（完整版）數(shù)值分析重點(diǎn)公式（完整版）數(shù)值分析重點(diǎn)公式(完整版)數(shù)值分析重點(diǎn)公式(完整版)數(shù)值分析重點(diǎn)公式第一章非線性方程和方程組的數(shù)值解法b—a“二分法的基本原理'誤差：I<石￡迭代法收斂階：limT*=c主0，若p=1則要求0<c<1iT8￡|pi單點(diǎn)迭代收斂定理：定理一：若當(dāng)xg[a,b]時(shí)，p(x)g[a,b]且”'(x)<l<1，Vxg[a,b],則迭代格式收斂于唯一的根;定理二：設(shè)p(x)滿足:①xg[a,b]時(shí)，p(x)g[a,b],<lx—x,0<l<112則對(duì)任意初值xg[a,b]迭代收斂，且:0|a-x|a-xix1—li+1|a-x定理三：設(shè)p(x)在a的鄰域內(nèi)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且p'(a)<1，則迭代格式具有局部收斂性;定理四：假設(shè)p(x)在根a的鄰域內(nèi)充分可導(dǎo)，則迭代格式x=p(x)是P階收斂的i+1i6)多點(diǎn)迭代法:xi+1p(j)(a)=0,j=1,…，P—1,p(p)(a)豐0(Taylor6)多點(diǎn)迭代法:xi+1Newton迭代法：x=x—丄，平方收斂i+1if'(x)iNewton迭代法收斂定理：設(shè)f(x)在有根區(qū)間[a,b]上有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足：：f(a)f(b)<0；：f'(x)豐0,xg[a,b]；：f"不變號(hào)xg[a,b]④：初值xg[a,b]使得f''(x)f(x)<0；0則Newton迭代法收斂于根a。xf(x)f(x)x+f(x)xif(x)一f(x丿f(x)—f(x)i-1f(x)—f(x)ii1ii—1i—1ix—xii—1收斂階：P=土527）Newton迭代法求重根（收斂仍為線性收斂），對(duì)Newton法進(jìn)行修改①：已知根的重?cái)?shù)r,xi+1冊(cè)（平方收斂）i②：未知根的重?cái)?shù)：xi+1,u(x)=f—①：已知根的重?cái)?shù)r,xi+1冊(cè)（平方收斂）i②：未知根的重?cái)?shù)：xi+1,u(x)=f—,a為f(x)的重根，則a為u(x)的單根。u'(x)f'(x)i8）迭代加速收斂方法:xx一x2x.=F-i+2i+1—i+1x一2x+xi+2i+1ix=p(x)i+1ix=p(x)i+2i+19)確定根的重?cái)?shù):當(dāng)Newton迭代法收斂較慢時(shí)，表明方程有重根當(dāng)不動(dòng)點(diǎn)迭代函數(shù)p（x）在a的某個(gè)鄰域內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，申'（a）=L豐1,0平方收斂xx一x21r沁i—b+2i+1x一2x+xx一xi+2i+1ii+2i+1xi+i—x一xi+2i+110)擬Newton法xi+1=xi—A-1F(xi)iA(xi+1—xi)=F(xi+1)—F(xi)若A非奇異，則H=A-1i+1iiiA=A+AAIi+1iixi+1=xi—HF(xi)iH(F(xi+1)—F(xi))=(xi+1—xi)i+1H=H+AHIi+1ii其中A=F'(xi)=i空乜乞也…5T??????f+粒2廣壬粒2廣<^ax<yax…<ynQxi111)秩1擬Newton法：Qxinxi+1=xi—A—1F(xi)i(ri)T,其中ri=xi+1一xi,yi=F(xi+1)一F(xi)A=A+(yi—Ari)-i+1ii(ri)TriBroyden秩1方法xi+1=xi—HF(xi)i(ri)tHiH=H+(ri—Hyi)