4.1一等腰直角三角形OAB在其自身平面內以勻角速繞定點O轉動，某一點P以相對速度沿AB邊運動，當三角形轉了一周時，P點走過了AB，如已知，試求P點在A時的絕對速度與絕對加速度。解：如圖建立坐標系，P點的牽連速度和相對速度為：絕對速度為：4.1一等腰直角三角形OAB在其自身平面內以勻角1與三角形斜邊的夾角。絕對速度的大小為：與三角形斜邊的夾角。絕對速度的大小為：2在平面轉動參照系中，質點的絕對加速度為：

（是一恒矢量）

在平面轉動參照系中，質點的絕對加速度為：

（是一恒矢量3與三角形斜邊的夾角。

其加速度的大小為：與三角形斜邊的夾角。其加速度的大小為：4

4．2

一直線以勻角速度在一固定平面內繞其一端o轉動，當直線位于ox的位置時，有一質點P開始從o點沿該直線運動，如欲使此點的絕對速度的量值為常數。問此質點應按何種規律沿此直線運動？

解：質點相對速度大小：

牽連速度大小：

方向如圖所示絕對速度大小：

4．2一直線以勻角速度在一固定平面內5質點運動規律為：

積分質點運動規律為：積分6

4．3P

點離開圓錐頂點o，以速度沿母線作勻速運動，此圓錐則以勻角速繞其軸轉動，求開始t秒后P點絕對加速度的量值，假定圓錐體的半頂角為.解：在空間轉動參照系中，設質點t時刻在母線P處，位矢為，質點的絕對加速度為：方向指向轉動軸（在母線和轉動軸構成的平面內）4．3P點離開圓錐頂點o，以速度7方向與母線和轉動軸構成的平面垂直方向指向轉動軸（在母線和轉動軸構成的平面內）方向與母線和轉動軸構成的平面垂直方向指向轉動軸（在母線和轉動8

4．4小環重W，穿在曲線的光滑鋼絲上，此曲線通過坐標原點，并繞豎直軸oy以勻角速轉動，如欲使小環在曲線上任何位置均處于相對平衡狀態，求此曲線的形狀及曲線對小環的約束反力。

解：將小環放在曲線上任意位置，受力分析如圖所示，小環處于相對平衡時滿足：其投影形式為：

(1)(2)聯立得：4．4小環重W，穿在曲線9小環所受約束反力為：利用，對上式積分得曲線為拋物線：小環所受約束反力為：利用，10

4．5在一光滑水平直管中，有一質量m為的小球，此管以恒定角速度繞通過管子一端的豎直軸轉動，如開始時，球距轉動軸的距離為a，球相對于管子的速度為零，而管的總長則為2a，求小球剛離開管口時的相對速度與絕對速度，并求小球從開始運動到離開管口所需的時間。

解：如圖建立坐標系，小球受力分析如圖所示，對平面轉動參照系而言，質點相對運動微分方程為：（是恒矢量）小球相對管的運動微分方程為：4．5在一光滑水平直管中，有一質量m為的小11積分：

兩邊乘：

所以相對速度為：

牽連速度為：積分：兩邊乘：所以相對速度為：牽連速度為：12由小球相對管的運動微分方程：

積分：

即：

絕對速度為：絕對速度大小為：由小球相對管的運動微分方程：積分：即：絕對速度為：絕對13再積分：

再積分：14

4、6一光滑細管可沿鉛直平面內繞通過其一端的水平軸以勻角速轉動，其中有一質量為m的質點，開始時，細管取水平方向，質點距轉軸的距離為a，質點相對于管的速度為，試求質點相對于管的運動規律。

解：對平面轉動參照系而言，質點相對運動微分方程為：質點沿管方向的運動微分方程為：如圖建立坐標系，質點受力分析如圖所示.4、6一光滑細管可沿鉛直平面內繞通過其一端15設（1）式非齊次特解為：(1)式齊次方程的通解為：即：上式代入（1）得：所以（1）式的通解為：設（1）式非齊次特解為：(1)式齊次方程的通解為：即：16上式對時間求導得：利用初始條件：代入上兩式得：上式對時間求導得：利用初始條件：17即：故質點相對于管的運動規律為：即：故質點相對于管的運動規律為：18

