2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之軌跡（2021年11月）一.選擇題（共9小題）1.（2021?金鳳區(qū)二模）如圖，一塊含有30°角的直角三角板ABC,在水平桌面上繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)到A5C的位置，若AC=15cm,那么頂點A從開始到結(jié)束所經(jīng)過的路徑長為（ ）A.1OncTn B.5ncm C.15ncm D.（2021?鼓樓區(qū)一模）如圖，把直徑為60cm的圓形車輪（。0）在水平地面上沿直線/無滑動地滾動一周，設(shè)初始位置的最低點為P,則下列說法錯誤的是（ ）A.當(dāng)點P離地面最高時，圓心。運動的路徑的長為30m7”B.當(dāng)點尸再次回到最低點時，圓心。運動的路徑的長為60ncvnC.當(dāng)點P第一次到達距離地面15cm的高度時，圓心O運動的路徑的長為75ncmD.當(dāng)點P第二次到達距離地面30a”的高度時，圓心。運動的路徑的長為45ircm（2021?瀘縣模擬）如圖，已知Rt/XABC中，N4BC=90°,ZBAC=30°,BC=2,將△ABC繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn)至△4FC的位置，且A、C、8三點在同一條直線上，則點A經(jīng)過的路線的長度是（ ）B'

B'TOC\o"1-5"\h\zA.8 B.4J3 C.絲n D.3 3（2021?鞍山二模）如圖，拋物線y=-/-右+3與》軸交于4,C兩點，與y軸交于點B,點P為拋物線上一動點，過點P作PQ〃4B交y軸于Q,若點P從點A出發(fā)，沿著直線AB上方拋物線運動到點B,則點Q經(jīng)過的路徑長為（ ）A.S B.9 C.3 D.92 4 2（2021?長興縣模擬）如圖1是傳統(tǒng)的手工磨豆腐設(shè)備，根據(jù)它的原理設(shè)計了圖2的機械設(shè)備，磨盤半徑OM=20c/n,把手MQ=15c/n,點O,M,。在同一直線，用長為135cm的連桿將點Q與動力裝置P相連（NPQM大小可變）,點P在軌道AB上來回滑動并帶動磨盤繞點O轉(zhuǎn)動，OA_L4B,OA=SOcm.若磨盤轉(zhuǎn)動1周，則點P在軌道AB上滑過的路徑長為（ ）A.90cm B.150cm C.180cm D.lOncm（2021?洪山區(qū)校級模擬）如圖，OO的直徑AB=12,弦CO垂直平分半徑04,動點Af從點C出發(fā)在優(yōu)弧C8。上運動到點。停止，在點M整個運動過程中，線段AM的中點P的運動路徑長為（ ）A.3n4n57T6nA.3n4n57T6n（2021?永嘉縣校級模擬）圖1是傳統(tǒng)的手工磨豆腐設(shè)備，根據(jù)它的原理設(shè)計了圖2的機械設(shè)備，磨盤半徑0M=20c7〃，把手MQ=15c/n,點O,M,。成一直線，用長為135cm的連桿將點。與動力裝置P相連（NPQM大小可變），點P在軌道AB上滑動并帶動磨盤點。轉(zhuǎn)動，0ALA8,OA=80c/m.若磨盤轉(zhuǎn)動100周，則點P在軌道AB上滑動的路徑長為（ ）A.1A.180/77B.90mC.C.200〃?D.(107473■50)m8.（2021?海城市8.（2021?海城市模擬）如圖,。。的半徑為1,弦8cAB,BC在圓心O的兩側(cè)，求AC上有一動點。，AE_LBO于點E,當(dāng)點。從點C運動到點A時，則點E所經(jīng)過的路徑長為（ ）5 12經(jīng)過的路徑長為（ ）5 12 129.（2021?涕陽市一模）如圖，A（-1,1）,8（-1,4）,C（-5,4）,點尸是aABC邊上一動點，連接OP,以O(shè)P為斜邊在OP的右上方作直角三角形，其中NOQP=90°,NPOQ=30°,當(dāng)點尸在△ABC的三條邊上運動一周時，點Q運動的路徑長為（ ）

二.填空題（共7小題）（2021?清遠模擬）如圖，AB是OO的直徑，M、N是金（異于A、B）上兩點，C是余上一動點，NACB的角平分線交。。于點。，NBAC的平分線交CO于點E.當(dāng)點C從點M運動到點N時，則C、E兩點的運動路徑長的比是.D（2021春?東臺市月考）如圖，已知AB=12,點C,。在A8上，且AC=OB=2,點尸是線段C。上一動點，以AP、8P為斜邊在AB的同側(cè)畫等腰和等腰Rtz^PBF,點G是線段的中點，點尸由點C移動到點。時,EF的中點G移動的路徑長為.（2021?沙坪壩區(qū)校級開學(xué)）如圖，把一個含有30°角的直角三角板ABC繞直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)90°到△4B1C,已知BC=2,則在旋轉(zhuǎn)過程中點A經(jīng)過的路徑長為.A（2021?江都區(qū)模擬）如圖，拋物線丫二22-2一旦的圖象與坐標(biāo)軸交于點A,B,D,3 3 3頂點為E,以AB為直徑畫半圓交y軸正半軸交于點C,圓心為M,P是半圓上的一動點,連接EP,N是PE的中點.當(dāng)P沿半圓從點A運動至點B時，點N運動的路徑長是.（2021?江北區(qū)模擬）如圖，。。的半徑為\,弦AB=亞，AC=BC?點P為劣弧AC上一個動點，延長8P至點Q,使BP?BQ=AB2,當(dāng)點。由點A運動到點C時，點。的運動路徑長為.（2021?杭州模擬）如圖，。。的半徑為5,弦A8=6,弦4<7_1_弦8￡>,點P為C。的中點，若點。在圓上逆時針運動的路徑長為則點P運動的路徑長為3

