2021年全國碩士研究生入學統一考試數學（三）試題解析一、選擇題:1~H）小題,每小題5分，共50分.下列每題給出的四個選項中,只有一個選項符合題目要求的.請將所選項前的字母填在管厚紙指定位置上.（1）當x-0時，，（/一1）是丁的（）.（A）低階無窮小.（B）等價無窮小.（C）高階無窮小.（D）同階但非等價無窮小.【答案】C.【解析】因為當X-0時，「（/一1勸=2》（1一1）~2『，所以「（/一1）是/的Jo Jo高階無窮小，正確答案是C.ex-l八 xw0（2）函數f（x）=1x' ,在x=0處（）l,x=0（A）連續且取極大值. （B）連續且取極小值.（C）可導且導數為（C）可導且導數為0.（D）可導且導數不為0.【答案】D【解析】因為lim/(x)=lim「l-1=/(0),故/(x)在x=0處連續.x->0 x-+0x因為1"⑴一八°）=隔上-x-0x-x-0=lime 故r(因為1"⑴一八°）=隔上-x-0x-x-0TOC\o"1-5"\h\za。x22 2(3)設函數/(》)=0<-6111*(。>0)有兩個零點，則一的取值范圍().a(A)(e,+oo). (B)(0,e). (C)(0,1). (D)e e【答案】A.【解析】令/(x)=or—力lnx=0,f[x)=a上,令/'(x)=0有駐點x=2,x a?b入1blibih伯力 4a=〃?—b?In—<0.從而In—>1,可得一>e,選A.aa a a（4）設函數f（x,y）可微，且"業）'&J+ 2,/（x,x2）=2x21nx,則4Ul）=（(A)dx+dy.【答案】C(B)(A)dx+dy.【答案】C(B)dx-dy.(C)"y(D)-dy.【解析】￡(x+w)+e'f；(x+1,e")=(x+1)2+2x(x+1)①(x,x2)4-2xf^(x,x2)=4xInx+2x②x=0 \x-\分別將4八，\ ，代入①②式有y=°[y=i<(1,1)+^(1,1)=1,工'(1,1)+24(1,1)=2聯立可得工'(1,1)=0,力'(1,1)=1, 心+人'(1,1)辦=<fy,故選C.(5)二次型/(與,％2,七)=(石+N)2+(電+七？一(七一司了的正慣性指數與負慣性指數依次為( )(A)2,0. (B)1,1. (C)2,1. (D)1,2.【答案】B【解析】/(3,電，不)=&+受)2+(x,+x3)2—(j^—X1)2=2x22+2XjX2+ +2xlx3,01所以A,01所以A=12J11、12故多項式|/IE—A|=—1-1-1-1-2-1=(2+l)(2-3)2.—1A令上式等于零，故特征值為-1,3,0,故該二次型正慣性指數為1,負慣性指數為1,故選B.(6)設A=(a「%,%，4)為4階正交矩陣，若矩陣B=a；,4=1,女表示任意常數，則線性方程組Br=A的通解x=( )a2a2+%+Q4+姐?at+“3+a44-Aa2.a1+a1+%+%+ka3.at+%+”3+她.xx18(4+4+%)=1【解析】由A是正交陣知A的列向量線性無關，所以「(8)=3,且8%=0=&=弼通解為她，又=/?=>&的通解為%+4+%+%%,應選。

’1o-r(7)已知矩陣4=2-1 1，若下三角可逆矩陣尸和上三角可逆矩陣。，使PAQ為、一12一5,對角矩陣，則產，。可分別取(‘100對角矩陣，則產，。可分別取(‘100、0100L'101、013、00L'1 02-11-320、0b「100、'1 00、’1or'100、'12-3、(C)2-10f013(D)010?0-12、一321;、00IU31；、0。 1,(A,E)=2-10-1-1(A,E)=2-10-1-112—5-1100、'103-21001-6101000)(100->0-11 027k-1-301 02-1-320、017【解析】‘1 0 0、=(F,P),則「=2-10下列命題中不成立的是[32"下列命題中不成立的是10-八Goo'01-3010000001'A=10010I010013001><00L'10PQ=013,選C.、001；8為隨機變量，且0<P(B)<l,(A)若P(4|8)=P(A),則P(A?=P(A).(B)若P(A|8)〉尸(A),則P(用函>尸(不.(C)尸(川8)>p(a|b),則P(A\B)>P(A).(D)若「(A|AUB)>P(同AU8),則P(A)>P(B).【答案】D【解析】P(A\Ai)B)【解析】P(A\Ai)B)=P(A(AU8))

