時間序列分析講義第一章時間序列分析概念第二章時間序列的預處理第三章平穩時間序列建模第四章時間序列分析實例-SAS應用目錄時間序列分析講義第一章時間序列分析概念第二章時間序列1第一章時間序列分析基本概念第一章時間序列分析基本概念2隨機序列:按時間順序排列的一組隨機變量觀察值序列:隨機序列的個有序觀察值，稱之為序列長度為的觀察值序列隨機序列和觀察值序列的關系觀察值序列是隨機序列的一個實現我們研究的目的是想揭示隨機時序的性質實現的手段都是通過觀察值序列的性質進行推斷1.1時間序列的定義

第一章時間序列分析基本概念隨機序列:按時間順序排列的一組隨機變量1.1時間序列的定義3時序圖1.1下面是幾個常見的時間序列觀察值序列的點圖：時序圖1.1下面是幾個常見的時間序列觀察值序列的點圖：4時序圖1.2德國業余天文學家施瓦爾發現太陽黑子的活動具有11年左右的周期時序圖1.2德國業余天文學家施瓦爾發現太陽黑子的活動具有115時序圖1.3時序圖1.36時序圖1.4時序圖1.47時序圖1.1，該時序有明顯的增長趨勢,不是平穩變化的；時序圖1.2，該時序變化平穩，但有明顯的周期特征；時序圖1.3，該時序變化平穩，無明顯的周期特征；但顯示各時刻序列值顯然毫無關聯，顯示白噪聲特點時序圖1.4，該時序變化平穩，無明顯的周期特征；無明顯白噪聲特點時序圖1.1，該時序有明顯的增長趨勢,不是平穩變化的；時序圖8時間序列數字特征就可以用量化的方法識別時間序列。時間序列分析方法，是根據時間序的不同特點，建立不同的模型。所以時間序列特征的識別很重要。用圖形一定程度上可以識別時間序列的特征，且很直觀；但是圖形識別不是量化的標準，往往不夠準確。因此一個量化的識別時間序列的特征的方法是必要的。時間序列數字特征就可以用量化的方法識別時間91.2時間序列的數字特征均值函數

方差函數自協方差函數自相關函數1.2時間序列的數字特征均值函數10時間序列的數字特征包含了時間序列的重要信息,時間序列分析方法正是通過對分析時間序列的數字特征，來分析時序的特性，并由此確定對于該序列建立什么樣的模型.我們根據時間序列的數字特征可以將時間序列分類：時間序列的數字特征包含了時間序列的重要信111.3隨機序列的幾種類型滿足如下條件的序列稱為平穩時間序列:注1：平穩時間序列的均值是常數,序列沒有有明顯的趨勢

時序圖1.2、1.3、1.4都符合是平穩序列特征時序圖1.1是非平穩序列注2：沒有周期性的平穩時間序列,一般有：即間隔時間很長時，則相關性趨弱。1.3隨機序列的幾種類型滿足如下條件的序列稱為平穩時間序列12滿足下列條件的隨機序列稱為白噪聲序列，也稱為純隨機序列：注1：白噪聲序列也是平穩時間序列中的特例.注2：由于白噪聲序列不同時刻的值相互獨立，那么這樣的序列數值不能對于將來進行推斷與預測，所以白噪聲是不能建立模型的。時序圖1.3符合白噪聲序列特征滿足下列條件的隨機序列稱為白噪聲序列，也稱為純隨機序列：注113若滿足時間序列滿足:稱該時間序列是周期為T的時間序列.注1：若時間序列是周期為T的時間序列,則其均值函數和自相關函數都是周期的,T為其周期。

時序圖1.2符合周期序列特征若滿足時間序列滿足:稱該時間序列是周期為T的時間序列.注14

實際中我們得不到一個時間序列的完整性信息，因此不能計算理論均值和自相關函數。但我們能獲取時間序列的一個樣本，因此我們需要根據樣本來計算樣本的均值和樣本自相關函數。實際中我們得不到一個時間序列的完整性信息，因此不能計算理15

1.4時間序列的樣本均值與樣本自相關函數

假設已經得到了時間序列的一段樣本觀察值，其中稱為樣本長度。時間序列的樣本均值：樣本自相關函數：其中：

后面，我們是通過樣本的數字特征對于時間序列進行識別和建模的。1.4時間序列的樣本均值與樣本自相關函數假設已經得到16時間序列分析常用軟件S-plus，Matlab，Gauss，TSP，Eviews和SAS推薦軟件——SAS在SAS系統中有一個專門進行計量經濟與時間序列分析的模塊：SAS/ETS。SAS/ETS編程語言簡潔，輸出功能強大，分析結果精確，是進行時間序列分析與預測的理想的軟件由于SAS系統具有全球一流的數據倉庫功能，因此在進行海量數據的時間序列分析時它具有其它統計軟件無可比擬的優勢

1.5時間序列分析軟件時間序列分析常用軟件1.5時間序列分析軟件17時間序列分析方法，是對非白噪聲且無周期性的的平穩時間序列直接建立模型的。1、做純隨機性檢驗，3、進行周期識別。若有周期，消除周期性。因此在建模之前需要做的預處理：若是純隨機性序列，終止建模。---得到非純隨機的無周期平穩時間序列數據，用于建模。2、對時間序列做平穩性檢驗，

若非平穩，需做平穩化處理。時間序列分析方法，是對非白噪聲且無周期性18第二章時間序列的預處理原假設：延遲期數不超過期的序列值之間相互獨立檢驗統計量

，則拒絕原假設，認為該序列為非出隨機序列，可以建模。認為序列為純隨機序列，，則接受原假設2.1純隨機性檢驗

終止建模第二章時間序列的預處理原假設：延遲期數不超過期的19例2.1：對于下面序列進行純隨機性檢驗樣本自相關圖例2.1：對于下面序列進行純隨機性檢驗樣本自相關圖20檢驗結果延遲統計量檢驗統計量值P值延遲6期2.360.8838延遲12期5.350.9454由于P值顯著大于顯著性水平，所以不能拒絕該序列純隨機的原假設。認為該序列是純隨機的，建模終止。檢驗結果延遲統計量檢驗統計量值P值延遲6期2.360.88321例2.2對1950年——1998年北京市城鄉居民定期儲蓄所占比例的純隨機性進行檢驗

