流體力學與流體機械

（四）多媒體教學課件李文科制作流體力學與流體機械

（四）多媒體教學課件1第四章流體的有旋流動和無旋流動第一節流體微團運動的分析第二節渦線、渦管、渦束和旋渦強度第三節平面流與流函數第四節勢流與速度勢函數第五節幾種基本的平面有勢流動第六節有勢流動的疊加第四章流體的有旋流動和無旋流動第一節流體微團運動的分析2第一節流體微團運動的分析內容提要一、移動二、轉動三、線變形運動四、角變形運動第一節流體微團運動的分析內容提要3第一節流體微團運動的分析

剛體的運動一般可以分解為移動和轉動兩部分。但流體與剛體不同，流體受力便會發生運動狀態的變化，即流體具有流動性，極易變形。因此，流體微團在運動過程中不但會發生移動和轉動，而且還會發生變形運動。所以，在一般情況下流體微團的運動可以分解為移動、轉動和變形運動三部分。變形運動又分為線變形運動和角變形運動兩種情況。下面我們分別討論這幾種運動情況。

一、移動在流場中取一微元平行六面體的流體微團，各邊長分別為dx、dy、dz，形心a處沿三個坐標軸的速度分量分別為ux、uy、uz，如圖4-1所示。如果微團內各點的速度在坐標軸上的分量第一節流體微團運動的分析剛體的運動一般可以分4第一節流體微團運動的分析圖4-1微團移動分析也都是ux、uy和uz，那么整個流體微團就只有移動，也就是說流體微團只能從一個位置移動到另一個新的位置，而其形狀和大小及方位并不改變。第一節流體微團運動的分析5第一節流體微團運動的分析

二、轉動同上在流場中取一微元平行六面體的流體微團，轉動前流體微團的各邊分別與坐標軸平行，為討論方便起見，我們先討論流體微團繞垂直于xoy平面的軸(z軸)轉動的情況，如圖4-2所示。設O點在x軸和y軸方向的速度分量分別為ux和uy。當A點在y軸方向的分速度不同于O點在y軸方向的分速度及B點在x軸方向的分速度不同于O點在x軸方向的分速度時，流體微團才會發生旋轉。A點在y軸方向的分速度和B點在x軸方向的分速度可按泰勒級數展開，并略去高階無窮小量而得到，它們分別為第一節流體微團運動的分析二、轉動6第一節流體微團運動的分析圖4-2微團旋轉運動分析第一節流體微團運動的分析7第一節流體微團運動的分析它們相對于O點的對應分速度(相對于O點的線速度)分別為所以它們相對于O點的角速度(逆時針方向旋轉為正)應分別為

A點上

B點上而對于微團中其它各點繞z軸轉動的角速度（如C點等）則是由該點y向的分速度在x軸方向的變化量和x向的分速度在y軸方向的變化量共同產生的。因此,我們可以把整個微團繞z軸轉動的第一節流體微團運動的分析它們相對于O點的對應分速度(8第一節流體微團運動的分析分角速度用OA與OB在xoy平面內的平均角速度來表示，即同理，可求得流體微團繞x軸和y軸轉動的角速度分量ωx和ωy。于是流體微團旋轉角速度ω的三個分量分別為(4-1)第一節流體微團運動的分析分角速度用OA與OB在xoy9第一節流體微團運動的分析而(4-2)寫成向量形式為(4-3)式中為哈米爾頓算子，為速度第一節流體微團運動的分析而10第一節流體微團運動的分析

的旋度，在流體力學中也稱為流場的渦量，一般用表示，即。那么渦量在各坐標軸上的分量可表示為(4-4)而(4-5)

當渦量，即ωx=ωy=ωz=0時，流體的流動是無旋的，稱為無旋流動，否則稱為有旋流動。第一節流體微團運動的分析的旋度，在流體力學中也稱為流11第一節流體微團運動的分析

應當指出，判斷流體微團是有旋流動還是無旋流動，完全取決于流體微團是否繞其自身軸旋轉，而與流體微團本身的運動軌跡無關。如圖4-3所示，流體微團的運動軌跡均為圓周線，在(a)中微團自身有轉動，是有旋流動；在(b)中微團自身沒有轉動，是無旋流動。第一節流體微團運動的分析應當指出，判斷流體微12第一節流體微團運動的分析(a)有旋流動(b)無旋流動圖4-3流體微團的運動軌跡第一節流體微團運動的分析13第一節流體微團運動的分析對于圓柱坐標系來說因此，用上述類似的分析方法可以得到圓柱坐標系下的流體微團的旋轉角速度及渦量的計算公式，即(4-6)(4-7)第一節流體微團運動的分析對于圓柱坐標系來說14第一節流體微團運動的分析(4-8)(4-9)寫成向量(4-6a)(4-8a)第一節流體微團運動的分析15第一節流體微團運動的分析

三、線變形運動

線變形運動是指流體微團的形狀隨時間在變化，而微團的形心位置和方位并不改變的一種變形運動。所以線變形運動又稱作體變形運動。對于不可壓縮流體來說，流體微團的線變形運動并不改變其體積的大小。

流體微團的線變形速度是用直線距離上單位時間單位長度的伸長量(或縮短量)來表示的。線變形速度在各個坐標軸上的分量分別用εx、εy、εz表示。如圖4-4所示，在流場中任取一流體微團，形心點為O，OA平行于x軸，長度為dx，OB平行于y軸，長度為dy，OC平行于z軸(垂直于紙面)，長度為dz。形心O點處流體質點的速度u在各坐標軸上的分量為ux、uy、uz。第一節流體微團運動的分析三、線變形運動16第一節流體微團運動的分析圖4-4微團線變形運動分析第一節流體微團運動的分析17第一節流體微團運動的分析

A點的x向分速度和B點的y向分速度及C點的z向分速度可按泰勒級數展開并略去高階無窮小量得到，它們分別為則A點相對O點在x軸方向的相對速度為；B點相對O點

在y軸方向的相對速度為；C點相對O點在z軸方向的相

對速度為。就是由于這些相對速度的存在，將造成流

體微團在各坐標軸方向伸長(或縮短)。在dτ時間內OA在x軸第一節流體微團運動的分析A點的x向分速度和B點的y向18第一節流體微團運動的分析方向的伸長量為；在dτ時間內OB到y軸方向的縮短量為；在dτ時間內OC在z軸方向的伸長量(或縮