（2021春?南涪區(qū)期末）如圖，已知有一張正方形紙片ABCD,邊長為9cm,點E,產(chǎn)分別在邊CD,AB±,CE=2cm.現(xiàn)將四邊形BCE/沿折疊，使點B,C分別落在點B,,C,上當(dāng)點6恰好落在邊AO上時，線段BF的長為c/n；在點尸從點B運動到點A的過程中，若邊FB與邊AD交于點G,則點G相應(yīng)運動的路徑長為cm.三.解答題（共4小題）（2021秋?婺城區(qū)校級月考）圖1是小李在健身器材上進行仰臥起坐鍛煉時情景.圖2是小李鍛煉時上半身由EN位置運動到與地面垂直的EM位置時的示意圖.已知BC=0.64米，40=0.24米，a=18".（參考數(shù)據(jù)：sin18°-0.31,cosl8°*0.95,tan18°g0.32）（1）求A8的長（精確到0.01米）；（2）若測得EN=0.8米，試計算小明頭頂由N點運動到M點的路徑弧MN的長度.（結(jié)果保留n） 圖1 圖2（2021?長沙模擬）如圖，已知在△ABC中，AC=5,BC=12,AB=13,點、E是邊AB上一動點，ERLAC于點F,EO_LBC于點。，點G為尸。的中點.

(1)求證：四邊形C￡>EF是矩形；(2)當(dāng)點E由點A運動到點B時，求點G的運動路徑長.(2021?金華模擬)桔棒俗稱“吊桿”“稱桿”，如圖1,是我國古代農(nóng)用工具，桔棒始見于(墨子?備城門)，是一種利用杠桿原理的取水機械.如圖2所示的是桔棒示意圖，OM是垂直于水平地面的支撐桿，48是杠桿，且A8=5.4米，OA：08=2：1.當(dāng)點4位于最高點時，ZAOM=\21°；當(dāng)點A從最高點逆時針旋轉(zhuǎn)54.5°到達最低點4.(結(jié)果精確到0.1m；參考數(shù)據(jù)：sin37°40.6,sin17.5°七0.3,tan37°-0.8)(1)求此時水桶8所經(jīng)過的路徑長；(2)求此時水桶8上升的高度.(2020秋?金寨縣期末)如圖，在平行四邊形488中，AB=2,BC=4,ZABC=120將平行四邊形繞點B順時針旋轉(zhuǎn)a(00<a<90")得到平行四邊形BEFG.(1)求點B到的距離；(2)當(dāng)點E落在AO邊上時，求點力經(jīng)過的路徑長.2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之軌跡（2021年11月）參考答案與試題解析選擇題（共9小題）（2021?金鳳區(qū)二模）如圖，一塊含有30°角的直角三角板ABC,在水平桌面上繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)到48C的位置，若AC=15cm,那么頂點A從開始到結(jié)束所經(jīng)過的路徑長為（ ）A.\0ncm B.5ucm C.15ncm D.20ncm【考點】含30度角的直角三角形；軌跡；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).【專題】計算題：動點型；應(yīng)用意識.【分析】利用互補計算出NACA'=120°,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到頂點A從開始到結(jié)束所經(jīng)過的路徑為以點C為圓心，CA為半徑，圓心角為120°的弧長，然后根據(jù)弧長公式計算.【解答】解：；/ACB=60°,AZACA'=1800-ZACB=120°,,頂點A從開始到結(jié)束所經(jīng)過的路徑長=12。?兀T5=]0n（ctn）.180故選：A.【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了弧長公式：解題的關(guān)鍵是理解題意，記住弧長公式/=史紅.180（2021?鼓樓區(qū)一模）如圖，把直徑為60c/n的圓形車輪（。。）在水平地面上沿直線/無滑動地滾動一周，設(shè)初始位置的最低點為尸，則下列說法錯誤的是（A.當(dāng)點P離地面最高時，圓心。運動的路徑的長為30nc,"B.當(dāng)點P再次回到最低點時，圓心。運動的路徑的長為60ncmC.當(dāng)點尸第一次到達距離地面15cm的高度時，圓心。運動的路徑的長為7.5wtmD.當(dāng)點P第二次到達距離地面30cm的高度時，圓心O運動的路徑的長為45ncm【考點】軌跡.【專題】與圓有關(guān)的計算；應(yīng)用意識.【分析】圓心。運動的路徑等于圓上的點滾動的距離，利用弧長公式即可得到答案.【解答】解：直徑為60tro的圓，周長為A、當(dāng)點尸離地面最高時，圓心。運動的路徑的長為60nX?=30n(on),故A不符360合題意；B、當(dāng)點P再次回到最低點時，圓心。運動的路徑的長即是圓的周長60ncm,故8不符合題意；C、當(dāng)點P第一次到達距離地面15cm的高度時，圓上的點滾動的距離是60°圓心角所對的弧長，即60nx型_=10n(cm),故C符合題意；360￡＞、當(dāng)點P第二次到達距離地面30c,”的高度時，圓上的點滾動的距離是270°圓心角所對的弧長，即60Ttx2Z9=45tt(cm),故。不符合題意.360故選：C.【點評】本題考查圓的弧長計算，理解圓心O運動的路徑等于圓上的點滾動的距離是解題的關(guān)鍵.(2021?瀘縣模擬)如圖，已知RtZ\ABC中，NABC=90°,ZBAC=30°,BC=2,將△ABC繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn)至△ABC的位置，且A、C、9三點在同一條直線上，則點A經(jīng)過的路線的長度是( )