例2.2時序圖例2.2對1950年——1998年北京市城鄉居民定期儲蓄所22例2.2白噪聲檢驗結果延遲階數LB統計量檢驗LB檢驗統計量的值P值675.46<0.00011282.57<0.0001由于P值顯著小于顯著性水平

，所以拒絕該序列為純隨機性的原假設。認為該序列不是純隨機的序列，可以建摸。例2.2白噪聲檢驗結果LB統計量檢驗LB檢驗統計量的值P值6232.4周期性檢驗時序圖形或值，觀察有無周期特征。如果一個時間序列周期為T，則做T步差分，周期性的消除辦法：可消除周期性。2.4周期性檢驗時序圖形或值，觀察有無周期特242.2平穩性的檢驗時序圖檢驗

根據平穩時間序列均值、方差為常數的性質，平穩序列的時序圖應該顯示出該序列始終在一個常數值附近隨機波動，而且波動的范圍有界、無明顯趨勢也可以通過值序列是否平穩有無趨勢，事實上，當不趨于0或不能很快地趨于0時，即可判斷非平穩（參看第3章，平穩的性質）。2.2平穩性的檢驗時序圖檢驗也可以通過值序25例題例2.3檢驗1964年—1999年中國紗年產量序列的平穩性例2.4檢驗1962年1月—1975年12月平均每頭奶牛月產奶量序列的平穩性例2.5檢驗1949年—1998年北京市每年最高氣溫序列的平穩性（以上原始數據略）例題例2.3檢驗1964年—1999年中國紗年產量序列的平穩26例2.3時序圖例2.3時序圖27例2.3自相關圖例2.3自相關圖28例2.4時序圖例2.4時序圖29例2.4

自相關圖例2.4自相關圖30例2.5時序圖例2.5時序圖31例2.5自相關圖例2.5自相關圖32例2.3時序為非平穩的，有趨勢；例2.4時序非平穩性，有趨勢例2.5時序是一個平穩的例2.3時序為非平穩的，有趨勢；33非平穩性序列的平穩化對于一個非平穩時間序列，若存在一階趨勢，則用一階差分可變平穩：若存在二階趨勢，則用二階差分可變平穩：一階差分二階差分非平穩性序列的平穩化對于一個非平穩時間序列，若存34若引入延遲算子B，定義：這樣差分運算可以用延遲算子表示：注：延遲算子B具有線性運算。P階差分：K步差分算子：一階差分算子：若引入延遲算子B，定義：這樣差分運算可以用延遲算子表示：注：35第三章平穩時間序列建模3.1平穩時間序列的模型一個無周期，非白噪聲的平穩時間序列的一般可以建立如下模型：這個模型稱為P階自回歸q階移動平均的模型，也稱ARMA模型，簡記第三章平穩時間序列建模3.1平穩時間序列的模型一個無周36特別：稱為P階自回歸模型，也稱AR模型，簡記稱為q階移動平均模型，也稱MA模型，簡記特別：稱為P階自回歸模型，也稱AR模型，簡記稱為q階移動平均37利用延遲算子B：模型可以簡記為：其中為均值，且有分別稱為P階自回歸因子和q階移動平均因子或簡記為：利用延遲算子B：模型可以簡記為：其中為均值，且有分別稱38偏自相關函數定義對于平穩AR(p)序列，所謂滯后k偏自相關函數就是指在給定中間k-1個隨機變量的條件下，或者說，在剔除了中間k-1個隨機變量的干擾之后，對影響的相關度量，滯后k偏自相關函數實際上就等于k階自回歸模型第個k回歸系數的值。3.2三種模型的性質為了進一步識別模型，還需要引入另外一個重要數字特征—偏相關函數。偏自相關函數定義滯后k偏自相關函數實際上就等于k階自回歸模型39滯后k偏自相關函數可由下式計算:

樣本偏自相關函數可由得到滯后k偏自相關函數可由下式計算:

樣本偏自相關函數40ARMA模型相關性特征模型自相關系數偏自相關系數AR(P)拖尾P階截尾MA(q)q階截尾拖尾ARMA(p,q)拖尾拖尾ARMA模型相關性特征模型自相關系數偏自相關系數AR(P)拖413.3ARMA模型的識別、定階因為由于樣本的隨機性，樣本的相關系數不會呈現出理論截尾的完美情況，本應截尾的或仍會呈現出小值振蕩的情況由于平穩時間序列通常都具有短期相關性，隨著延遲階數，與都會衰減至零值附近作小值波動當或在延遲若干階之后衰減為小值波動時，什么情況下該看作為相關系數截尾，什么情況下該看作為相關系數在延遲若干階之后正常衰減到零值附近作拖尾波動呢？

3.3ARMA模型的識別、定階因為由于樣本的隨機性，樣本的42定理，對于MA(q)模型，定理，對于AR(p)模型，定理，對于MA(q)模型，定理，對于AR(p)模型，43模型定階的經驗方法如果樣本(偏)自相關系數在最初的d階明顯大于兩倍標準差范圍，而后幾乎95％的自相關系數都落在2倍標準差的范圍以內，而且通常由非零自相關系數衰減為小值波動的過程非常突然。這時，通常視為(偏)自相關系數截尾。截尾階數為d。模型定階的經驗方法44序列自相關圖例3.1（例2.2續）選擇合適的模型ARMA擬合1950年——1998年北京市城鄉居民定期儲蓄比例序列。

序列自相關圖例3.1（例2.2續）選擇合適的模型ARM45序列偏自相關圖序列偏自相關圖46擬合模型識別：自相關圖顯示延遲3階之后，自相關系數全部衰減到2倍標準差范圍內波動，這表明序列明顯地短期相關。但序列由顯著非零的相關系數衰減為小值波動的過程相當連續，相當緩慢，該自相關系數可視為不截尾

偏自相關圖顯示除了延遲1階的偏自相關系數顯著大于2倍標準差之外，其它的偏自相關系數都在2倍標準差范圍內作小值隨機波動，而且由非零相關系數衰減為小值波動的過程非常突然，所以該偏自相關系數可視為一階截尾