產(AU8)P(A)P(A)+P(8)-P(A8)「西aU8)=P()AUB))=尸(初)= 尸「)—尸(AB)1 P(AUB) 尸(4UB)P(A)+P(B)-尸(AB)因為P(A|AU8)>P(司AUB),固有尸(A)>P(B)-尸(AB),故選D.(9)設(X|，K),(X2,Y2) (X“，Z)為來自總體N(自，%;5，/;p)的簡單隨機樣本,令。=內一內,x=-Yx,,丫=一2匕，e=x—y,則2 2(A))是。的無偏估計，。⑹=0+%.n2 2(B)l不是。的無偏估計，D(濟=4+4-.n(C))是0的無偏估計，。向=可+4--2西/n(D))不是。的無偏估計，。而=叫%n【答案】C【解析】因為x,y是二維正態分布，所以刀與少也服從二維正態分布，則滅一歹也服從二維正態分布，即E(0)=E(X-Y)=E(X)-E(Y)=從一外=布,D向=D(X-Y)=D(X)+D(P)-cov(X,r)=斤+%~―2西/，故選c.nTOC\o"1-5"\h\z\-0 i+e(10)設總體X的概率分布為P{X=1}=-P{X=2}=P{X=3}=-利用李愛2 4珍總體的樣本值1,3,2,2,1,3,1,2,可得0的最大似然估計值為3 1 5(A)-. (B)-. (C)-. (D)-.【答案】A【解析】似然函數"6)=(詈)(4)取對數lnL(6)=31n(一)+51n(9)也嘰。=。△如6 4

二、填空題：11~16小題,每小題5分洪30分.請將答案寫在答題紙指定位置上.(11)若丫=￡：05"",則sin一【答案］—幺2e【解析】包二—sin""

dxx=l=sin【解析】包二—sin""

dxx=l=sineIe【答案】6【解析】=6.(13)設平面區域。由曲線y=??sin;rx(0Wx《l)與x軸圍成，則。繞x軸旋轉所成旋轉體體積為.【答案】-4【解析】V= (V%-sin=^rj'xsin2nxdx=—￡sin2tdt=—.(14)差分方程Ay,=，的通解為.【答案】y=y+y=-t2--t+【答案】y=y+y=-t2--t+C,C為任意常數.2 2—11【解析】y=C，y*=—(at+b),(t+l)(a(t+l)+b)-t(at+\)=t,2at+a+b=t,a=—,b=--,y=y+y=-t2--t+C,C為任意常數.2 2 2xx(15)多項式f(x)=；:2-I【答案】-5XX11r2【解析】/(X)=\ ；21x2-11中F項的系數為x1220

x-1

-12.\-11X1220X—1-10一3-3:一4,由特征值與特征矩陣的關系知：F項的系數為.5。(16)甲乙兩個盒子中各裝有2個紅球和2個白球，先從甲盒中任取一球，觀察顏色后放入乙盒中，再從乙盒中任取一球.令x,y分別表示從甲盒和乙盒中取到的紅球個數，則x與y的相關系數.【答案】-5'(0,0)(0,1)(1,0)<0r【解析】聯合分布律(x,y)~3223，X的邊緣分布X~i_，丫的邊、loToio10)<22>ron1 1 1緣分布y~i?，易知c<MX,y)=—,—— 20DX=*.oy=W，即加\22J三、解答題：17?22小題，共70分.請將解答寫在爭犀綱指定位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(17)(本小題滿分10分)1TOC\o"1-5"\h\z已知limaarctan—+(1+\x\)x存在，求a值.x->0 x【答案】ex=—(—e).7te【解析】要想極限存在，則左右極限相等.又由于limaarctan—+(1+又由于limaarctan—+(1+Ixl)ri。. x=—a+e.hmaarctan-4-(1+x)x= a+—?2 … x 11 2 e從而—a+e二—oth—,即1二—(—€).