短量)為。則在x軸方向上流體微團在單位時間內單位長度的伸長量為在y軸方向上流體微團在單位時間內單位長度的縮短量為第一節流體微團運動的分析方向的伸長量為19第一節流體微團運動的分析同理，在z軸方向上流體微團在單位時間內單位長度的伸長量(或縮短量)為由此得到流體微團的線變形運動速度分量為(4-10)第一節流體微團運動的分析同理，在z軸方向上流體微團在20第一節流體微團運動的分析如果我們用ε來表示流體微團在單位時間內的體積變形率,或稱體積膨脹率。則有(4-11)式中為速度的散度。顯然，對于不可壓縮流體，ε=0，即體積變形率為零。第一節流體微團運動的分析如果我們用ε來表示流21第一節流體微團運動的分析四、角變形運動

如果流體微團內各點受力不均，有切向力存在時，將會使流體微團產生角變形運動。角變形運動的快慢程度用角變形速度θ來度量。角變形速度的大小常用流體微團中某一直角的角度在單位時間內的改變量的一半來表示，它在各坐標軸方向的分量分別用θx,θy,θz表示。在流場中任取一流體微團如圖4-5所示。設O點在x軸和y軸方向的分速度分別為ux和uy，相對于O點而言，A點在y方向的分速度為，B點在x方向的分速度為。因此相對于O點的對應的角速度分別為第一節流體微團運動的分析四、角變形運動22第一節流體微團運動的分析圖4-5微團角變形運動分析第一節流體微團運動的分析23第一節流體微團運動的分析

A點上

B點上在dτ時間內對應的角度變化量分別為則∠AOB在dτ時間內的總變化量為于是，流體微團在xoy平面內的角變形速度為第一節流體微團運動的分析A點上24第一節流體微團運動的分析同理，可得到流體微團在yoz平面和xoz平面內的角變形速度。因此，流體微團在三個不同平面內的角變形速度分量分別為(4-12)第一節流體微團運動的分析25第一節流體微團運動的分析而(4-13)上面我們對流體微團的移動、轉動和變形運動分別進行了討論和分析，但在實際情況下，流體微團的運動一般都同時存在著移動、轉動和變形運動。因此，在分析流體的實際運動狀態時，應當進行綜合分析和研究。第一節流體微團運動的分析而26第二節渦線、渦管、渦束和旋渦強度內容提要

渦量場的概念

渦線的概念和渦線微分方程

渦管、渦束、渦旋截面的概念

旋渦強度和速度環量的概念

斯托克斯定理

有旋流動的運動學性質第二節渦線、渦管、渦束和旋渦強度內容提要27第二節渦線、渦管、渦束和旋渦強度

在有旋流動的流場中，全部或局部地區的流體微團繞自身軸旋轉，于是就形成了一個用渦量或角速度表示的渦量場，或稱為旋渦場。如同在速度場中曾經引入流線、流管、流束和流量一樣，在渦量場中，我們引入渦線、渦管、渦束和旋渦強度的概念。

渦線是這樣一條曲線，在給定瞬時，曲線上每一點的切線都與該點上流體微團的角速度方向相重合。因角速度向量的方向和流體微團的旋轉軸是一致的，所以渦線也就是沿曲線各個流體微團的瞬時轉動軸線，如圖4-6所示。一般而言，渦線并不與流線相重合，而是與流線相交。在穩定流場中，渦線不隨時間而改變。第二節渦線、渦管、渦束和旋渦強度在有旋流動的28第二節渦線、渦管、渦束和旋渦強度圖4-6渦線圖4-7渦管第二節渦線、渦管、渦束和旋渦強度29第二節渦線、渦管、渦束和旋渦強度

從概念上講，渦線和流線兩者是很相似的。其區別只是渦線是以角速度向量代替了流線的線速度向量。從渦線的定義我們知道，渦線上各點的切線都是各該點上流體微團的瞬時旋轉軸，而其向量代表流體微團的旋轉角速度。于是，我們可用推導流線微分方程類似的方法得到渦線微分方程，即(4-14)

在給定的瞬時，在渦量場中任取一不是渦線的封閉曲線，通過該封閉曲線上每一點作渦線，這些渦線構成一個管狀表面,稱為渦管，如圖4-7所示。渦管中充滿著作旋轉運動的流體，亦即渦管中的所有渦線所構成的渦線族，稱為渦束。第二節渦線、渦管、渦束和旋渦強度從概念上講，30第二節渦線、渦管、渦束和旋渦強度

在穩定流場中，渦管和渦束的形狀不隨時間而改變。

垂直于渦管中所有渦線的截面稱為渦旋截面。

渦管中渦量與渦旋截面的乘積稱為旋渦強度，也稱為渦管強度或渦通量。常用I來表示。對于渦旋截面為dA的微元渦管(或渦束)，其旋渦強度為(4-15)那么，整個渦管的旋渦強度可表示為(4-16)旋渦強度和流體微團的角速度不能直接測得。但根據實際觀察發現，在有旋流動的流場中，流體環繞某一核心旋轉時,第二節渦線、渦管、渦束和旋渦強度在穩定流場中31第二節渦線、渦管、渦束和旋渦強度旋渦強度越大，旋轉速度越快，旋轉的范圍就越擴大。因此可以推斷，在有旋流動中，流場的旋渦強度與流體環繞某一核心旋轉的線速度分布有密切的關系。為了解決這個問題，我們需要引入速度環量的概念，利用速度環量可以計算流場中的旋渦強度。在流場中任取一封閉曲線S，如圖4-8所示，則流速u沿此曲線的積分稱為曲線S上的速度環量，用Γ表示。即(4-17)