4．7質量分別為m及的兩個質點，用一固有長度為a的彈性繩相連，繩的倔強系為，

如將此系統放在光滑的水平管中，管子繞管上某點以勻角速轉動，試求任意瞬時兩質點間的距離。設開始時，質點相對于管子是靜止的。

解：在管子上建立動坐標系，受力分析如圖所示，由平面轉動參照系的運動微分方程：4．7質量分別為m及的兩個質點，用19設任一時刻兩質點間的距離為s

得：

T為彈性力將代入上式并化簡得：設任一時刻兩質點間的距離為s得：T為彈性力將20由初始條件：

任意瞬時兩質點之間的距離為：

上式的解為：由初始條件：任意瞬時兩質點之間的距離為：上式的解為：21

4．8軸為豎直而頂點向下的拋物線形金屬絲，以勻角速繞豎直軸轉動。另有一質量為m的小環套在此金屬絲上，并沿金屬絲滑動，試求小環運動的微分方程。已知拋物線的方程為，式中a為常數，計算時可忽略摩擦阻力。解：建立固連在金屬絲上的轉動坐標系，受力分析如圖所示。z方向受力沒畫。由空間轉動參照系中的動力學方程：其分量式為：

4．8軸為豎直而頂點向下的拋物線形金屬絲，以勻角22⑴、⑵兩式消去N得：

由得：⑶、⑷兩式聯立得：即：

⑴、⑵兩式消去N得：由得：⑶、⑷兩式23由得：將代入⑸得：由得：將代入⑸得：24小環相對運動微分方程為：小環相對運動微分方程為：254．9上題中，試用兩種方法求小球相對平衡的條件。解：方法1，選取轉動參照系o—xyz，相對平衡時：小環受力分析如圖所示。得小環處于相對平衡時滿足：其投影形式為：

（1）（2）聯立得：由相對平衡方程：4．9上題中，試用兩種方法求小球相對平衡的條件。26故小環處于相對平衡時滿足：代入上式得：由得：（1）（2）聯立得：

故小環處于相對平衡時滿足：代入上式得：由27

方法2：選取慣性參照系，小環相對金屬絲靜止，則小環相對慣性系作勻速圓周運動，小環受力分析如圖所示，其所受向心力為：其投影形式為：（1）（2）聯立得：方法2：選取慣性參照系，小環相對金屬絲靜止，則小環28故小環處于相對平衡時滿足：代入上式得：由得：故小環處于相對平衡時滿足：代入上式得：由29

4．10質量為m的小環，套在半徑為a的光滑圓圈上，并可沿著圓圈滑動，圓圈在水平面內以勻角速繞圈上某點o轉動，試求小環沿圓周切線方向的運動微分方程。解：選取圓圈為平面轉動參照系，則小環運動微分方程為：

小環受力如圖所示：重力：，約束反力：（圖中未畫）牽連慣性力大小：

科氏力的大小：

方向如圖所示。

4．10質量為m的小環，套在半徑為a的30即：小環切向運動微分方程為：即：小環切向運動微分方程為：31

補充題1、M點在桿OA上按規律x=2+3t2(厘米)運動，同時桿OA繞O軸以勻角速度=2rad/s轉動。如圖所示，求當t=1s時，M點的科氏加速度的大小。解：科氏加速度：其科氏加速度大小為：補充題1、M點在桿OA上按規律x=2+32

補充題2、矩形板繞其一邊以勻角速轉動，動點沿另一邊以相對勻速度vr運動（如圖所示），求動點在圖示位置時，科氏加速度的大小。科氏加速度：

補充題3、飛機飛越北極上空，其相對速度為100m/s，若飛機質量為kg，求飛機受到的科里奧利力的大小。科里奧利力：

科里奧利力的大小為：補充題2、矩形板繞其一邊以勻角速轉動，33

補充題4、如圖所示的機構在其所在平面內運動，滑塊M在曲柄O1A與O2A相接處，且可沿BO2桿滑動。M以相對速度vr如圖示方向運動，則科氏加速度的方向為：（）A、ac垂直于vr

