2階AR過程用滯后算子等價于參數和季節因素相聯系。注意：這是對系數有非線性約束的AR(6)模型。在另一個例子中，無季節性的二階MA過程如下可以通過包含ma(1)和ma(2)來估計二階MA過程。

65等價于參數和季節因素相聯系。注意：這是對季度數據，可以添加sma(4)考慮季節性。例如定義方程：ycxma(1)ma(2)sma(4)估計模型為：等價于：

參數和季節因素相聯系。這是對系數有非線性約束的MA(6)模型。還可以在方程說明中同時包括SAR，SMA項。66對季度數據，可以添加sma(4)考慮季節性例9.5:利用AR(1)模型描述上證指數的變化規律本例取我國上證收盤指數（時間期間：1991年1月～2003年3月）的月度時間序列S作為研究對象，用AR(1)模型描述其變化規律。首先對其做變化率，srt

=100×(St-St-1)/St-1（t

=

1,2,,T），這樣便得到了變化率序列。一般來講，股價指數序列并不是一個平穩的序列，而通過變換后的變化率數據，是一個平穩序列，可以作為我們研究、建模的對象。記上證股價指數變化率序列為sr，建立如下模型：67例9.5:利用AR(1)模型描述上證指數的變化規回歸結果為：68回歸結果為：68圖9.2實線是上證股價指數變化率序列sr，虛線是AR(1)模型的擬合值從圖9.2可以看出我國上證股價指數變化率序列在1991年～1994年之間變化很大，而后逐漸變小，基本在3%上下波動。近年來波動平緩，并且大多在3%下面波動。擬合曲線基本代表了這一時期的均值。69圖9.2實線是上證股價指數變化率序列sr，虛線是AR(1)§9.2.4

ARMA模型的識別在實際研究中，所能獲得的只是經濟指標的時間序列數據，根據經濟指標的樣本特征，來推斷其總體（真實）特征。這一節將引入自相關系數(autocorrelations，簡稱AC)和偏自相關系數(partialautocorrelations，簡稱PAC)這兩個統計量去識別ARMA(p，q)模型。1.自相關系數

時間序列ut滯后k階的自相關系數由下式估計(9.2.26)70§9.2.4ARMA模型的識別其中是序列的樣本均值，這是相距k期值的相關系數，稱rk為時間序列ut的自相關系數。自相關系數可以部分的刻畫一個隨機過程的性質。它告訴我們在序列ut的鄰近數據之間存在多大程度的相關性。通常的，AR(p)模型的自相關系數是隨著k的增加而呈現指數衰減或者震蕩式的衰減，具體的衰減形式取決于AR(p)模型滯后項的系數。71其中是序列的樣本均值，這是相距k期值的相關系數，稱r2．偏自相關系數偏自相關系數是指在給定ut-1，ut-2，…，ut-k的條件下，ut與ut-k之間的條件相關性。其相關程度用偏自相關系數

k,k度量。在p階滯后下估計偏相關系數的計算公式如下(9.2.27)722．偏自相關系數(9.2.27)72其中：rk是在k階滯后時的自相關系數估計值。這是偏相關系數的一致估計。要得到

k,k的更確切的估計，需要進行回歸

(9.2.28)(9.2.29)因此，滯后k階的偏相關系數是當ut對ut-1，…，ut-k作回歸時ut-k的系數。稱之為偏相關是因為它度量了k期間距的相關而不考慮k-1期的相關。73其中：rk是在k階滯后時的自相關系數估計值。(9.2.28如果這種自相關的形式可由滯后小于k階的自相關表示，那么偏相關在k期滯后下的值趨于零。一個純的p階自回歸過程AR(p)的偏相關系數在p階截尾，而純的動平均函數的偏相關過程漸進趨于零。因此，如果我們能求出關于

k,k的估計值，用以檢驗其顯著性水平，就能夠確定時間序列ut的自相關的階數。3.MA模型的識別MA(q)模型(9.2.30)74如果這種自相關的形式可由滯后小于k階的自相關其中：t是均值為0，方差為

