學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精PAGEPAGE23學必求其心得，業必貴于專精母題十八數列的通項公式及前n項和【母題原題1】【2018天津,理18】設是等比數列,公比大于0，其前n項和為,是等差數列．已知,，，．（I）求和的通項公式；（II）設數列的前n項和為,（i）求；(ii）證明．【考點分析】本小題主要考查等差數列的通項公式，等比數列的通項公式及前n項和公式等基礎知識．考查等差數列求和的基本方法和運算求解能力．滿分13分．【答案】（I）;（II）（i）．(ii）證明見解析．【解析】試題分析：(I）由題意得到關于的方程，解方程可得,則．結合等差數列通設等差數列的公差為，由，可得由,可得從而故所以數列的通項公式為，數列的通項公式為（II）（i)由（I)，有，故．（ii）證明:，．【名師點睛】本題主要考查數列通項公式的求解，數列求和的方法，數列中的指數裂項方法等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力．【母題原題2】【2017天津，理18】已知為等差數列，前n項和為，是首項為2的等比數列，且公比大于0，，，．（Ⅰ）求和的通項公式;（Ⅱ）求數列的前n項和．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）．聯立①②，解得，，由此可得．所以，數列的通項公式為，數列的通項公式為．(Ⅱ）設數列的前項和為，由，,有，故，，上述兩式相減,得：，得．所以，數列的前項和為．【考點】等差數列、等比數列、數列求和【名師點睛】利用等差數列和等比數列通項公式及前項和公式列方程組求數列的首項和公差或公比，進而寫出通項公式及前項和公式，這是等差數列、等比數列的基本要求，數列求和的方法有倒序相加法、錯位相減法、裂項相消法和分組求和法等,本題考查的是錯位相減法求和．【母題原題3】【2016天津，理18】已知是各項均為正數的等差數列，公差為，對任意的是和的等比中項．(Ⅰ)設，求證:是等差數列；（Ⅱ)設,求證：【答案】(Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）詳見解析，易得結論．試題解析：（I）證明：，為定值，∴為等差數列．(II)證明：（*)由已知，將代入（*）式得，∴,得證．【名師點睛】分組轉化法求和的常見類型（1）若an＝bn±cn，且{bn｝，{cn}為等差或等比數列，可采用分組求和法求｛an｝的前n項和．（2）通項公式為an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(bn,n為奇數，，cn，n為偶數))的數列，其中數列｛bn｝，{cn}是等比數列或等差數列,可采用分組求和法求和．【母題原題4】【2015天津,理18】已知數列滿足，且成等差數列．（I)求的值和的通項公式；(II)設，求數列的前項和．【答案】(I）；(II)．當時,，所以的通項公式為(II)由(I）得,設數列的前項和為，則，,兩式相減得，整理得，所以數列的前項和為．【名師點睛】本題主要考查等差、等比數列定義與性質，求和公式以及錯位相減法求和的問題,通過等差數列定義、等比數列性質，分為奇偶數討論求通項公式，并用錯位相減法基本思想求和．是中檔題．【命題意圖】高考對本部分內容的考查基礎知識為主,重點考查求數列的通項公式和數列求和問題．【命題規律】高考試題對該部分內容考查的主要角度有：其一求數列的通項公式，其二數列求和，其三證明數列成等差數列或成等比數列．【答題模板】解答本類題目，以2017年試題為例，一般考慮如下三步：第一步：求數列的通項公式：本題從等比數列入手，由于，設公比為,表達出和，利用列方程求出，寫出的通項公式；第二步：求數列的通項公式:借助第一步的結果，由于數列成等差數列,設公差為，結合，解方程組求出和，寫出數列的通項公式．第三步:利用錯位相減法求和：列出數列的前n項和，兩邊同乘以4，兩式相減后求和．【方法總結】1．數列中與的關系:an＝eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，，Sn－Sn－1,n≥2.))2．