A'A'A.8 B.4J3 C.絲n D.&ir3 3【考點】含30度角的直角三角形；軌跡；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).【專題】幾何圖形；推理能力.【分析】由旋轉(zhuǎn)可知，點A經(jīng)過的路線是弧長，計算出半徑和圓心角即可.【解答】解：RtZ\4BC中，NABC=90°,VZBAC=30°,BC=2,：.ZACB=60°,AC=2BC=4,???4、C、B,三點在同一條直線上，AZACA'=120°,由弧長公式可知：點A經(jīng)過的路線長度為：120XHX4J_180 3故選：D.【點評】本題是以直角三角形為背景的旋轉(zhuǎn)，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及弧長公式，求出半徑和圓心角是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4.（2021?鞍山二模）如圖，拋物線y=2x+3與x軸交于A,C兩點，與y軸交于點B,點P為拋物線上一動點，過點P作PQ〃48交y軸于Q,若點P從點A出發(fā)，沿著直線AB上方拋物線運動到點B,則點。經(jīng)過的路徑長為（ ）VaA.S B.9 C.3 D.92 4 2【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；拋物線與X軸的交點；軌跡.【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力.【分析】分別求出點A、8的坐標(biāo)，運用待定系數(shù)法求出直線AB,P。的解析式，再求出它們與x軸的交點坐標(biāo)即可解決問題.【解答】解：對于y--W-2x+3,令x=0,則y=3,：.B(0,3),令y=0,貝！Ix=-3或1,?點4在點C的左側(cè)，...A(-3,0),設(shè)AB所在直線解析式為y=kx+b,將A、8點代入得：卜3k+b=0,lb=3解得：0=1,b=3二直線AB的解析式為：y=x+3,?JPQ//AB,.,.設(shè)PQ的解析式為：y=x+a,,/點Q經(jīng)過的路徑長是直線PQ經(jīng)過拋物線的切點與)，軸的交點和點B的距離的2倍,方程-7-2x+3=x+a有兩個實數(shù)根，AA=9-4(a-3)=0,解得：a=21,4

：.Q(0,21),4當(dāng)點P與點A重合時，點。與點B重合時，此時點。的坐標(biāo)為(0,3),點。經(jīng)過的路徑長為2X(-^-3)=.1.故選：D.【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，拋物線與直線的交點問題，點。經(jīng)過的路徑長是直線尸。經(jīng)過拋物線的切點與y軸的交點和點B的距離的2倍是解題的關(guān)鍵.5.(2021?長興縣模擬)如圖1是傳統(tǒng)的手工磨豆腐設(shè)備，根據(jù)它的原理設(shè)計了圖2的機械設(shè)備，磨盤半徑OM=20cm,把手MQ=15c?n,點O,M,Q在同一直線，用長為135cm的連桿將點Q與動力裝置P相連(NPQM大小可變)，點P在軌道AB上來回滑動并帶動磨盤繞點。轉(zhuǎn)動，OALAB,OA=SOcm.若磨盤轉(zhuǎn)動1周，則點P在軌道AB上滑過的路徑長為( )D.7D.70nc/n【考點】軌跡；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).【專題】計算題；等腰三角形與直角三角形；運算能力；推理能力：應(yīng)用意識.【分析】連接OP,求出OP的取值范圍，再求出用的取值范圍，即可得結(jié)論.【解答】解：由題意可知OQ=OM+MQ=35c?n,PQ=135cm,當(dāng)Q、O、尸三點共線且Q在線段OP左上方延長線上時，OP取得最小值，此時OP=PQ-MQ-0M=135-15-20=100c/m；當(dāng)Q、0、尸三點共線且。在右下方線段OP上時，。尸取得最大值，此時OP=PQ+MQ+OM=135+15+20=170cm.：OAJ_AP,OA=80cw,①當(dāng)op=170c,”時，^=7oP2-OA2=V1702-802=I50(cm);②當(dāng)OP=100a”時，4尸=V]0()2.go2=60(cm).?.,每轉(zhuǎn)一周，AP從最小值到最大值再到最小值，二點P的運動路徑長為：（150-60）X2=18O（cm）.故選：C.【點評】本題考查點的運動軌跡，勾股定理，找出AP的最小值和最大值是解題的關(guān)鍵.（2021?洪山區(qū)校級模擬）如圖，的直徑AB=12,弦CO垂直平分半徑OA,動點M從點C出發(fā)在優(yōu)弧上運動到點O停止，在點M整個運動過程中，線段AM的中點P的運動路徑長為（ ）A.3n B.41T C.5n D.67r【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理；垂徑定理：軌跡.【專題】動點型；與圓有關(guān)的計算；推理能力.【分析】如圖，連接。C,設(shè)CO交AB于點E.首先證明在點M整個運動過程中，線段AM的中點P的運動軌跡是圖中紅線，利用弧長公式求解即可.【解答】解：如圖，連接OC,設(shè)C￡＞交AB于點￡垂直平分線段OA,：.CA=CO,'：OC=OA,；.AC=OC=OA,△AOC是等邊三角形,.".ZCA￡=60",

當(dāng)點M與C重合時，連接PE,OP,'：PA=PM,J.OPLAM,：.ZAPO=90°,'：AE=EO,.?."=』OA=3,2'：PE=AE=3,ZM￡=60",...△B4E是等邊三角形，...NAEP=60°,在點M整個運動過程中，線段AM的中點P的運動軌跡是圖中紅線，運動路徑的長=.240兀’3=如.180故選：B.【點評】本題考查軌跡，弧長公式，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找點尸的運動軌跡，屬于中考選擇題中的壓軸題.C.200m（2021?永嘉縣校級模擬）圖1是傳統(tǒng)的手工磨豆腐設(shè)備，根據(jù)它的原理設(shè)計了圖2的機械設(shè)備，磨盤半徑OM=20a",把手MQ=15c/n,點O,M,。成一直線，用長為135cm的連桿將點Q與動力裝置P相連（NPQM大小可變），點P在軌道48上滑動并帶動磨盤點。轉(zhuǎn)動，OALAB,OA=80cw.若磨盤轉(zhuǎn)動100周，則點尸在軌道AB上滑動的路徑長為（C.200mD.(IOa/473-50)m【考點】軌跡.【專題】動點型；解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力.【分析】連接0尸，求出OP的取值范圍.再求出用的取值范圍，可得結(jié)論.