沿MO1指向O1

；B、ac垂直于vr

沿O1M背離O1

C、ac垂直于vr

方向不定；

D、ac=0選

B補充題4、如圖所示的機構在其所在平面內運動34

補充題5、一水平圓盤繞一過盤心且垂直于盤面之軸轉動，角速度為恒矢量，一質點M以相對速度u自圓盤上一弦之中點開始沿弦運動，弦心矩為b，當質點離弦中點為x時，求質點絕對速度的大小，絕對加速度的大小。

解：如圖所示，建立轉動坐標系o1—xy,質點相對速度為：

質點牽連速度為：

質點的絕對速度為

補充題5、一水平圓盤繞一過盤心且垂直于盤面35質點的絕對速度的大小為

質點的絕對速度的大小為36求質點的絕對加速度的大小：

方向如圖所示。平面轉動參照系中質點的加速度為求質點的絕對加速度的大小：方向如圖所示。平面轉動參照系中質37質點的絕對加速度的大小為：其中：質點的絕對加速度的大小為：其中：38

補充題6、質點以不變的速率vr沿管子運動，如圖所示。此管中部彎成半徑為R的半圓周，并繞AB軸以勻角速轉動，在質點由C運動至D的時間內，管繞AB軸轉過半周，求質點的絕對加速度大小（表示為角的函數）。空間轉動參照系中質點的加速度為解：如圖所示，建立轉動坐標系O—xyz補充題6、質點以不變的速率vr沿管子運動，39牽連加速度大小相對加速度大小科里奧利加速度的大小方向如圖所示牽連加速度大小相對加速度大小科里奧利加速度的大小方向如40質點的絕對加速度為：質點的絕對加速度的大小為：其中質點的絕對加速度為：質點的絕對加速度的大小為：其中41

補充題7、圓筒以勻角速繞鉛直軸轉動，筒內液體隨筒轉動，求相對平衡時，液體自由表面的形狀。解：選取轉動參照系o—xyz相對平衡時,液面上任一質點受力分析如圖所示。由相對平衡方程：

得小環處于相對平衡時滿足：其投影形式為：

補充題7、圓筒以勻角速繞鉛直軸轉動，筒內液42——拋物線利用，對上式積分得曲線形狀為：（1）（2）聯立得：——拋物線利用，對上式積分得曲線43

補充題8、水平圓盤繞垂直盤面且通過盤心的豎直軸以勻角速度轉動，盤上有一光滑直槽，離轉動軸的距離為b，質量為m的小球沿槽運動，求小球相對槽的運動規律及槽對小球的橫向作用力。

設t=0時，x=a,，如圖所示。解：如圖所示，建立轉動坐標系O—xyz，小球受力分析如圖所示，慣性離心力：科里奧利力：約束力:

補充題8、水平圓盤繞垂直盤面且通過盤心的豎直軸44得小球運動微分方程的分量形式為：由平面轉動參照系的動力學方程：得小球運動微分方程由平面轉動參照系的動力學方程：45（1）式的通解：

利用初始條件：得：

即：

（1）式的通解：利用初始條件：得：即：46槽對小球的橫向作用力為：小球相對槽的運動規律為：槽對小球的橫向作用力為：小球相對槽的運動規律為：47

4.1一等腰直角三角形OAB在其自身平面內以勻角速繞定點O轉動，某一點P以相對速度沿AB邊運動，當三角形轉了一周時，P點走過了AB，如已知，試求P點在A時的絕對速度與絕對加速度。解：如圖建立坐標系，P點的牽連速度和相對速度為：絕對速度為：4.1一等腰直角三角形OAB在其自身平面內以勻角48與三角形斜邊的夾角。絕對速度的大小為：與三角形斜邊的夾角。絕對速度的大小為：49在平面轉動參照系中，質點的絕對加速度為：

（是一恒矢量）

在平面轉動參照系中，質點的絕對加速度為：

（是一恒矢量50與三角形斜邊的夾角。

其加速度的大小為：與三角形斜邊的夾角。其加速度的大小為：51

4．2

一直線以勻角速度在一固定平面內繞其一端o轉動，當直線位于ox的位置時，有一質點P開始從o點沿該直線運動，如欲使此點的絕對速度的量值為常數。問此質點應按何種規律沿此直線運動？

