1集合及其運算實數的性質

小結作業區間與鄰域第一節集合與實數集第一章函數確界與確界原理1集合及其運算實數的性質小結作業區間與鄰域第一節21.集合(set)概念與記號具有某種特定性質的事物的總體.組成這個集合的事物稱為該集合與實數集一、集合及其運算

集合元素(簡稱元)(集)元素(element).集合的通常以大寫字母等表示集合,以小寫字母等表示集合的元素.否則記記作或21.集合(set)概念與記號具有某種特定性質的事物的總體3集合分類有限集無限集只含有限個元素;不是有限集的集合.列舉法表示集合方法有兩種描述法

把集合的全部元素一一列出來,例考察由下列元素可以用列舉法將其表示成列舉法有很大的局限性.組成的集合外加花括號.集合與實數集3集合分類有限集無限集只含有限個元素;不是有限集的集合.列舉4如:由不超過的奇數組成的集合,其元素有50億個,要把它們全部寫出來,且有很多集合,其元素是很多紙張!根本無法一一羅列出來.得用很多時間,不可數的,

更常用的是列出規定這個集合特定性質P的辦法來表示集合,就是描述法.花括號中豎線前的x而豎線后是M中元素的通用符號,則是x所具有的性質.可用列舉法表示為的根組成的集合也可用描述法表示為例由方程集合與實數集4如:由不超過的奇數組成的集合,其元素有50億個,要把它們全5注對幾個常用的數集規定記號如下數集的字母的數集內排除0的集.“”“”數集內排除0與負數的集.全體非負整數即自然數的集合N即N,全體正整數的集合為N+全體整數的集合記作Z,即Z右上角標上:集合與實數集5注對幾個常用的數集規定記號如下數集的字母的數集內排除0的集6全體有理數的集合即QZ,N+全體實數的集合R＊為排除0的實數集,R+為全體正實數的集.記作Q,記作R,全體復數的集合記作C,即CR,集合與實數集6全體有理數的集合即QZ,N+全體實數的集合R＊為排除0的實7兩個集合一般地,如

則子集則稱集合A與B相等,記作則稱2.集合(set)的關系及集合的運算(1)集合的關系子集,(讀作A包含于B)或(讀作B包含

A).集合相等記作集合與實數集7兩個集合一般地,如則子集則稱集合A與B相等,記作則稱2.8如空集.不含任何元素的集合稱為則稱真子集記作如NZQR.真子集,空集規定空集為任何集合的子集.今后在提到一個集合時,一般都是如不加特別聲明,非空集.集合與實數集8如空集.不含任何元素的集合稱為則稱真子集記作如NZQR.真92.集合(set)的關系及集合的運算

集合的基本運算有三種:并集,交集,差集.即記作設A,B是兩個集合,由所有屬于A稱為A與B的并集,A∪BA∪B,(2)集合的運算于B元素或者屬組成的集合,集合與實數集92.集合(set)的關系及集合的運算集合的基本運算有三10稱為A與B的記作即交集,由所有既屬于A由所有屬于A稱為A與B的差集,記作即又屬于B元素

集合的基本運算有三種:并,交,差.A∩BA∩B,組成的集合,而不屬于B的元素組成的集合,兩個集的并與交可推廣到任意多個集推廣并與交.集合與實數集10稱為A與B的記作即交集,由所有既屬于A由所有屬于A稱為A11注研究某個問題時所考慮的對象的全體記作例如,則余集或補集.A∪BA∩B并用I表示,稱為全集或基本集,并把差積特別稱為A的例如,在實數集R中,集合的余集集合與實數集11注研究某個問題時所考慮的對象的全體記作例如,則余集或補集123.集合(set)的運算法則為任意三個集合,則下列法則成立:(1)交換律A∪B=B∪A,A∩B=B∩A;(2)結合律

(A∪B)∪C=A∪(B∪C),

(A∩B)∩C=A∩(B∩C);(3)分配律

(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C),

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C);(4)對偶律(A∪B)C=AC∩BC,(A∩B)C=AC∪

BC;集合與實數集123.集合(set)的運算法則為任意三個集合,則下列法則13(5)冪等律A∪AA∩A(6)吸收律A∪=A,=A;=A,A∩=4.直積(乘積集或笛卡兒乘積)法國數學家、哲學家(Descartes1596~1650年)設A,B是兩個集合,則稱為A,B的直積.如,又如,即為xOy面上全體點的集合,常記作即集合與實數集13(5)冪等律A∪AA∩A(6)吸收律A∪=A,=145.邏輯符號

在邏輯推理過程中最常用的兩個邏輯記號“”表示“任取”,或“任意給定”.“”表示“存在”,“至少存在一個”,或“能夠找到”.

