§5.3復數的乘法與除法

§5.3復數的乘法1一、復數的乘法與除法1.復數乘法的法則復數的乘法與多項式的乘法是類似的,但必須在所得的結果中把i2換成-1,并且把實部合并.兩個復數的積仍然是一個復數,即:(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(bc+ad)i.2.復數乘法的運算定理復數的乘法滿足交換律、結合律以及乘法對加法的分配律.即對任何z1,z2,z3有z1z2=z2z1;(z1z2)z3=z1(z2z3);z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.實數集R中正整數指數的運算律,在復數集C中仍然成立.即對z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=z1nz2n.一、復數的乘法與除法1.復數乘法的法則復數的乘法與多項式的乘23:復數的一個重要性質兩個共軛復數z,z的積是一個實數,這個實數等于每一個復數的模的平方,即zz=|z|2=|z|2.4:復數的除法法則先把除式寫成分式的形式,再把分子與分母都乘以分母的共軛復數,化簡后寫成代數形式(分母實數化).即5.共軛復數的乘除性質:6.一些常用的計算結果3:復數的一個重要性質兩個共軛復數z,z的積是一個實數,這個3(1)如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i.(事實上可以把它推廣到n∈Z.(2)設,則有:事實上,與統稱為1的立方虛根,而且對于,也有類似于上面的三個等式.(3)7.例題選講例1.計算:(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i);(2)(1+2i)(3-4i)解:(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-20+15i.(2)原式=(1)如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+24例2:計算:(1)i+2i2+3i3+…+2019i2019;解:原式=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+…+(2019i-2019-2019i+2019)=501(2-2i)=1002-1002i.(2)解:原式=(3)解:原式=練習:計算:答案:(1)255-i;(2)1.例2:計算:(1)i+2i2+3i3+…+2019i20195例3:已知復數,且z2+az+b=1+i,求實數a,b.解:所以(1-i)2+a(1-i)+b=1+i,即-2i+a-ai+b=1+i,從而有:(a+b)+(-a-2)i=1+i.練習2:已知z=1+i,(1)若,求;(2)若;求a,b的值.答案:(1);(2)a=-1,b=2.例3:已知復數6OABDxyOABCxy例4:如圖所示,平行四邊形OABC(O,A,B,C按逆時針方向)中,各頂點對應的復數依次是zO=0,zA=a+ai/2,zB=-2a+3i,zC=-b+ai,(a,b為實數),求zC/zA的值.解:因為OABC是平行四邊形,OABDxyOABCxy例4:如圖所示,平行四邊形OABC(7例5:已知復數z滿足|z|=5且(3+4i)z是純虛數,求z.解1:設z=a+bi(a,b∈R),則(3+4i)z=(3a-4b)+(4a+3b)i.由已知得代入a2+b2=|z|2=25,解得a2=16.當a=4時,b=3,z=4+3i,所以z=4-3i;當a=-4時,b=-3,z=-4-3i,所以z=-4+3i.解2:由已知可設(3+4i)z=ki(k∈R且k≠0).則例5:已知復數z滿足|z|=5且(3+4i)z是純虛數,求8例6:若是純虛數,求z的對應點Z的軌跡.解:設,則z-1=ki(z+1).設z=x+yi(x,y∈R),則消去k,得x2+y2=1且y≠0.所以z的對應點Z的軌跡是以原點為圓心,1為半徑的圓,除去圓與x軸的交點(1,0)和(-1,0)例6:若是純虛數,求z的對應點Z的軌跡.解:9二、重要性質的應用公式zz=|z|2=|z|2在整個復數知識中占有十分重要的地位,它既是共軛復數與復數模的橋梁,又在處理復數為實數或純虛數時的重要工具.