向量自回歸和自回歸條件異方差模型1向量自回歸和自回歸條件異方差模型1本章介紹時間序列的向量自回歸和自回歸條件異方差模型。向量自回歸模型是自回歸移動平均模型從單個時間序列到多個時間序列的擴展。自回歸條件異方差模型主要考察時間序列數據波動性的變化，在金融領域的風險分析中有重要應用。本章介紹這兩種模型的意義和特征、參數估計、檢驗和應用等。2本章介紹時間序列的向量自回歸和自回歸條件異方差模型。2第一節向量自回歸模型一、向量自回歸模型概述ARMA模型分析針對單個時間序列，存在忽略經濟變量之間內在聯系的缺點。克服這個缺點的方法是把ARMA模型擴展到針對多個時間序列，把ARMA模型中的變量換成向量。因為自回歸移動平均模型可相互轉換，而且在向量變量的情況下自回歸模型比較方便，因此一般主要考慮向量變量的自回歸模型，稱為“向量自回歸模型”（Vectorautoregressionmodel，VAR）。3第一節向量自回歸模型一、向量自回歸模型概述3(一)VAR模型的表示形式把p階自回歸模型AR(p)中的變量和誤差項都變成向量，系數變成系數向量或矩陣，就得到一個p階向量自回歸模型VAR(p)：引進滯后算子，向量自回歸模型可以寫成或者4(一)VAR模型的表示形式4引進下列記號：則p階向量自回歸模型VAR(p)，也可寫成一階自回歸形式VAR(1)：5引進下列記號：5其中的協方差矩陣為6其中的協方差矩陣為6為了分析的方便，也常常假設服從多元正態分布，即~，其中可以包含一定自相關性，即是對稱正定矩陣，但不一定是對角線矩陣。當滿足該假設時，上述向量自回歸模型也稱為“高斯向量自回歸模型”。7為了分析的方便，也常常假設服從多元正態分布，即向量自回歸模型VAR(p)展開，可以寫成每個變量對常數項和向量中所有變量的1-p階滯后項回歸的，n個方程構成的聯立方程組系統8向量自回歸模型VAR(p)展開，可以寫成每個變量對常數項和這個展開形式上與一般聯立方程組模型相似，但其實有本質差異：1、VAR模型不強調變量之間關系的理論根據，模型形式、變量、滯后期數等并不以特定經濟理論為依據，模型變量也不存在內生、外生之分，每個方程都包含所有的變量；2、VAR模型的主要作用是進行預測分析而不是經濟結構分析；3、由于模型結構性質的差別，VAR模型的參數估計和檢驗等與聯立方程組模型也有差別。9這個展開形式上與一般聯立方程組模型相似，但其實有本質差異：9（二）平穩性分析1、平穩性定義如果向量自回歸過程的一階矩和二階矩關于時期t都是獨立的，則稱為“協方差平穩的”，或者直接稱“平穩的”。平穩意味著向量中包含的各個時間序列都是平穩的。10（二）平穩性分析102、平穩性條件利用一階自回歸形式進行迭代可得因為平穩過程意味著隨著時間的不斷增大，擾動的效應必須逐漸消失，因此上述向量自回歸過程的平穩性要求隨著s不斷增大112、平穩性條件11因此矩陣F的特征方程的根都必須滿足，也就是在單位圓內。另一種表達方法:滿足方程的所有值（根）都必須在單位圓之外。12因此矩陣F的特征方程12(三)性質1、均值對于平穩的向量自回歸模型，兩邊求數學期望得：可得到其均值為：13(三)性質132、MA(∞)表示方法一個平穩的向量自回歸過程可以寫成一個白噪聲向量的無限移動平均過程MA(∞)：其中是上述移動平均表達式的滯后算子多項式，與自回歸形式的滯后算子多項式之間的關系為，意味著142、MA(∞)表示方法14二、向量自回歸模型參數估計普通最小二乘估計能得到一致估計。因為不同方程的誤差之間有相關性，因此ML能得到更有效的估計在模型誤差項服從多元正態分布的前提下，模型參數向量的最大似然估計與最小二乘估計是相同的，只是誤差方差的估計不同。15二、向量自回歸模型參數估計15以誤差向量服從多元高斯過程的高斯向量自回歸模型為例，說明最大似然估計。一個p階高斯向量自回歸模型即其中~。16以誤差向量服從多元高斯過程的高斯向量自回歸模型為例，說明最大如果已經得到向量時間序列的個時期的觀測值，那么因為在時期t為常數，而~，因此17如果已經得到向量時間序列的個時期的引進記號:上述服從的條件分布可以寫成下列緊湊形式因此第t個觀測值的條件密度為18引進記號:18向量自回歸模型的（條件）似然函數為:對數似然函數則為19向量自回歸模型的（條件）似然函數為:19可以證明其中的最大似然估計實際上與最小二乘估計相同，為