2的白噪聲序列，而自協方差k計算可得(9.2.31)(9.2.32)75其中：t是均值為0，方差為2的白噪聲序列，而自協方差進而得到

(9.2.33)上式表明對MA(q)模型，當k>q時，rk=0。ut與ut+k不相關，這種性質通常稱為截尾。即MA(q)模型的自相關函數在q步以后是截尾的。76進而得到(9.2.33)上式表明對MA(qMA(q)的偏自相關系數的具體形式隨著q的增加變得越來越復雜，很難給出一個關于q的一般表達式，但是，一個MA(q)模型對應于一個AR(∞)模型。因此，MA(q)模型的偏自相關系數一定呈現出某種衰減的形式是拖尾的。故可以通過識別一個序列的偏自相關系數的拖尾形式，大致確定它應該服從一個MA(q)過程。77MA(q)的偏自相關系數的具體形式隨著q的4.AR模型的識別可以不加證明的給出AR(p)過程的自相關系數(9.2.34)其中1,2,…,p

是AR(p)模型的特征多項式(9.2.35)的p個特征根，g1,g2,…,gp為任意給定的p個常數。784.AR模型的識別(9.2.34)其中1,2由此可知，AR(p)模型的自相關系數會由于g1,g2,…,gp及k取值的不同，呈現出不同的衰減形式，可能是指數式的衰減，也可能是符號交替的震蕩式的衰減。例如，對于AR(1)模型，其自相關系數為，當r1>0時，rk呈指數式的衰減；當r1<0時，rk呈震蕩式的衰減。

因此，可以通過自相關系數來獲得一些有關AR(p)

模型的信息，如低階AR(p)模型系數符號的信息。但是，對于自回歸過程AR(p)，自相關系數并不能幫助我們確定AR(p)模型的階數p。所以，可以考慮使用偏自相關系數

k,k，

以便更加全面的描述自相關過程AR(p)的統計特征。79由此可知，AR(p)模型的自相關系數會由于g1,g2這里我們通過簡單的證明給出AR(p)模型的偏自相關系數。對于一個AR(p)模型，(9.2.36)將式（9.2.36）兩邊同時乘以ut-k(k=1,2,…,p)，再對方程兩邊取期望值并除以序列ut的方差得到如下關于系數1,2,…,p的線性方程組：(9.2.37)80這里我們通過簡單的證明給出AR(p)模型的偏自相關系數。對于其中：r1,r2,…,rp分別為序列ut的1,2,…,p階自相關系數。然后求解方程組（9.2.37），計算出一組解1,2,…,p，就可得到的偏自相關系數為：k,k=

k

(k=1，2，…，p)。且對于一個AR(p)模型，

k,k的最高階數為p，也即AR(p)模型的偏自相關系數是p階截尾的。因此，可以通過識別AR(p)模型的偏自相關系數的個數，來確定AR(p)模型的階數p，進而設定正確的模型形式，并通過具體的估計方法估計出AR(p)模型的參數。81其中：r1,r2,…,rp分別為序列ut的1,例9.6利用自相關和偏自相關系數識別ARMA模型并檢驗序列相關性例9.1考察了美國1947年第1季度～1995年第1季度的消費和GDP之間的關系，發現殘差存在序列相關，并且例9.4用AR(3)模型修正了殘差的序列相關性。但是，我們并沒有說明是通過怎樣的方法來判斷殘差服從一個AR(3)模型。這個例子將借助Q-統計量、自相關系數和偏自相關系數圖，說明如何判斷模型的階數。回歸方程：82例9.6利用自相關和偏自相關系數8383圖9.3原方程的殘差圖從殘差圖9.3可以觀察到，殘差序列基本是平穩的，這一點還可以用9.3.2節介紹的單位根檢驗來驗證。下面計算殘差序列的自相關系數和偏自相關系數。84圖9.3原方程的殘差圖從殘差圖9.3可以觀察到，殘差圖9.4原方程的殘差序列的相關圖85圖9.4原方程的殘差序列的相關圖85自相關系數呈震蕩式遞減，偏自相關系數除了1、2和3階顯著不為0以外，其他各項均接近于0，因此，我們可以猜測殘差序列的自相關結構可以用AR(3)模型來糾正，模型建立如下：