速度環量是個標量，它的正負決定于速度的方向和線積分所繞行的方向。一般規定積分時以逆時針方向繞行為正。當速度在積分線路上的投影與同向時，Γ為正。第二節渦線、渦管、渦束和旋渦強度旋渦強度越大，旋轉速32第二節渦線、渦管、渦束和旋渦強度圖4-8速度環量第二節渦線、渦管、渦束和旋渦強度33第二節渦線、渦管、渦束和旋渦強度設封閉曲線S所包圍的區域A為單連通域，根據數學分析中的斯托克斯公式，沿封閉曲線S的線積分可以化為以S為邊界的曲面A的面積分。即(4-18)亦即(4-18a)式(4-18)表明，在流場的單連通域中沿任意封閉曲線的速度環量等于通過以該曲線為邊界的任意曲面的所有渦束的旋渦強度。這個結論在流體力學中稱為斯托克斯定理。第二節渦線、渦管、渦束和旋渦強度設封閉曲線S34第二節渦線、渦管、渦束和旋渦強度由斯托克斯定理可知，速度環量的存在不但可以決定流場中旋渦的存在，而且還可以衡量封閉曲線所包圍的區域內全部旋渦的總旋渦強度。

在無旋流動的流場中，渦量ξ=0，所以沿任何封閉曲線的速度環量都等于零。反之也可以斷定，如果在一個流動區域內沿任何封閉曲線的速度環量都等于零，那么，該區域內就沒有旋渦存在，即該區域內的流動一定是無旋流動。因此在求解單連通域的總旋渦強度時，不論流場中的旋渦是連續分布還是分散存在，都不必考慮其中無旋流動區域的大小，可直接沿包圍這一區域的封閉曲線求其速度環量來確定。

在有旋流動的流場中，渦量ξ≠0，所以，一般情況下沿第二節渦線、渦管、渦束和旋渦強度由斯托克斯定35第二節渦線、渦管、渦束和旋渦強度

封閉曲線的速度環量不等于零，即流場中的總旋渦強度不為零。但是，有時也會遇到沿某一特定的封閉曲線的速度環量等于零，而該封閉曲線所包圍的區域內又有旋渦存在的情況。這是由于該區域內同時存在幾個大小相等、方向相反的旋渦，其旋渦強度相互抵消，使得該區域的總旋渦強度為零，沿封閉曲線的速度環量也為零。所以在判斷流場是有旋還是無旋時，不能只根據沿某一特定封閉曲線的速度環量是否為零，或根據某一特定區域的總旋渦強度是否為零來判斷，而是根據在流場中沿任何封閉曲線的速度環量是否為零，或根據流場中任何區域內的旋渦強度是否都為零來進行判斷。第二節渦線、渦管、渦束和旋渦強度封閉曲線的速度環量不36第二節渦線、渦管、渦束和旋渦強度

有旋流動有一個重要的運動學性質：在同一瞬時，通過同一渦管各渦旋截面的旋渦強度都相等。該性質為亥姆霍茲第一定理，可以通過斯托克斯定理加以證明。根據上述性質可以得到以下推論：

(1)對于同一渦管來說，渦旋截面越小的地方，流體的渦量或旋轉角速度越大。(2)渦管不可能在流體內部以尖端形式產生或終止，而只能在流體中自行封閉成渦環，或者附在流體的邊界上。這是因為在渦旋截面趨近于零的地方，流體的旋轉角速度趨近于無窮大。實際上這是不可能的。例如抽煙人吐出的煙圈就是自行封閉的渦環；自然界中的龍卷風就開始于地面，終止于云層。第二節渦線、渦管、渦束和旋渦強度有旋流動有一37第三節平面流與流函數內容提要

平面流動的概念

流函數的概念

流函數存在的條件

流函數與速度分量之間的關系

流函數的性質第三節平面流與流函數內容提要38第三節平面流與流函數

如果流場中流體的流動參量只是兩個坐標的函數，即流體的流動參量只隨平面內不同點的坐標而變化，這種流動就稱作平面流動。平面流動實際上就是二維流動。流線可以形象地描繪出流場內的流動形態。在數學分析上,我們可以將描述流場特征的所有流線所構成的流線族用一定的函數形式來表示，這種函數就稱為流函數。設有一不可壓縮流體的二維平面流動，其連續性方程為(a)流線微分方程為第三節平面流與流函數如果流場中流體的流動參量39第三節平面流與流函數或寫成(b)根據數學分析可知，如果式(b)的左邊恰好是某一個函數ψ=ψ(x，y)的全微分，即(4-19)那么式(b)就是一個全微分方程。函數ψ(x，y)就稱為流函數。由式(4-19)可得(4-20)將式(4-20)代入平面流的連續性方程式(a)，得第三節平面流與流函數或寫成40第三節平面流與流函數顯然，不可壓縮流體二維平面流動的連續性方程是流函數ψ存在的充分和必要條件。即流函數ψ永遠滿足連續性方程。另外還可以看出，在流線上dψ=0或ψ=常數，并且在每條流線上都有它自己的流函數值。

應當指出，在引入流函數這個概念時，既沒有涉及流體是粘性的還是非粘性的，也沒有涉及流體是有旋的還是無旋的。所以，不論是理想流體還是粘性流體，不論是有旋流動還是無旋流動，只要是不可壓縮流體的平面流動，就存在著流函數。

第三節平面流與流函數顯然，不可壓縮流體二維平面流動的41第三節平面流與流函數

流函數存在下列幾個重要性質：

1.流函數ψ(x，y)=C的方程為流線方程。2.通過兩條流線間各截面上的流體的體積流量都相等，并恒等于兩條流線上的流函數值之差。設在給定的某一瞬時，有兩條流線1和2，它們的流函數值分別為ψ1和ψ2，如圖4-10所示。現在我們來證明通過二維不可壓縮流體流動的兩條流線間的各截面上的體積流量都相等，并且恒等于兩條流線上的流函數值之差。例如通過AB截面的體積流量(取單位寬度)為第三節平面流與流函數流函數存在下列幾個重要性42第三節平面流與流函數圖4-10流量與流函數值的關系第三節平面流與流函數43第三節平面流與流函數

AB方向上x等于常數。同理，通過BC截面的體積流量為

BC方向上y等于常數。因此得到

Q12=QAB=QBC=ψ2-ψ1(4-21)由于同一條流線上各點的流函數值都是相同的，所以上式表明沿流線全長兩條流線間的體積流量保持不變，并恒等于兩條流線上的流函數值之差。

3.不可壓縮流體平面無旋流動的流函數滿足拉普拉斯方程。即第三節平面流與流函數AB方向上x等于常數。44第三節平面流與流函數(4-22)因為對于二維的無旋流動，ωz=0，即而代入上式，有