等差數列（1）等差數列的有關概念①定義：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數,那么這個數列就叫做等差數列．符號表示為為常數．②等差中項：數列成等差數列的充要條件是,其中叫做的等差中項．(2）等差數列的有關公式①通項公式：．②前項和公式:．（3）等差數列的性質已知數列是等差數列，是其前項和．①通項公式的推廣：．②若，則．③若的公差為，則也是等差數列,公差為．④若是等差數列，則也是等差數列．⑤數列，…構成等差數列．（4）．妙設等差數列中的項若奇數個數成等差數列，可設中間三項為；若偶數個數成等差數列，可設中間兩項為，其余各項再依據等差數列的定義進行對稱設元．（5）等差數列的四種判斷方法①定義法：為常數?是等差數列．②等差中項法：（n∈N*)?是等差數列．③通項公式：(為常數)?是等差數列．④前n項和公式:（為常數）?是等差數列．3．等比數列（1）等比數列的有關概念①定義如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(不為零），那么這個數列就叫做等比數列．這個常數叫做等比數列的公比，通常用字母q表示，定義的表達式為．②等比中項如果a、G、b成等比數列,那么G叫做a與b的等比中項．即：G是a與b的等比中項?G2＝ab．“a，G，b成等比數列”是“G是a與b的等比中項”的充分不必要條件．(2)等比數列的有關公式①通項公式：．②前項和公式：；（3)等比數列的性質已知數列是等比數列,是其前n項和．(m，n，p，q，r,k∈N*)①若，則;②數列…仍是等比數列；③數列，…仍是等比數列（此時｛an｝的公比）．(4)等比數列的三種判定方法（1）定義：?是等比數列．（2）通項公式:均是不為零的常數,?是等比數列．（3）等比中項法：?是等比數列．(5）求解等比數列的基本量常用的思想方法①方程的思想：等比數列的通項公式、前n項和公式中聯系著五個量：，已知其中三個量，可以通過解方程(組)求出另外兩個量；其中基本量是a1與q，在解題中根據已知條件建立關于a1與q的方程或者方程組,是解題的關鍵．②分類討論思想:在應用等比數列前n項和公式時，必須分類求和，當時，；當時,；在判斷等比數列單調性時，也必須對與分類討論．5．數列求和的常用方法（1）公式法：直接利用等差數列、等比數列的前n項和公式求和等差數列的前n項和公式：Sn＝eq\f(na1＋an，2)＝na1＋eq\f(nn－1，2)d；等比數列的前n項和公式：Sn＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（na1，q＝1，\f（a1－anq,1－q）＝\f（a11－qn，1－q）,q≠1。))（2）倒序相加法：如果一個數列｛an｝的前n項中首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前n項和即可用倒序相加法，如等差數列的前n項和公式即是用此法推導的．（3）錯位相減法：如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那么這個數列的前n項和即可用此法來求，如等比數列的前n項和公式就是用此法推導的．（4)裂項相消法:把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消,從而求得其和．（5）分組轉化求和法：一個數列的通項公式是由若干個等差數列或等比數列或可求和的數列組成，則求和時可用分組求和法,分別求和而后相加減．（6）并項求和法：一個數列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和．形如an＝（－1）nf（n）類型，可采用兩項合并求解．例如，．1．【2018天津南開中學模擬】已知數列是首項的等差數列，設．（1）求證：是等比數列；(2）記，求數列的前項和；（3）在（2)的條件下，記,若對任意正整數，不等式恒成立，求整數的最大值．【答案】（1）證明見解析；（2);（3）11．詳解:（1）由及，得,所以．因為，所以,即．則，所以數列是首項,公比的等比數列．（2）由（1),得，所以(3）因為，則問題轉化為對任意正整數使不等式恒成立．設,則．所以，故的最小值是/．