【解答】解：連接0P.圖2由題意OQ=35o〃，BQ=135cm,100cmWOPS170o〃，當(dāng)OP=170cm時，9：OA.LAP,OA=8(kvn,.?.AP=^Qp2_gA2=^17q2.802=15°(的)，當(dāng)OP=100c機時，AP=^^QQ2—gQ2—60(cm),???600〃<"<150皿???磨盤轉(zhuǎn)動100周，則點P在軌道AB上滑動的路徑長=100X2X(150-60)=18000(cm)=180(/n),故選：A.【點評】本題考查軌跡，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題.TOC\o"1-5"\h\z(2021?海城市模擬)如圖，。0的半徑為1,弦AB=亞,BC=g,AB,8C在圓心O的兩側(cè)，求京上有一動點。，AELBO于點E,當(dāng)點。從點C運動到點A時，則點E所經(jīng)過的路徑長為( )A.3n B.Sir C. D.5 12 12【考點】勾股定理：垂徑定理：軌跡.【專題】數(shù)形結(jié)合；推理能力.【分析】根據(jù)4ELB。于點E可知，點E在AB為直徑的圓上運動，然后由。的位置確定E的起點和終點，根據(jù)弧長公式進行計算即可.【解答】解：取AB的中點K,作AQLBC于。，作。GLBC于G,在RtZ\BOG中，NOGB=9Q°,'：OB=1,BG=-LBC=^,cosZOBG=OB2：.ZOBG=30°,同理NABO=45°,/.ZABQ=15°,'：AE±BD,...點E在以K為圓心，4K為半徑的圓上,當(dāng)。與C重合時，E與。重合，當(dāng)。與A重合時，E與4重合，...點E的運動路徑是弧A。，在Rtz^ABQ中，NABQ=75°,：.ZBAQ=\5°,；./AKQ=150°,故選：D.【點評】本題是圓形軌跡問題，根據(jù)定角所對的弦是定長，確定點的運動路徑是解題的關(guān)鍵，是一道綜合性較強的軌跡問題.(2021?漂陽市一模)如圖，A(-1,1),B(-1,4),C(-5,4),點P是4ABC邊上一動點，連接OP，以O(shè)P為斜邊在OP的右上方作直角三角形，其中NOQP=90°,NPOQ=30°,當(dāng)點尸在△ABC的三條邊上運動一周時，點Q運動的路徑長為( )A.4 B.6 C.4y D.673【考點】坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；含30度角的直角三角形；軌跡.【專題】動點型；解直角三角形及其應(yīng)用；幾何直觀.【分析】如圖，由題意，點P在△4BC的三條邊上運動一周時，點。運動的軌跡是4MGH.利用相似三角形的性質(zhì)求出MG,GH,即可解決問題.【解答】解：如圖，由題意，點P在△4BC的三條邊上運動一周時，點。運動的軌跡是△MG4.VA(-1,1),B(-1,4),C(-5,4),，AB=3,BC=4,AC=5,70M_=0G=V^.ZAOB=ZMOG,0AOB24AOBsAMOG,?MG=0M=V3??瓦0A~TOC\o"1-5"\h\z2 _ _ _同法可得，GH=?BC=2M，歷，=近4c=包巨，2 2 2.?.點Q運動的路徑長=2返+2?+殳應(yīng)=6?,2 2故選：D.【點評】本題考查軌跡，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找點Q的運動軌跡，屬于中考選擇題中的壓軸題.填空題（共7小題）（2021?清遠模擬）如圖，48是。。的直徑，M、N是窟（異于A、B）上兩點，C是詢上一動點，NAC8的角平分線交00于點O,NBAC的平分線交CO于點E.當(dāng)點C從點M運動到點N時，則C、E兩點的運動路徑長的比是D【考點】圓周角定理；軌跡.【專題】推理填空題；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運算能力：推理能力.【分析】連接EB,設(shè)。4=r,作等腰直角三角形AO8,AD=DB,乙4。8=90°,則點E在以O(shè)為圓心D4為半徑的弧上運動，運動軌跡是百，點C的運動軌跡是訕，由題意NMON=2NGDF,設(shè)NGOF=a,則NMON=2a,利用弧長公式計算即可解決問題.【解答】解：如圖，連接EB,設(shè)。4=r,,：AB是。。的直徑，.,.N4CB=90°,VZACB的角平分線交。。于點D,ZBAC的平分線交CD于點E.是△ACB的內(nèi)心，AZAEB=135°,作等腰直角三角形408,AD=DB,N4OB=90°,則點E在以D為圓心DA為半徑的弧上運動，運動軌跡是席，點C的運動軌跡是余，由題意NMON=2NGOF,設(shè)/GOF=a,則NM0N=2a,2ax7rXr...弧MN的長度：弧GF的長度=a*W如l=&?180故答案為：V2-【點評】本題考查了軌跡，圓周角定理，弧長公式，解決本題的關(guān)鍵是掌握與圓有關(guān)的性質(zhì).（2021春?東臺市月考）如圖，已知AB=12,點C,。在AB上，且AC=DB=2,點尸是線段C。上一動點，以AP、BP為斜邊在AB的同側(cè)畫等腰RtzMPE和等腰尸,點G是線段E尸的中點，點P由點C移動到點。時，E尸的中點G移動的路徑長為4.【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；軌跡.【專題】等腰三角形與直角三角形；多邊形與平行四邊形；推理能力：應(yīng)用意識.【分析】分別延長AE、BF交于點H,易證四邊形EPFH為平行四邊形.得出G為尸H中點，則G的軌跡為的中位線再求出CO的長，即可得到的長.【解答】解：分別延長AE、BF交于點H,?.?△APE和為等腰直角三角形，.../4=NB=NFP8=NEB4=45°,：.AH//PF,BH//PE,：.四邊形EPFH為平行四邊形.?JG為EF中點,...G也為"P的中點，即在P的運動過程中，G始終為尸，的中點，.,.點G的軌跡為△4CO的中位線MN,'：CD=AB-AC-BD=12-2-2=8.：.MN=4.故答案為：4.