動態問題描述對象特征隨時間(空間)的演變過程分析對象特征的變化規律預報對象特征的未來性態研究控制對象特征的手段根據函數及其變化率之間的關系確定函數微分方程建模根據建模目的和問題分析作出簡化假設按照內在規律或用類比法建立微分方程第四講微分方程建模一般處理動態連續問題動態描述對象特征隨時間(空間)的演變過程分析對象特征的變4.1人口預測和控制4.2傳染病模型方法?根據規律列方程?微元分析法

?模擬近似法

4.1人口預測和控制方法?根據規律列方程?微元分析背景年1625183019301960197419872019人口(億)5102030405060世界人口增長概況中國人口增長概況年19081933195319641982199020192000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口變化規律控制人口過快增長4.1

人口預測和控制背景年16251830指數增長模型——馬爾薩斯提出(1798)常用的計算公式x(t)~時刻t的人口基本假設

:人口(相對)增長率r是常數今年人口x0,年增長率rk年后人口隨著時間增加，人口按指數規律無限增長指數增長模型——馬爾薩斯提出(1798)常用的計算公式x(指數增長模型的應用及局限性與19世紀以前歐洲一些地區人口統計數據吻合適用于19世紀后遷往加拿大的歐洲移民后代可用于短期人口增長預測不符合19世紀后多數地區人口增長規律不能預測較長期的人口增長過程19世紀后人口數據人口增長率r不是常數(逐漸下降)指數增長模型的應用及局限性與19世紀以前歐洲一些地區人口統阻滯增長模型(Logistic模型)人口增長到一定數量后，增長率下降的原因：資源、環境等因素對人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數量增加而變大假設r~固有增長率(x很小時)xm~人口容量（資源、環境能容納的最大數量）r是x的減函數阻滯增長模型(Logistic模型)人口增長到一定數量后，增dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x增加先快后慢x0xm/2阻滯增長模型(Logistic模型)dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x參數估計用指數增長模型或阻滯增長模型作人口預報，必須先估計模型參數r或r,xm利用統計數據用最小二乘法作擬合例：美國人口數據（單位~百萬）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4專家估計阻滯增長模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392.1參數估計用指數增長模型或阻滯增長模型作人口利用統計數據用最模型檢驗用模型計算2000年美國人口，與實際數據比較實際為281.4(百萬)模型應用——預報美國2019年的人口加入2000年人口數據后重新估計模型參數Logistic模型在經濟領域中的應用(如耐用消費品的售量)阻滯增長模型(Logistic模型)r=0.2490,xm=434.0x(2019)=306.0模型檢驗用模型計算2000年美國人口，與實際數據比較實際為2年齡分布對于人口預測的重要性只考慮自然出生與死亡，不計遷移人口發展方程離散：Leslie年齡分布對于人口預測的重要性只考慮自然出生與死亡，不計遷4.2傳染病模型問題描述傳染病的傳播過程分析受感染人數的變化規律預報傳染病高潮到來的時刻預防傳染病蔓延的手段按照傳播過程的一般規律，用機理分析方法建立模型4.2傳染病模型問題描述傳染病的傳播過程分析受感染已感染人數(病人)i(t)每個病人每天有效接觸(足以使人致病)人數為模型1假設若有效接觸的是病人，則不能使病人數增加必須區分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?已感染人數(病人)i(t)每個病人每天有效接觸(足以模型2區分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設1）總人數N不變，病人和健康人的比例分別為2）每個病人每天有效接觸人數為,且使接觸的健康人致病建模~日接觸率SI模型模型2區分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設1）總人數模型21/2tmii010ttm~傳染病高潮到來時刻(日接觸率)tmLogistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大模型21/2tmii010ttm~傳染病高潮到來時刻(日模型3傳染病無免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染增加假設SIS模型3）病人每天治愈的比例為~日治愈率建模~日接觸率1/~感染期~一個感染期內每個病人的有效接觸人數，稱為接觸數。模型3傳染病無免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感模型3i0i0接觸數=1~閾值感染期內有效接觸感染的健康者人數不超過病人數1-1/i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01>10ti>11-1/i0t1di/dt<0模型3i0i0接觸數=1~閾值感染期內有效接觸感染的模型4傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統，稱移出者SIR模型假設1）總人數N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為2）病人的日接觸率,日治愈率,

接觸數=/建模需建立的兩個方程模型4傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統，稱移出者S模型4SIR模型無法求出的解析解在相平面上研究解的性質模型4SIR模型無法求出在相平面模型4消去dtSIR模型相軌線的定義域相軌線11si0D在D內作相軌線的圖形，進行分析模型4消去dtSIR模型相軌線的定義域si101D模型4SIR模型相軌線及其分析傳染病蔓延傳染病不蔓延s(t)單調減相軌線的方向P1s0imP1:s0>1/i(t)先升后降至0P2:s0<1/

i(t)單調降至01/~閾值P3P4P2S0si101D模型4SIR模型相軌線及其分模型4SIR模型預防傳染病蔓延的手段(日接觸率)衛生水平(日治愈率)醫療水平傳染病不蔓延的條件——s0<1/的估計降低s0提高r0提高閾值1/降低(=/),群體免疫模型4SIR模型預防傳染病蔓延的手段(日接觸率)模型4SIR模型被傳染人數的估計記被傳染人數比例x<<s0i0P1i00,s01小,s01提高閾值1/降低被傳染人數比例xs0-1/=模型4SIR模型被傳染人數的估計記被傳染人數比例x<<s0i模型5傳染病有潛伏期SEIR模型假設1）總人數N不變，病人、健康人、潛伏者和移出者的比例分別為2）病人的日接觸率,日治愈率,