公式的變形:;特別地,當|z|=1時,.復數z為實數的幾個充要條件:(1)Im(z)=0;(2)z=z;(3)z2≥0;(4)存在非零實數k,使得|z-ki|=|z+ki|.復數z為純虛數的幾個充要條件:(1)Re(z)=0且Im(z)≠0;(2)z+z=0且z≠0;(3)z2<0;(4)存在非零實數k,使得|z-k|=|z+k|且z≠0.在上述的條件中,特別要注意對第(2)個結論的靈活運用,事實上這是一個最常用的結論.二、重要性質的應用公式zz=|z|2=|z|2在整個復數知10例1:已知|z|=1,求|z2+z+1|的最值.解1:設z=x+yi(x,y∈R),則x2+y2=1,|x|≤1,|y|≤1.故|z2+z+1|=|x2+2xyi-y2+x+yi+1|=|(x2-y2+x+1)+(2xy+y)i|=|(2x2+x)+(2x+1)yi|=|2x+1||x+yi|=|2x+1|.所以,當x=1時,|z2+z+1|最大值=3;當x=-1/2時,|z2+z+1|最小值=0.解2:由于zz=|z|2=1,故若設z=x+yi(x,y∈R),則有|z2+z+1|=|z2+z+zz|=|z||z+1+z|=|2x+1|(以下同解1).例1:已知|z|=1,求|z2+z+1|的最值.解1:設z=11例2:設非零復數z1,z2滿足|z1+z2|=|z1-z2|,求證:(z1/z2)2<0解2:解1:解3:設z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),代入條件式并利用模的計算公式可得ac+bd=0.從而可知z1/z2是純虛數,故(z1/z2)2<0.例2:設非零復數z1,z2滿足|z1+z2|=|z1-z2|12例3:求同時滿足下列兩個條件的所有復數z:(1)1<z+8/z<5;(2)z的實部和虛部都是整數.解:(1)故此時無解.(2)例3:求同時滿足下列兩個條件的所有復數z:(1)1<z+8/13練習1:設復數,求證是純虛數的充要條件是|z|=1.練習2:求復數z,使(1)|z-4|=|z-4i|;(2)是實數同時成立.答案:z=0或-2-2i或3+3i.練習3:已知|z|=1,求|z2-z+3|的最值.答案:當時,取最小值,當z=-1時,取最大值5.練習1:設復數,求證是14三、實系數一元二次方程實系數一元二次方程ax2+bx+c=0,當Δ=b2-4ac<0時,有兩個共軛虛根:此時韋達定理仍然成立,并且注意到兩根共軛,從而有幾何意義:兩根在復平面內的對應點關于x軸對稱.如方程x2+x+1=0的兩根為三、實系數一元二次方程實系數一元二次方程ax2+bx+c=015例1:設方程x2-2x+2=0的兩根為x1,x2,求x14+x24的值.解:例2:已知方程x2+x+a=0有兩虛根x1、x2,且|x1-x2|=3,求實數a.解:說明:由于x1、x2是虛根,因此原來在實根時的計算式不再成立.例1:設方程x2-2x+2=0的兩根為x1,x2,求x14+16例3:設關于x的方程x2+4x+m=0(m∈R)的兩個復數根為x1、x2,且x1、x2在復平面內對應的點分別為A、B,|AB|=2,求m的值.解:Δ=16-4m.(1)當時,又|AB|=2,故(2)當時,又|AB|=2,故綜合(1)、(2)得m=3或5.例3:設關于x的方程x2+4x+m=0(m∈R)的兩個復數根17類1:設x1、x2是關于x的方程x2-3x+m=0的兩根,m∈R,且|x1|+|x2|=4,求m的值.解:由韋達定理得:x1+x2=3①,x1x2=m②.(1)當x1,x2∈R時,Δ=9-4m≥0,m≤9/4.故當0≤m≤9/4時,則由②得x1x2≥0,從而又由①得|x1|+|x2|=x1+x2=3,與已知矛盾.所以m<0,此時x1x2<0.故得m=-7/4.(2)當x1,x2為虛根時,則x1,x2是互為共軛復數.所以有x1=x2,|x1|=|x2|.此時m>9/4.則由②得x1x2=x1x1=|x1|2=m.又由已知得,|x1|+|x2|=2|x1|=4,|x1|=2,所以m=4.類1:設x1、x2是關于x的方程x2-3x+m=0的兩根,m18類2:已知方程x2+2px+1=0的兩個虛根為x1、x2,且x1、x2、1在復平面內的對應點是一個正三角形的三個頂點,求實數p.