如實數的阿基米德(Archmed)公理是這樣敘述的:任意給定兩個正的實數a,b,都存在一個自然數n,用邏輯符號將阿基米德公理改寫:Any(每一個)或All(所有的)的字頭A的倒寫Exist(存在)的字頭E的倒寫練習集合與實數集145.邏輯符號在邏輯推理過程中最常用的兩15符號“”

表示“蘊含”,或“推出”.符號“”

表示“等價”,或“充分必要”.集合與實數集15符號“”表示“蘊含”,或“推出”.符16二、實數的性質實數的性質:1.實數對加減乘除運算是封閉的;2.實數是有序的;3.實數具有稠密性;4.實數與數軸上的點一一對應.集合與實數集16二、實數的性質實數的性質:1.實數對加減乘除運算是封17常用的不等式.(1).絕對值(absolutevalue)不等式運算性質集合與實數集絕對值不等式17常用的不等式.(1).絕對值(absoluteval18(2).伯努利(Bernoulli)不等式(3).平均值不等式用數學歸納法可證上面兩個不等式.集合與實數集18(2).伯努利(Bernoulli)不等式(3).平19三、區間與鄰域稱為稱為開區間,閉區間,1.區間集合與實數集19三、區間與鄰域稱為稱為開區間,閉區間,1.區間集合與20稱為有限區間無限區間半開半閉區間.全體實數的集合R

也可記作是無限區間.集合與實數集20稱為有限區間無限區間半開半閉區間.全體實數的集合R也可21區間長度的定義兩端點間的距離(線段的長度)稱為區間的今后在不需要辨明所論區間是否包含有限區間、稱它為“區間”,常用I表示.長度.無限區間的場合,注端點、簡單地集合與實數集21區間長度的定義兩端點間的距離(線段的長度)稱為區間的今后222.鄰域(neighbourhood)

數集即

鄰域,

記作幾何表示集合與實數集222.鄰域(neighbourhood)數集即鄰域,23

有時簡記為去心(空心)

即兩個閉區間的直積表示xOy平面上的矩形區域.如,即為xOy平面上的矩形區域,這個區域在x軸與y軸上的投影分別為閉區間和閉區間集合與實數集23有時簡記為去心(空心)即兩個閉區間的直積表示xOy平24四、確界與確界原理對于有限數集,一定有最大值和最小值.如,但對于無限數集,就未必有最大值和最小值.如,沒有最大值和最小值.Maximumminimum集合與實數集24四、確界與確界原理對于有限數集,一定有最大值和最小值.如25定義1:

設E為一非空數集,如果存在數M,使得對則稱M是E的一個上界下界若數集E既有上界又有下界,則稱E為有界數集,否則就稱為無界數集.思考:1.若數集E有上(或下)界,則其上(或下)界是否唯一?2.是否任何一個數集都有上(或下)界?集合與實數集25定義1:設E為一非空數集,如果存在數M,使得對則26結論:任何一個有限區間都是有界數集,任何一個無限區間都是無界數集.定義2(確界).