【點評】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形的中位線的性質(zhì)、動點軌跡問題，綜合性較強，關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的運用，屬于中考熱點題.（2021?沙坪壩區(qū)校級開學(xué)）如圖，把一個含有30°角的直角三角板A8C繞直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)90°到△4B1C,已知BC=2,則在旋轉(zhuǎn)過程中點A經(jīng)過的路徑長為【考點】含30度角的直角三角形；弧長的計算；軌跡；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).【專題】與圓有關(guān)的計算；解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力.【分析】利用直角三角形30°的性質(zhì)求出AB=4,再利用勾股定理求出C4,利用弧長公式求解即可.【解答】解：在RtZXACB中，VZACB=90°,ZA=30°,BC=2,."B=2BC=4,---AC=^ab2_bc2=^42_22=2V3>...點4經(jīng)過的路徑長一90兀?2?=心,180故答案為：5/加.【點評】本題考查直角三角形30°角的性質(zhì)，勾股定理，弧長公式等知識，解題的關(guān)鍵是記住弧長/=史紅.180（2021?江都區(qū)模擬）如圖，拋物線丫二號-多一星的圖象與坐標(biāo)軸交于點A,B,D,

3 3 3頂點為E,以A8為直徑畫半圓交y軸正半軸交于點C,圓心為M,P是半圓上的一動點,連接EP,N是尸E的中點.當(dāng)P沿半圓從點A運動至點B時，點N運動的路徑長是鼻.【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；拋物線與x軸的交點；軌跡.【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力.【分析】由二次函數(shù)關(guān)系式得出A,B,E的坐標(biāo)，得出E在。M上，從而得出得到N的運動路徑即可.【解答】解：連接ME、MP,,?v=1/-2 83 3 3(-2,0),B(4,0),E(1,-3),：.MA=MB=ME=3,在OM上，為PE的中點，ME=MP,:.MNLPE,.??N在以ME為直徑的半圓上運動，點N的運動路徑為：—X9TCX—=^-7T.2 22故答案為：37r.2【點評】本題以二次函數(shù)為背景考查了圓形路徑問題，通過計算發(fā)現(xiàn)E在圓上是解決問題的關(guān)鍵.(2021?江北區(qū)模擬)如圖，。。的半徑為1,弦48=亞，AC=BC,點尸為劣弧AC上一個動點，延長B尸至點。，使8P"QuAH,當(dāng)點P由點A運動到點C時，點。的運動路徑長為【考點】勾股定理；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系：圓周角定理；軌跡；相似三角形的判定與性質(zhì).【專題】與圓有關(guān)的計算；圖形的相似；推理能力.【分析】連接AC、AQ,由得出= 從而判斷出點。在線段AQ上運動，求出4Q的長即可.【解答】解：如圖，連接AC、AQ,'：BP-BQ=AB2,二BP二AB,,,市笆,:NB=NB,：*4BAPs?BQA,：.ZBPA=ZBAQ,...點Q在線段4Q上運動，當(dāng)點P與C重合時，??,AC=BC.：.AC=BC,：.AB=AQ,AB=\f2,:.AQ=&故答案為：V2.【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及圓心角、弧、弦的關(guān)系等知識,判斷出點。在線段AQ上運動是解題的關(guān)鍵.(2021?杭州模擬)如圖,。。的半徑為5,弦4B=6,弦AC,弦80,點P為CD的中點，若點。在圓上逆時針運動的路徑長為5m則點P運動的路徑長為it.3【考點】勾股定理；垂徑定理；軌跡.【專題】動點型：圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力.【分析】如圖，連接0A,OB,AD,OP,OD,過點。作O//_LA8于，.證明△OH4g△CPO(AAS),推出0P=A，=3,推出點P的運動軌跡是以。為圓心，0P為半徑的圓,求出點。旋轉(zhuǎn)的角度即可解決問題.【解答】解：如圖，連接04,OB,AD,OP,0D,過點。作于”.D：ACLBD,\ZDAC+ZADB=90a,：ZDOC=2ZDAC,ZAOB=2ZADB,,.ZDOC+ZAOS=180°,.*OH±AB,DP=PC,\OPLCD,AH=HB=1aB=3,2：OA=OB=OC=OD,ABOH,NCOP=ZDOP,ZAOH+ZCOP=90°,/ZAOH+ZOAH=90°,,.NC0P=N0AH,VZAHO=ZCPO=90a,OA=OC,.?.△OHA絲△CPO(A45),.,.OP=4H=3,...點P的運動軌跡是以。為圓心，OP為半徑的圓,?.?點。在圓上逆時針運動的路徑長為耳，設(shè)圓心角為〃,3?n?兀,5―54>?—―it,180 3，〃=60°,?：OD,OP的旋轉(zhuǎn)角度相等，...點p的運動路徑的長=婦匚3=m180故答案為：n.【點評】本題考查軌跡，垂徑定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，弧長公式等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.（2021春?南涪區(qū)期末）如圖，已知有一張正方形紙片A8CZ）,邊長為9cw,點E,尸分別在邊CC,AB±,CE=2cm.現(xiàn)將四邊形BCEF沿E尸折疊，使點B,C分別落在點B,,C,上當(dāng)點8恰好落在邊A3上時，線段8尸的長為5cm；在點尸從點B運動到點A的過程中，若邊FF與邊40交于點G,則點G相應(yīng)運動的路徑長為15-8x/2cm.匕：af0【考點】正方形的性質(zhì)；軌跡：翻折變換（折疊問題）.【專題】壓軸題；動點型；轉(zhuǎn)化思想；矩形菱形正方形；運算能力；推理能力；應(yīng)用意識.【分析】連接BE、BE,由翻折性質(zhì)得：BE=B'E,BF=B'F,在△BEC與△B7）E中，由勾股定理得BF=5cv?：連接EG,并作G關(guān)于EF的對稱點G,連接EG,由對稱性知，GE=GE,由點到直線垂線段最短知EG最小值為EH=9,從而￡>G最小值為_72=4V2-AG最大值為9-啦,再由于9恰好落在邊40上G、夕重合時，AG=4B，=3,故G點在AO上先向上再向下運動，即可得相應(yīng)運動的路徑長為9-4>/2-3+9-幺后=