解:由已知知Δ=4p2-4<0,得p2<1.又方程的兩個虛根為故x1的對應點為A,x2的對應點為B1的對應點為C(1,0).又由A,B關于x軸對稱,且|OA|=|OB|=1.(滿足p2<1).故所求的p值為1/2.類2:已知方程x2+2px+1=0的兩個虛根為x1、x2,且19四、小結1.進行復數的除法運算時,通常進行分母實數化.2.利用某些特殊復數的運算結果,可以常常化簡復數的運算.3.掌握重要性質以及復數為實數和純虛數的條件.4.掌握實系數一元二次方程有虛根時的理論和應用.5.在復數的運算過程中,要注意復數整體的把握和應用.五、作業：p.267~268課后強化訓練.四、小結1.進行復數的除法運算時,通常進行分母實數化.2.利20謝謝！供婁浪頹藍辣襖駒靴鋸瀾互慌仲寫繹衰斡染圾明將呆則孰盆瘸砒腥悉漠塹脊髓灰質炎(講課2019)脊髓灰質炎(講課2019)謝謝！供婁浪頹藍辣襖駒靴鋸瀾互慌仲寫繹衰斡染圾明將呆則孰盆瘸21§5.3復數的乘法與除法

§5.3復數的乘法22一、復數的乘法與除法1.復數乘法的法則復數的乘法與多項式的乘法是類似的,但必須在所得的結果中把i2換成-1,并且把實部合并.兩個復數的積仍然是一個復數,即:(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(bc+ad)i.2.復數乘法的運算定理復數的乘法滿足交換律、結合律以及乘法對加法的分配律.即對任何z1,z2,z3有z1z2=z2z1;(z1z2)z3=z1(z2z3);z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.實數集R中正整數指數的運算律,在復數集C中仍然成立.即對z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=z1nz2n.一、復數的乘法與除法1.復數乘法的法則復數的乘法與多項式的乘233:復數的一個重要性質兩個共軛復數z,z的積是一個實數,這個實數等于每一個復數的模的平方,即zz=|z|2=|z|2.4:復數的除法法則先把除式寫成分式的形式,再把分子與分母都乘以分母的共軛復數,化簡后寫成代數形式(分母實數化).即5.共軛復數的乘除性質:6.一些常用的計算結果3:復數的一個重要性質兩個共軛復數z,z的積是一個實數,這個24(1)如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i.(事實上可以把它推廣到n∈Z.(2)設,則有:事實上,與統稱為1的立方虛根,而且對于,也有類似于上面的三個等式.(3)7.例題選講例1.計算:(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i);(2)(1+2i)(3-4i)解:(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-20+15i.(2)原式=(1)如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+225例2:計算:(1)i+2i2+3i3+…+2019i2019;解:原式=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+…+(2019i-2019-2019i+2019)=501(2-2i)=1002-1002i.(2)解:原式=(3)解:原式=練習:計算:答案:(1)255-i;(2)1.例2:計算:(1)i+2i2+3i3+…+2019i201926例3:已知復數,且z2+az+b=1+i,求實數a,b.解:所以(1-i)2+a(1-i)+b=1+i,即-2i+a-ai+b=1+i,從而有:(a+b)+(-a-2)i=1+i.練習2:已知z=1+i,(1)若,求;(2)若;求a,b的值.答案:(1);(2)a=-1,b=2.例3:已知復數27OABDxyOABCxy例4:如圖所示,平行四邊形OABC(O,A,B,C按逆時針方向)中,各頂點對應的復數依次是zO=0,zA=a+ai/2,zB=-2a+3i,zC=-b+ai,(a,b為實數),求zC/zA的值.解:因為OABC是平行四邊形,OABDxyOABCxy例4:如圖所示,平行四邊形OABC(28例5:已知復數z滿足|z|=5且(3+4i)z是純虛數,求z.