i+1ii(ri)tHyii第二章線性代數(shù)方程組數(shù)值解法1）向量范數(shù):①：非負(fù)性：||x||〉0，且||x||=0的充要條件是x=0；②：齊次性：XI②：齊次性：XI=叫I|x||③：三角不等式：卜+y|<||X|+||y1范數(shù)：||x|=￡|x|i=12范數(shù)：||x||=(￡|x|2)22ii=1g范數(shù)：||x||=g范數(shù)：||x||=max|xg1<i<n°丄X|p)pp'1i=1p范數(shù)：卜”=（￡|x2）矩陣范數(shù)：：非負(fù)性：||A〉o，且||a=0的充要條件是A二0;：齊次性：|杠a=|叫||A||：三角不等式：||A+B|<|IAI+||B||④：乘法不等式：iiabi<|iaibiii范數(shù)：||Aa(/i=i范數(shù)：||Aa(/i=1j=1=max工|a1i</<n”g范數(shù)：||A，列和最大?ji=1|=max￡11<i<naij/=12范數(shù)：=Jp(AhA)，其中pp(AhA)=，行和最大=max|九|，九.為AhA的特征值，p(A)<|A||1<i<nii3）Gauss消元法（上三角陣）：Mn；3Gauss-Jordan消元法（對(duì)角陣）：Mq丄n；2列選主元消元法：在消元之前進(jìn)行行變換，將該列最大元素?fù)Q置對(duì)角線主元位置；（可用于求逆矩陣全選主元消元法：全矩陣搜索矩陣最大元素進(jìn)行行變換和列變換至其處于對(duì)角線主元位置；4）三角分解法：：Doolittle分解法：A二LU,L單位下三角陣，U上三角陣：Crout分解法：A=LU，L下三角陣，U單位上三角陣：Cholesky分解法:A對(duì)稱正定，A=LIT，L為單位下三角陣(完整版)數(shù)值分析重點(diǎn)公式(完整版)數(shù)值分析重點(diǎn)公式(完整版)數(shù)值分析重點(diǎn)公式(完整版)數(shù)值分析重點(diǎn)公式④：改進(jìn)的Cholesky分解法：A對(duì)稱正定，A=LDL丄為單位下三角陣,D為對(duì)角陣⑤：追趕法：Crout分解法解三對(duì)角方程5)矩陣的條件數(shù)cond(A)=||A^||A-^|>1，譜條件數(shù)：cond(A)=IIAI2I|a-i|ICond(A)醐<A..岡1-Cond(A)號(hào)AAll10x||16)如果||B||<1，則I+B為非奇異陣，且11(I+B)-i||<可廚刀迭代法基本原理：①：迭代法：xi+i=Bxi+K：p(B)<1(limBi=0，迭代格式收斂)is：至少存在一種矩陣的從屬范數(shù)，使||B||<18)Jacobi迭代：A=L+D+Uxi+1=(I—D-1A)xi+D-1b9)Gauss-SeideI迭代：xi+1=—(L+D)-1Uxi+(L+D)-1b10)超松弛迭代法xi+1=xi+wri+1二次函數(shù)的一維搜索：x2=x1+aP11最速下降法：選擇方向Z=-gradf(x0)=r0=b一Ax00進(jìn)行一維搜索:x1=x0+ar0，0其中a0(r0,r0)(Ar0,r0)13)共軛梯度法:第一步：最速下降法，P0=r0，r1=b-Ax1，(r0,r1)=0第二步：過x1選擇P0的共軛方向P1=r1+BP0，(r1,AP0)

