2022年全國碩士研究生招生考試

數(shù)學（三）預測卷（一）

（科目代碼:303）考生注意事項.答題前，考生須在試題冊指定位置上填寫考生編號和考生姓名；在答題卡指定位置上填寫報考單位、考生姓名和考生編號，并涂寫考生編號信息點。.選擇題的答案必須涂寫在答題卡相應題號的選項上，非選擇題的答案必須書寫在答題卡指定位置的邊框區(qū)域內(nèi)。超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題冊上答題無效。.填（書）寫部分必須使用黑色字跡簽字筆書寫，字跡工整、筆跡清楚；涂寫部分必須使用2B鉛筆填涂。.考試結束，將答題卡和試題冊按規(guī)定交回。（以下信息考生必須認真填寫）考生編號考生姓名一、選擇題：1?10小題,每小題5分，共50分.下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是最符合題目要求的.co.設.rf0+時，(l+or4-1與?-1尸鬲W是等價無窮小，則&=A.—B.$ C.—D..曲線f(z)=(x-l)2(x-3)3的拐點個數(shù)為A.0. B.1. C.2. D.3..設/(，)為連續(xù)函數(shù).a是常數(shù)，下述命題正確的是A.若f⑺為奇函數(shù),則⑺也是工的奇函數(shù).B.若f⑺為偶函數(shù)，則|‘d?「/"(nd/是才的奇函數(shù).J0JaC.若fit)為奇函數(shù),則⑴d，是I的奇函數(shù).J0JyD.若/⑺為偶函數(shù)，則「dy「f(f)d/是1的奇函數(shù).J0J0.已知耗級數(shù)X在點工=一1處收斂，則實數(shù)。的取值范圍是A.-2<a&0. B.24aV0.C.-1<a<1. D.-l<a<l..設4為3階矩陣，滿足A?=2A,則下列結論不正確的是A.A-E可逆. B.A-2E可逆.C.A+E可逆. D.A—3E可逆..設A.B均為3階矩陣，現(xiàn)有4個結論：①r(A.AB)=r(A)； ②=r(A),③r(B.AB)=r(B)；1rBAB=r(B).以上結論正確的是A.①②. B.③④.C.②③.D.①④.7.設A為〃階矩陣邛為〃維非零列向量，若方程組「有解，則下列選項正確的是A.方程組x=0與方程組Ar=0同解.AT-B.方程組,x=0與方程組Ax=0同解.C.方程組Ax=tt與方程組Atx=0同解.PD.方程組、x=0與方程組A”=0同解.P8.已知隨機變量X的概率密度為4-IcosX|,04①4K,/（X）=<20, 其他，對X進行獨立重復觀察4次，用丫表示觀察值不小于色的次數(shù),則E(V)=0TOC\o"1-5"\h\zA.*. R漿 C,孚 D.第4 4 4 4f-11] 0 19.設隨機變量X的概率密度為/(丁)(一8＜工＜+8),匕?1J_K2~1J.，I1~2] [2~2Z,=XT,Z2=XYz,且X與匕，匕相互獨立，則AZ是連續(xù)型隨機變量,Z2也是連續(xù)型隨機變量.B.Z1是連續(xù)型隨機變量,Z?不是連續(xù)型隨機變量.c.Z,不是連續(xù)型隨機變量.Zz是連續(xù)型隨機變量.D.Z,不是連續(xù)型隨機變量,Z?也不是連續(xù)型隨機變量..設隨機變量X服從F(2,D分布，對給定的a(0VaV1),數(shù)居(2,1)滿足P{X＞Fa(2,1))=a，若P{X^x}=1-。，則了=A.F/1,2).RFHb(1,2).C.? o,.D.F-7j...Jrnx19Z/ x*\1,ZJ二、填空題：11?16小題，每小題5分，共30分..已知某商品總產(chǎn)量的變化率/(力=200+5f-/(0&t&16),則時間，從2到8變化時,總產(chǎn)量增加值AQ為..已知％=J,則—4%=3的特解為..設函數(shù)/(力可微，且，(0)=4■，則z=/(x2-4y)在點(2,1)處的全微分dj6 I(2.1).設函數(shù)=(z+1*—j/(u)d〃，函數(shù)f(I)是 的一個原函數(shù)，且/(0)=0,J0則/(X)= ..設1,一1為2階實對稱矩陣A的特征值，且/j=口；則矩陣A=..設X1.X2,…,X“，…為獨立同分布的隨機變量序列，且都服從參數(shù)為J的指數(shù)分布,則當?充分大時,隨機變量匕=十￡X,近似服從.