凡是滿足拉普拉斯方程的函數，在數學分析上稱為調和函數，所以流函數是一個調和函數。第三節平面流與流函數45第三節平面流與流函數

4.在不可壓縮流體平面無旋流動的流場中，流線與等勢線處處正交。關于等勢線的概念及這一性質的證明，將在下一節中介紹。對于圓柱坐標系來說，流函數與速度分量之間的關系為(4-23)(4-24)第三節平面流與流函數4.在不可壓縮流體平面無46第四節勢流與速度勢函數內容提要

勢流的概念

速度位勢和速度勢函數的概念

速度勢函數存在的條件

速度勢函數與速度分量之間的關系

速度勢函數的性質第四節勢流與速度勢函數內容提要47第四節勢流與速度勢函數在有旋流動的流場中，流體質點除具有一定的運動速度(線速度)外，還存在著一定的旋轉速度(角速度)，即在有旋流動的流場中，既有速度場u(x，y，z)，又有渦量場ξ(x，y，z)。一般來說，有旋流動要比無旋流動復雜得多。所以對于一些旋渦強度很弱的有旋流動，可以近似作為無旋流動來處理，這樣將會給問題的解析和研究帶來可能和方便。

流體的無旋流動，即角速度ω=0的流動也稱為有勢流動，簡稱為勢流。在勢流流場中，各流體質點僅具有速度向量，而沒有角速度向量。一般情況下，在某一瞬時，流線上各流體質點的速度具有不同的大小和方向，它們各自具有不同的速度位勢。第四節勢流與速度勢函數在有旋流動的流場中，流48第四節勢流與速度勢函數

所謂速度位勢就速度向量在某一方向上的投影與該方向上一段距離的乘積，即。如果我們將流場中各流線上具有相同速度位勢的點連接起來，所組成的線(或面)就稱為等勢線(或等勢面)。速度向量垂直于等勢線(或等勢面)。在同一條等勢線上各流體質點具有相同的速度位勢，而在不同的等勢線上流體質點將具有不同的速度位勢。因此，與流線一樣，用等勢線也可以描述流場的特征。對于不同的等勢線(或等勢面)也可以用一定的函數形式來表示，這種函數就稱為速度勢函數，或簡稱為速度勢或勢函數。在勢流流場中，其渦量(或旋轉角速度)為零，即由式(4-4)有第四節勢流與速度勢函數所謂速度位勢就速度向量49第四節勢流與速度勢函數(a)由數學分析可知，上式(a)是表達式成為某一函數的全微分的充分必要條件。因此，在無旋流動的條件下必然存在函數，它和速度分量ux、uy、uz的關系為(4-25)第四節勢流與速度勢函數50第四節勢流與速度勢函數在給定瞬時，函數的全微分又可寫成比較以上兩式，可以得出(4-26)函數就稱為速度勢函數。對于穩定流動；對于非穩定流動，但一般時間τ是作為參變量出現的。將式(4-26)代入式(a)，可以發現勢函數的二階偏導數與求導次序無關。第四節勢流與速度勢函數在給定瞬時，函數的全微分又51第四節勢流與速度勢函數由以上討論可知，只要流動是無旋的，就一定存在速度勢函數。反之，只要流場中存在速度勢函數，則流動就必定是無旋的。

速度勢函數φ存在以下幾個重要性質：

1.速度勢函數=C的方程為等勢線方程。而速度勢函數=C的方程為等勢面方程。2.速度勢函數的梯度就是流場中流體的速度。或者說，流體的速度即為速度勢函數的梯度。按向量分析，有(4-27)第四節勢流與速度勢函數由以上討論可知，只要流52第四節勢流與速度勢函數另外，根據速度位勢的定義可知，速度勢函數在任意方向上的偏導數等于速度在該方向上的投影。根據方向導數的定義，函數φ在任一方向l上的方向導數為3.不可壓縮流體的有勢流動，其速度勢函數滿足拉普拉斯方程。將式(4-26)代入不可壓縮流體的連續性方程，可得(4-28)第四節勢流與速度勢函數另外，根據速度位勢的定義可知，53第四節勢流與速度勢函數式(4-28)是拉普拉斯方程。速度勢函數滿足拉普拉斯方程，因而它也是一個調和函數。對于不可壓縮流體的平面無旋流動，其流函數和速度勢函數同時存在。比較式(4-20)和式(4-26)可知，流函數ψ和速度勢函數存在如下的關系(4-29)或寫成(4-29a)

滿足上述關系的兩個調和函數稱為共軛調和函數。已知其中的一個函數就能夠求出另一個函數。第四節勢流與速度勢函數式(4-28)是拉普拉斯方程。54第四節勢流與速度勢函數

4.在不可壓縮流體平面無旋流動的流場中，等勢線與流線處處正交。這也是前述流函數的重要性質之一。我們可以通過求流場中任一點上流線的斜率和等勢線的斜率，來證明不可壓縮流體平面無旋流動的流場中，等勢線與流線處處正交。對流場中的任意一點，由流線微分方程可得流線在該點的斜率為(b)由等勢線微分方程uxdx+uydy=0可得等勢線在該點的斜率為(c)第四節勢流與速度勢函數4.在不可壓縮流體平面55第四節勢流與速度勢函數由式(b)和(c)可知，流線的斜率和等勢線的斜率互為負倒數的關系，或者它們兩者的乘積等于負一。這就說明，在不可壓縮流體平面無旋流動的流場中，等勢線與流線是處處正交的。此外，由數學分析可知，式(4-29)也是等勢線族和流線族互相垂直的條件，即正交性條件。即由式(4-29)也可以證明速度勢函數及流函數的上述性質。因此，在平面上可以將等勢線族和流線族構成正交網絡，稱為流網，如圖4-12所示。有了流網就可以近似地得出流場中各點的速度分布，從而也可以得出壓力分布。即在流場中，流線愈密集的地方，其流速愈大，而壓力愈小。它是求解穩定平面勢流的近似圖解法。第四節勢流與速度勢函數由式(b)和(c)可知，流線的56第四節勢流與速度勢函數圖4-12流網第四節勢流與速度勢函數57第四節勢流與速度勢函數