86自相關系數呈震蕩式遞減，偏自相關系數除了1、2和3圖9.5修正序列相關后的回歸方程的相關圖87圖9.5修正序列相關后的回歸方程的相關圖875.模型的識別與建立我們引入了自相關系數和偏自相關系數這兩個統計量來識別ARMA(p,q)模型的系數特點和模型的階數。但是，在實際操作中，自相關系數和偏自相關系數是通過要識別序列的樣本數據估計出來的，并且隨著抽樣的不同而不同，其估計值只能同理論上的大致趨勢保持一致，并不能精確的相同。因此，在實際的模型識別中，自相關系數和偏自相關系數只能作為模型識別過程中的一個參考，并不能通過它們準確的識別模型的具體形式。885.模型的識別與建立88例9.7利用消費價格指數研究模型識別和建模本例將用ARMA模型模擬1990年1月～2004年12月的居民消費價格指數CPI（上年同月=100）的變化規律。實際上用后面學到的單位根檢驗可知CPI序列是一個非平穩的序列，但是它的一階差分序列CPI是平穩的。首先觀察CPI序列的自相關系數和偏自相關系數的圖形89例9.7利用消費價格指數研究模型識別和建模圖9.6CPI序列的相關圖90圖9.6CPI序列的相關圖90從圖9.6可以看出CPI序列的自相關系數是拖尾的，偏自相關系數在1階結尾。由前面的知識可以判斷

CPI序列基本滿足AR(1)過程。建模得到91從圖9.6可以看出CPI序列的自相關系數是圖9.7左邊是CPI序列的實際值和擬合值，右邊是殘差序列由圖9.7可以觀察到AR(1)模型比較好的擬合了CPI序列，回歸方程的殘差序列基本上也是一個零均值的平穩序列。92圖9.7左邊是CPI序列的實際值和擬合值，右邊是殘差序列圖9.8CPI序列方程殘差序列的相關圖從圖9.8的回歸方程的殘差序列的自相關系數和偏自相關系數可以看到不存在序列相關。因此，在實際建模中，可以借助ARMA(p,q)模型去擬和一些具有平穩性的經濟變量的變化規律。93圖9.8CPI序列方程殘差序列的相關圖

前述的AR(p)、MA(q)和ARMA(p,q)三個模型只適用于刻畫一個平穩序列的自相關性。一個平穩序列的數字特征，如均值、方差和協方差等是不隨時間的變化而變化的，時間序列在各個時間點上的隨機性服從一定的概率分布。然而，對于一個非平穩時間序列而言，時間序列的數字特征是隨著時間的變化而變化的。§9.3非平穩時間序列建模94前述的AR(p)、MA(q)和ARMA(p,也就是說，對于一個平穩的時間序列可以通過過去時間點上的信息，建立模型擬合過去信息，進而預測未來的信息。而非平穩時間序列在各個時間點上的隨機規律是不同的，難以通過序列已知的信息去掌握時間序列整體上的隨機性。因此，對于一個非平穩序列去建模，預測是困難的。但在實踐中遇到的經濟和金融數據大多是非平穩的時間序列。95也就是說，對于一個平穩的時間序列可以通過過去時圖9.9中國1978年～2002年的GDP序列96圖9.9中國1978年～2002年的GDP序列96

1.確定性時間趨勢和單位根過程

描述類似圖9.9形式的非平穩經濟時間序列有兩種方法，一種方法是包含一個確定性時間趨勢

(9.3.1)

其中ut是平穩序列；a+t是線性趨勢函數。這種過程也稱為趨勢平穩的，因為如果從式(9.3.1)中減去a+t，結果是一個平穩過程。注意到像圖9.9一類的經濟時間序列常呈指數趨勢增長，但是指數趨勢取對數就可以轉換為線性趨勢。

§9.3.1非平穩序列和單整971.確定性時間趨勢和單位根過程§9.3.1另一種方法是設定為單位根過程，非平穩序列中有一類序列可以通過差分運算，得到具有平穩性的序列，考慮下式

(9.3.2)也可寫成(9.3.3)98另一種方法是設定為單位根過程，非平穩序列中有一類

其中a是常數，ut是平穩序列，若ut

～i.i.d.N(0,

2)，且ut是一個白噪聲序列，則該過程稱為含位移a的隨機游走。若令a=0，y0

=0，則由式(9.3.2)生成的序列yt，有var(yt)=t

2（t

=

1,2,,T），顯然違背了時間序列平穩性的假設。而其差分序列yt是平穩序列。

99其中a是常數，ut是平穩序列，若ut～i.i.d.實際上，在9.1節中討論的回歸方程的序列自相關問題是暗含著殘差序列是一個平穩序列。這是因為，如果殘差序列是一個非平穩序列，則說明因變量除了能被解釋變量解釋的部分以外，其余的部分變化仍然不規則，隨著時間的變化有越來越大的偏離因變量均值的趨勢，這樣的模型是不能夠用來預測未來信息的。100實際上，在9.1節中討論的回歸方