所以可以考慮擬合模型為AR(1)擬合模型識別：自相關圖顯示延遲3階之后，自相關系數全部衰減到47例3.2

美國科羅拉多州某一加油站連續57天的OVERSHORT序列

序列圖例3.2美國科羅拉多州某一加油站連續57天的OVERS48序列自相關圖序列自相關圖49序列偏自相關圖序列偏自相關圖50擬合模型識別：自相關圖顯示除了延遲1階的自相關系數在2倍標準差范圍之外，其它階數的自相關系數都在2倍標準差范圍內波動。根據這個特點可以判斷該序列具有短期相關性，進一步確定序列平穩。同時，可以認為該序列自相關系數1階截尾偏自相關系數顯示出典型非截尾的性質。綜合該序列自相關系數和偏自相關系數的性質，為擬合模型定階為MA(1)

擬合模型識別：自相關圖顯示除了延遲1階的自相關系數在2倍標準51例3.31880-1985全球氣表平均溫度改變值差分序列

例3.31880-1985全球氣表平均溫度改變值差分序列52序列自相關圖序列自相關圖53序列偏自相關圖序列偏自相關圖54擬合模型識別：自相關系數顯示出不截尾的性質偏自相關系數也顯示出不截尾的性質綜合該序列自相關系數和偏自相關系數的性質，可以嘗試使用ARMA(1,1)、MA（1）模型擬合該序列擬合模型識別：自相關系數顯示出不截尾的性質55問題：當同一個序列有兩個模型都有效，或者幾個模型特征都不夠明確，那么到底該選擇哪個模型？

解決辦法確定適當的比較準則，構造適當的統計量，確定相對最優或者問題：當同一個序列有兩個模型都有效，或者幾個模型特征都不夠明56AIC統計量選擇標準：AIC越小越好AIC準則BIC統計量選擇標準：BIC越小越好BIC準則AIC統計量AIC準則BIC統計量BIC準則573.4ARMA模型的參數估計（略）3.4ARMA模型的參數估計（略）583.5模型的檢驗（1）模型的顯著性檢驗目的檢驗模型的有效性（對信息的提取是否充分）檢驗對象殘差序列判定原則一個好的擬合模型應該能夠提取觀察值序列中幾乎所有的樣本相關信息，即殘差序列應該為白噪聲序列

反之，如果殘差序列為非白噪聲序列，那就意味著殘差序列中還殘留著相關信息未被提取，這就說明擬合模型不夠有效3.5模型的檢驗（1）模型的顯著性檢驗目的59例3.4（例2.2續）檢驗1950年——1998年北京市城鄉居民定期儲蓄比例序列擬合模型的顯著性

殘差白噪聲序列檢驗結果延遲階數QLB統計量P值檢驗結論65.830.32291210.280.50501811.380.8361由于P值大于0.05，接受原假設，認為殘差為白噪聲，擬合模型顯著有效例3.4（例2.2續）檢驗1950年——1998年北京市城鄉60（2）參數顯著性檢驗目的檢驗每一個未知參數是否顯著非零。刪除不顯著參數使模型結構最精簡

假設條件檢驗統計量（2）參數顯著性檢驗目的61例3.5（續例3.2）對OVERSHORTS序列的擬合模型進行檢驗

殘差白噪聲檢驗結論：P值大于0.05，接受原假設，認為殘差為白噪聲，模型顯著有效參數顯著性檢驗檢驗參數t統計量P值結論均值－3.75<0.000410.60<0.0001延遲階數QLB統計量P值結論63.150.6772129.050.6171結論：P值小于0.05，拒絕原假設，認為各系數顯著非零，各系數顯著有效例3.5（續例3.2）對OVERSHORTS序列的擬合模型進623.6預測線性預測函數預測方差最小原則采用線性和方差最小原則3.6預測線性預測函數采用線性和方差最小原則63建模步驟時間序列圖計算樣本相關系數偏相關系數模型識別參數估計模型檢驗序列預測YN建模步驟時模型參數模型序YN64若為非周期平穩時間序列，則對其建立若經d階差分后，建立了模型；則稱對建立了模型。若周期為T,對經T步差分后，建立了模型，則稱對建立了季節模型。說明：模型；若為非周期平穩時間序列，則對其建65第4章ARIMA實例分析第4章ARIMA實例分析66例4-1：1867-1938年英國綿羊數量，預測1939-1943年綿羊數量？tx18672203186823601869225418702165187120241872207818732214187422921875220718762119……例4-1：1867-1938年英國綿羊數量，預測1939-167第一步：時序圖做平穩性的初步判定圖1時序圖建模步驟從圖1可以得到，該序列是不是明顯的平穩，稍有趨勢（可以考慮一階差分），但也可結合數字特征進一步判別。第一步：時序圖做平穩性的初步判定圖1時序圖建模步驟68第二步：白噪聲檢驗圖2序列白噪聲檢驗圖建立模型前先進行進行白噪聲檢驗。如圖5所示。QLB(6)、QLB(12)、QLB(18)的p均小于0.05，所以表明該序列不是白噪聲序列；可以建模。第二步：白噪聲檢驗圖2序列白噪聲檢驗圖建立模69第三步：平穩性識別及定階圖5差分后的序列白噪聲檢驗圖圖3自相關圖第三步：平穩性識別及定階圖5差分后的序列白噪聲檢驗圖圖3自相70圖4偏相關圖偏相關在3步之后小于3個標準差，可以認為截尾，所以選擇AR（3）圖4偏相關圖偏相關在3步之后小于3個標準差，可以認為截尾，所71第四步：模型參數估計及模型檢驗圖5顯示：各檢驗的P值小于0.05，所以各顯著有效。圖6顯示：殘差白噪聲檢驗的P值大于0.05，認為殘差不白噪聲，模型顯著有效。圖5模型參數檢驗圖圖6殘差白噪聲檢驗圖第四步：模型參數估計及模型檢驗圖5顯示：各檢驗的P值小于0.72擬合模型的形式：第五步：擬合模型的具體形式或：圖7擬合模型擬合模型的形式：第五步：擬合模型的具體形式或：圖7擬合模73第六步：預測我們預測5步：1939、1940、1941、1942、1943年綿羊數量。由于輸出的結果不是整數，我們可以將其四舍五入。圖8預測值第六步：預測我們預測5步：1939、194074（實線為預測值，虛線為置信系數95%的置信上下限）圖9擬合效果圖（實線為預測值，虛線為置信系數95%的置信上下限）圖9擬75dataexample1;/*建立數據*/inputtx;/*輸入變量t和x*/cards;/*告訴SAS，下面數數據*/1867 2203/*輸入t和x的數據*/1868 23601869 22541870 2165……..1938 1791;1.建立數據例4-1的SAS命令解讀dataexample1;/*建立數據*/1.建立數據例476procgplot;/*畫x和t的圖x是縱坐標，t是橫坐標*/plotx*t;symbol1C=blackI=joinV=dot;run;C：表示圖形的顏色，如C=black、red等；I：表示觀察值之間連線的方式，如jion（線性連接）、spline（光滑連接）V：表示觀察值的圖形，如dot（點）、star（星號）run：表示程序寫好，可以運行了。2.畫圖procgplot;/*畫x和t的圖x是縱坐標，t是橫坐77procarimadata=example1；identifyvar=x;run;procarimadata=example1：告訴SAS，下面對數據