5.在勢流流動的流場中，沿任意曲線上的速度環量等于該曲線兩端點上的速度勢函數值之差，而與曲線的形狀無關。沿任意曲線ab的速度環量為(4-30)式(4-30)說明，在勢流流場中，沿任意曲線ab的速度環量只取決于起點a和終止b的位置，而與曲線ab的形狀無關。如果a點和b點重合，則曲線ab為一條封閉曲線，因此Γab=0。第四節勢流與速度勢函數5.在勢流流動的流場中58第四節勢流與速度勢函數在圓柱坐標系下，速度勢函數與速度分量之間的關系為(4-31)(4-32)此外，我們可以證明，對于穩定的有勢流動來說，流場中所有流線的伯努利常數都相同。證明從略。第四節勢流與速度勢函數在圓柱坐標系下，速度勢59第五節幾種基本的平面有勢流動內容提要一、均勻直線流二、源流和匯流三、渦流和點渦第五節幾種基本的平面有勢流動內容提要60第五節幾種基本的平面有勢流動

一、均勻直線流

當流體作勻速直線運動時，流場中各點的速度都是大小相等，方向相同的，這種流動就稱為均勻直線流，又稱為等速平行流。如圖4-13所示，流體的流動方向與x軸的夾角為θ，流場中各點的速度均為u0，且u0為一定值。則x和y方向的分速度為

ux=u0cosθ，uy=u0sinθ(4-35)其流函數及速度勢函數可由下式求出

dψ=uxdy-uydx=u0cosθdy-u0sinθdx

dφ=uxdx+uydy=u0cosθdx+u0sinθdy第五節幾種基本的平面有勢流動一、均勻直線流61第五節幾種基本的平面有勢流動圖4-13均勻直線流動第五節幾種基本的平面有勢流動62積分上式可得流函數ψ及速度勢函數φ

ψ=u0cosθy-u0sinθx+C1

φ=u0cosθx+u0sinθy+C2以上兩式中的積分常數C1和C2可以任意選取，而不影響流體的流動圖形。若令C1=C2=0，得

ψ=u0cosθy-u0sinθx=u0(ycosθ-xsinθ)

φ=u0cosθx+u0sinθy=u0(xcosθ+ysinθ)(4-36)由式(4-36)可以看出，等勢線族(φ=常數)和流線族(ψ=常數)在流場內處處正交，而且它們都為平行直線，如圖4-13所示。各流線與x軸的夾角為θ=tg-1(uy0/ux0)。第五節幾種基本的平面有勢流動積分上式可得流函數ψ及速度勢函數φ第五節幾種基本的63第五節幾種基本的平面有勢流動若流動平行于x軸，則函數及成為(4-36a)當流動平行于y軸時，(4-36b)由于流場中各點的速度都相等，根據伯努利方程可以得到(4-37)第五節幾種基本的平面有勢流動若流動平行于x軸64第五節幾種基本的平面有勢流動如果均勻直線流動是在同一水平面內，或者重力的影響可以忽略不計時，則有

p=C(4-37a)即在水平均勻直線流動的流場中，壓力是處處相等的。第五節幾種基本的平面有勢流動如果均勻直線流動65第五節幾種基本的平面有勢流動

二、源流和匯流如圖4-14a所示，設無限平面內有一點O，流體不斷地從O點流出后，沿徑向均勻地向四周各個方向繼續擴散流動，這種流動稱為源流，或簡稱點源，O點稱為源點。與此相反，若流體不斷地沿徑向均勻地從四周各個方向流入O點，則這種流動稱為匯流，或簡稱點匯，O點稱為匯點，如圖4-14b所示。顯然，這兩種流動的流線都是從O點發出的射線，即流體從源點流出和向匯點流入都只有徑向速度ur，而切向速度uθ為零。現以O點為原點取柱坐標(如圖4-14)。對于不可壓縮流體的穩定流動來說，流體每秒鐘通過任一半徑為r的單位長度圓柱面上的體積流量Q都應該相等，即Q=2πrur=常數。流量Q第五節幾種基本的平面有勢流動二、源流和匯流66第五節幾種基本的平面有勢流動

圖4-14源流和匯流第五節幾種基本的平面有勢流動67第五節幾種基本的平面有勢流動

又稱為源流強度(或匯流強度)，單位是米3/(秒·米)。由此可得源流(或匯流)流場的速度分布為(4-38)對于源流，Q＞0，因而ur＞0，因此有積分以上兩式，并令積分常數C=0，得第五節幾種基本的平面有勢流動又稱為源流強度(或匯流強68第五節幾種基本的平面有勢流動(4-39)由式(4-39)可以看出，流線族是以源點為起點的輻射線，而等勢線族是以源點為圓心的同心圓，這說明等勢線族與流線族是正交的。匯流與源流是互逆過程，流函數和速度勢函數的表達式與源流相同，只是符號相反，即(4-40)第五節幾種基本的平面有勢流動69第五節幾種基本的平面有勢流動由于ur=Q/2πr，當r→0時，ur→∞，所以源點和匯點都是奇點。因此其流函數和速度勢函數只有在源點或匯點之外才存在，即除源點或匯點外，整個平面流場上都是有勢流動。下面來分析一下源流和匯流流場的壓力分布情況。如果xoy平面是無限水平面，則根據伯努利方程，有式中p∞為在r→∞處的流體壓力，該處的速度為ur=Q/2πr=0。將ur=Q/2πr代入上式，得(4-41)第五節幾種基本的平面有勢流動由于ur=Q/270第五節幾種基本的平面有勢流動上式說明，壓力p隨著半徑r的減小而降低，當r=r0=時，p=0。當r＜r0時，絕對壓力將出現負值，實際上這是不可能的。因此，實際中的源點和匯點是有一定截面積的。圖4-15繪出了當r0＜r＜∞時點匯沿半徑r的壓力分布規律。第五節幾種基本的平面有勢流動71第五節幾種基本的平面有勢流動4-15點匯沿半徑的壓力分布第五節幾種基本的平面有勢流動72第五節幾種基本的平面有勢流動