殘差序列是一個非平穩序列的回歸被稱為偽回歸，這樣的一種回歸有可能擬合優度、顯著性水平等指標都很好，但是由于殘差序列是一個非平穩序列，說明了這種回歸關系不能夠真實的反映因變量和解釋變量之間存在的均衡關系，而僅僅是一種數字上的巧合而已。偽回歸的出現說明模型的設定出現了問題，有可能需要增加解釋變量或者減少解釋變量，抑或是把原方程進行差分，以使殘差序列達到平穩。

一個可行的辦法是先把一個非平穩時間序列通過某種變換化成一個平穩序列，根據9.2節中的方法建模，并利用變量之間的相關信息，描述經濟時間序列的變化規律。

101殘差序列是一個非平穩序列的回歸被

2.單整

像前述yt這種非平穩序列，可以通過差分運算，得到平穩性的序列稱為單整（integration）序列。定義如下：

定義如果序列yt，通過d次差分成為一個平穩序列，而這個序列差分d–1次時卻不平穩，那么稱序列yt為d階單整序列，記為yt～I(d)。特別地，如果序列yt本身是平穩的，則為零階單整序列，記為yt～I(0)。1022.單整102

單整階數是使序列平穩而差分的階數。對于上面的隨機游走過程，有一個單位根，所以是I(1)，同樣，平穩序列是I(0)。一般而言，表示存量的數據，如以不變價格表示的資產總值、儲蓄余額等存量數據經常表現為2階單整；以不變價格表示的消費額、收入等流量數據經常表現為1階單整；而像利率、收益率等變化率的數據則經常表現為0階單整。

103單整階數是使序列平穩而差分的階數。對于上面的隨機

如果兩個序列分別為d階單整和e階單整，即xt～I(d)，yt～I(e)，e>d則二序列的線性組合是e階單整序列，即

zt=axt+byt～I(max(d，e))104如果兩個序列分別為d階單整和e階單整，即104

§9.3.2

非平穩序列的單位根檢驗

檢查序列平穩性的標準方法是單位根檢驗。本節將介紹5種單位根檢驗方法：DF檢驗、ADF檢驗、PP檢驗、KPSS檢驗、ERS檢驗。前三種方法出現的比較早，在實際應用中較為常見，但是，由于這3種方法均需要對被檢驗序列作可能包含常數項和趨勢變量項的假設，因此，應用起來帶有一定的不便；后2種方法克服了前3種方法帶來的不便，在剔除原序列趨勢的基礎上，構造統計量檢驗序列是否存在單位根，應用起來較為方便。105§9.3.2非平穩序列的單位根其中a是常數，t是線性趨勢函數，ut

～i.i.d.N(0,

2)。(9.3.4)(9.3.5)(9.3.6)

1.

DF檢驗

為說明DF檢驗的使用，先考慮3種形式的回歸模型

106其中a是常數，t是線性趨勢函數，ut～i1)如果-1<

<1，則yt平穩（或趨勢平穩）。2)如果

=1，yt序列是非平穩序列。(9.3.4)式可寫成：顯然yt的差分序列是平穩的。3)如果

的絕對值大于1，序列發散，且其差分序列是非平穩的。1071)如果-1<<1，則yt平穩（或趨勢平穩因此，判斷一個序列是否平穩，可以通過檢驗

是否嚴格小于1來實現。也就是說：

原假設H0：

=1，備選假設H1：

<1(9.3.7)(9.3.8)(9.3.9)從方程兩邊同時減去yt-1得，108因此，判斷一個序列是否平穩，可以通過檢驗其中：

=

-1，所以原假設和備選假設可以改寫為

可以通過最小二乘法得到的估計值，并對其進行顯著性檢驗的方法，構造檢驗顯著性水平的t統計量。109其中：=-1，所以原假設和備選假設可以改寫為10但是，Dickey-Fuller研究了這個t統計量在原假設下已經不再服從t分布，它依賴于回歸的形式(是否引進了常數項和趨勢項)和樣本長度T