其中第j行就是對回歸得到的回歸系數向量。的最大似然估計則是20可以證明其中的最大似然估計實際上與最小二乘估計相同，為20最大似然估計肯定是一致估計，其漸近分布是漸近正態分布其中，是克羅內克積。第i個系數估計量漸近分布21最大似然估計肯定是一致估計，其漸近分布是漸近正態分布21如果由其一致估計代，而則由一致估計代，則可以將近似看作當樣本容量較大時，可以利用該漸近分布進行統計推斷檢驗。22如果由其一致估計三、向量自回歸模型檢驗（一）需要通過模型檢驗加以確定的問題包括：滯后期長度的確定；模型的參數是否顯著，是否存在特定約束關系等。23三、向量自回歸模型檢驗23（二）似然比檢驗

似然比檢驗實際上就是把不同約束，有約束和無約束的參數估計、最大似然估計分別代入上述似然函數，根據是否有顯著差異說明參數約束或者所對應的檢驗假設是否成立。24（二）似然比檢驗24：一組變量數據由階而不是階滯后的高斯向量自回歸生成。：這組變量數據是由階滯后的高斯向量自回歸生成。分別在兩個不同的假設下估計這個系統，也就是分別求每個變量關于常數項和系統中所有變量的階和滯后的回歸。25：一組變量數據由階而不是階滯分別代入上述似然函數公式得到得到似然比統計量為26分別代入上述似然函數公式得到26Sims（1980）也提出了一種適應小樣本情況的修正的似然比檢驗統計量在確定向量自回歸模型的滯后期數等方面，進行參數估計回歸時的SIC和AIC信息數標準同樣也是重要的參考依據。一般來說，這兩個指標較小的選擇是較好的。27Sims（1980）也提出了一種適應小樣本情況的修正的似然比四、向量自回歸模型的應用（一）預測——向量自回歸模型最重要的應用由于向量自回歸模型沒有當期外生變量，因此在預測方面沒有確定外生變量水平的困難，預測比較容易。向量自回歸模型的最優預測就是條件期望預測。28四、向量自回歸模型的應用28基于的的預測如下：作為一個動態系統，向量自回歸模型很容易得到多步、多期預測。例如作基于的、等預測時，只要把前期預測作為變量值代入模型，就可以得到多步預測、等。這種方法的缺點是前期的預測誤差會不斷積累，導致長期預測的較大偏差。29基于的的預測如下：29（二）因果性分析（三）脈沖——響應函數分析把向量自回歸模型表示為移動平均模型形式時，等于把時間序列向量自身的慣性趨勢，轉化成了一系列隨機擾動、新生的白噪聲擾動影響的疊加，該移動平均模型的系數矩陣滿足30（二）因果性分析30它反映了t時期的擾動（創新）對時期t+s向量或其中各個變量水平的影響。如果已知變化，那么對的綜合影響為因此系數矩陣稱為“脈沖——響應函數”。脈沖——響應函數是研究新生沖擊的長期影響的方法。31它反映了t時期的擾動（創新）對時期t+s向量或其中各個變量水在實際應用中，由于把向量自回歸模型變換成移動平均形式并不是很容易，因此一般采用模擬的方法求向量自回歸模型的脈沖——響應函數。令32在實際應用中，由于把向量自回歸模型32根據上述向量自回歸模型模擬時期t、t+1、t+2…的向量，其中即對應矩陣的第j列。讓j取遍1,…,n，即可計算出中所有元素。33根據上述向量自回歸模型模擬時期t、t+1、t+2…的第二節自回歸條件異方差模型許多學者在分析通貨膨脹、匯率、股票價格等金融時間序列時，都發現時間序列模型擾動方差的穩定性比通常認為的差，時間序列數據也存在異方差問題。經濟時間序列數據的這種方差變化也稱為波動集聚性（volatilityclustering），對于研究和控制金融風險等非常有用。34第二節自回歸條件異方差模型許多學者在分析通貨膨脹、匯率、股恩格爾（Engle）1982年提出一種自回歸條件異方差模型（autoregressiveconditionalhetroscedasticitymodel，ARCH），來描述上述時間序列的方差波動。后來該模型又被擴展到GARCH、EGARCH、ARCH-M等模型。35恩格爾（Engle）1982年提出一種自回歸條件異方差模型（自回歸條件異方差模型可以在一個自回歸模型的基礎上引出1、自回歸模型是p階自回歸過程AR(p)

