1１．曲頂柱體的體積

牛牛文庫文檔分享1１．曲頂柱體的體積牛牛文庫文檔2例1.求兩個底圓半徑為R的直角圓柱面所圍立體的體積.解:

設兩個直圓柱方程為利用對稱性,考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為:

牛牛文庫文檔分享2例1.求兩個底圓半徑為R的直角圓柱面所圍立體的體積.解:3

牛牛文庫文檔分享3牛牛文庫文檔分享4(二)、曲面的面積衛星

牛牛文庫文檔分享4(二)、曲面的面積衛星牛牛文庫5１．設曲面的方程為：如圖，

牛牛文庫文檔分享5１．設曲面的方程為：如圖，牛牛6曲面S的面積元素曲面面積公式為：所以當曲面的方程為：

牛牛文庫文檔分享6曲面S的面積元素曲面面積公式為：所以當曲面的方程為：www7３．設曲面的方程為：曲面面積公式為：２．設曲面的方程為：曲面面積公式為：同理可得

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牛牛文庫文檔分享9牛牛文庫文檔分享10解解方程組得兩曲面的交線為圓周在平面上的投影域為

牛牛文庫文檔分享10解解方程組得兩曲面的交線為圓周在平面上的投影域11

牛牛文庫文檔分享11牛牛文庫文檔分享12(三)、平面薄片的質心設在設在平面上有n個質點，它們分別位于點，……處，質量分別為…，由力學知識知道該質點系的質心坐標

為，其中為該質點系的總質量為該質點系對y軸的靜矩。為該質點系對x軸的靜矩。

牛牛文庫文檔分享12(三)、平面薄片的質心設在設在平面上有n個質點，它們分別13當薄片是均勻的，質心稱為形心.設有一平面薄片占有平上的閉區域，在點處的面密度為，在上連續，則該薄片的質心：

牛牛文庫文檔分享13當薄片是均勻的，質心稱為形心.設有一平面薄片占有平上的閉14例1.求位于兩圓和薄片的重心.解：利用對稱性可知而C。之間均勻

牛牛文庫文檔分享14例1.求位于兩圓和薄片的重心.解：利用對稱性可知而15(四)、平面薄片的轉動慣量

牛牛文庫文檔分享15(四)、平面薄片的轉動慣量牛16薄片對于

軸的轉動慣量薄片對于

軸的轉動慣量設有一平面薄片占有平上的閉區域，在點處的面密度為，在上連續，則該薄片的對坐標軸的轉到慣量：

牛牛文庫文檔分享16薄片對于軸的轉動慣量薄片對于軸的轉動慣量設有一平17解

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牛牛文庫文檔分享18牛牛文庫文檔分享19解

牛牛文庫文檔分享19解牛牛文庫文檔分享20

牛牛文庫文檔分享20牛牛文庫文檔分享21薄片對

軸上單位質點的引力為引力常數(五)、平面薄片對質點的引力設有一平面薄片占有平上的閉區域，在點處的面密度為，在上連續，求該薄片對位于z軸上的點

（0,0,a）處單位質量的質點的引力。

牛牛文庫文檔分享21薄片對軸上單位質點的引力為引力常數(五)、平面薄片22解由積分區域的對稱性知

牛牛文庫文檔分享22解由積分區域的對稱性知牛牛文23所求引力為

牛牛文庫文檔分享23所求引力為牛牛文庫文檔分享241.立體體積

占有空間有界域

的立體的體積為二、三重積分的應用

牛牛文庫文檔分享241.立體體積占有空間有界域的立體的體積為二、25例1.求半徑為a

的球面與半頂角為的內接錐面所圍成的立體的體積.解:在球坐標系下空間立體所占區域為則立體體積為說明:

當時,就得到球的體積

牛牛文庫文檔分享25例1.求半徑為a的球面與半頂角為的內接錐面所圍成的立體26設物體占有空間區域,有連續密度函數則其重心坐標為:當常數

時,則得形心坐標：物體的體積2.物體的重心

牛牛文庫文檔分享26設物體占有空間區域,有連續密度函數則其重心坐標為27例2.一個煉鋼爐為旋轉體形，它的曲面方程為若爐內儲有高為

h

的均質鋼液，且不計爐體的自重，試求它的重心。解：利用對稱性可知重心在z

軸上，故h則鋼液體積

牛牛文庫文檔分享27例2.一個煉鋼爐為旋轉體形，它的曲面方程為若爐內儲有高為28曲面方程為鋼液體積

牛牛文庫文檔分享28曲面方程為鋼液體積牛牛文庫文293.物體的轉動慣量設物體占有空間區域,有連續分布的密度函數類似于討論物體重心的方法,先用“大化小,常代變”得到質點系對z

軸的轉動慣量近似值:令,就得到物體對z軸的轉動慣量類似可得:

牛牛文庫文檔分享293.物體的轉動慣量設物體占有空間區域,有連續分布的密30例3.求均勻球體對于過球心的一條軸

l

的轉動慣量.解:取球心為原點,z軸為l

軸,設所占域為則用球坐標問題：如何用截面法和柱面坐標系計算三重積分？

牛牛文庫文檔分享30例3.求均勻球體對于過球心的一條軸l的轉動慣量.解:

G

為引力常數四、物體的引力設物體占有空間區域,物體對位于原點的單位質量質點的引力利用元素法,在上積分即得各引力分量:其密度函數引力元素在三坐標軸上的投影分別為

牛牛文庫文檔分享G為引力常數四、物體的引力設物體占有空間區域,物體對

牛牛文庫文檔分享牛牛文庫文檔分享例4.求半徑R的均勻球對位于的單位質量質點的引力.解:

利用對稱性知引力分量點

牛牛文庫文檔分享例4.求半徑R的均勻球對位于的單位質量質點的引力.解:為球的質量

牛牛文庫文檔分享為球的質量牛牛文庫文檔分享35幾何應用：曲面的面積物理應用：重心、轉動慣量、對質點的引力（注意審題，熟悉相關物理知識）三、小結

牛牛文庫文檔分享35幾何應用：曲面的面積物理應用：重心、轉動慣量、對質點的引36

牛牛文庫文檔分享36牛牛文庫文檔分享37思考題

牛牛文庫文檔分享37思考題牛牛文庫文檔分享38薄片關于軸對稱思考題解答

牛牛文庫文檔分享38薄片關于軸對稱思考題解答www.niuwk.co39練習題

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牛牛文庫文檔分享1１．曲頂柱體的體積牛牛文庫文檔43例1.求兩個底圓半徑為R的直角圓柱面所圍立體的體積.解:

設兩個直圓柱方程為利用對稱性,考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為:

牛牛文庫文檔分享2例1.求兩個底圓半徑為R的直角圓柱面所圍立體的體積.解:44

牛牛文庫文檔分享3牛牛文庫文檔分享45(二)、曲面的面積衛星

牛牛文庫文檔分享4(二)、曲面的面積衛星牛牛文庫46１．設曲面的方程為：如圖，

牛牛文庫文檔分享5１．設曲面的方程為：如圖，牛牛47曲面S的面積元素曲面面積公式為：所以當曲面的方程為：

牛牛文庫文檔分享6曲面S的面積元素曲面面積公式為：所以當曲面的方程為：www48３．設曲面的方程為：曲面面積公式為：２．設曲面的方程為：曲面面積公式為：同理可得

牛牛文庫文檔分享7３．設曲面的方程為：曲面面積公式為：２．設曲面的方程為：曲49解

牛牛文庫文檔分享8解牛牛文庫文檔分享50

牛牛文庫文檔分享9牛牛文庫文檔分享51解解方程組得兩曲面的交線為圓周在平面上的投影域為

牛牛文庫文檔分享10解解方程組得兩曲面的交線為圓周在平面上的投影域52

牛牛文庫文檔分享11牛牛文庫文檔分享53(三)、平面薄片的質心設在設在平面上有n個質點，它們分別位于點，……處，質量分別為…，由力學知識知道該質點系的質心坐標

為，其中為該質點系的總質量為該質點系對y軸的靜矩。為該質點系對x軸的靜矩。

牛牛文庫文檔分享12(三)、平面薄片的質心設在設在平面上有n個質點，它們分別54當薄片是均勻的，質心稱為形心.設有一平面薄片占有平上的閉區域，在點處的面密度為，在上連續，則該薄片的質心：

牛牛文庫文檔分享13當薄片是均勻的，質心稱為形心.設有一平面薄片占有平上的閉55例1.求位于兩圓和薄片的重心.解：利用對稱性可知而C。之間均勻

牛牛文庫文檔分享14例1.求位于兩圓和薄片的重心.解：利用對稱性可知而56(四)、平面薄片的轉動慣量

牛牛文庫文檔分享15(四)、平面薄片的轉動慣量牛57薄片對于

軸的轉動慣量薄片對于

軸的轉動慣量設有一平面薄片占有平上的閉區域，在點處的面密度為，在上連續，則該薄片的對坐標軸的轉到慣量：

牛牛文庫文檔分享16薄片對于軸的轉動慣量薄片對于軸的轉動慣量設有一平58解

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牛牛文庫文檔分享20牛牛文庫文檔分享62薄片對

軸上單位質點的引力為引力常數(五)、平面薄片對質點的引力設有一平面薄片占有平上的閉區域，在點處的面密度為，在上連續，求該薄片對位于z軸上的點

（0,0,a）處單位質量的質點的引力。

牛牛文庫文檔分享21薄片對軸上單位質點的引力為引力常數(五)、平面薄片63解由積分區域的對稱性知

牛牛文庫文檔分享22解由積分區域的對稱性知牛牛文64所求引力為

牛牛文庫文檔分享23所求引力為牛牛文庫文檔分享651.立體體積

占有空間有界域

的立體的體積為二、三重積分的應用

牛牛文庫文檔分享241.立體體積占有空間有界域的立體的體積為二、66例1.求半徑為a

的球面與半頂角為的內接錐面所圍成的立體的體積.解:在球坐標系下空間立體所占區域為則立體體積為說明:

當時,就得到球的體積

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時,則得形心坐標：物體的體積2.物體的重心

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h

的均質鋼液，且不計爐體的自重，試求它的重心。解：利用對稱性可知重心在z

軸上，故h則鋼液體積

牛牛文庫文檔分享27例2.一個煉鋼爐為旋轉體形，它的曲面方程為若爐內儲有高為69曲面方程為鋼液體積

牛牛文庫文檔分享28曲面方程為鋼液體積牛牛文庫文703.物體的轉動慣量設物體占有空間區域,有連續分布的密度函數類似于討論物體重心的方法,先用“大化小,常代變”得到質點系對z

軸的轉動慣量近似值:令,就得到物體對z軸的轉動慣量類似可得:

牛牛文庫文檔分享293.物體的轉動慣量設物體占有空間區域,有連續分布的密71例3.求均勻球體對于過球心的一條軸

l

的轉動慣量.解:取球心為原點,z軸為l

軸,設所占域為則用球坐標問題：如何用截面法和柱面坐標系計算三重積分？

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為引力常數四、物體的引力設物體占有空間區域,物體對位于原點的單位質量質點的引力利用元素法,在上積分即得各引力分量:其密度函數引力元素在三坐標軸上的投影分別為

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