解：質點相對速度大小：

牽連速度大小：

方向如圖所示絕對速度大小：

4．2一直線以勻角速度在一固定平面內52質點運動規律為：

積分質點運動規律為：積分53

4．3P

點離開圓錐頂點o，以速度沿母線作勻速運動，此圓錐則以勻角速繞其軸轉動，求開始t秒后P點絕對加速度的量值，假定圓錐體的半頂角為.解：在空間轉動參照系中，設質點t時刻在母線P處，位矢為，質點的絕對加速度為：方向指向轉動軸（在母線和轉動軸構成的平面內）4．3P點離開圓錐頂點o，以速度54方向與母線和轉動軸構成的平面垂直方向指向轉動軸（在母線和轉動軸構成的平面內）方向與母線和轉動軸構成的平面垂直方向指向轉動軸（在母線和轉動55

4．4小環重W，穿在曲線的光滑鋼絲上，此曲線通過坐標原點，并繞豎直軸oy以勻角速轉動，如欲使小環在曲線上任何位置均處于相對平衡狀態，求此曲線的形狀及曲線對小環的約束反力。

解：將小環放在曲線上任意位置，受力分析如圖所示，小環處于相對平衡時滿足：其投影形式為：

(1)(2)聯立得：4．4小環重W，穿在曲線56小環所受約束反力為：利用，對上式積分得曲線為拋物線：小環所受約束反力為：利用，57

4．5在一光滑水平直管中，有一質量m為的小球，此管以恒定角速度繞通過管子一端的豎直軸轉動，如開始時，球距轉動軸的距離為a，球相對于管子的速度為零，而管的總長則為2a，求小球剛離開管口時的相對速度與絕對速度，并求小球從開始運動到離開管口所需的時間。

解：如圖建立坐標系，小球受力分析如圖所示，對平面轉動參照系而言，質點相對運動微分方程為：（是恒矢量）小球相對管的運動微分方程為：4．5在一光滑水平直管中，有一質量m為的小58積分：

兩邊乘：

所以相對速度為：

牽連速度為：積分：兩邊乘：所以相對速度為：牽連速度為：59由小球相對管的運動微分方程：

積分：

即：

絕對速度為：絕對速度大小為：由小球相對管的運動微分方程：積分：即：絕對速度為：絕對60再積分：

再積分：61

4、6一光滑細管可沿鉛直平面內繞通過其一端的水平軸以勻角速轉動，其中有一質量為m的質點，開始時，細管取水平方向，質點距轉軸的距離為a，質點相對于管的速度為，試求質點相對于管的運動規律。

解：對平面轉動參照系而言，質點相對運動微分方程為：質點沿管方向的運動微分方程為：如圖建立坐標系，質點受力分析如圖所示.4、6一光滑細管可沿鉛直平面內繞通過其一端62設（1）式非齊次特解為：(1)式齊次方程的通解為：即：上式代入（1）得：所以（1）式的通解為：設（1）式非齊次特解為：(1)式齊次方程的通解為：即：63上式對時間求導得：利用初始條件：代入上兩式得：上式對時間求導得：利用初始條件：64即：故質點相對于管的運動規律為：即：故質點相對于管的運動規律為：65

4．7質量分別為m及的兩個質點，用一固有長度為a的彈性繩相連，繩的倔強系為，

如將此系統放在光滑的水平管中，管子繞管上某點以勻角速轉動，試求任意瞬時兩質點間的距離。設開始時，質點相對于管子是靜止的。

解：在管子上建立動坐標系，受力分析如圖所示，由平面轉動參照系的運動微分方程：4．7質量分別為m及的兩個質點，用66設任一時刻兩質點間的距離為s

得：

T為彈性力將代入上式并化簡得：設任一時刻兩質點間的距離為s得：T為彈性力將67由初始條件：

任意瞬時兩質點之間的距離為：

上式的解為：由初始條件：任意瞬時兩質點之間的距離為：上式的解為：68

4．8軸為豎直而頂點向下的拋物線形金屬絲，以勻角速繞豎直軸轉動。另有一質量為m的小環套在此金屬絲上，并沿金屬絲滑動，試求小環運動的微分方程。已知拋物線的方程為，式中a為常數，計算時可忽略摩擦阻力。解：建立固連在金屬絲上的轉動坐標系，受力分析如圖所示。z方向受力沒畫。由空間轉動參照系中的動力學方程：其分量式為：