集example1中的數據進行ARIMA建模；identifyvar=x；對于變量x某些重要的信息

進行識別。它會給出五方便的信息：

（1）變量的描述性統計

（2）樣本自相關圖（3）樣本偏自相關圖（4）樣本逆自相關圖（5）白噪聲檢驗

3.模型識別與定階procarimadata=example1；proc78procarimadata=example1；identifyvar=x;estimatep=3method=CLS；run;Estimate：告訴SAS下面是參數估計的設置

p=3：表示擬合AR(3)Method=CLS/ML/ULS：CLS是條件最小二乘法（默認）、ML是極大似然、ULS是最小二乘估計4.估計procarimadata=example1；Estim79procarimadata=example1;identifyvar=x;estimate3;forecastlead=5id=tout=results；run;Forecast：告訴SAS下面是預測的設置；Lead=5：表示預測5步；Id=t：表示身份標示；Out=results：標示將預測值存在數據集results中5.預測procarimadata=example1;Forec80procgplotdata=results；plotx*t=1forecast*t=2l95*t=3u95*t=3/overlay;symbol1c=blacki=noneV=star;symbol2c=redi=jointV=none;symbol3c=greeni=jointV=nonel=32;run;6.擬合效果圖Data=results：利用results數據集的變量畫圖；Forecast：預測值L95：下95%的值U95：上95%的值procgplotdata=results；6.擬合效果81例4-2有趨勢的ARIMA1.05-0.84-1.420.202.816.725.404.385.524.462.89-0.43-4.86-8.54-11.54-16.22-19.41-21.61-22.51-23.51-24.49-25.54-24.06-23.44-23.41-24.17-21.58-19.00-14.14-12.69-9.48-10.29-9.88-8.33-4.67-2.97-2.91-1.86-1.91-0.80對于下面時序數據建模并作5期預測。例4-2有趨勢的ARIMA1.05-0.84-1.482dataex4_2;inputx@@;t=_n_;cards;1.05-0.84-1.420.202.816.725.404.385.524.462.89-0.43-4.86-8.54-11.54-16.22-19.41-21.61-22.51-23.51-24.49-25.54-24.06-23.44-23.41-24.17-21.58-19.00-14.14-12.69-9.48-10.29-9.88-8.33-4.67-2.97-2.91-1.86-1.91-0.80;Run;分析步驟1：建立數據dataex4_2;分析步驟1：建立數據83proc

gplot

data=ex4_2;plot

x*t;symbol

v=starc=greeni=join;run;時序圖可以得到，該序列是不是明顯的平穩，稍有趨勢（可以考慮一階差分），但也可結合數字特征進一步判別。分析步驟2：圖形初步判別平穩性procgplotdata=ex4_2;時序圖可以得到84proc

arima;identify

var=x;run;分析步驟3：白噪聲檢驗、模型識別序列白噪聲檢驗顯示：，可以建模序列白噪聲檢驗圖procarima;分析步驟3：白噪聲檢驗、模型識別序列白85X的自相關函數圖X的自相關函數圖86X的偏相關函數圖初選模型MA（4），或AR（5）X的偏相關函數圖初選模型MA（4），或AR（5）87proc

arima;identify

var=xminic

p=(0:5)q=(0:5);run;分析步驟4：例用BIC幫助識別模型根據ＢＩＣ選擇為AR（5）模型模型的ＢＩＣprocarima;分析步驟4：例用BIC幫助識別模型根88擬合AR（5）estimate

P=5;estimateP=5noint;

run;

殘差白噪聲檢驗通過分析步驟5：模型參數估計及檢驗擬合AR（5）estimateP=5;殘差白噪聲檢驗通過89均值，2、3、4、5系數都檢驗都不顯著。均值，2、3、4、5系數都檢驗都不顯著。90再嘗試AR（1）estimate

P=1;estimateP=1；noint;

run;

殘差白噪聲檢驗不通過殘差白噪聲檢驗：再嘗試AR（1）estimateP=1;殘差白噪聲檢驗不91estimate

q=4;estimate

q=4noint;

run;

嘗試擬合ＭＡ（４）：沒有通過白噪聲檢驗，模型不通過。estimateq=4;嘗試擬合ＭＡ（４）：沒有通過白噪92data

ex4_2;input

x@@;dx=dif(x);t=_n_;cards;1.05-0.84-1.420.202.816.725.404.385.524.462.89-0.43-4.86-8.54-11.54-16.22-19.41-21.61-22.51-23.51-24.49-25.54-24.06-23.44-23.41-24.17-21.58-19.00-14.14-12.69-9.48-10.29-9.88-8.33-4.67-2.97-2.91-1.86-1.91-0.80;proc

gplotdata=ex4_2;plotx*tdx*t;symbol

v=starc=greeni=join;run;proc

arima;identify

var=x(1);run;分析步驟6：差分，重新識別模型dataex4_2;inputx@@;dx=dif(x)93一階差分序列的自相關圖一階差分序列的自相關圖94識別P=1，即為ARIMA（1，1，0）一階差分序列的偏相關圖識別P=1，即為ARIMA（1，1，0）一階差分序列的偏相關95時間序列分析講義96時間序列分析講義97時間序列分析講義98分析步驟7：參數估計及模型診斷proc