三、渦流和點渦設有一旋渦強度為I的無限長直線渦束，該渦束象剛體一樣以等角速度ω繞自身軸旋轉，并帶動渦束周圍的流體繞其環流，由于直線渦束為無限長，所以可以認為與渦束垂直的所有平面上流動情況都一樣。就是說，這種繞無限長直線渦束的流動可以作為平面流動來處理。這種由渦束誘導出來的平面流動,稱為渦流。設渦束軸為z軸，則由渦束所誘導的環流的流線在xoy平面內都是以坐標原點O為圓心的同心圓，如圖4-16所示。由于渦束以等角速度旋轉，因此，渦束外流體沿同一圓周流線的流動是等速的。然而各條不同的圓周流線上流體的速度是不相同的，速度沿半徑方向的變化規律可由斯托克斯定理求得。第五節幾種基本的平面有勢流動三、渦流和點渦73第五節幾種基本的平面有勢流動圖4-16渦束誘導出的渦流第五節幾種基本的平面有勢流動74第五節幾種基本的平面有勢流動由斯托克斯定理可知，沿任何圓周流線的速度環量都等于渦束的旋渦強度，即Γ=2πruθ=I=常數于是(4-42)因此，在渦束外流體的速度與半徑成反比；而在渦束內，流體則如同剛體一樣以等角速度ω繞其自身軸旋轉，速度與半徑成正比，即uθ=ωr，如圖4-16所示。我們稱渦束外的流動區域為勢流旋轉區，稱渦束內的流動區域為渦核區。

若渦束的半徑r0→0，則渦束就成為一條渦線，這樣的渦流稱為點渦，或稱自由渦。當r0→0時，uθ→∞，因此渦點是一個奇點，所以點渦又稱純環流。第五節幾種基本的平面有勢流動由斯托克斯定理可知，沿任75第五節幾種基本的平面有勢流動現在我們來求渦核外勢流區的流函數和速度勢函數。由于積分以上兩式，并令積分常數C=0，得勢流區的流函數和速度勢函數為(4-43)當Γ>0時，uθ>0，環流為逆時針方向；當Γ<0時，uθ<0，環流為順時針方向。第五節幾種基本的平面有勢流動現在我們來求渦核76第五節幾種基本的平面有勢流動注意：在渦核區內，流函數為，速度勢函數不存在。由式(4-43)可知，渦流的流線族是以渦點為圓心的同心圓周線，而等勢線族則是從渦核邊緣發出的放射線。對于點渦來說，等勢線族則是從渦點發出的放射線，即除了渦點以外，整個平面流場都是有勢流動。下面我們再來分析一下渦流流場內的壓力分布規律。已知渦束的半徑為r0，渦束邊緣上的速度為uθ0=Γ/2πr0，壓力為p0；當r→∞時，速度uθ顯然為零，而壓力為p∞。將式(4-42)代入伯努利方程(4-34)，得渦束外勢流區的壓力分布規律為：第五節幾種基本的平面有勢流動注意：在渦核區內77第五節幾種基本的平面有勢流動(4-44)式(4-44)說明，在渦束以外的勢流區內，壓力p隨著半徑r的減小而降低。從式(4-44)還可知，當r→0處，p→-∞，顯然這是不可能的。所以在渦束內確實存在著如同剛體一樣、以等角速度旋轉的旋渦區域，即渦核區。渦核邊緣上的壓力為(4-45)或寫成(4-45a)第五節幾種基本的平面有勢流動78第五節幾種基本的平面有勢流動由式(4-45a)可以看出，在渦核以外的勢流區內，從無窮遠處到渦核邊緣的壓力降是一個常數，它等于以渦核邊緣的速度計算的動壓。由于渦核內為有旋流動，各條流線的伯努利常數不同，因此，流體在徑向的壓力分布只能根據歐拉運動微分方程求得。沿流線主法線方向的歐拉運動微分方程為由于壓力p只沿r方向變化，令z=0，并且渦核內uθ=ωr，故上式可改寫為第五節幾種基本的平面有勢流動由式(4-45a)可以看79第五節幾種基本的平面有勢流動對上式積分，得積分常數C由邊界條件確定。在r=r0處，p=p0，uθ=uθ0，代入上式得積分常數C為最后得到渦核區內的壓力分布為：(4-46)或(4-46a)第五節幾種基本的平面有勢流動對上式積分，得80第五節幾種基本的平面有勢流動于是，渦核中心的壓力為(4-47)而渦核邊緣的壓力為所以(4-48)由式(4-48)可知，在渦核區內，從渦核邊緣到渦核中心的壓力降為一常數，且等于以渦核邊緣的速度計算的動壓。比較式(4-45a)和式(4-48)還可以發現，渦核內、外的壓力降是相等的，都等于以渦核邊緣的速度計算的動壓。渦核內、外的速度分布和壓力分布如圖4-17所示。第五節幾種基本的平面有勢流動于是，渦核中心的壓力為81第五節幾種基本的平面有勢流動圖4-17渦流中渦核內、外的速度和壓力分布第五節幾種基本的平面有勢流動82第五節幾種基本的平面有勢流動由于渦核區的壓力比渦核外勢流區的壓力低，故渦流有很強的抽吸作用，它能把勢流旋轉區中的部分流體抽吸到渦核區內來。第五節幾種基本的平面有勢流動由于渦核區的壓力83第六節有勢流動的疊加內容提要

概述一、螺旋流二、偶極流三、均勻直線流繞圓柱體無環量的平面流動第六節有勢流動的疊加內容提要84第六節有勢流動的疊加

凡是滿足拉普拉斯方程的函數在數學分析中都稱為調和函數。所以流函數和速度勢函數都是調和函數。根據調和函數的疊加原理，即若干個調和函數的線性組合仍然是調和函數，可以將若干個有勢流動的速度勢函數(或流函數)線性組合成一個新的有勢流動的速度勢函數(或流函數)。如(4-49)式中φ1、φ2、φ3…和ψ1、ψ2、ψ3…分別代表幾個簡單有勢流動的速度勢函數和流函數。顯然，疊加后新的有勢流動的速度勢函數φ和流函數ψ也滿足拉普拉斯方程。根據速度勢函數(或流函數)與速度分量之間的關系可得第六節有勢流動的疊加凡是滿足拉普拉斯方程的函85第六節有勢流動的疊加(4-50)或(4-50a)式(4-49)至式(4-50a)表明，幾個簡單有勢流動的速度勢函數及流函數的代數和等于新的有勢流動的速度勢函數和流函數，它的速度是這些簡單有勢流動速度的向量和。上述疊加原理的方法雖然簡單，但在實用上有很大意義，我們可以應用這一原理，把一些簡單的平面有勢流動疊加成所需要的新的復雜的有勢流動。或者將一復雜的有勢流動分解幾個已知的簡單有勢流動來分析。

