集合與常用邏輯用語一元二次函數(shù)、方程和不等式課標(biāo)要求：以義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程內(nèi)容為載體，結(jié)合集合、常用邏輯用語、相等關(guān)系與不等關(guān)系、從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程和一元二次不等式等內(nèi)容的學(xué)習(xí)，為高中數(shù)學(xué)課程做好學(xué)習(xí)心理、學(xué)習(xí)方式和知識(shí)技能等方面的準(zhǔn)備，幫助學(xué)生完成初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過渡。內(nèi)容包括：集合、常用邏輯用語、相等關(guān)系與不等關(guān)系、從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程和一元二次不等式。1.集合(1)集合的概念與表示①通過實(shí)例，了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關(guān)系。②針對(duì)具體問題，能在自然語言和圖形語言的基礎(chǔ)上，用符號(hào)語言刻畫集合。③在具體情境中，了解全集與空集的含義。(2)集合的基本關(guān)系理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集。(3)集合的基本運(yùn)算①理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，能求兩個(gè)集合的并集與交集。②理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，能求給定子集的補(bǔ)集。③能使用venn圖表達(dá)集合的基本關(guān)系與基本運(yùn)算，體會(huì)圖形對(duì)理解抽象概念的作用。2.常用邏輯用語(1)必要條件、充分條件、充要條件①通過對(duì)典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解必要條件的意義，理解性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系。②通過對(duì)典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解充分條件的意義，理解判定定理與充分條件的關(guān)系。③通過對(duì)典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解充要條件的意義，理解數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系。(2)全稱量詞與存在量詞通過已知的數(shù)學(xué)實(shí)例，理解全稱量詞與存在量詞的意義。(3)全稱量詞命題與存在量詞命題的否定①能正確使用存在量詞對(duì)全稱量詞命題進(jìn)行否定。②能正確使用全稱量詞對(duì)存在量詞命題進(jìn)行否定。3.相等關(guān)系與不等關(guān)系(1)等式與不等式的性質(zhì)梳理等式的性質(zhì)，理解不等式的概念，掌握不等式的性質(zhì)。(2)基本不等式掌握基本不等式的內(nèi)容，結(jié)合具體實(shí)例，能用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大值或最小值問題。從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程和一元二次不等式(1)從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程會(huì)結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程實(shí)根的存在性及實(shí)根的個(gè)數(shù)，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系。(2)從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次不等式①經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式的過程，了解一元二次不等式的現(xiàn)實(shí)意義。能借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集。②借助一元二次函數(shù)的圖象，了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系。知識(shí)梳理：教材《必修一》一、集合與常用邏輯用語1.元素與集合的概念（教材P2-3）(1)一般地，我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為______，把一些元素組成的總體叫做______(簡(jiǎn)稱為集)。(2)集合中元素的特性：_______、_______、_______。(3)只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個(gè)集合是_______的。(4)元素與集合的關(guān)系：如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作：_______；如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合A，記作：_____________。(5)常用數(shù)集及表示符號(hào)：名稱非負(fù)整數(shù)集(自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集記法2.集合的表示（教材P4）(1)列舉法把集合的所有元素_____________出來，并用花括號(hào)“{}”括起來表示集合的方法。(2)描述法設(shè)A是一個(gè)集合，把集合A中所有具有_____________P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}。具體步驟：①在花括號(hào)內(nèi)寫上表示這個(gè)集合的元素的_____________(或變化)范圍。