(P0,AP0)過x1以P1為方向的共軛直線為x2=x1+aP11x=x1+tP1，進(jìn)行二次函數(shù)的一維搜索｛(r1P1)a=__—1(AP1,P1)14)一般的共軛梯度法：第三章插值法與數(shù)值逼近（完整版）數(shù)值分析重點(diǎn)公式（完整版）數(shù)值分析重點(diǎn)公式(完整版)數(shù)值分析重點(diǎn)公式(完整版)數(shù)值分析重點(diǎn)公式Lagrange插值：L(x)=l(x)f(x),njjj=01(x)1(x)—(x—x)???(x_x)(x—x)???(x_x)1j—1屮n(x—x)???(x—x)(x—x)???(x—x)j1jjTjj+1jnP(x)n+1—(x—x)P(x)jn+1j余項(xiàng)：E(滬卅Pn+1(x)2)Newton插值：差商表xf(x)00xf(x1)f[xx]1101xf(x2)f[xx]f[xxx]2202012x3f(x)3f[x0x]3f[xxx]f[xxxx]0130123f(x)=f(x)+f[xx](x—x)+…+f[xxx](x—x)?(x_x)+f[xxxx](x_x)?(x_x)TOC\o"1-5"\h\z001001n0n_101n0nE(x)=f[xxxx](x一x)???(x一x)=-(-P(x)01n0n(n+1)!n+13)反插值4)Hermite插值(待定系數(shù)法)H(x)=X[a(x)f(x)+P(x)f'(x)]2n+1jjjj=0jjx_xjk其中a(x)=(ax+b)12(x),a=_21'(x),b=1+2x1'(x),1'(xjjx_xjkjk=1,k豐j卩(x)=(x一x)12(x)jjj余項(xiàng)：E(x)=f(2n+2)憶)(2n+2)!PL(x)5)分段線性插值：L(x)=jx_xjj+1x_x亠f(x)+j插值基函數(shù)：1(x)=<0x_x乙乙1-,x<x<xx一x01,1(x)=<01n0,x<x<x1nx_xjf(xx_xj+1j0,x<x<x0n_1x_xn_,x<x<xx_xn_1nnn_1j+1)l(x)jx-x1,x<x<xx-xj-1jjj-1x-xj^,x<x<xx-xjj+1jj+10,M-余項(xiàng)：分段余項(xiàng)<一歹h2,M=max|f⑵（x）6）有理逼近：反差商表有理逼近函數(shù)式：f（x）=Vo?+x-x0x-xv(x)+111/、x一xV(x)+???+n-122V(x)nn7）正交多項(xiàng)式的計(jì)算：定理：在［a,b］上帶權(quán)函數(shù)P（x）的正交多項(xiàng)式序列｛<P（x）卜，若最高項(xiàng)系數(shù)唯一，它便是唯一的，且由以下的n0遞推公式確定申=(x-a網(wǎng)-B申n+1nnnn-1=(叫,Pn),B=(Pn,Pn),p=0,P=1(p,p)n(p,p)-10nnn-1n-1其中(p,p)=!bp(x)ppdxijaij定理3。88）連續(xù)函數(shù)的最佳平方逼近：在①=Span{1,x,x2,…,xn}上，法方程為Ha=d,n其中H=n1121213…1(n+1)…1/(n+2)，dk=(f‘申丿0f(x)申嚴(yán)1(n+1)1(n+2)…1(2n+1)均方誤差：||5||2=(f,f)-(P*,f)=||f||2-Ea*d2iii=1最大誤差：I”||=max|f一P*|0<x<19）離散函數(shù)的最佳平方逼近（曲線的最小二乘擬合）：法方程Eg,申)a=(f,申)jkjkj=0(p,p)=EmPp(x)p(x)jkijiki其中i=0(f,p)=EmPf(x)p(x)kiikii=0第四章數(shù)值積分

代數(shù)精度的概念及應(yīng)用：對(duì)r次多項(xiàng)式的精確成立，以及代入法求解系數(shù)。Lagrange插值代入L(x-x)???(x-x)(x-x)???(x-x)Lagrange插值基函數(shù)l=0尹屮nj(x—x)???(x—x)(x—x)???(x—x)