由，得整數可取最大值為11．【名師點睛】該題考查的是有關數列的問題,涉及到的知識點有用定義證明等比數列，對數的運算，裂項相消法求和,恒成立問題求有關參數的取值范圍和最值問題，在解題的過程中，注意對公式的正確使用以及對問題的正確理解．2．【2018天津河西區三模】已知數列的前項和為，數列是首項為1，公差為2的等差數列．（1)求數列的通項公式；（2）設數列滿足，求數列的前項和．【答案】（1）；（2）．【解析】分析：（1）利用進行求解;（2）利用類似的方法求出,進而求出，再利用等比數列的求和公式進行求解．相減可得:，又，解得，時，對上式也成立，∴,∴，∴數列的前項和．【名師點睛】利用數列的通項公式和前項和公式的關系求通項時，要注意為分段函數，解題時容易忽視驗證“”的通項是否滿足的通項．3．【2018天津部分區二模】已知數列的奇數項依次成公比為2的等比數列，偶數項依次成公差為4的等差數列，數列的前項和為，且，．（1)求數列的通項公式；（2）令，求數列的前項和．【答案】（1)；（2）．【解析】分析:（I)設數列的奇數項的公比為，偶數項的公差為．由已知，，可得，為奇數時，，為偶數時，；

（II）由(1）知．為偶數時，，為奇數時，．詳解：（1）設數列的奇數項的公比為，偶數項的公差為．由已知，得．∵，∴，解得為奇數時，；為偶數時，,∴（2）由(1）知即為偶數時，為奇數時，，．【名師點睛】本題考查數列的性質和綜合運用,分類討論思想，難度較大．解題時要認真審題，仔細解答．4．【2018天津河東區二模】已知等比數列滿足條件，,．（1）求數列的通項公式；（2）數列滿足,，求的前項和．【答案】（1）（2)【解析】分析：第一問首先利用等比數列的通項公式得到數列的首項和公比所滿足的條件，從而求得相關的值，得到該數列的通項公式；第二問利用和與項的關系，得到,，再將時的情況進行驗證，得到，,之后應用錯位相減法對數列求和即可得結果．詳解：（1）設的通項公式為,綜上，①②由①—②得到，【名師點睛】該題考查的是有關數列的通項公式與求和的問題,在求解的過程中，注意對等比數列的通項公式的應用，得到題中的數列的首項和公比所滿足的條件，從而求得結果;再者就是利用和與項的關系求通項的時候，需要對首項進行驗證,在應用錯位相減法求和時，需要明確步驟應該怎么寫．5．【2018天津河北區二模】已知等差數列｛｝中，=1，且，,成等比數列．（I）求數列{｝的通項公式及前n項和；（II)設,求數列｛｝的前2n項和．【答案】（Ⅰ），(Ⅱ）【解析】分析：（Ⅰ）設等差數列｛｝的公差為d，由題意可求得，故可得數列的通項公式和前n項和公式．(Ⅱ）由（Ⅰ)可得,故選用分組求和的方法將數列｛}的項分為計數項和偶數項兩部分后再求和．詳解：（I）設等差數列{}的公差為d，∵,且，,成等比數列，∴，∴當n為偶數時,,當n為奇數時,．∴數列｛}的奇數項是以為首項,為公比的等比數列；偶數項是以8為首項,16為公比的等比數列．∴數列｛}的前2n項的和．【名師點睛】（1）等差、等比數列的運算中，要注意五個量之間的關系,根據條件得到方程（或方程組),通過解方程（方程組）達到求解的目的．(2）數列求和應從通項入手，若通項符合等差數列或等比數列，則直接用公式求和；若通項不符合等差或等比數列，需要通過對通項變形，轉化為等差或等比或可求數列前n項和的數列求解．當數列的通項中含有或的字樣時，一般要分為n為奇數和n為偶數兩種情況求解．6．【2018天津十二校二模】已知數列的前項和滿足：，（為常數，，）．（Ⅰ）求的通項公式;（Ⅱ）設，若數列為等比數列，求的值；（Ⅲ）在滿足條件（Ⅱ）的情形下，．若數列的前項和為，且對任意滿足，求實數的取值范圍．【答案】（1）;（2)；(3）．詳解：（1）且數列是以為首項,為公比的等比數列（2）由得，因為數列為等比數列，所以，，所以,解得．【名師點睛】裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據式子的結構特點,常見的裂項技巧：（1）；（2）；（3)；（4)；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現丟項或多項的問題，導致計算結果錯誤．7．