②畫一條豎線。③在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征。集合間的基本關(guān)系（教材P7-8）子集的概念：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A，B，如果集合A中_____________元素，都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集，記作：_________(或B?A)。Venn圖：我們經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為________圖。(2)集合相等一般地，如果集合A中的___________元素都是集合B的元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B_______，記作A＝B，也就是說，若A?B，且B?A，則A＝B。(3)真子集的概念如果集合A?B，但______元素x∈B，且x?A，就稱集合A是集合B的________，記作A___B(或B___A)。(4)空集一般地，我們把__________的集合叫做空集，記作?。規(guī)定：空集是任何集合的子集。(5)集合間關(guān)系的性質(zhì)任何一個(gè)集合都是它本身的子集，即A?A。對(duì)于集合A，B，C：①若A?B，且B?C，則A?C；②若AB，BC，則AC；③若A?B，A≠B，則AB。4.集合的運(yùn)算（教材P10-13）(1)并集文字語言：由所有屬于集合A______屬于集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的_____。符號(hào)語言：A∪B＝__________________________。圖形語言：___________________________(2)交集文字語言：由所有屬于集合A____屬于集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的______。符號(hào)語言：A∩B＝___________________。圖形語言：_________________________(3)并集與交集的運(yùn)算性質(zhì)并集的性質(zhì)①A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝eq\a\vs4\al(B∪)A。②A?(A∪B)，B?(A∪B)。③A?B?A∪B＝B。交集的性質(zhì)①A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝eq\a\vs4\al(B∩)A。②(A∩B)?A，(A∩B)?B，(A∩B)?(A∪B)。(4)補(bǔ)集①全集定義：一般地，如果一個(gè)集合含有所研究問題中涉及的_________，那么就稱這個(gè)集合為全集。記法：全集通常記作____。②補(bǔ)集自然語言對(duì)于一個(gè)集合A，由全集U中_______集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集，記作_______。集合語言=_____________圖形語言性質(zhì)①A∪()＝U，A∩()＝?；②，5.充分條件與必要條件（教材P17-23）(1)充分條件與必要條件：一般地，“若p，則q”為真命題，是指由p通過推理可以得出q。這時(shí)，我們就說，p是q的________條件，q是p的__________條件。如果“若p，則q”為假命題，那么由條件p不能推出結(jié)論q，我們就說p不是q的________條件，q不是p的_________條件。(2)充要條件①逆命題：將命題“若p，則q”中的條件p和結(jié)論q互換，就得到一個(gè)新的命題“______________”，稱這個(gè)命題為原命題的逆命題。②充要條件如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是__________，即既有p?q，又有q?p，就記作_____。此時(shí)，p既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們說p是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱為____________。6.全稱量詞與存在量詞（教材P26）(1)全稱量詞與全稱量詞命題①短語“所有的”、“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做______________，并用符號(hào)“?”表示。含有全稱量詞的命題，叫做______________。②全稱量詞命題的表述形式：對(duì)M中任意一個(gè)x，p(x)成立，可簡(jiǎn)記為______________。③全稱量詞命題的真假判斷：要判定全稱量詞命題“?x∈M，p(x)”是真命題，需要對(duì)集合M中每個(gè)元素x，證明p(x)成立；如果在集合M中找到一個(gè)元素x0，使p(x0)不成立，那么這個(gè)全稱量詞命題就是假命題。(2)存在量詞與存在量詞命題①短語“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做______________，并用符號(hào)“?”表示。含有存在量詞的命題，叫做______________。②存在量詞命題的表述形式：存在M中的元素x，eq\a\vs4\al(px)成立，可簡(jiǎn)記為______________。③存在量詞命題的真假判斷：要判定存在量詞命題“?x∈M，p(x)”是真命題，只需在集合M中找到一個(gè)元素x，使p(x)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么這個(gè)存在量詞命題是假命題。7.全稱量詞命題與全稱量詞命題的否定（教材P28-30）(1)全稱量詞命題的否定全稱量詞命題pp結(jié)論?x∈M，p(x)_________________全稱量詞命題的否定是_____量詞命題(2)存在量詞命題的否定存在量詞命題pp結(jié)論?x∈M，p(x)_________________存在量詞命題的否定是_____量詞命題二、一元二次函數(shù)、方程和不等式1．