三、解答題：17?22小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟..（本題滿分10分）設育是常數(shù),討論人1）=（1-2工）d+工+4的零點的個數(shù)..（本題滿分12分）設z=zCr,y）是由方程Zr2+，+幺+2xy—2r-_4z+4=0確定的，求z=z（.x,y）的極值..（本題滿分12分）設。=（x,j）|樂+齊&1常數(shù)a>0,6>0,a#6,求I=］J［（n—I）?+（21y+3）2］tLrdyD.（本題滿分12分）設/（x）滿足①a4f（H）&G\_a,b］;②對\/x,yC［a同,I/（x）—/（j）Ky|x—>|.又｛?!"）滿足a4為《d工田=+/（工”）］.（D證明/（x）=x在［a,6］上有唯一解，記為ci（2）證明linir”=c.w-*oo（本題滿分12分）設矩陣A設矩陣A02與對角矩陣相似.（1）求a的值；（2）求可逆矩陣P.使P'AP為對角矩陣（3）求方程組A^x=b的通解,其中b=2'0022.（本題滿分12分）22.設總體X服從（0,有］上的均勻分布力>0為未知參數(shù)，X-Xz，…,X”為來自總體X的簡單隨機樣本.求：（1）。的最大似然估計量必（2）。的分布函數(shù)；數(shù)學(三)預測卷(一)試題答案及評分參考一、選擇題.答應選C.解當7-*。+時，(l+ar)+—1?-1-ar,而【注】(*)處也可這樣處理：次(一D"4”.而=一9+。(7) -0+)..答應選D.解由f(x)=2(7—1)(x—3)3+3(/—1)2(x—3)2

=(x—1)(t—3)2(57—9),易得,/〃(/)中必含一次因式z—3.另由/(1)=/居六/\3)=0,知必存在①16(1,「卜工26d,3),使得/*(X1)=/*(x2)=0,故可令f\x)=20(x-x))(x-x2)(t-3),由于/”(h)在工=mz，3兩側都異號，因此該曲線共有3個拐點..答應選C.解設F(D是/(，)的一個原函數(shù).對于C,若/⑺是奇函數(shù),則/⑺的任一原函數(shù)都是偶函數(shù)，所以F(力是偶函數(shù).Jdj'J/(Z)d/=J[F(z)—F(y)]dy=肝(幻一JF(y)d>,因為F(x)為偶函數(shù).故zF(h)為了的奇函數(shù)，[:F(y)dy也是工的奇函數(shù),所以J'dj7<?)d/為H的奇函數(shù),C正確.關于選項A,B,D為什么不正確,現(xiàn)解釋如下.對于AJG)為奇函數(shù)，則F(y)=是y的偶函數(shù)，但「F(y)d?不一定是才的奇J0 Ja函數(shù)；對于BJ(D為偶函數(shù),則F(y)=[f(t)d/不一定是》的奇函數(shù),不再有繼續(xù)研究的資格了；對于D,/(Z)為偶函數(shù)?則F(jc)=f為z的奇函數(shù).jF(jr)dy=/F(z)為/的偶J0 J0函數(shù)..答應選A.解記I(外I=?(La)”|,則解得了e(a-l,a+l).當工=a-1時，原級數(shù)為X(―D",｝，收斂;當z=a+l時，原級數(shù)為X工，發(fā)散.”=1〃故收斂域為[a—l，a+l)，由題設條件知一1e[a—l,a+D,故a的取值范圍是一2Va&0..答應選B.解法一由于*=2A,所以八一2A+E=E，即(A-E)?=E，從而A-E可逆.由于A，=2A,所以*+A-3A—3E=-3E.即(A+E)(A—3E)=-3后.故4+七與A-3E均可逆.取4=020,滿足A11=2A,但A-2E=00 0不可逆.故選項B的結論不正確.法二 設么是矩陣A的特征值，則不—24是A2—2A的特征值，由于零矩陣的特征值均為零，且由題設知A?-2A=?),所以￥—2入=0.故;1=0或2=2.從而矩陣A-E的特征值為-1或1,為可逆矩陣；矩陣A-2E的特征值為-2或0,不一定可逆；矩陣A+E的特征值為1或3,為可逆矩陣；矩陣A—3E的特征值為一3或一1,為可逆矩陣.故選項B的結論不正確.【注】考核點為矩陣的運算或矩陣的特征值.對于方陣A.B,若AB=E,則A,B均可逆，且互為逆矩陣.方陣可逆的充分必要條件是其特征值均非零..答應選D.解 記A=((Z)-a：.a.<),B=(b“)-AB=(/i,力，打),由于