下面舉幾個平面有勢流動疊加的例子。第六節有勢流動的疊加86第六節有勢流動的疊加

一、螺旋流

螺旋流是由點源或者點匯流動和點渦流動疊加(源點或者匯點和渦點重合)而成的。將點源或者點匯和點渦的速度勢函數及流函數分別相加，即可得到螺旋流的速度勢函數和流函數。如點匯和點渦疊加后得到的螺旋流的速度勢函數和流函數為(4-51)

式中Γ取逆時針方向為正。令以上兩式等于常數，便可得到等勢線方程和流線方程為第六節有勢流動的疊加一、螺旋流87第六節有勢流動的疊加(4-52)或寫成(4-53)式中C1、C2是兩個常數。顯然，等勢線族和流線族是兩組相互正交的對數螺旋線族(如圖4-18)，所以稱為螺旋流。在圖4-18所示的螺旋流動(點匯和點渦疊加的結果)的流場中，流體是從四周向中心流動。工程上常用的離心分離器、旋風除塵器以及水力渦輪機等設備中的旋轉流體的流動情況即可近似看成是這種螺旋流。第六節有勢流動的疊加88第六節有勢流動的疊加圖4-18螺旋流圖4-19風機外殼中的流動第六節有勢流動的疊加89第六節有勢流動的疊加上述螺旋流的徑向速度和切向速度分別為(4-54)總速度為(4-54a)代入伯努利方程(4-34)，得流場中的壓力分布為：(4-55)式中p∞為r→∞處的壓力，該處的速度u=0。對于流場中不同的兩點，由伯努利方程可得(4-56)第六節有勢流動的疊加上述螺旋流的徑向速度和切90第六節有勢流動的疊加式中p1、p2為螺旋流流場中1、2兩點上的壓力；r1、r2為1、2兩點距螺旋流中心的距離。對于離心式水泵、風機等渦殼中的流動可以近似看作是由點源和點渦疊加而成的螺旋流的例子，如圖4-19所示，其流動方向與圖4-18所示的螺旋流的方向相反。第六節有勢流動的疊加式中p1、p2為螺旋流流場中1、91第六節有勢流動的疊加

二、偶極流

偶極流是同強度的點源和點匯疊加的結果。若把點源和點匯無限靠近，即源點和匯點間的距離ΔS→0，并且在ΔS→0的同時，強度Q→∞，以使得ΔSQ=常數，這樣便得到一個所謂的偶極流的有勢流動。如圖4-20所示，為一把強度為Q的點源和強度為-Q的點匯分別放在坐標系的A點(-a，0)和B點(a，0)上，疊加后得到的流動圖形。疊加后的速度勢函數和流函數分別為(4-57)(4-58)第六節有勢流動的疊加二、偶極流92第六節有勢流動的疊加圖4-20點源和點匯的疊加第六節有勢流動的疊加93第六節有勢流動的疊加式中α為動點P(x，y)與源點A和匯點B的連接線之間的夾角。由流線方程ψ=常數，得α=常數。就是說，流線是經過源點A和匯點B的圓周線族，而且從源點流出的流量全部流入匯點。現在來分析在點源與點匯無限接近的同時，流量Q無限增大(即a→0時，Q→∞)，以使得2aQ保持一個有限常數M的極限情況，即偶極流的情況。M=2aQ稱為偶極矩，或稱為偶極強度，單位為米4/秒·米或米3/秒，方向是從源點到匯點為正。偶極流的速度勢函數和流函數可由式(4-57)和式(4-58)根據上述條件推導出來。由式(4-57)得第六節有勢流動的疊加式中α為動點P(x，y)與源點A94第六節有勢流動的疊加圖4-21推導偶極流速度勢和流函數用圖第六節有勢流動的疊加95第六節有勢流動的疊加如圖4-21所示，當A點和B點向原點O無限靠近時，rA-rB≈2acosθA，而且當2a→0，Q→∞時，2aQ=M，rA→rB→r，θA→θB→θ。又由于當ε為無窮小時，可以略去高階項，即ln(1+ε)≈ε。因此，偶極流的速度勢函數為(4-59)第六節有勢流動的疊加如圖4-21所示，當A點96第六節有勢流動的疊加由式(4-58)得又因為當ε→0時，tg-1ε≈ε。所以偶極流的流函數為第六節有勢流動的疊加由式(4-58)得97第六節有勢流動的疊加(4-60)令式(4-60)等于常數C1，得流線方程為即流線是半徑為M/4πC1，圓心為(0，-M/4πC1)且與x軸在原點相切的圓周線族，如圖4-22中實線所示。同樣，令式(4-59)等于常數C2，得等勢線方程為第六節有勢流動的疊加98第六節有勢流動的疊加圖4-22偶極流的流線和等勢線第六節有勢流動的疊加99第六節有勢流動的疊加即等勢線是半徑為M/4πC2，圓心為(M/4πC2，0)且與y軸在原點相切的圓周線族，如圖4-22中虛線所示。偶極流的流場中速度分布為：在直角坐標系下(4-61)在圓柱坐標系下(4-62)第六節有勢流動的疊加即等勢線是半徑為M/4πC2，圓100第六節有勢流動的疊加偶極流的總速度為(4-63)偶極流流場內的壓力分布可由伯努利方程計算得到。在流場中r→∞處的壓力為p∞，速度u∞=0，將式(4-63)代入伯努利方程(4-34)，得(4-64)對于流場中不同兩點間的壓力差為(4-65)第六節有勢流動的疊加偶極流的總速度為101第六節有勢流動的疊加