15-8&.【解答】解：①當(dāng)點8恰好落在邊上時,如圖，連接BE、BE,DB'A由翻折性質(zhì)得：BE=BE,BF=BF,在△BEC與△B75E中，由勾股定理得：B￡2=CE^+BC2=DE^+BD2,?；BC=9cm,CE=2cm,DE=7cm,：?DB'=6cm,AB,=3cm,iSBF=xcm,則犬/二北m，AF=(9-x)cm,'：B'A2+AF2=S'F2,.\32+(9-x)2=7,解得：x=5,BF=5cm；②如圖，連接EG,并作G關(guān)于Ef的對稱點G,連接EG,由對稱性知，GE=GE,過點￡作E//_LAB于，，???點到直線垂線段最短，，EG,最小值為EH=9,；NB=NC=NEHB=90°,四邊形為矩形，：.EH=BC=9,；.EG最小值為9,'：DG2=EG2-ED2,.?.OG最小值為后二”=W2>.".AG最大值為9-442'由①知，點8"恰好落在邊A3上G、8,重合時，此時AG=AB'=3,...點G相應(yīng)運動的路徑長為9-4\/2-3+9-4>/2=15-872.故答案為：5cm,15-【點評】本題主要考查翻折變換，正方形的性質(zhì)，勾股定理知識，點到直線垂線段最短,解題的關(guān)鍵是作G關(guān)于E尸的對稱點G，，連接￡G,將GE轉(zhuǎn)化為G￡.三.解答題（共4小題）（2021秋?婺城區(qū)校級月考）圖1是小李在健身器材上進行仰臥起坐鍛煉時情景.圖2是小李鍛煉時上半身由EN位置運動到與地面垂直的EM位置時的示意圖.已知BC=0.64米，A￡）=0.24米，a=18".（參考數(shù)據(jù)：sin18°七0.31,cosl8°七0.95,tan18°^0.32）（1）求AB的長（精確到0.01米）；（2）若測得EN=0.8米，試計算小明頭頂由N點運動到M點的路徑弧的長度.（結(jié)果保留n） 圖1 圖2【考點】軌跡；解直角三角形的應(yīng)用.【專題】解直角三角形及其應(yīng)用：運算能力.【分析】（1）作AELBC于F,可得四邊形AOCf是矩形，從而得出8尸的長，再根據(jù)AB=BF+sinl8°計算即可；（2）由NNEM=108°,代入弧長公式即可.【解答】解：（1）作AF_LBC于F,C D：.NAFB=ZAFC=ZADC=90°,...四邊形ADC廠是矩形，：.FC=AD,：.BF=BC-CF=BC-AD^O.64-0.24=0.4（米），：.AB=BF-rsinlS°=0.44-0.31^1.29（米）的長為1.29米；?:NNEM=90°+18°=108°,弧長為108X°?8兀=048冗（米），180 ,，小明頭頂由N點運動到M點的路徑弧MN的長度為0.48n米.【點評】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定，弧長公式等知識，構(gòu)造所給銳角所在的直角三角形是解題的關(guān)鍵.（2021?長沙模擬）如圖，已知在△ABC中，AC=5,8c=12,AB=13,點E是邊A8上一動點，EFLAC于點尸，EDLBC于點D,點G為FD的中點.-（1）求證：四邊形CQEF是矩形；（2）當(dāng)點E由點A運動到點8時，求點G的運動路徑長.【考點】勾股定理：勾股定理的逆定理；矩形的判定與性質(zhì)；軌跡.【專題】矩形菱形正方形；推理能力.【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理得到NC=90°,根據(jù)矩形的判定定理證明結(jié)論；（2）連接CE,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到點G為CE的中點，根據(jù)三角形中位線定理解答即可.【解答】(1)證明：VAC=5,BC=12,AB=13,：.AC2+BC2=\69,3=169,：.AC1+BC2=AB2,/.ZC=90°,'：EFLAC,ED±BC,四邊形CQEF是矩形；(2)連接CE,???四邊形C￡>E尸是矩形，點G為F￡>的中點，...點G為CE的中點，...點G的運動路徑是△4BC的中位線，...點G的運動路徑長=」=48=6.5.2【點評】本題考查的是點的軌跡、勾股定理的逆定理、矩形的判定，掌握矩形的判定定理、點的軌跡的確定方法是解題的關(guān)鍵.(2021?金華模擬)桔梓俗稱“吊桿”“稱桿”，如圖1,是我國古代農(nóng)用工具，桔棒始見于(墨子?備城門)，是一種利用杠桿原理的取水機械.如圖2所示的是桔株示意圖，OM是垂直于水平地面的支撐桿，A8是杠桿，且AB=5.4米，04：OB=2：1.當(dāng)點A位于最高點時，ZAOM=\21°；當(dāng)點4從最高點逆時針旋轉(zhuǎn)54.5°到達最低點4.(結(jié)果精確到0.1m；參考數(shù)據(jù)：sin37°—0.6,sinl7.5°弋0.3,tan37°—0.8)(1)求此時水桶8所經(jīng)過的路徑長；(2)求此時水桶8上升的高度.【考點】軌跡；解宜角三角形的應(yīng)用.【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力.【分析】(1)根據(jù)水桶8所經(jīng)過的路徑為圓心角度數(shù)為54.5度，半徑為1.8米的弧長，代入計算即可；(2)過。