j0jjTjj+1jnJbf(x)dxf(x)，其中H=Jbl(x)dxajjjajj=0誤差：E(f)=Jb:nT?P(x)dx(n+1)!n+i定理：數(shù)值積分公式具至少有n次代數(shù)精度其是差值型的等距節(jié)點(diǎn)的Ne毗on-Cotes公式^b—a將拉格朗日差值積分公式中的差值節(jié)點(diǎn)x.=a+ih即可，其中h=;znH=Jn(t—i)dt，令C=i—(Cotes系數(shù))則：jj!(n—j)!0jb—az=0,z主jQ(f)=(b—a)工Cf(x)jjj=0N一C公式的數(shù)值穩(wěn)定性：當(dāng)C.同號(hào)時(shí)是穩(wěn)定的，否則不穩(wěn)定，(b-a)￡區(qū)C(其中e=max￡)jj=0j°"njN—C公式至少具有n次代數(shù)精度，若n為偶數(shù)，則其代數(shù)精度可提高到n+1次；余項(xiàng)：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，E(f)=f("+2)點(diǎn))JbxP(x)dx(n+2)!an+1當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，E(f)=f("+1)&)JbP(x)dx(n+1)!an+1復(fù)化的N-C公式復(fù)化的梯形公式：將積分區(qū)間n等分，然后在每個(gè)區(qū)間上應(yīng)用梯形公式f(x)+f(x)

jj+L-2I=Jbf(x)dxf(x)+f(x)

jj+L-2aj=0xjj=01hE(f)=—(-)2(b—a)f''(n)n122=迅：[f(x)+f(x)]+刃3f6/j+13j=0j==迅：[f(x)+f(x)]+刃3f6/j+13j=0j=0TOC\o"1-5"\h\z=乙j-++j+^6661hE(f)=—(-)4(b—a)f(4)(n)n18024T—tS=nn3Romberg積分法(完整版)數(shù)值分析重點(diǎn)公式(完整版)數(shù)值分析重點(diǎn)公式(完整版)數(shù)值分析重點(diǎn)公式(完整版)數(shù)值分析重點(diǎn)公式T(h)=T(h)0Trm=-m+12mT(h)4mT(—)-T(h)mm2m1-(1)2m4m-12T(h)逼近I(f)的階為h2(m+1)mT0(h)T(4)T406)7)￡(h)啓)彳(4)求積節(jié)點(diǎn)為n+1的機(jī)械求積公式的代數(shù)精度〈=2n+1;Gauss求積公式f(x)=》［a(x)f(x)+B(x)f'(x)］+E(x)jjjjE(x)二冊(cè)P+i(x)I(f)=Jbf(x)dxaaj=0TOC\o"1-5"\h\zJ工［a(x)f(x)+P(x)f'(x)Idx+I(f)=Jbf(x)dxaaj=0j=0=》Jba(x)dxf(x)+工JbP(x)dxf'(x)+JbE(x)dxajjajjaj=0j=0=》Hf(x)+工百/(x)jjjjj=0j=0H=Jb(x一x)l2(x)dx=JbPn11"x)l(x)dxjajjaP'(x)jn+1P(x)在［a,b］上與所有次數(shù)〈二n的多項(xiàng)式帶權(quán)P三1正交上式為Gauss求積公式、n+1GaussGauss一Legendre求積公式給出P(x)公式：P(x)=1、P(x)=x、01n+1P=(3x2-1)22P(x)=1n2nn!dxn給出區(qū)間［1,一1］上的求積公式,取P(x)的零點(diǎn)為求積節(jié)點(diǎn)n①取P(x)零點(diǎn)為0iJbf(x)dx二Hf(x)+E(f)TOC\o"1-5"\h\za00j3②取p零點(diǎn)為土二23Jbf(x)dx二Hf(x)+Hf(x)+E(f)a0011（完整版）數(shù)值分析重點(diǎn)公式（完整版）數(shù)值分析重點(diǎn)公式（完整版）數(shù)值分析重點(diǎn)公式（完整版）數(shù)值分析重點(diǎn)公式(完整版)數(shù)值分析重點(diǎn)公式對(duì)于區(qū)間[a,b]上的Gauss求積公式，令x=a+b+-~—t,te[a,b],f(x)=f(a+b+b~at)=g(t)，貝U：2222Jbf(x)dx二』1g(t)-—-dt=-——f1g(t)dta—l22—1余項(xiàng)：E(f)二乎眾導(dǎo)f—i冬i(t)dt?Pn+少)余項(xiàng)：E(f)二第五章乘冪法1)基本定理：定理一：若九,九，…,九為A的特征值，P(x)為某一多項(xiàng)式，則矩陣P(A)的特征值是P(X),P(X),???,P(X)。