arimadata=ex4_2;identify

var=x(1);estimate

p=1;run;擬合ARIMA（1，1，0）模型：分析步驟7：參數估計及模型診斷procarimadat99殘差白噪聲檢驗通過均值參數不顯著殘差白噪聲檢驗通過均值參數不顯著100proc

arimadata=ex4_2;identify

var=x(1);estimate

p=1noint;run;擬合不帶常數項的ARIMA（1，1，0）模型：procarimadata=ex4_2;擬合不帶常數項的101參數及模型檢驗均通過，確定模型為ARIMA（1，1，0）參數及模型檢驗均通過，確定模型為ARIMA（1，1，0）102擬合模型為：即：或等價記為：擬合模型為：即：或等價記為：103步驟8：對時序做5期預測arimadata=ex4_2;identify

var=x(1);estimate

p=1noint;forecast

lead=5

id=t;run;5期預測結果：步驟8：對時序做5期預測arimadata=ex4_2;104data

ex4_2;inputx@@;dx=dif(x);t=_n_;cards;1.05-0.84-1.420.202.816.725.404.385.524.462.89-0.43-4.86-8.54-11.54-16.22-19.41-21.61-22.51-23.51-24.49-25.54-24.06-23.44-23.41-24.17-21.58-19.00-14.14-12.69-9.48-10.29-9.88-8.33-4.67-2.97-2.91-1.86-1.91-0.80;proc

gplotdata=ex4_2;plotx*tdx*t;symbol

v=starc=greeni=join;run;proc

arima;identify

var=x(1);estimate

p=1noint;forecast

lead=5

id=t;run;例4-2的完整程序：dataex4_2;例4-2的完整程序：105另附我找到的SAS教介紹的網址，不限于此，同學們需要時可以再搜素。

/view/ee1edbeae009581b6bd9eb5f.html/view/8d9c8acf5fbfc77da269b17e.htmlhttp:///view/264c78785acfa1c7aa00cc0c.html###http:///view/ddbf4c66caaedd3383c4d33b.html另附我找到的SAS教介紹的網址，不限于此，同學們需要時可以再106時間序列分析講義第一章時間序列分析概念第二章時間序列的預處理第三章平穩時間序列建模第四章時間序列分析實例-SAS應用目錄時間序列分析講義第一章時間序列分析概念第二章時間序列107第一章時間序列分析基本概念第一章時間序列分析基本概念108隨機序列:按時間順序排列的一組隨機變量觀察值序列:隨機序列的個有序觀察值，稱之為序列長度為的觀察值序列隨機序列和觀察值序列的關系觀察值序列是隨機序列的一個實現我們研究的目的是想揭示隨機時序的性質實現的手段都是通過觀察值序列的性質進行推斷1.1時間序列的定義

第一章時間序列分析基本概念隨機序列:按時間順序排列的一組隨機變量1.1時間序列的定義109時序圖1.1下面是幾個常見的時間序列觀察值序列的點圖：時序圖1.1下面是幾個常見的時間序列觀察值序列的點圖：110時序圖1.2德國業余天文學家施瓦爾發現太陽黑子的活動具有11年左右的周期時序圖1.2德國業余天文學家施瓦爾發現太陽黑子的活動具有11111時序圖1.3時序圖1.3112時序圖1.4時序圖1.4113時序圖1.1，該時序有明顯的增長趨勢,不是平穩變化的；時序圖1.2，該時序變化平穩，但有明顯的周期特征；時序圖1.3，該時序變化平穩，無明顯的周期特征；但顯示各時刻序列值顯然毫無關聯，顯示白噪聲特點時序圖1.4，該時序變化平穩，無明顯的周期特征；無明顯白噪聲特點時序圖1.1，該時序有明顯的增長趨勢,不是平穩變化的；時序圖114時間序列數字特征就可以用量化的方法識別時間序列。時間序列分析方法，是根據時間序的不同特點，建立不同的模型。所以時間序列特征的識別很重要。用圖形一定程度上可以識別時間序列的特征，且很直觀；但是圖形識別不是量化的標準，往往不夠準確。因此一個量化的識別時間序列的特征的方法是必要的。時間序列數字特征就可以用量化的方法識別時間1151.2時間序列的數字特征均值函數

方差函數自協方差函數自相關函數1.2時間序列的數字特征均值函數116時間序列的數字特征包含了時間序列的重要信息,時間序列分析方法正是通過對分析時間序列的數字特征，來分析時序的特性，并由此確定對于該序列建立什么樣的模型.我們根據時間序列的數字特征可以將時間序列分類：時間序列的數字特征包含了時間序列的重要信1171.3隨機序列的幾種類型滿足如下條件的序列稱為平穩時間序列:注1：平穩時間序列的均值是常數,序列沒有有明顯的趨勢

時序圖1.2、1.3、1.4都符合是平穩序列特征時序圖1.1是非平穩序列注2：沒有周期性的平穩時間序列,一般有：即間隔時間很長時，則相關性趨弱。1.3隨機序列的幾種類型滿足如下條件的序列稱為平穩時間序列118滿足下列條件的隨機序列稱為白噪聲序列，也稱為純隨機序列：注1：白噪聲序列也是平穩時間序列中的特例.注2：由于白噪聲序列不同時刻的值相互獨立，那么這樣的序列數值不能對于將來進行推斷與預測，所以白噪聲是不能建立模型的。時序圖1.3符合白噪聲序列特征滿足下列條件的隨機序列稱為白噪聲序列，也稱為純隨機序列：注1119若滿足時間序列滿足:稱該時間序列是周期為T的時間序列.注1：若時間序列是周期為T的時間序列,則其均值函數和自相關函數都是周期的,T為其周期。

時序圖1.2符合周期序列特征若滿足時間序列滿足:稱該時間序列是周期為T的時間序列.注120

實際中我們得不到一個時間序列的完整性信息，因此不能計算理論均值和自相關函數。但我們能獲取時間序列的一個樣本，因此我們需要根據樣本來計算樣本的均值和樣本自相關函數。實際中我們得不到一個時間序列的完整性信息，因此不能計算理121

