第四章差異量數(shù)第一節(jié)全距第二節(jié)平均離差、方差和標準差第三節(jié)差異系數(shù)第四節(jié)相對地位量數(shù)：百分位差和百分等級第五節(jié)四分位差第六節(jié)標準分數(shù)1.掌握各種差異量數(shù)的概念、性質(zhì)。2.掌握各種差異量數(shù)的計算方法和運用。學習目標全距又稱兩極差，用符號R表示。把一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，用最大值減去最小值所得的數(shù)值，就是全距。R=Xmax-Xmin第一節(jié)全距一、平均離差平均離差（averagemeandeviation）是所有原始數(shù)據(jù)與平均數(shù)離差的平均值。一般用符號AMD表示。AMD=∑(X-)n=∑xn第二節(jié)平均離差、方差和標準差二、方差為了避免負數(shù)的出現(xiàn)，最好的辦法是取離均差的平方，然后相加起來，就得到了離均差的平方和，即∑（X-）2，用這個平方和再除以總個數(shù)，得到的值就是方差。總體的方差為：σ2=∑(X-μ)2N=∑x2N樣本方差為：S2=∑(X-X)n=∑x2n三、標準差由于使用了平方，所以導(dǎo)致方差的單位和原始數(shù)據(jù)的單位不同。為了解決這個問題，我們?nèi)》讲畹钠椒礁玫降闹捣Q為標準差。這樣，標準差的單位和原始數(shù)據(jù)的單位就一樣了。總體的標準差為：σ=∑（X-μ）2N=∑x2N樣本的標準差為：S=∑（X-）2n-1=∑x2n-1四、分組數(shù)據(jù)的標準差和方差在需要手工計算大量數(shù)據(jù)的時候，通常的策略是先對數(shù)據(jù)進行分組。上一章中已經(jīng)提及分組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)的計算方法，那么分組數(shù)據(jù)的標準差和方差又是如何計算的呢？公式如下：σ=∑f（Xc-）2N或σ=∑fX2cN-（∑fXcN）2五、合成總標準差由于方差具有可加性，在已經(jīng)知道了部分數(shù)據(jù)的標準差和方差的情況下，可以求出全部數(shù)據(jù)的方差和標準差。比如，先了解各班小學生的心理健康狀況，再了解全校小學生總的心理健康狀況。由各部分的標準差計算總的標準差的公式如下：σt=∑Ni（σ2i＋d2i）Ntdi=i-t

六、方差與標準差的性質(zhì)和意義1.方差的性質(zhì)2.標準差的性質(zhì)3.方差和標準差的意義

差異系數(shù)又稱相對標準差，即標準差與平均數(shù)之比，用符號表示為CV，公式為：CV=σ×100%第三節(jié)差異系數(shù)標準差反映了使用同一種測量工具對同一個特質(zhì)進行測量時數(shù)據(jù)的離散程度，但是如果兩個及以上的樣本因為使用的觀察工具不同、特質(zhì)不同，或雖然單位相同但平均數(shù)相差較大時，就需要使用差異系數(shù)來表示各組數(shù)據(jù)的離散程度。一、百分位數(shù)百分位數(shù)（percentile），又叫百分位點，是指量尺上的一點，在此點以下的數(shù)據(jù)分布中數(shù)據(jù)個數(shù)占總體個數(shù)的百分比。第P個百分位數(shù)（Ppercentile）就是指在其值為P的數(shù)據(jù)以下，包括分布中全部數(shù)據(jù)的百分之P，其符號為Pp。Pp=Lb+p100×N-Fbf×i第四節(jié)相對地位量數(shù)：百分位差和百分等級二、百分等級反過來，利用百分位數(shù)的計算公式也可以計算出任意分數(shù)在整個分數(shù)分布中所處的百分位置，稱為該分數(shù)的百分等級（percentilerank,即PR）。PR=100N×Fb+f(X-Lb)i四分位差是指在一個次數(shù)分布中，中間50％次數(shù)的全距的一半，即25％位數(shù)與75％位數(shù)之間全距的一半，即為這組數(shù)據(jù)的四分位差。Q=Q3-Q12第五節(jié)四分位差標準分數(shù)是以標準差為單位表示一個原始分數(shù)在團體中所處位置的相對位置量數(shù)。它說明了原始數(shù)據(jù)距離平均數(shù)有多少個標準差，符號為z。z=X-s=xs其中，X代表原始數(shù)據(jù)；為一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；s為標準差。第六節(jié)標準分數(shù)1.差異量是表示數(shù)據(jù)之間差異程度的量。2.差異量主要有全距、百分位距、四分位差、平均差和標準差、差異系數(shù)等。3.全距、百分位距和四分位差都是利用數(shù)據(jù)中的某些百分位數(shù)計算得到。4.平均差和標準差需要每個數(shù)據(jù)參與運算，結(jié)果可信，比較常用。5.差異系數(shù)用于比較不同變量的差異程度，或同一變量在不同群體之間的差異程序。本章要點1.某年級四個班學生人數(shù)分別為50人，52人，48人，51人。期末數(shù)學考試各班的平均成績分別是90分，85分，88分，92分，標準差分別為6分，5.5分，7分，8.2分。求年級成績的標準差。2.請證明：對于任意的樣本x1，x2，x3，…，xn，當且僅當a=x1+x2+x3+…+xnn時的∑（xi-a）2取值最小。3.下述度量是某一長度測量的樣本：n=10000,=20.0cm，σ2=0.25cm2，利用切比雪夫定理，求該樣本落入?yún)^(qū)間19.0cm~21.0cm內(nèi)的觀測值至少有多少個。練習與思考4.某工廠制造一種手電筒電池，該工廠聲稱其制造的電池中，至少有96％的電池壽命為95~105小時，該廠隨機抽取1000節(jié)電池進行測試，測得平均壽命為100小時，若該廠的聲明是正確的，那么樣本標準差的最大可能值是多少？5.已知某組數(shù)據(jù)近似正態(tài)分布，平均數(shù)是50，標準差是5。那么，有多少人的成績在平均數(shù)上下一個標準差之內(nèi)？有多少人的成績在平均數(shù)上下兩個標準差之內(nèi)？有多少人的成績在平均數(shù)上下三個標準差之內(nèi)？6.假定數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，求總體中小于-2σ的百分比以及大于+3σ的百分比。練習與思考7.有些統(tǒng)計書中將數(shù)據(jù)集的異常值定義為距離其均值三個標準差的測量值，其根據(jù)是什么？8.假設(shè)某數(shù)據(jù)集近似服從正態(tài)分布，那么其全距與標準差之間的關(guān)系如何？9.某班期末考試，語文平均成績?yōu)?2分，標準差為6.5分；數(shù)學平均成績?yōu)?5分，標準差為5.9分；外語平均成績?yōu)?6分，標準差為8分。問哪一科成績的離散程度大？10.求表4—7數(shù)據(jù)的四分位差。

練習與思考11.90名學生的語文成績?nèi)绫?—8，請分別求其平均數(shù)、中位數(shù)、標準差和四分位差。12.我們想知道12名學員經(jīng)過一個階段的學習后成績的情況。假設(shè)12名學員的考核成績分別是：98，93，62，65，66，90，87，78，86，81，85，83怎樣比較每位考生的成績？練習與思考13.假如有兩組學員，一組100人，另一組30人。那么在各組名列第5名的學員是否有相同的水平？這種情況下如何比較？14.某班外語期末考試的平均成績是75分，標準差為10分；數(shù)學的平均成