【2018天津濱海新區七校模擬】已知數列的前項和為，滿足（），數列滿足(），且（1）證明數列為等差數列，并求數列和的通項公式；（2）若，求數列的前項和；（3）若,數列的前項和為,對任意的，都有，求實數的取值范圍．【答案】（1），；（2）;（3)【解析】試題分析:（1）兩邊同除以，得，可求得．用公式，統一成，可求得．（2)由（1）,代入得,由并項求和可得．(3)由(1）由錯位相減法可求得，代入可求．當時，,所以．當時，，，兩式相減得，又,所以，從而數列為首項,公比的等比數列，從而數列的通項公式為．（2）=（3）由(1）得，，因為,從而數列為遞增數列所以當時,取最小值,于是．【名師點睛】本題考查知識較多，有遞推公式求通項公式，及通項公式與前n項和關系，裂項求和，并項求和，等差數列求和，錯位相減法，數列與不等式交匯等，需要對數列基本知識，基本方法掌握非常好．8．【2018天津十二模擬一】已知等比數列的前項和為,滿足，，數列滿足，,且．（1）求數列，的通項公式；（2）設，為的前項和，求．【答案】（1)，；（2）．【解析】試題分析：（1)由,可推出,，結合，即可求出數列的通項公式，再將兩邊同除以得，可推出數列為等差數列，從而可求出的通項公式；(2）由(1）知，利用分組求和,裂項相消法及錯位相減法即可求出．(2）由（1)知∴設，則,兩式相減得，整理得．∴．【名師點睛】（1）分組轉化法求和的常見類型主要有分段型（如），符號型（如），周期型（如)；（2）用錯位相減法求和的注意事項：①要善于識別題目類型，特別是等比數列公比為負數的情形；②在寫出“”與“"的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊"以便下一步準確寫出“”的表達式；③在應用錯位相減法求和時，若等比數列的公比為參數，應分公比等于1和不等于1兩種情況求解．9．【2018天津十二模擬二】已知正項等比數列，等差數列滿足，且是與的等比中項．（1）求數列的通項公式；（2)設，求數列的前項和．【答案】（1）；（2）．又，則：,解得或因為中各項均為正數，所以,進而．故．(2）設設數列的前項和為，數列的前項和為,當為偶數時,,當為奇數時，，而①，則②,由①—②得：，，因此，綜上:．10．【2018天津部分區期末考】已知為等差數列,且，其前8項和為52，是各項均為正數的等比數列,且滿足，．（1)求數列和的通項公式；（2）令，數列的前項和為，若對任意正整數,都有成立，求實數的取值范圍．【答案】（1)，；(2)【解析】試題分析:立，然后根據可得結果．試題解析：（1）設等差數列的公差為,由題意得，即，解得,所以．設各項均為正數的等比數列的公比為，則有，解得，所以．（2）由（1)可知．，因為對任意正整數,都有成立,即對任意正整數恒成立,又,所以．故實數的取值范圍為．11．【2018天津一中期中考】設數列的前項和為，滿足，,且．（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）求數列的通項公式【答案】（Ⅰ)，;（Ⅱ）見解析．【解析】分析：(Ⅰ）分別令就可以求得,．（Ⅱ）根據（Ⅰ）猜測，利用數學歸納可證明該猜測．詳解：(Ⅰ),．(Ⅱ）由題意得，結合①②，由歸納原理知,對任意，．【名師點睛】與自然數有關的問題，可以用數學歸納法，在歸納假設中，我們一般設當時，命題成立，也可以假設時，命題成立，然后再證明，也成立．12．【2018天津濱海新區模擬】已知數列的首項前項和為,且（I）證明數列是等比數列；（II)令求函數在點處的導數并比較與的大小.【答案】（1）見解析;（2）．【解析】試題分析：（1)先根據和項與通項關系得項遞推關系，再根據題意變形為，最后根據等比數列定義給以證明(2）先求導數得，根據分組求和法以及錯位相消法化簡,最后作差并利用二項式定理比較大小試題解析:（1）由已知可得兩式相減得即從而當時所以又所以從而．故總有，又從而即數列是等比數列。（2）由（I）知。因為所以從而==—=由上—==12①當時,①式=0所以；當時,①式=-12所以當時，，又,所以即①從而．13．【2018天津一中月考五】已知數列中,，．（1）求證:數列是等比數列;（2）求數列的前項和，并求滿足的所有正整數．【答案】(1）證明見解析；（2）答案見解析．（1)設，因為，所以數列是以即為首項，以為公比的等比數列．（2）由（1)得,即，顯然當時，單調遞減，又當時，,當時，，