1.4時間序列的樣本均值與樣本自相關函數

假設已經得到了時間序列的一段樣本觀察值，其中稱為樣本長度。時間序列的樣本均值：樣本自相關函數：其中：

后面，我們是通過樣本的數字特征對于時間序列進行識別和建模的。1.4時間序列的樣本均值與樣本自相關函數假設已經得到122時間序列分析常用軟件S-plus，Matlab，Gauss，TSP，Eviews和SAS推薦軟件——SAS在SAS系統中有一個專門進行計量經濟與時間序列分析的模塊：SAS/ETS。SAS/ETS編程語言簡潔，輸出功能強大，分析結果精確，是進行時間序列分析與預測的理想的軟件由于SAS系統具有全球一流的數據倉庫功能，因此在進行海量數據的時間序列分析時它具有其它統計軟件無可比擬的優勢

1.5時間序列分析軟件時間序列分析常用軟件1.5時間序列分析軟件123時間序列分析方法，是對非白噪聲且無周期性的的平穩時間序列直接建立模型的。1、做純隨機性檢驗，3、進行周期識別。若有周期，消除周期性。因此在建模之前需要做的預處理：若是純隨機性序列，終止建模。---得到非純隨機的無周期平穩時間序列數據，用于建模。2、對時間序列做平穩性檢驗，

若非平穩，需做平穩化處理。時間序列分析方法，是對非白噪聲且無周期性124第二章時間序列的預處理原假設：延遲期數不超過期的序列值之間相互獨立檢驗統計量

，則拒絕原假設，認為該序列為非出隨機序列，可以建模。認為序列為純隨機序列，，則接受原假設2.1純隨機性檢驗

終止建模第二章時間序列的預處理原假設：延遲期數不超過期的125例2.1：對于下面序列進行純隨機性檢驗樣本自相關圖例2.1：對于下面序列進行純隨機性檢驗樣本自相關圖126檢驗結果延遲統計量檢驗統計量值P值延遲6期2.360.8838延遲12期5.350.9454由于P值顯著大于顯著性水平，所以不能拒絕該序列純隨機的原假設。認為該序列是純隨機的，建模終止。檢驗結果延遲統計量檢驗統計量值P值延遲6期2.360.883127例2.2對1950年——1998年北京市城鄉居民定期儲蓄所占比例的純隨機性進行檢驗

例2.2時序圖例2.2對1950年——1998年北京市城鄉居民定期儲蓄所128例2.2白噪聲檢驗結果延遲階數LB統計量檢驗LB檢驗統計量的值P值675.46<0.00011282.57<0.0001由于P值顯著小于顯著性水平

，所以拒絕該序列為純隨機性的原假設。認為該序列不是純隨機的序列，可以建摸。例2.2白噪聲檢驗結果LB統計量檢驗LB檢驗統計量的值P值61292.4周期性檢驗時序圖形或值，觀察有無周期特征。如果一個時間序列周期為T，則做T步差分，周期性的消除辦法：可消除周期性。2.4周期性檢驗時序圖形或值，觀察有無周期特1302.2平穩性的檢驗時序圖檢驗

根據平穩時間序列均值、方差為常數的性質，平穩序列的時序圖應該顯示出該序列始終在一個常數值附近隨機波動，而且波動的范圍有界、無明顯趨勢也可以通過值序列是否平穩有無趨勢，事實上，當不趨于0或不能很快地趨于0時，即可判斷非平穩（參看第3章，平穩的性質）。2.2平穩性的檢驗時序圖檢驗也可以通過值序131例題例2.3檢驗1964年—1999年中國紗年產量序列的平穩性例2.4檢驗1962年1月—1975年12月平均每頭奶牛月產奶量序列的平穩性例2.5檢驗1949年—1998年北京市每年最高氣溫序列的平穩性（以上原始數據略）例題例2.3檢驗1964年—1999年中國紗年產量序列的平穩132例2.3時序圖例2.3時序圖133例2.3自相關圖例2.3自相關圖134例2.4時序圖例2.4時序圖135例2.4

自相關圖例2.4自相關圖136例2.5時序圖例2.5時序圖137例2.5自相關圖例2.5自相關圖138例2.3時序為非平穩的，有趨勢；例2.4時序非平穩性，有趨勢例2.5時序是一個平穩的例2.3時序為非平穩的，有趨勢；139非平穩性序列的平穩化對于一個非平穩時間序列，若存在一階趨勢，則用一階差分可變平穩：若存在二階趨勢，則用二階差分可變平穩：一階差分二階差分非平穩性序列的平穩化對于一個非平穩時間序列，若存140若引入延遲算子B，定義：這樣差分運算可以用延遲算子表示：注：延遲算子B具有線性運算。P階差分：K步差分算子：一階差分算子：若引入延遲算子B，定義：這樣差分運算可以用延遲算子表示：注：141第三章平穩時間序列建模3.1平穩時間序列的模型一個無周期，非白噪聲的平穩時間序列的一般可以建立如下模型：這個模型稱為P階自回歸q階移動平均的模型，也稱ARMA模型，簡記第三章平穩時間序列建模3.1平穩時間序列的模型一個無周142特別：稱為P階自回歸模型，也稱AR模型，簡記稱為q階移動平均模型，也稱MA模型，簡記特別：稱為P階自回歸模型，也稱AR模型，簡記稱為q階移動平均143利用延遲算子B：模型可以簡記為：其中為均值，且有分別稱為P階自回歸因子和q階移動平均因子或簡記為：利用延遲算子B：模型可以簡記為：其中為均值，且有分別稱144偏自相關函數定義對于平穩AR(p)序列，所謂滯后k偏自相關函數就是指在給定中間k-1個隨機變量的條件下，或者說，在剔除了中間k-1個隨機變量的干擾之后，對影響的相關度量，滯后k偏自相關函數實際上就等于k階自回歸模型第個k回歸系數的值。3.2三種模型的性質為了進一步識別模型，還需要引入另外一個重要數字特征—偏相關函數。偏自相關函數定義滯后k偏自相關函數實際上就等于k階自回歸模型145滯后k偏自相關函數可由下式計算:

