專題55割補法與等積變換求解體積問題【方法點撥】.利用等積變換求解三棱錐的體積問題，歸根結底就是“換頂點（或換底面）"，換頂點的常用方法有二.一是直接換，即從四個頂點選擇一個點作為頂點，選擇的基本原則是點面距易求，如出現線面垂直等；二是利用線面平行更換頂點，由于該直線上任意一點到平面的距離均相等，換完后依然是便于求出點面距.當然，有時還會遇到利用與平面相交的直線上的點換頂點等不一而足^.利用求體積可以求點面距，其數學方法是“算兩次”^【典型題示例】例1在正方體？????????？？？？？？？中，動點E在棱？??1杜，動點F在線段？？？?上，O為底面ABCD的中心，若？?????????=??則四面體？?-??????體積（）A.與x,y都有關B.與x,y都無關C.與x有關，與y無關D.與y有關，與x無關【答案】B【分析】利用線面平行換頂點，化動為靜.【解析】易知，AC"平面AOE,故四面體OAEF即四面體FAOE與四面體AAOE同底等高，即V同底等高，即V四面體OAEF—V四面體AAOE同理，BB同理，BBiI平面AAO，故四面體AiAOE即四面體EAAiO與四面體BAAO同底等高,即V即V四面體AiAOE=V四面體BAA1Oy都無關.所以%面體。AEF—V四面體BAAiO—V四面體OAAiB，y都無關.例2如圖所示，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且ADE、BCF均為正三角形，EF//AB,EF2,則該多面體的體積為（）

JiB.3A巡JiB.3A巡【答案】A【分析】將物體切割成一個三棱柱，兩個三棱錐分別計算體積1___【解析】在EF上取點M,N使EMFN—,連接AM,DM,BN,CN,2ABCD是邊長為1的正方形，且&ADE、ABCF均為正三角形，EF//AB,所以四邊形ABFE為等腰梯形，EF2,MN1,根據等腰梯形性質，AMEF,DMEF,BNEF,CNEF,AM,DM是平面AMD內兩條相交直線，BN,CN是平面BNC內兩條相交直線,所以EF平面AMD,EF平面BNC,c,3MAMDNBNC——,2幾何體體積為V2VeAMDVAMDBNC111隋121211,聲「1返，32\2222\223故選：A如圖，在長方體ABCDABCQ中，故選：A如圖，在長方體ABCDABCQ中，ABAD3cm,AA12cm,則四棱錐ABB1D1D的體積為cm3.【答案】6cm3【解析】如圖所示，連結AC交BD于點O,因為平面ABCDBB因為平面ABCDBB1D1D,又因為ACBD,所以，AC平面BB1D1D，326cm3.326cm3.2AB//DC,例4如下圖，四棱錐PABCD中，PD所以四棱錐ABB1D1D的高為AO,根據題意ABAD3cm,所以AO又因為BD3<2cm,AA12cm,故矩形3巳口上的面積為6杉cm2,從而四棱錐ABB1D1D的體積V16<23平面ABCD,PDDCBC1,AB2,先證明PCBC,而所求點A到平面PBC的距離，需利用“算兩次”，求出三ABC的體積即可.因為PD平面ABCD,BC平面ABCD,所以PDBC.由BCD90，得BCDC.第3頁共8頁又PDDCD,PD平面PCD,DC平面PCD,所以BC平面PCD,因為PC平面PCD,所以PCBC.連結AC.設點A到平面PBC的距離為h.因為AB〃DC,BCD90,所以ABC90.從而由AB2,BC1,得ABC的面積Sabc1.由PD平面ABCD及PD1,得三棱錐PABCTOC\o"1-5"\h\z1__1L的體積V—SABCPD—因為PD平面ABCD,DC平面ABCD,33所以PDDC,又PDDC1,所以PCJPD—DC^J22由PCBC,BC1,得PBC的面積SPBC二,PBC,由V1SPBch1.—h1,得h，萬3323因此?點A到平面PBC的距離為22.【鞏固訓練】1.如下圖，在長方體ABCDABGR中，AB3cm,AD2cm,AA1cm,則三棱錐RABDiRABDi的體積為2.如圖，在正方體2.如圖，在正方體ABCDABGDi中，AB2cm,E為C1D1的中點，則三棱錐EABC的體積為cm3.的體積為cm3.3.如圖，已知正四棱柱ABCDABCD的體積為36,點E,F分別為棱B1B,gC上的點（異于端點），且EF//BC,則四棱錐AAEFD的體積為4.如圖，三棱錐ABCD中，E是AC中點，F在AD上，且2AFFD,若三棱錐ABEF的體積是2,則四棱錐BECDF的體積為.5.如圖，正三棱柱=6.5.如圖，正三棱柱=6.若日下分別是棱BB1,ABC—A1B1C1中，AB=4,AA1CC1上的點，則三棱錐A—AiEF的體積是.如圖，在三棱柱AB1clABC中，D,E,F分別是AB,AC,AA的中點，設三棱錐FADE的體積為V1,三棱柱AB1clABC的體積為V2,則V1:V2..在直三棱柱ABCAB1C1中，AB1,BC2,AC卮AA1.則B到面ABC的距離為.【答案與提示】.【答案】1【提示】直接使用等體積法.…2.【答案】—【提示】直接使用等體積法.3.【答案】12【解析一】特殊位置法，轉化為求四棱錐A1ABCD的體積;VA1AEFD2VAiADE=2VeVA1AEFD2VAiADE=2VeA1AD,因為VEA,AD=6VABCDA1B1c1D1，所以V、AEFD12.【解析三】補體，如右圖4.【答案】10補體，轉化為三菱錐4.【答案】10補體，轉化為三菱錐ABEF與三棱錐ABCD的體積比，實施等積變換VBAEFS.aefVABCDACDSACD'SVABCDACDSACD'S因為S四SACD則四棱錐B1-AEAFsinA2.1?-ACADsinA2ECDF的體積為10.1一,V”6Vabef12,65.【答案】8?3【提示】直接使用等體積法24【解析】三棱錐FADE與三棱錐AABC的相似比為1:2,故體積之比為1:8.又因三棱錐A又因三棱錐A1ABC與三棱柱A1B1C1第ABC的體積之比為1：3.所以，三棱錐FADE7頁共8頁與三棱柱AB1clABC的體積之比為1：24.AiBiB)【解析】因為三棱錐CAAB與三棱錐CAiB