三、均勻直線流繞圓柱體無環量的平面流動設有一在無窮遠處速度為u∞的均勻直線流(平行流)，從與圓柱體軸垂直的方向繞過一半徑為r0的無限長圓柱體流動，如圖4-23所示，這一流動可認為是由均勻直線流和偶極流疊加而成的組合平面流動。根據式(4-36a)與式(4-59)和式(4-60)可得組合流動的速度勢函數與流函數分別為(4-66)(4-67)第六節有勢流動的疊加三、均勻直線流繞圓柱體無102第六節有勢流動的疊加圖4-23平行流繞圓柱體無環量的流第六節有勢流動的疊加103第六節有勢流動的疊加于是，流線方程為選取不同的常數值C，可得如圖4-23所示的流動圖形。當C=0時，ψ=0，該流線稱為零值流線。零值流線的方程為即由此可知，零值流線是x軸和一個以坐標原點為圓心，半徑為的圓周線所構成的圖形。該流線到A點(駐點)處第六節有勢流動的疊加于是，流線方程為104第六節有勢流動的疊加分成兩股，沿上下兩個半圓周流到B點(駐點)又重新匯合。由于流體不能穿過零值流線，因此，一個均勻直線流繞半徑為r0的圓柱體的平面流動，可以用這個均勻直線流與一個偶極矩為M=2πu∞r20的偶極流疊加而成的組合流動來代替。于是，均勻直線流繞圓柱體無環量的平面流動的速度勢函數和流函數也可以寫成(4-66a)(4-67a)以上兩式中的r≥r0，因為r＜r0在圓柱體內，沒有實際意義。第六節有勢流動的疊加分成兩股，沿上下兩個半圓周流到B105第六節有勢流動的疊加流場中任一點的速度分量為(4-68)在x=∞，y=∞處，ux=u∞，uy=0。這表明在離開圓柱體無窮遠處，均勻直線流未受圓柱體的干擾，仍為均勻直線流。在圖4-23中的A點(-r0，0)和B點(r0，0)處，ux=uy=0，A為前駐點，B為后駐點。第六節有勢流動的疊加流場中任一點的速度分量為106第六節有勢流動的疊加對于圓柱坐標系，速度分量為(4-69)沿包圍圓柱體的任意圓周線的速度環量為即均勻直線流繞圓柱體的平面流動其速度環量為零。當r=r0時，即在圓柱面上，(4-70)第六節有勢流動的疊加對于圓柱坐標系，速度分量107第六節有勢流動的疊加圖4-24在平行流繞圓柱體無環量流動中圓柱面上的速度分布第六節有勢流動的疊加108第六節有勢流動的疊加這說明流體沿圓柱面只有切線方向的速度，而沒有徑向速度。這也證實了該組合流動符合流體不穿入又不脫離圓柱面的邊界條件。在圓柱面上，速度是按正弦曲線規律分布的，如圖4-24所示。在前、后駐點處流速為零；在θ=±π/2處，流速最大，其值為無窮遠處速度的二倍。

圓柱面上各點的壓力分布，可由伯努利方程求得，即式中p∞為無窮遠處流體的壓力。將式(4-70)代入上式，得(4-71)第六節有勢流動的疊加這說明流體沿圓柱面只有切線方向的109第六節有勢流動的疊加在工程上常用無因次壓力系數來表示流體作用在物體上任一點的壓力，它的定義為(4-72)將式(4-71)代入上式，得(4-73)由此可見，沿圓柱體表面的無因次壓力系數Cp既與圓柱體的半徑r0無關，也與無窮遠處的速度u∞和壓力p∞無關，僅與θ角有關。這就是在研究理想流體無環量繞流圓柱體的柱面上的壓力時，利用這個壓力系數的方便所在。第六節有勢流動的疊加在工程上常用無因次壓力系110第六節有勢流動的疊加根據式(4-73)計算出的理論無因次壓力系數曲線如圖4-25所示。應當注意，在計算時，θ角是從前駐點A起沿順時針方向增加。①在前駐點A(θ=0°)上，速度等于零，Cp=1，壓力達到最大值，pA=p∞+ρu2∞/2。②在垂直于來流方向的最大截面D點(θ=90°)上，速度最大，Cp=-3，壓力降到最小值，pD=p∞-3ρu2∞/2。③在后駐點B(θ=180°)上，速度又等于零，Cp=1，壓力又達到最大值，pB=p∞+ρu2∞/2。180°≤θ≤360°范圍內的理論曲線與0°≤θ≤180°范圍內的完全一樣，即圓柱面上所受的流體壓力上下左右都是對稱的。因此，作用在圓柱面上的壓力在各個方向上都互相平衡，合力等于零。這可證明如下：第六節有勢流動的疊加根據式(4-73)計算出111第六節有勢流動的疊加圖4-25壓力系數沿圓柱面的分布第六節有勢流動的疊加112第六節有勢流動的疊加

圖4-26推導理想流體對圓柱體的作用力用圖第六節有勢流動的疊加113第六節有勢流動的疊加如圖4-26所示，在單位長度的圓柱體上，作用在微元弧段ds=r0dθ上的微小總壓力dF=pr0dθ，則dF沿x和y軸的分量為(4-74)式中的負號是考慮到當θ為正值時，dFx和dFy的方向分別與x和y軸的方向相反。將式(4-71)代入以上二式，并積分，便得到流體作用在圓柱體上的總壓力沿x和y軸方向的分量為第六節有勢流動的疊加如圖4-26所示，在單位114第六節有勢流動的疊加即理想流體作用在圓柱面上的壓力的合力等于零。流體作用在圓柱面上的總壓力沿x和y軸方向的分量，即圓柱面受到的與來流方向平行的和垂直的作用力分別稱為流體作用在圓柱體上的阻力和升力，并分別用FD和FL表示。這就是說，當理想流體的均勻直線流無環量地繞流圓柱體時，沒有作用在圓柱體上的阻力和升力。第六節有勢流動的疊加即理想流體作用在圓柱面上的壓力的115本章小結一、基本概念：二、基本定律和基本方程：三、重要的性質和結論：本章小結一、基本概念：116流體力學與流體機械

（四）多媒體教學課件李文科制作流體力學與流體機械

（四）多媒體教學課件117第四章流體的有旋流動和無旋流動第一節流體微團運動的分析第二節渦線、渦管、渦束和旋渦強度第三節平面流與流函數第四節勢流與速度勢函數第五節幾種基本的平面有勢流動第六節有勢流動的疊加第四章流體的有旋流動和無旋流動第一節流體微團