作EF±OM,過B作BCLEF于C,過Bi作B\DLEF于。，在RtAOBC中和在RtaOBi。中，分別利用三角函數(shù)求出8c和81。的長即可.【解答】解：(1)；AB=5.4米，OA：08=2：1,二08=1.8米，二水桶B所經(jīng)過的路徑為圓心角度數(shù)為54.5度，半徑為1.8米的弧長，..〃=54.5X兀X1.8gsi.7(米)；180(2)過。作EF_L0M,過B作BCLEF于C,過Bi作BiZ)_LEF于￡),VZAOA/=127°,NEOM=90°,?\ZA0E=31°,：.ZBOC=ZAOE=31°,NB1OD=NA1OE=175°,,.?081=08=1.8（米），在RtZXOBC中，BC^sinZOCBX sin37°><08^0.6X1.8=1.08（米）,在RtZXOBi。中，fiiD=sinl7.5°X08i40.3X1.8=0.54（米），ABC+B\D=1.08+0.54^1.6（米），E圖2.?.此時水桶B上升的高度為1.6米.【點評】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，弧長公式等知識，讀懂題意，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.(2020秋?金寨縣期末)如圖，在平行四邊形A8CD中，AB=2,BC=4,ZABC=120°,將平行四邊形繞點B順時針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<90°)得到平行四邊形BErG.(1)求點B到4。的距離；(2)當(dāng)點E落在AO邊上時，求點。經(jīng)過的路徑長.G【考點】勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)；軌跡；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力.【分析】(1)過點8作。于H,在RtZ\AB“中，BH=sin600XAB代入計算即可:(2)連接8。，BF,點E落在AO邊上，可證aABE是等邊三角形，則a=60°,在Rt△BDH中,利用勾股定理求出BO的長，代入弧長公式計算即可.【解答】解：(1)如圖，過點8作于H,HG??四邊形ABCD是平行四邊形，：.AD//BCf：.ZA+ZABC=180°,ZABC=120°,ZA=60°,ZAHB=90°,.*.BW=sin60°XA3=?；(2)連接80,BF,,:點E落在AO邊上，；.AB=BE,ZA=60°,:?△ABE是等邊三角形，ZABE=60°,???將平行四邊形繞點3順時針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<90°)得到平行四邊形BEFG,：.ZDBF=ZABE=60°,在 中，。：BH=M，DH=AD-AH=4-1=3,abd=VBH2+DH2=V§+9=2瓜...點。經(jīng)過的路徑長為9°義兀*2返JV3180 3【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，弧長公式等知識，求出旋轉(zhuǎn)角為60°是解題的關(guān)鍵.考點卡片.坐標(biāo)與圖形性質(zhì)1、點到坐標(biāo)軸的距離與這個點的坐標(biāo)是有區(qū)別的，表現(xiàn)在兩個方面：①到X軸的距離與縱坐標(biāo)有關(guān)，到y(tǒng)軸的距離與橫坐標(biāo)有關(guān)；②距離都是非負數(shù)，而坐標(biāo)可以是負數(shù)，在由距離求坐標(biāo)時，需要加上恰當(dāng)?shù)姆?2,有圖形中一些點的坐標(biāo)求面積時，過已知點向坐標(biāo)軸作垂線，然后求出相關(guān)的線段長，是解決這類問題的基本方法和規(guī)律.3、若坐標(biāo)系內(nèi)的四邊形是非規(guī)則四邊形，通常用平行于坐標(biāo)軸的輔助線用“割、補”法去解決問題..二次函數(shù)的性質(zhì)2二次函數(shù)丁=/+加+U(〃W0)的頂點坐標(biāo)是(-士4ac-b),對稱軸直線2a4a 2a二次函數(shù)y=a?+加+c(〃W0)的圖象具有如下性質(zhì)：①當(dāng)〃>0時，拋物線歷r+c(〃#0)的開口向上，xV一旦時，y隨x的增大而減小；2aX>-也時，y隨X的增大而增大；x=-2時，y取得最小值4aq二P 即頂點是拋物線2a 2a 4a的最低點.②當(dāng)aVO時，拋物線yna^+bx+c(aWO)的開口向下，x<一2時，y隨x的增大而增大;2a2x>-也時，y隨X的增大而減小；x=-2時，y取得最大值4am 即頂點是拋物線2a 2a 4a的最高點.③拋物線(aWO)的圖象可由拋物線y=o?的圖象向右或向左平移|一個單2a位，再向上或向下平移居空±1個單位得到的.4a.二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征2二次函數(shù)丫=0?+笈+。(aWO)的圖象是拋物線，頂點坐標(biāo)是(-旦，4a口，).2a4a①拋物線是關(guān)于對稱軸》=一2成軸對稱，所以拋物線上的點關(guān)于對稱軸對稱，且都滿足2a函數(shù)函數(shù)關(guān)系式.頂點是拋物線的最高點或最低點.②拋物線與y軸交點的縱坐標(biāo)是函數(shù)解析中的c值.③拋物線與X軸的兩個交點關(guān)于對稱軸對稱，設(shè)兩個交點分別是（XI,0）,（X2,0）,則其對稱軸為x=_—24.拋物線與x軸的交點求二次函數(shù)（a,b,c是常數(shù)，aWO）與x軸的交點坐標(biāo)，令y=0,BPax^+bx+c=0,解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標(biāo).（1）二次函數(shù)yua^+bx+c（a,b,c是常數(shù)，4#0）的交點與一元二次方程a^+W+cn。根之間的關(guān)系.