接觸數=/建模建立方程3）單位時間內潛伏者以比例常數轉為染病者模型5傳染病有潛伏期SEIR模型假設1）總人數N不變，病人、模型5SEIR模型模型5SEIR模型描述對象特征隨時間(空間)的演變過程課件25動態問題描述對象特征隨時間(空間)的演變過程分析對象特征的變化規律預報對象特征的未來性態研究控制對象特征的手段根據函數及其變化率之間的關系確定函數微分方程建模根據建模目的和問題分析作出簡化假設按照內在規律或用類比法建立微分方程第四講微分方程建模一般處理動態連續問題動態描述對象特征隨時間(空間)的演變過程分析對象特征的變4.1人口預測和控制4.2傳染病模型方法?根據規律列方程?微元分析法

?模擬近似法

4.1人口預測和控制方法?根據規律列方程?微元分析背景年1625183019301960197419872019人口(億)5102030405060世界人口增長概況中國人口增長概況年19081933195319641982199020192000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口變化規律控制人口過快增長4.1

人口預測和控制背景年16251830指數增長模型——馬爾薩斯提出(1798)常用的計算公式x(t)~時刻t的人口基本假設

:人口(相對)增長率r是常數今年人口x0,年增長率rk年后人口隨著時間增加，人口按指數規律無限增長指數增長模型——馬爾薩斯提出(1798)常用的計算公式x(指數增長模型的應用及局限性與19世紀以前歐洲一些地區人口統計數據吻合適用于19世紀后遷往加拿大的歐洲移民后代可用于短期人口增長預測不符合19世紀后多數地區人口增長規律不能預測較長期的人口增長過程19世紀后人口數據人口增長率r不是常數(逐漸下降)指數增長模型的應用及局限性與19世紀以前歐洲一些地區人口統阻滯增長模型(Logistic模型)人口增長到一定數量后，增長率下降的原因：資源、環境等因素對人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數量增加而變大假設r~固有增長率(x很小時)xm~人口容量（資源、環境能容納的最大數量）r是x的減函數阻滯增長模型(Logistic模型)人口增長到一定數量后，增dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x增加先快后慢x0xm/2阻滯增長模型(Logistic模型)dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x參數估計用指數增長模型或阻滯增長模型作人口預報，必須先估計模型參數r或r,xm利用統計數據用最小二乘法作擬合例：美國人口數據（單位~百萬）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4專家估計阻滯增長模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392.1參數估計用指數增長模型或阻滯增長模型作人口利用統計數據用最模型檢驗用模型計算2000年美國人口，與實際數據比較實際為281.4(百萬)模型應用——預報美國2019年的人口加入2000年人口數據后重新估計模型參數Logistic模型在經濟領域中的應用(如耐用消費品的售量)阻滯增長模型(Logistic模型)r=0.2490,xm=434.0x(2019)=306.0模型檢驗用模型計算2000年美國人口，與實際數據比較實際為2年齡分布對于人口預測的重要性只考慮自然出生與死亡，不計遷移人口發展方程離散：Leslie年齡分布對于人口預測的重要性只考慮自然出生與死亡，不計遷4.2傳染病模型問題描述傳染病的傳播過程分析受感染人數的變化規律預報傳染病高潮到來的時刻預防傳染病蔓延的手段按照傳播過程的一般規律，用機理分析方法建立模型4.2傳染病模型問題描述傳染病的傳播過程分析受感染已感染人數(病人)i(t)每個病人每天有效接觸(足以使人致病)人數為模型1假設若有效接觸的是病人，則不能使病人數增加必須區分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?已感染人數(病人)i(t)每個病人每天有效接觸(足以模型2區分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設1）總人數N不變，病人和健康人的比例分別為2）每個病人每天有效接觸人數為,且使接觸的健康人致病建模~日接觸率SI模型模型2區分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設1）總人數模型21/2tmii010ttm~傳染病高潮到來時刻(日接觸率)tmLogistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大模型21/2tmii010ttm~傳染病高潮到來時刻(日模型3傳染病無免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染增加假設SIS模型3）病人每天治愈的比例為~日治愈率建模~日接觸率1/~感染期~一個感染期內每個病人的有效接觸人數，稱為接觸數。模型3傳染病無免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感模型3i0i0接觸數=1~閾值感染期內有效接觸感染的健康者人數不超過病人數1-1/i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01>10ti>11-1/i0t1di/dt<0模型3i0i0接觸數=1~閾值感染期內有效接觸感染的模型4傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統，稱移出者SIR模型假設1）總人數N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為2）病人的日接觸率,日治愈率,

接觸數=/建模需建立的兩個方程模型4傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統，稱移出者S模型4SIR模型無法求出的解析解在相平面上研究解的性質模型4SIR模型無法求出在相平面模型4消去dtSIR模型相軌線的定義域相軌線11si0D在D內作相軌線的圖形，進行分析模型4消去dtSIR模型相軌線的定義域si101D模型4SIR模型相軌線及其分析傳染病蔓延傳染病不蔓延s(t)單調減