。Mackinnon進行了大規模的模擬，給出了不同回歸模型、不同樣本數以及不同顯著性水平下的臨界值。這樣，就可以根據需要，選擇適當的顯著性水平，通過t統計量來決定是否接受或拒絕原假設。這一檢驗被稱為Dickey-Fuller檢驗(DF檢驗)。

110但是，Dickey-Fuller

上面描述的單位根檢驗只有當序列為AR(1)時才有效。如果序列存在高階滯后相關，這就違背了擾動項是獨立同分布的假設。在這種情況下，可以使用增廣的DF檢驗方法（augmentedDickey-Fullertest）來檢驗含有高階序列相關的序列的單位根。111上面描述的單位根檢驗只有當序列為AR(1)時2.

ADF檢驗

ADF檢驗方法通過在回歸方程右邊加入因變量yt的滯后差分項來控制高階序列相關

(9.3.11)(9.3.12)(9.3.13)1122.ADF檢驗(9.3.11)(9.3.1擴展定義將檢驗

(9.3.14)

也就是說原假設為：原假設至少存在一個單位根；備選假設為：序列不存在單位根。序列yt可能還包含常數項和時間趨勢項。判斷的估計值是接受原假設或者接受備選假設，進而判斷一個高階自相關序列AR(p)過程是否存在單位根。113擴展定義將檢驗113

類似于DF檢驗，Mackinnon通過模擬也得出在不同回歸模型及不同樣本容量下檢驗不同顯著性水平的t統計量的臨界值。這使我們能夠很方便的在設定的顯著性水平下判斷高階自相關序列是否存在單位根。114類似于DF檢驗，Mackinno但是，在進行ADF檢驗時，必須注意以下兩個實際問題：

（1）必須為回歸定義合理的滯后階數。通常采用AIC準則來確定給定時間序列模型的滯后階數。在實際應用中，還需要兼顧其他的因素，如系統的穩定性、模型的擬合優度等。

115但是，在進行ADF檢驗時，必須注意以下兩個

（2）可以選擇常數和線性時間趨勢，選擇哪種形式很重要，因為檢驗顯著性水平的t統計量在原假設下的漸進分布依賴于關于這些項的定義。

①如果在檢驗回歸中含有常數，意味著所檢驗的序列的均值不為0，一個簡單易行的辦法是畫出檢驗序列的曲線圖，通過圖形觀察原序列是否在一個偏離0的位置隨機變動，進而決定是否在檢驗時添加常數項；116（2）可以選擇常數和線性時間趨勢，

②如果在檢驗回歸中含線性趨勢項，意味著原序列具有時間趨勢。同樣，決定是否在檢驗中添加時間趨勢項，也可以通過畫出原序列的曲線圖來觀察。如果圖形中大致顯示了被檢驗序列的波動趨勢隨時間變化而變化，那么便可以添加時間趨勢項。

117②如果在檢驗回歸中含線性趨勢項，意味著原序列具

EViews軟件中的操作說明：

雙擊序列名，打開序列窗口，選擇View/unitRootTest，得到下圖：

單位根檢驗窗口118EViews軟件中的操作說明：單位根檢驗窗口11進行單位根檢驗必須定義4項：1．選擇檢驗類型

在Testtype的下拉列表中，選擇檢驗方法。EViews5提供了6種單位根檢驗的方法：①AugmentedDickey-Fuller(ADF)Test②Phillips-Perron(PP)Test③Dickey-FullerGLSTest④Kwiatkowski,Phillips,SchmidtandShin(KPSS)Test⑤Elliot,Rothenberg,andStockPointOptimal(ERS)Test⑥NgandPerron(NP)Test119進行單位根檢驗必須定義4項：1192．選擇被檢驗序列的形式在Testforunitrootin中確定序列在水平值、一階差分、二階差分下進行單位根檢驗。可以使用這個選項決定序列中單位根的個數。如果檢驗水平值未拒絕，而在一階差分拒絕原假設，序列中含有一個單位根，是一階單整I(1)；如果一階差分后的序列仍然拒絕了原假設，則需要選擇2階差分。一般而言，一個序列經過兩