△=廬-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù).△=序-4m>0時，拋物線與x軸有2個交點；△=序-4祀=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=/-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點.（2）二次函數(shù)的交點式：y=a（x-xi）（x-x2）（a,b,c是常數(shù)，aKO）,可直接得到拋物線與x軸的交點坐標(biāo)（xi,0）,（X2,0）..全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形..線段垂直平分線的性質(zhì)（1）定義：經(jīng)過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”.（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段.—②垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等.—③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，該點叫外心，并且這一點到三個頂點的距離相等..含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.（2）此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的相關(guān)問題中常用來求邊的長度和角的度數(shù).(3)注意：①該性質(zhì)是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角(30°)的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能應(yīng)用：②應(yīng)用時，要注意找準(zhǔn)30°的角所對的直角邊，點明斜邊..勾股定理(1)勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方.如果直角三角形的兩條直角邊長分別是“，b,斜邊長為C,那么/+廿=。2.(2)勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中.(3)勾股定理公式。2+/=科的變形有：a=^c2_b2,b=*=及c="束.(4)由于a1+b1=c1>a1,所以c>a,同理c>b,即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊..勾股定理的逆定理(1)勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長。，b,C滿足d+廬二行，那么這個三角形就是宜角三角形.說明：①勾股定理的逆定理驗證利用了三角形的全等.②勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個三角形是不是直角三角形.必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷.(2)運用勾股定理的逆定理解決問題的實質(zhì)就是判斷一個角是不是直角.然后進一步結(jié)合其他已知條件來解決問題.注意：要判斷一個角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是..等腰直角三角形(1)兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形.(2)等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì).即：兩個銳角都是45°,斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R,而高又為內(nèi)切圓的直徑(因為等腰直角三角形的兩個小角均為45°,高又垂直于斜邊，所以兩個小三角形均為等腰直角三角形，則兩腰相等)：(3)若設(shè)等腰直角三角形內(nèi)切圓的半徑r=l,則外接圓的半徑/?=揚1,所以八/?=1：V2+1..平行四邊形的性質(zhì)(1)平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.(2)平行四邊形的性質(zhì)：①邊：平行四邊形的對邊相等.②角：平行四邊形的對角相等.③對角線：平行四邊形的對角線互相平分.(3)平行線間的距離處處相等.(4)平行四邊形的面積：①平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積.②同底(等底)同高(等高)的平行四邊形面積相等..矩形的判定與性質(zhì)(1)關(guān)于矩形，應(yīng)從平行四邊形的內(nèi)角的變化上認識其特殊性：一個內(nèi)角是直角的平行四邊形，進一步研究其特有的性質(zhì)：是軸對稱圖形、內(nèi)角都是直角、對角線相等.同時平行四邊形的性質(zhì)矩形也都具有.在處理許多幾何問題中，若能靈活運用矩形的這些性質(zhì)，則可以簡捷地解決與角、線段等有關(guān)的問題.(2)下面的結(jié)論對于證題也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②NOAB=/OBA,NOCB=NOBC；③點。到三個頂點的距離都相等..正方形的性質(zhì)(1)正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.(2)正方形的性質(zhì)①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).④兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角