設E為一非空數集,若數是E的一個上界,且對E的任意一個上界上確界(最小的上界).記作(下)(下)下確界(最大的下界).Supermuminfimum集合與實數集26結論:任何一個有限區間都是有界數集,任何一個無限區間都是27例設求其上(下)確界.思考:一個有界數集是否一定有上(下)確界?若有,是否唯一?集合與實數集27例設求其上(下)確界.思考:一個有界數集是否一定有28定理1(確界原理)一個非空有上(下)界的數集必存在上(下)確界.由實數理論可證.定理2(1)設E是有上界的非空數集,記集合與實數集實數的完備性或連續性(2)設E是有下界的非空數集,記利用反證法可證.進一步說明上（下）確界是最小（大）的上（下）界28定理1(確界原理)一個非空有上(下)界的數集必存在上(下29結論：(1)設E是有上界的非空數集,則(2)設E是有下界的非空數集,則定義3（確界）集合與實數集29結論：(1)設E是有上界的非空數集,則(2)設E30定理3若數集E包含了它的一個上界則例設求其上(下)確界.集合與實數集30定理3若數集E包含了它的一個上界則例設求其上(下)確31集合與實數集例設E是非空的有界數集,定義試證明：證明：則從而31集合與實數集例設E是非空的有界數集,定義試證明：證明：則32五、小結集合集合概念,集合的運算,實數的性質確界與確界原理區間,鄰域,集合與實數集32五、小結集合集合概念,集合的運算,實數的性質確界與確界原33作業習題1.1P7-8(A)10.(3)

(B)7.(1)8.（1）10.

集合與實數集33作業習題1.1P7-8(A)10.34集合及其運算實數的性質

小結作業區間與鄰域第一節集合與實數集第一章函數確界與確界原理1集合及其運算實數的性質小結作業區間與鄰域第一節351.集合(set)概念與記號具有某種特定性質的事物的總體.組成這個集合的事物稱為該集合與實數集一、集合及其運算

集合元素(簡稱元)(集)元素(element).集合的通常以大寫字母等表示集合,以小寫字母等表示集合的元素.否則記記作或21.集合(set)概念與記號具有某種特定性質的事物的總體36集合分類有限集無限集只含有限個元素;不是有限集的集合.列舉法表示集合方法有兩種描述法

把集合的全部元素一一列出來,例考察由下列元素可以用列舉法將其表示成列舉法有很大的局限性.組成的集合外加花括號.集合與實數集3集合分類有限集無限集只含有限個元素;不是有限集的集合.列舉37如:由不超過的奇數組成的集合,其元素有50億個,要把它們全部寫出來,且有很多集合,其元素是很多紙張!根本無法一一羅列出來.得用很多時間,不可數的,

更常用的是列出規定這個集合特定性質P的辦法來表示集合,就是描述法.花括號中豎線前的x而豎線后是M中元素的通用符號,則是x所具有的性質.可用列舉法表示為的根組成的集合也可用描述法表示為例由方程集合與實數集4如:由不超過的奇數組成的集合,其元素有50億個,要把它們全38注對幾個常用的數集規定記號如下數集的字母的數集內排除0的集.“”“”數集內排除0與負數的集.全體非負整數即自然數的集合N即N,全體正整數的集合為N+全體整數的集合記作Z,即Z右上角標上:集合與實數集5注對幾個常用的數集規定記號如下數集的字母的數集內排除0的集39全體有理數的集合即QZ,N+全體實數的集合R＊為排除0的實數集,R+為全體正實數的集.記作Q,記作R,全體復數的集合記作C,即CR,集合與實數集6全體有理數的集合即QZ,N+全體實數的集合R＊為排除0的實40兩個集合一般地,如

則子集則稱集合A與B相等,記作則稱2.集合(set)的關系及集合的運算(1)集合的關系子集,(讀作A包含于B)或(讀作B包含

A).集合相等記作集合與實數集7兩個集合一般地,如則子集則稱集合A與B相等,記作則稱2.41如空集.不含任何元素的集合稱為則稱真子集記作如NZQR.真子集,空集規定空集為任何集合的子集.今后在提到一個集合時,一般都是如不加特別聲明,非空集.集合與實數集8如空集.不含任何元素的集合稱為則稱真子集記作如NZQR.真422.集合(set)的關系及集合的運算

集合的基本運算有三種:并集,交集,差集.即記作設A,B是兩個集合,由所有屬于A稱為A與B的并集,A∪BA∪B,(2)集合的運算于B元素或者屬組成的集合,集合與實數集92.集合(set)的關系及集合的運算集合的基本運算有三43稱為A與B的記作即交集,由所有既屬于A由所有屬于A稱為A與B的差集,記作即又屬于B元素