2 2e e(18)(本小題滿分12分)求函數/(x,y)=21n|M+(*T)；+y的極值【答案】(一1,0)處取極小值2；(Lo)處取極小值，—21n2.2 2【解析】f:=,2—=f:=,2—=0,即<得駐點."(4x+l)x—3(2x2+x—1—y2)fxx=fyy=7駐點(一1,0)處A=3,B=0,C=l,AC-B2=3>0,A>0,故/(x,y)在(一1,0)處取極小值2；1,_1駐點(2,0)處A=24,B=0,C=4,AC-B2=3>0,A>0,故/(x,y)在(J。)處取極小值±-21n2；2(19)(本小題滿分12分)設有界區域。是r+y2=l和直線y=x以及x軸在第一象限圍成的部分，計算二重積分JJ(x2-y2)dxdy.jje(x+>r(x2-y2jje(x+>r(x2-y2)da=D八cos20dOf1J-〃r2dr2Jo Jo。 J。 2j>2如可/…%d”:(cose+sin6)2廿8…尸"(cos。+sin6產所以上式(cos。+sin。)41(cos^+sin^)"tedt(cos。+sin。)e(cos0+sin所以上式(cos。+sin。)41(cos^+sin^)"tedt(cos。+sin。)e(cos0+sin。)?(cos6+sin，)4八(cos"+sin0)2 iIeT」J_|*4COSe-sin8e(cosg+sin6)2de2」。cos。+sin。cos。一sin。_「/cose+sin4 .n,3/ 1產其中,2Jiu2Ji1 2 2u2f-『ge"，)(-2/3 =：e?一；e+所以原式—J_0+8 4(20)(本小題滿分12分)設〃為正整數，y=y.(x)是微分方程.'—(〃+l)y=0滿足條件”⑴=—!—的解.〃(72+1)⑴求y.(x)；(2)求級數￡y?(x)的收斂域及和函數.n=l(l-x)ln(l-x)(l-x)ln(l-x)+x,XG(-1,1)1,x=\(1)yn(x)=--—xn+'.(2)收斂域［-1,1］,S(x)=<(I)y-(/7+1)v=o,得了二^三“二口田，將y“(l)=―?—代入，C=―—x n(n+l) 〃(〃+1)yn(x)= x,,+l〃5+l)(2)y―1—xn+i的收斂域為［-1』］.,T〃(〃+1)8 1 00y〃+1 8丫〃+1設5(幻=Z——-xn+,=X-—一X—-=(1-X)ln(l-X)4-X,XG(-1,1)〃=I〃(〃+1) 〃=|n +1又因為S(x)在［一1,1］上連續，所以S(l)=limS(x)=l.x-?r所以S(x)=?所以S(x)=?1,x=］(21)(本題滿分12分)~210-設矩陣A=120僅有兩個不同的特征值。若A相似于對角矩陣，求的值，并求1ab可逆矩陣P,使為對角矩陣。【解析】由心￡-4|=(/—廿(九_3)(4—1)=0,當人=3時，由A可相似對角化知，二重跟對應的特征值有兩個線性無關的特征向量。所以

r(3E-A)=1=>?=-1,此時3對應的特征向量為1,0,1對應的特征向量為1TOC\o"1-5"\h\z<ojb) 11i對應的特征向量為11°、0,i對應的特征向量為11°、0,3對應的特征當b=l時，同理可得;"(￡：-4)=1=4=1? 「I向量為1，則P-”P= 1U 1 3,O(22)(本題滿分12分)在區間(0,2)上取一點，將該區間分成兩段，較短的一段長度記為X,較長的一段長度記為Y,令2=土Y(1)求X的概率密度.(2)求Z的概率密度.(3)求(3)求E【答案】(