12n12n特別地，Ak的特征值是Xk,Xk，…Xk.12n定理二：如果A為實(shí)對(duì)稱矩陣，則A的所有特征值均為實(shí)數(shù)，且存在n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量；不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量正交.定理三：設(shè)A與B為相似矩陣，即存在非奇異陣P,使PAP-1=B，則A與B有相同的特征值。定理四：如果A有n個(gè)不同的特征值，則存在一個(gè)相似變換矩陣P,使得P-1AP=D，其中D是一個(gè)對(duì)角矩陣，它的對(duì)角線元素就是A的特征值。定理五：對(duì)于任意方陣A,存在一個(gè)酉變矩陣Q,使得QhAQ=T,其中T是一個(gè)上三角矩陣，Qh是Q是共軛轉(zhuǎn)置矩陣。推論:如果A是實(shí)對(duì)稱矩陣，則存在一個(gè)正交矩陣Q，使QtAQ=D，其中D是對(duì)角矩陣，它的對(duì)角線元素是其半徑為r=工|a|,i=1,…，n，設(shè)O=[JCiik其半徑為r=工|a|,i=1,…，n，設(shè)O=[JCiikik=1,k主ii=1定理六：設(shè)A=(a),C(i=1,…,n)是以a為中心的一些圓iinxniii則A的所有特征值都位于區(qū)域Q內(nèi)。推論：A-1的譜半徑滿足1P(A-1)>min(|a工aiiik_z_nk=1,kHi)。=minHAx定理七：設(shè)A為對(duì)稱正定陣，則有p(A)=maxxH0xHx"Ax，其中，xHAx定理七：設(shè)A為對(duì)稱正定陣，則有p(A)=maxxH0xHx示x的共軛轉(zhuǎn)置。定理八：對(duì)任意非奇異矩陣A，有1定理八：對(duì)任意非奇異矩陣A，有1P(AtA)-1<XI2<P(AtA),其中X為A的任一特征值。i2)求按模最大的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量max(v)TXm1max(v)TXm1v=Au=omm—1max(Am—1v)03)第六章常微分方程的數(shù)值解法(差分法)1)離散化方法:Taylor展開、差商代替求導(dǎo)、數(shù)值積分

2)Euler公式：＜y(x)-y(x)=hf(x,y2)Euler公式：＜n+1n+1nny=n0”y(x)-y(x)=hf(x,y(x))Euler隱式vVn+1n+1n+1n+1Euler隱式vy=n0改進(jìn)的Euler公式Vhy1)-改進(jìn)的Euler公式Vhy1)-E1)=尹(J，7+fU^+1)))(2階精確解)n+1n+1nn3）截?cái)嗾`差和P階精確解：截?cái)嗾`差T=O(hp+1)n+14)S級(jí)Runge—Kuta法y=y+hy=y+hKbkn+1niii=1k=f(x+ch,y+hKaininj=1k

ijjc1=0,"1j=0,k=f(x,y)nn2級(jí)Runge-Kuta法y=y+hbk+hbkn+1n2級(jí)Runge-Kuta法y=y+hbk+hbkn+1n1122k=f(x,y)nnk=f(x+ch,y+hakn2n211b=1-丄2c2

b=丄2c2a=c2122階精度）C2的取值1/2（中點(diǎn)公式）、2/3（Heun公式）、1（改進(jìn)的Euler方法）5)單步法y=y+hf(x,y,h)(*)n+1nnn相容性：p（x,y,0）=f（x,y）則（沃）式與初值問題相