集合的基本運算有三種:并,交,差.A∩BA∩B,組成的集合,而不屬于B的元素組成的集合,兩個集的并與交可推廣到任意多個集推廣并與交.集合與實數集10稱為A與B的記作即交集,由所有既屬于A由所有屬于A稱為A44注研究某個問題時所考慮的對象的全體記作例如,則余集或補集.A∪BA∩B并用I表示,稱為全集或基本集,并把差積特別稱為A的例如,在實數集R中,集合的余集集合與實數集11注研究某個問題時所考慮的對象的全體記作例如,則余集或補集453.集合(set)的運算法則為任意三個集合,則下列法則成立:(1)交換律A∪B=B∪A,A∩B=B∩A;(2)結合律

(A∪B)∪C=A∪(B∪C),

(A∩B)∩C=A∩(B∩C);(3)分配律

(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C),

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C);(4)對偶律(A∪B)C=AC∩BC,(A∩B)C=AC∪

BC;集合與實數集123.集合(set)的運算法則為任意三個集合,則下列法則46(5)冪等律A∪AA∩A(6)吸收律A∪=A,=A;=A,A∩=4.直積(乘積集或笛卡兒乘積)法國數學家、哲學家(Descartes1596~1650年)設A,B是兩個集合,則稱為A,B的直積.如,又如,即為xOy面上全體點的集合,常記作即集合與實數集13(5)冪等律A∪AA∩A(6)吸收律A∪=A,=475.邏輯符號

在邏輯推理過程中最常用的兩個邏輯記號“”表示“任取”,或“任意給定”.“”表示“存在”,“至少存在一個”,或“能夠找到”.

如實數的阿基米德(Archmed)公理是這樣敘述的:任意給定兩個正的實數a,b,都存在一個自然數n,用邏輯符號將阿基米德公理改寫:Any(每一個)或All(所有的)的字頭A的倒寫Exist(存在)的字頭E的倒寫練習集合與實數集145.邏輯符號在邏輯推理過程中最常用的兩48符號“”

表示“蘊含”,或“推出”.符號“”

表示“等價”,或“充分必要”.集合與實數集15符號“”表示“蘊含”,或“推出”.符49二、實數的性質實數的性質:1.實數對加減乘除運算是封閉的;2.實數是有序的;3.實數具有稠密性;4.實數與數軸上的點一一對應.集合與實數集16二、實數的性質實數的性質:1.實數對加減乘除運算是封50常用的不等式.(1).絕對值(absolutevalue)不等式運算性質集合與實數集絕對值不等式17常用的不等式.(1).絕對值(absoluteval51(2).伯努利(Bernoulli)不等式(3).平均值不等式用數學歸納法可證上面兩個不等式.集合與實數集18(2).伯努利(Bernoulli)不等式(3).平52三、區間與鄰域稱為稱為開區間,閉區間,1.區間集合與實數集19三、區間與鄰域稱為稱為開區間,閉區間,1.區間集合與53稱為有限區間無限區間半開半閉區間.全體實數的集合R

也可記作是無限區間.集合與實數集20稱為有限區間無限區間半開半閉區間.全體實數的集合R也可54區間長度的定義兩端點間的距離(線段的長度)稱為區間的今后在不需要辨明所論區間是否包含有限區間、稱它為“區間”,常用I表示.長度.無限區間的場合,注端點、簡單地集合與實數集21區間長度的定義兩端點間的距離(線段的長度)稱為區間的今后552.鄰域(neighbourhood)

數集即

鄰域,

記作幾何表示集合與實數集222.鄰域(neighbourhood)數集即鄰域,56

有時簡記為去心(空心)

即兩個閉區間的直積表示xOy平面上的矩形區域.如,即為xOy平面上的矩形區域,這個區域在x軸與y軸上的投影分別為閉區間和閉區間集合與實數集23有時簡記為去心(空心)即兩個閉區間的直積表示xOy平57四、確界與確界原理對于有限數集,一定有最大值和最小值.如,但對于無限數集,就未必有最大值和最小值.如,沒有最大值和最小值.Maximumminimum集合與實數集24四、確界與確界原理對于有限數集,一定有最大值和最小值.如58定義1:

設E為一非空數集,如果存在數M,使得對則稱M是E的一個上界下界若數集E既有上界又有下界,則稱E為有界數集,否則就稱為無界數集.思考:1.若數集E有上(或下)界,則其上(或下)界是否唯一?2.是否任何一個數集都有上(或下