解1:設z=a+bi(a,b∈R),則(3+4i)z=(3a-4b)+(4a+3b)i.由已知得代入a2+b2=|z|2=25,解得a2=16.當a=4時,b=3,z=4+3i,所以z=4-3i;當a=-4時,b=-3,z=-4-3i,所以z=-4+3i.解2:由已知可設(3+4i)z=ki(k∈R且k≠0).則例5:已知復數z滿足|z|=5且(3+4i)z是純虛數,求29例6:若是純虛數,求z的對應點Z的軌跡.解:設,則z-1=ki(z+1).設z=x+yi(x,y∈R),則消去k,得x2+y2=1且y≠0.所以z的對應點Z的軌跡是以原點為圓心,1為半徑的圓,除去圓與x軸的交點(1,0)和(-1,0)例6:若是純虛數,求z的對應點Z的軌跡.解:30二、重要性質的應用公式zz=|z|2=|z|2在整個復數知識中占有十分重要的地位,它既是共軛復數與復數模的橋梁,又在處理復數為實數或純虛數時的重要工具.公式的變形:;特別地,當|z|=1時,.復數z為實數的幾個充要條件:(1)Im(z)=0;(2)z=z;(3)z2≥0;(4)存在非零實數k,使得|z-ki|=|z+ki|.復數z為純虛數的幾個充要條件:(1)Re(z)=0且Im(z)≠0;(2)z+z=0且z≠0;(3)z2<0;(4)存在非零實數k,使得|z-k|=|z+k|且z≠0.在上述的條件中,特別要注意對第(2)個結論的靈活運用,事實上這是一個最常用的結論.二、重要性質的應用公式zz=|z|2=|z|2在整個復數知31例1:已知|z|=1,求|z2+z+1|的最值.解1:設z=x+yi(x,y∈R),則x2+y2=1,|x|≤1,|y|≤1.故|z2+z+1|=|x2+2xyi-y2+x+yi+1|=|(x2-y2+x+1)+(2xy+y)i|=|(2x2+x)+(2x+1)yi|=|2x+1||x+yi|=|2x+1|.所以,當x=1時,|z2+z+1|最大值=3;當x=-1/2時,|z2+z+1|最小值=0.解2:由于zz=|z|2=1,故若設z=x+yi(x,y∈R),則有|z2+z+1|=|z2+z+zz|=|z||z+1+z|=|2x+1|(以下同解1).例1:已知|z|=1,求|z2+z+1|的最值.解1:設z=32例2:設非零復數z1,z2滿足|z1+z2|=|z1-z2|,求證:(z1/z2)2<0解2:解1:解3:設z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),代入條件式并利用模的計算公式可得ac+bd=0.從而可知z1/z2是純虛數,故(z1/z2)2<0.例2:設非零復數z1,z2滿足|z1+z2|=|z1-z2|33例3:求同時滿足下列兩個條件的所有復數z:(1)1<z+8/z<5;(2)z的實部和虛部都是整數.解:(1)故此時無解.(2)例3:求同時滿足下列兩個條件的所有復數z:(1)1<z+8/34練習1:設復數,求證是純虛數的充要條件是|z|=1.練習2:求復數z,使(1)|z-4|=|z-4i|;(2)是實數同時成立.答案:z=0或-2-2i或3+3i.練習3:已知|z|=1,求|z2-z+3|的最值.答案:當時,取最小值,當z=-1時,取最大值5.練習1:設復數,求證是35三、實系數一元二次方程實系數一元二次方程ax2+bx+c=0,當Δ=b2-4ac<0時,有兩個共軛虛根:此時韋達定理仍然成立,并且注意到兩根共軛,從而有幾何意義:兩根在復平面內的對應點關于x軸對稱.如方程x2+x+1=0的兩根為三、實系數一元二次方程實系數一元二次方程ax2+bx+c=036例1:設方程x2-2x+2=0的兩根為x1,x2,求x14+x24的值.解:例2:已知方程x2+x+a=0有兩虛根x1、x2,且|x1-x2|=3,求實數a.解:說明:由于x1、x2是虛根,因此原來在實根時的計算式不再成立.例1:設方程x2-2x+2=0的兩根為x1,x2,求x14+37例3:設關于x的方程x2+4x+m=0(m∈R)的兩個復數根為x1、x2,且x1、x2在復平面內對應的點分別為A、B,|AB|=2,求m的值.解:Δ=16-4m.(1)當時,又|AB|=2,故(2)當時,又|AB|=2,故綜合(1)、(2)得m=3或5.例3:設關于x的方程x2+4x+