樣本偏自相關函數可由得到滯后k偏自相關函數可由下式計算:

樣本偏自相關函數146ARMA模型相關性特征模型自相關系數偏自相關系數AR(P)拖尾P階截尾MA(q)q階截尾拖尾ARMA(p,q)拖尾拖尾ARMA模型相關性特征模型自相關系數偏自相關系數AR(P)拖1473.3ARMA模型的識別、定階因為由于樣本的隨機性，樣本的相關系數不會呈現出理論截尾的完美情況，本應截尾的或仍會呈現出小值振蕩的情況由于平穩時間序列通常都具有短期相關性，隨著延遲階數，與都會衰減至零值附近作小值波動當或在延遲若干階之后衰減為小值波動時，什么情況下該看作為相關系數截尾，什么情況下該看作為相關系數在延遲若干階之后正常衰減到零值附近作拖尾波動呢？

3.3ARMA模型的識別、定階因為由于樣本的隨機性，樣本的148定理，對于MA(q)模型，定理，對于AR(p)模型，定理，對于MA(q)模型，定理，對于AR(p)模型，149模型定階的經驗方法如果樣本(偏)自相關系數在最初的d階明顯大于兩倍標準差范圍，而后幾乎95％的自相關系數都落在2倍標準差的范圍以內，而且通常由非零自相關系數衰減為小值波動的過程非常突然。這時，通常視為(偏)自相關系數截尾。截尾階數為d。模型定階的經驗方法150序列自相關圖例3.1（例2.2續）選擇合適的模型ARMA擬合1950年——1998年北京市城鄉居民定期儲蓄比例序列。

序列自相關圖例3.1（例2.2續）選擇合適的模型ARM151序列偏自相關圖序列偏自相關圖152擬合模型識別：自相關圖顯示延遲3階之后，自相關系數全部衰減到2倍標準差范圍內波動，這表明序列明顯地短期相關。但序列由顯著非零的相關系數衰減為小值波動的過程相當連續，相當緩慢，該自相關系數可視為不截尾

偏自相關圖顯示除了延遲1階的偏自相關系數顯著大于2倍標準差之外，其它的偏自相關系數都在2倍標準差范圍內作小值隨機波動，而且由非零相關系數衰減為小值波動的過程非常突然，所以該偏自相關系數可視為一階截尾

所以可以考慮擬合模型為AR(1)擬合模型識別：自相關圖顯示延遲3階之后，自相關系數全部衰減到153例3.2

美國科羅拉多州某一加油站連續57天的OVERSHORT序列

序列圖例3.2美國科羅拉多州某一加油站連續57天的OVERS154序列自相關圖序列自相關圖155序列偏自相關圖序列偏自相關圖156擬合模型識別：自相關圖顯示除了延遲1階的自相關系數在2倍標準差范圍之外，其它階數的自相關系數都在2倍標準差范圍內波動。根據這個特點可以判斷該序列具有短期相關性，進一步確定序列平穩。同時，可以認為該序列自相關系數1階截尾偏自相關系數顯示出典型非截尾的性質。綜合該序列自相關系數和偏自相關系數的性質，為擬合模型定階為MA(1)

擬合模型識別：自相關圖顯示除了延遲1階的自相關系數在2倍標準157例3.31880-1985全球氣表平均溫度改變值差分序列

例3.31880-1985全球氣表平均溫度改變值差分序列158序列自相關圖序列自相關圖159序列偏自相關圖序列偏自相關圖160擬合模型識別：自相關系數顯示出不截尾的性質偏自相關系數也顯示出不截尾的性質綜合該序列自相關系數和偏自相關系數的性質，可以嘗試使用ARMA(1,1)、MA（1）模型擬合該序列擬合模型識別：自相關系數顯示出不截尾的性質161問題：當同一個序列有兩個模型都有效，或者幾個模型特征都不夠明確，那么到底該選擇哪個模型？

解決辦法確定適當的比較準則，構造適當的統計量，確定相對最優或者問題：當同一個序列有兩個模型都有效，或者幾個模型特征都不夠明162AIC統計量選擇標準：AIC越小越好AIC準則BIC統計量選擇標準：BIC越小越好BIC準則AIC統計量AIC準則BIC統計量BIC準則1633.4ARMA模型的參數估計（略）3.4ARMA模型的參數估計（略）1643.5模型的檢驗（1）模型的顯著性檢驗目的檢驗模型的有效性（對信息的提取是否充分）檢驗對象殘差序列判定原則一個好的擬合模型應該能夠提取觀察值序列中幾乎所有的樣本相關信息，即殘差序列應該為白噪聲序列

反之，如果殘差序列為非白噪聲序列，那就意味著殘差序列中還殘留著相關信息未被提取，這就說明擬合模型不夠有效3.5模型的檢驗（1）模型的顯著性檢驗目的165例3.4（例2.2續）檢驗1950年——1998年北京市城鄉居民定期儲蓄比例序列擬合模型的顯著性

殘差白噪聲序列檢驗結果延遲階數QLB統計量P值檢驗結論65.830.32291210.280.50501811.380.8361由于P值大于0.05，接受原假設，認為殘差為白噪聲，擬合模型顯著有效例3.4（例2.2續）檢驗1950年——1998年北京市城鄉166（2）參數顯著性檢驗目的檢驗每一個未知參數是否顯著非零。刪除不顯著參數使模型結構最精簡