等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（教材P38-41）(1)關(guān)于實(shí)數(shù)a，b大小的比較，有以下基本事實(shí)：a>b?_________；a＝b?_________；a<b?_________。(2)等式的性質(zhì)：性質(zhì)1如果a＝b，那么_________；性質(zhì)2如果a＝b，b＝c，那么_________；性質(zhì)3如果a＝b，那么_________；性質(zhì)4如果a＝b，那么_________；性質(zhì)5如果a＝b，c≠0，那么_________。(3)不等式的性質(zhì)性質(zhì)1如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b。即_________；性質(zhì)2如果a>b，b>c，那么a>c，即_________；性質(zhì)3如果a>b，那么a＋c>b＋c。推論：_________；性質(zhì)4如果a>b，c>0，那么__________；如果a>b，c<0，那么_________；性質(zhì)5如果a>b，c>d，那么_________；性質(zhì)6如果a>b>0，c>d>0，那么_________；性質(zhì)7如果a>b>0，那么_________。2．基本不等式（教材P44-46）(1)?a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立。特別地，如果a>0，b>0，我們用eq\r(a)，eq\r(b)分別代替上式中的a，b，可得eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，當(dāng)且僅當(dāng)__________時(shí)等號(hào)成立。通常稱此不等式為基本不等式，其中，eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的________平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的_________平均數(shù)。(2)基本不等式表明：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)_________它們的幾何平均數(shù)。(3)基本不等式與最值：已知x，y都為正數(shù)，則①若x＋y＝S(和為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy取得最大值________。②若xy＝P(積為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y取得最小值________。3．二次函數(shù)與一元二次方程、不等式（教材P50-55）(1)一元二次不等式概念：我們把只含有______未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是___的不等式，稱為一元二次不等式。一般形式是：________________或_____________________。(2)二次函數(shù)的零點(diǎn)：一般地，對(duì)于二次函數(shù)，我們把使實(shí)數(shù)x叫做二次函數(shù)零點(diǎn)。(3)“三個(gè)二次”(二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式)的關(guān)系：Δ>0Δ＝0Δ<0的圖象的根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根沒有實(shí)數(shù)根的解集的解集參考答案：一、集合與常用邏輯用語1．元素與集合的概念(1)元素，集合(2)確定性、互異性、無序性。(3)相等(4)．a(chǎn)∈A，a?A(5)常用數(shù)集及表示符號(hào)：名稱非負(fù)整數(shù)集(自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集記法NN*或N＋ZQR2.集合的表示（教材P4）(1)一一列舉出來(2)共同特征，一般符號(hào)及取值3.集合間的基本關(guān)系（教材P7-8）(1)任意一個(gè)，A?B(或B?A)，Venn圖。(2)任何一個(gè)，相等。(3)存在真子集，記作AB。(4)不含任何元素。4.集合的運(yùn)算（教材P10-13）(1)并集文字語言：或，并集符號(hào)語言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}。圖形語言：如圖所示(陰影部分)。(2)交集文字語言：且，交集符號(hào)語言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}。圖形語言：如圖所示(陰影部分)。(4)補(bǔ)集所有元素，U，不屬于A，{x|x∈U，且x?A}5.充分條件與必要條件（教材P17-23）(1)充分條件與必要條件：充分，必要，充分，必要。(2)充要條件：“若q，則p”，真命題，作p?q，充要條件。6.全稱量詞與存在量詞（教材P26）(1)全稱量詞與全稱量詞命題全稱量詞，全稱量詞命題，?x∈M，p(x)。(2)存在量詞與存在量詞命題存在量詞，存在量詞命題，?x∈M，p(x)。7.全稱量詞命題與全稱量詞命題的否定（教材P28-30）(1)全稱量詞命題的否定全稱量詞命題pp結(jié)論?x∈M，p(x)?x∈M，p(x)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題(2)存在量詞命題的否定存在量詞命題pp結(jié)論?x∈M，p(x)?x∈M，p(x)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題一元二次函數(shù)、方程和不等式1．等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（教材P38-41）(1)關(guān)于實(shí)數(shù)a，b大小的比較，有以下基本事實(shí)：a－b>0，a－b＝0，a－b<0(2)等式的性質(zhì)：性質(zhì)1b＝a；性質(zhì)2a＝c；性質(zhì)3a±c＝b±c；性質(zhì)4ac＝bc；性質(zhì)5eq\f(a,c)＝eq\f(b,c)。(3)不等式的性質(zhì)性質(zhì)1即a>b?b<a；性質(zhì)2a