4．8軸為豎直而頂點向下的拋物線形金屬絲，以勻角69⑴、⑵兩式消去N得：

由得：⑶、⑷兩式聯立得：即：

⑴、⑵兩式消去N得：由得：⑶、⑷兩式70由得：將代入⑸得：由得：將代入⑸得：71小環相對運動微分方程為：小環相對運動微分方程為：724．9上題中，試用兩種方法求小球相對平衡的條件。解：方法1，選取轉動參照系o—xyz，相對平衡時：小環受力分析如圖所示。得小環處于相對平衡時滿足：其投影形式為：

（1）（2）聯立得：由相對平衡方程：4．9上題中，試用兩種方法求小球相對平衡的條件。73故小環處于相對平衡時滿足：代入上式得：由得：（1）（2）聯立得：

故小環處于相對平衡時滿足：代入上式得：由74

方法2：選取慣性參照系，小環相對金屬絲靜止，則小環相對慣性系作勻速圓周運動，小環受力分析如圖所示，其所受向心力為：其投影形式為：（1）（2）聯立得：方法2：選取慣性參照系，小環相對金屬絲靜止，則小環75故小環處于相對平衡時滿足：代入上式得：由得：故小環處于相對平衡時滿足：代入上式得：由76

4．10質量為m的小環，套在半徑為a的光滑圓圈上，并可沿著圓圈滑動，圓圈在水平面內以勻角速繞圈上某點o轉動，試求小環沿圓周切線方向的運動微分方程。解：選取圓圈為平面轉動參照系，則小環運動微分方程為：

小環受力如圖所示：重力：，約束反力：（圖中未畫）牽連慣性力大小：

科氏力的大小：

方向如圖所示。

4．10質量為m的小環，套在半徑為a的77即：小環切向運動微分方程為：即：小環切向運動微分方程為：78

補充題1、M點在桿OA上按規律x=2+3t2(厘米)運動，同時桿OA繞O軸以勻角速度=2rad/s轉動。如圖所示，求當t=1s時，M點的科氏加速度的大小。解：科氏加速度：其科氏加速度大小為：補充題1、M點在桿OA上按規律x=2+79

補充題2、矩形板繞其一邊以勻角速轉動，動點沿另一邊以相對勻速度vr運動（如圖所示），求動點在圖示位置時，科氏加速度的大小。科氏加速度：

補充題3、飛機飛越北極上空，其相對速度為100m/s，若飛機質量為kg，求飛機受到的科里奧利力的大小。科里奧利力：

科里奧利力的大小為：補充題2、矩形板繞其一邊以勻角速轉動，80

補充題4、如圖所示的機構在其所在平面內運動，滑塊M在曲柄O1A與O2A相接處，且可沿BO2桿滑動。M以相對速度vr如圖示方向運動，則科氏加速度的方向為：（）A、ac垂直于vr

沿MO1指向O1

；B、ac垂直于vr

沿O1M背離O1

C、ac垂直于vr

方向不定；

D、ac=0選

B補充題4、如圖所示的機構在其所在平面內運動81

補充題5、一水平圓盤繞一過盤心且垂直于盤面之軸轉動，角速度為恒矢量，一質點M以相對速度u自圓盤上一弦之中點開始沿弦運動，弦心矩為b，當質點離弦中點為x時，求質點絕對速度的大小，絕對加速度的大小。

解：如圖所示，建立轉動坐標系o1—xy,質點相對速度為：

質點牽連速度為：

質點的絕對速度為

補充題5、一水平圓盤繞一過盤心且垂直于盤面82質點的絕對速度的大小為

質點的絕對速度的大小為83求質點的絕對加速度