假設條件檢驗統計量（2）參數顯著性檢驗目的167例3.5（續例3.2）對OVERSHORTS序列的擬合模型進行檢驗

殘差白噪聲檢驗結論：P值大于0.05，接受原假設，認為殘差為白噪聲，模型顯著有效參數顯著性檢驗檢驗參數t統計量P值結論均值－3.75<0.000410.60<0.0001延遲階數QLB統計量P值結論63.150.6772129.050.6171結論：P值小于0.05，拒絕原假設，認為各系數顯著非零，各系數顯著有效例3.5（續例3.2）對OVERSHORTS序列的擬合模型進1683.6預測線性預測函數預測方差最小原則采用線性和方差最小原則3.6預測線性預測函數采用線性和方差最小原則169建模步驟時間序列圖計算樣本相關系數偏相關系數模型識別參數估計模型檢驗序列預測YN建模步驟時模型參數模型序YN170若為非周期平穩時間序列，則對其建立若經d階差分后，建立了模型；則稱對建立了模型。若周期為T,對經T步差分后，建立了模型，則稱對建立了季節模型。說明：模型；若為非周期平穩時間序列，則對其建171第4章ARIMA實例分析第4章ARIMA實例分析172例4-1：1867-1938年英國綿羊數量，預測1939-1943年綿羊數量？tx18672203186823601869225418702165187120241872207818732214187422921875220718762119……例4-1：1867-1938年英國綿羊數量，預測1939-1173第一步：時序圖做平穩性的初步判定圖1時序圖建模步驟從圖1可以得到，該序列是不是明顯的平穩，稍有趨勢（可以考慮一階差分），但也可結合數字特征進一步判別。第一步：時序圖做平穩性的初步判定圖1時序圖建模步驟174第二步：白噪聲檢驗圖2序列白噪聲檢驗圖建立模型前先進行進行白噪聲檢驗。如圖5所示。QLB(6)、QLB(12)、QLB(18)的p均小于0.05，所以表明該序列不是白噪聲序列；可以建模。第二步：白噪聲檢驗圖2序列白噪聲檢驗圖建立模175第三步：平穩性識別及定階圖5差分后的序列白噪聲檢驗圖圖3自相關圖第三步：平穩性識別及定階圖5差分后的序列白噪聲檢驗圖圖3自相176圖4偏相關圖偏相關在3步之后小于3個標準差，可以認為截尾，所以選擇AR（3）圖4偏相關圖偏相關在3步之后小于3個標準差，可以認為截尾，所177第四步：模型參數估計及模型檢驗圖5顯示：各檢驗的P值小于0.05，所以各顯著有效。圖6顯示：殘差白噪聲檢驗的P值大于0.05，認為殘差不白噪聲，模型顯著有效。圖5模型參數檢驗圖圖6殘差白噪聲檢驗圖第四步：模型參數估計及模型檢驗圖5顯示：各檢驗的P值小于0.178擬合模型的形式：第五步：擬合模型的具體形式或：圖7擬合模型擬合模型的形式：第五步：擬合模型的具體形式或：圖7擬合模179第六步：預測我們預測5步：1939、1940、1941、1942、1943年綿羊數量。由于輸出的結果不是整數，我們可以將其四舍五入。圖8預測值第六步：預測我們預測5步：1939、1940180（實線為預測值，虛線為置信系數95%的置信上下限）圖9擬合效果圖（實線為預測值，虛線為置信系數95%的置信上下限）圖9擬181dataexample1;/*建立數據*/inputtx;/*輸入變量t和x*/cards;/*告訴SAS，下面數數據*/1867 2203/*輸入t和x的數據*/1868 23601869 22541870 2165……..1938 1791;1.建立數據例4-1的SAS命令解讀dataexample1;/*建立數據*/1.建立數據例4182procgplot;/*畫x和t的圖x是縱坐標，t是橫坐標*/plotx*t;symbol1C=blackI=joinV=dot;run;C：表示圖形的顏色，如C=black、red等；I：表示觀察值之間連線的方式，如jion（線性連接）、spline（光滑連接）V：表示觀察值的圖形，如dot（點）、star（星號）run：表示程序寫好，可以運行了。2.畫圖procgplot;/*畫x和t的圖x是縱坐標，t是橫坐183procarimadata=example1；identifyvar=x;run;procarimadata=example1：告訴SAS，下面對數據

集example1中的數據進行ARIMA建模；identifyvar=x；對于變量x某些重要的信息

進行識別。它會給出五方便的信息：

（1）變量的描述性統計

（2）樣本自相關圖（3）樣本偏自相關圖（4）樣本逆自相關圖（5）白噪聲檢驗

3.模型識別與定階procarimadata=example1；proc184procarimadata=example1；identifyvar=x;estimatep=3method=CLS；run;Estimate：告訴SAS下面是參數估計的設置

p=3：表示擬合AR(3)Method=CLS/ML/ULS：CLS是條件最小二乘法（默認）、ML是極大似然、ULS是最小二乘估計4.估計procarimadata=example1；Estim185procarimadata=example1;identifyvar=x;estimate3;forecastlead=5id=tout=results；run;Forecast：告訴SAS下面是預測的設置；Lead=5：表示預測5步；Id=t：表示身份標示；Out=results：標示將預測值存在數據集results中5.預測procarimadata=example1;Forec186procgplotdata=results；plotx*t=1forecast*t=2l95*t=3u95*t=3/overlay;symbol1c=blacki=noneV=star;symbol2c=redi=jointV=none;symbol3c=greeni=jointV=nonel=32;run;6.擬合效果圖Data=results：利用results數據集的變量畫圖；Forecast：預測值L95：下95%的值U95：上95%的值procgplotdata=results；6.擬合效果187例4-2有趨勢的ARIMA1.05-0.84-1.420.202.816.725.404.385.524.462.89-0.43-4.86-8.54-11.54-16.22-19.41-21.61-22.51-23.51-24.49-25.54-24.06-23.44-23.41-24.17-21.58-19.00-14.14-12.69-9.48-10.29-9.88-8.33-4.67-2.97-2.91-1.86-1.91-0.80對于下面時序數據建模并作5期預測。例4-2有趨勢的ARIMA1.05-0.84-1.4188dataex4_2;inputx@@;t=_n_;cards;1.05-0.84-1.420.202.816.725.404.385.524.462.89-0.43-4.86-8.54-11.54-16.22-19.41-21.61-22.51-23.51-24.49-25.54-24.06-23.44-23.41-24.17-21.58-19.00-14.14-12.69-9.48-10.29-9.88-8.33-4.67-2.97-2.91-1.86-1.91-0.80;Run;分析步驟1：建立數據dataex4_2;分析步驟1：建立數據189proc

gplot

data=ex4_2;plot

x*t;symbol

v=starc=greeni=join;run;時序圖可以得到，該序列是不是明顯的平穩，稍有趨勢（可以考慮一階差分），但也可結合數字特征進一步判別。分析步驟2：圖形初步判