如b12仇3AB=（丫\.丫2?丫3）=（ai.。2，03）〃21b22 。233283從而AB的列向量組可由A的列向量組線性表示，故r（A.AB）=NA）,結論①正確.記A=(%二bib2,AB=ClC>，由于ABrC\C2a”421d\2a22a\3a23b2包C3C“31132%3.lh，從而AB的行向址組可由B的行向盤組線性表示,故rr（B）.結論④正確.AB現(xiàn)舉例說明結論②和結論③不正確.當4=時?廣AB=3,r(A)=2,當4=時?廣AB=3,r(A)=2,故結論②不正確.當8=?A=10=3,r(B)=2,故結論③不正確.【注】考核點為矩陣的運算，向量的線性表示,矩陣的秩等..答應選A.解 記A'=（a, 由于*X=P有解，所以向ttp可由向量組Qi,處，…線性表示，故行向量/可由矩陣A的行向量組鬲.a底….出線性表示，從而方程組,x與方程組Ax=0同解,即選項A正確.選項B.C,D的反例如下.方程組方程組；|邛=|；時,方程組*x=P有解.[0]方程組方程組；|邛=|；時,方程組*x=P有解.[0]與方程組不同解,故選項B不正確;x12與方程組不同解，故選項C不正確;方程組與方程組x= 方程組與方程組x= 不同解.故選項D不正確.【注】考核點為向量的線性表示,線性方程組的解等..答應選D.illcosjIillcosjIdr=十sinx-lsinjrll=4(1-4+1)==1?知丫服從二項分布因此E(y)=4x-1=3,D(y)=4x1-x(1-7)=從而得 e(k)=D(y)+CE(y)]2=j+32=j..答應選B.解由于Zi的分布函數(shù)為Fz,(z)=P{Zi<z}=P<XY1<z]=P{y)=-i}P{xy1 |y,=-i}+P{』=i}P{xy^z\h=1)=P{Yi=-l}P{X>-z}+P{』=l}P{X^z}=yj/(x)dr+yj/(x)dr,則/zjz)=F%(z)=3/(-2)+}/(2),故21是連續(xù)型隨機變量.由于Zz的分布函數(shù)為FZ2(z)=P{Zz&z}=P{XY2^z}=P{Y2=0}P{XY2^z\Y2=0}+P{匕=1}P{XY2^z\y2=1}=P{Y2=O}P{O^z}+P{Y2=l}P{X《z}/(T)dr,z■<0,=4j+ff.x'idx,z20,其中P(Z?=0}=上(0)一電(0—0)=++5]/Cr)dr—hfCr)dr=4K0,故Z2不是連續(xù)型隨機變量..答應選C.解因X?F(2,D,故(?F(l,2).l-a=P{X<x}=P{XVh}=P{(>]卜所以上=F1—a（l,2）?即.r=-L9V也可以考慮P{X&z}=l-a,有P{X>z}=a.即/=E（2,1）,但選項中沒有此項,根據(jù)公式Fo（2,l）=~9知，z=p~~\9Vt*|—v1） rir（1,4）二、填空題.答應填1182.解由總產(chǎn)量函數(shù)與其變化率的關系，有Q'a)=/?),于是總產(chǎn)量增加值為△Q=J：Q'(，)d/=J：/(Ddf=j：(200+5t-*)df

=(200，+尹一￥)|；=1182..答應填％=5，一*解因△%=“+I—3，故原方程為刈-5%=3, (*)其對應的齊次方程為一5?,=0,特征方程為"一5=0.故齊次方程的通解為”(7)=C?5”.設特解為y；=A,則"h=A，代入(*)式，有A—5A=3,得A=—故原方程通解為％=C?5，一■，又y,=1?將z=0代入，有C一1=],得C=1,所以所求特解為％=5,一條.答應填2dr—4dy.解令“=合一4/，則z=/(")，于是,=/(?)(x2-4y)；=2M(u),割&?=4/(0)=2,.=f(?)(^—4-)；=—8yf/(M)，^| =-8/*(0)=—4?所以dz1?=2ir-4dy.答應填■1■(H+De1■一■^cosz.解因為函數(shù)/(J-)是g(z)的一個原函數(shù)，所以/(?T)=(Z+1)——jf(.u)du, ①式①兩邊對Z求導,得/'(1)+/(X)=(z+2)6rz. ②數(shù)學(三)預測卷(一)試題答案及評分參考第5頁(共33頁)

方程②為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，其對應的齊次方程的特征方程為—+1=0,特征根為r112=±i,故與方程②對應的齊次方程的通解為F（z）=Geosx+Cjsinjc.由于方程②的自由項為（z+2）e，,故可設方程②的一個特解為/*Cr）=（Ar+B）亡,將其代入方程②，得A=B=十.于是，方程②的通解為/(x)=Geosx+Czsinx+De^. ③式③兩邊對了求導.得f(x)=—Gsinx+C2cosx+-1-(x+2)^. ④式①令工=0,得/（O）=1,又/（0）=0,將其分別代入式④與式③，得Ci=-1,Ci=0.因此/(x)= +1)6T ^-COSX..答應填.解由于a］；=因此6=J.為矩陣A的屬于特征值1的特征向量，設小“為矩陣A的屬于特征值-1的特征向量，由A為實對稱矩陣，知a.&正交，于是x2.【注】考核點為相似矩陣.注意實對稱矩陣屬于不同特征值的特征向量正交，矩陣相似【注】考核點為相似矩陣.注意實對稱矩陣屬于不同特征值的特征向量正交，矩陣相似對角化的一類典型問題是已知矩陣A的特征值與特征向量，反求矩陣4，所以0—1-11_011~J0..答應填N(2,5).解由題意知.X-X2,…,X”，…相互獨立，且E(X,)=2,D(X,)=4(i=123,…),從而E（y“）=E（［冬X,）=2,D（K.）=叫￡乂）=,?于是，根據(jù)中心極限定理，當“充分大時.匕=［±X,近似服從N（2,1）.三、解答題.解 由題意可知,/（工）=一（1+2工）亡+1,易得/（0）=0.當zV0時,/（z）=（1--）一2工->0,/（工）嚴格單調(diào)遞增；當工>0時,/（x）=— —（e1—1）<0,/（t）嚴格單調(diào)遞減.所以/X0）=1+A為八幻的最大值. ……6分

又因 lim/(x)=^=-oo,limfix')——oo.x*—oo r?18所以當1+A>0即A 1時J(z)有兩個零點；當A=-1時./(外有且僅有一個零點；當AV-1時JCr)無零點. ……10分【注】①處lim(l-2z)e，=lim上棄洛必達法則Im二；=0,所以

x>-oo ?8e —?co—elim/(j-)=-8.▲?oo②處lim[(1—2])爐+z]=lim(1—Zz+ze=—8.令z；=z；=0,得△=令z；=z；=0,得△=AC—B2=1>0,且八=2>0,故2=1為極小值. 8分47+2y—22y+2l—2=0,②式兩邊再對.y求偏導,當(z,y,z)=(0,1,3)時,z；=z；=0,代入③，④②式兩邊再對.y求偏導,A=z"=-2?B=I=-1?C=z^.I=-L

I(0.1.3) I(0.1.3) I(0.1.3)zl=AC-B2=l>0,且A=-2V0,故z=3為極大值. ……12分.解 I=jL(x-l)24-(2y+3)2]<lrd^其中』（一2工+12y）drdy=0（來自奇函數(shù)在對稱區(qū)域上積分性質(zhì)）,drdy+4drdy+4jJy2&dy,D10而式（來自橢圓的面積公式）,其中=.『?，<12一工2業(yè).今匚儂―4asin2zcos2/d/aJo Jo=4a36(jsin2/d/—J2sin4/d/)=4as6(1?f—1?|*!)=^bn.同理=al)>,7t.則/]=:聞+必,冗，所以DTOC\o"1-5"\h\z/=10?6冗+ 阮+而37t. 12分4.證（1）先證連續(xù)性.對V/立。e[a.M，有o&l/（^）-/（Xo）|<yIT-XoI，故04lim|/(x)—/(x0)l《lim~|x—jt0I=0,

LX° LI。/于是lim/(jr)=/(xo)，即/(①)在[a，〃]上連續(xù). 3分令F(z)=/(x)-x,x61a,6[^ljF(a)=/(a)-a0,F(6)=/(fe)-A<0.當F(a)=0時，可取c=a;當F⑹=0時,可取S=6；當F(a)FS)#0時,即F(a)FS)VO,由零點定理知，存在c。(a,/)),使F(c)=0.若,不唯一,設16[。，瓦1，且“彳，，使尸（4）=0,故由題設有|/（（'）一/（4） \c-d\,但f(c)=cj(d)=d，即|/(c)-/(J)1=1c-dI，矛盾，于是c唯一.而對v.ne,都有IHl—cI=0,由夾逼準則，有l(wèi)irru;=c. 12 分【注】此題沒有人工）可導的條件，故第（1）問中不能用導數(shù)來研究人工）的單調(diào)性，也不能用拉格朗日中值定理，此題對考生分析問題的能力提出了新的更為基礎的要求.21.解（21.解（1）矩陣A的特征多項式為A—2\o"CurrentDocument"|AE-A|= 2-20 0A—2—2=(A—2)2(A—。)，0 X-a所以為=2為矩陣A的特征值,當a#2時，其重數(shù)為2；當a=2時，其重數(shù)為3.由于2E-A由于2E-A0 0 02 0-2—202—a10-1故當a=0時，尢=2對應2個線性無關的特征向量，當a#0時，入=2只對應1個線性無關的特征向量，由于矩陣A可相似對角化，因此