其中是白噪聲：36自回歸條件異方差模型可以在一個自回歸模型的基礎上引出36假定特征方程的根都在單位圓之外，則該過程是弱平穩的。的無條件均值則是對的最優線性預測為37假定特征方程2、自回歸條件異方差模型服從q階自回歸過程:其中服從獨立同分布的白噪聲過程382、自回歸條件異方差模型38給定，的條件方差隨時間而變化，而且模型中包含的q階自回歸結構，因此稱服從q階“自回歸條件異方差過程”，記作~ARCH(q)。39給定，的條件方差39的分布是受限制的，上述自回歸過程中的系數必須滿足；對都必須成立。平穩性條件特征方程的根必須都在單位圓之外。40的分布是受限制的，上述自回歸過程中的系數必須滿足因為，，，該平穩條件等價于上述平穩性條件成立時，的無條件方差仍然為常數。41因為，，3、可以用另一種更方便的方法表示服從ARCH(q)過程。假設其中是獨立同分布序列，并假設423、可以用另一種更方便的方法表示服從ARCH(q)過程此時的條件期望為條件方差為與前一種表示方法完全是相同的。43此時的條件期望為43自回歸條件異方差模型的特點就是可以計算時間序列的條件方差，從而可以評價相關經濟指標的風險。如果自回歸條件異方差模型的參數已知，那么可以根據前期的數據和公式

估計預測未來的條件方差。不過一般來說，自回歸條件異方差模型的參數是需要估計的。44自回歸條件異方差模型的特點就是可以計算時間序列的條件方差，二、自回歸條件異方差模型參數估計(一)一般的OLS方法其實在誤差項服從ARCH過程的情況下，如果模型仍然服從基本假設，例如線性回歸模型的5條假設或平穩自回歸模型的條件，那么一般的OLS仍然是有效的。45二、自回歸條件異方差模型參數估計45ARCH過程最常用的模型是在回歸模型

其中是已知的回歸變量構成的向量，可以包括滯后，是回歸參數向量。誤差項服從ARCH(q)，即，是白噪聲，而。46ARCH過程最常用的模型是在回歸模型46由于的無條件均值和方差都滿足古典線性回歸模型的假設，因此理論上可以用OLS法估計線性回歸模型的參數，得到的參數估計量是有效線性估計量（BLUE估計）。即使不是正態分布的，通常的OLS檢驗統計量也是漸近有效的。47由于的無條件均值和方差都滿足古典線性回歸模型的假設，但由于存在自回歸條件異方差性，因此用加權最小二乘估計有可能獲得比OLS估計更有效，但不是無偏的估計量。在誤差項正態分布的條件下，最大似然估計也可以得到更有效的非線性估計量。48但由于存在自回歸條件異方差性，因此用加權最小二乘估計有可能獲（二）最大似然估計假設服從正態分布。根據模型（8-3）的假設，與，以及滯后相互獨立。因此隨機變量服從正態分布，條件密度函數為：49（二）最大似然估計49模型的條件對數似然函數為在此基礎上可以根據非線性優化的數值算法，通過搜索或者迭代運算的方法，求出模型參數的最大似然估計。對于不服從正態分布而服從其他分布，只要能夠得到的分布密度函數，也可以用同樣的方法進行最大似然估計。50模型的條件對數似然函數為50三、廣義自回歸條件異方差模型許多金融時間序列ARCH模型的仍然必須取很大值。這意味著參數的數量較大，估計較困難，而且模型所有系數都要求也有問題。解決這些問題的方法是用一個類似ARMA的“自回歸移動平均條件異方差模型”，也稱為“廣義條件異方差模型”（GARCH）進行分析。51三、廣義自回歸條件異方差模型51GARCH表現為誤差項，其中是獨立同分布序列，并假設其中和都大于0，且這種模型記GARCH(p,q)。52GARCH表現為誤差項，其中在實際應用中，GARCH(p,q)中的q一般比較小，比ARCH(q)中的q可以小得多，事實上最常用的是GARCH(1,1)模型。GARCH(1,1)模型就可以描述大量的金融時間序列數據。很顯然，GARCH(1,1)需要估計的參數數量就比較少，對于估計和分析等都有很大好處。53在實際應用中，GARCH(p,q)中的q一般比較小，比ARC四、自回歸條件異方差模型檢驗和預測（一）檢驗檢驗GARCH效應1、簡單的方法是估計最小二乘殘差的平方。殘差平方的自回歸提供了關于GARCH效應的證據。54四、自回歸條件異方差模型檢驗和預測542、博拉斯萊夫提出的拉格朗日統計量。可以用于進行相對于ARCH(q)的沒有ARCH效應的ARCH(0)檢驗，相對于GARCH(p,q)的關于GARCH(p,0)的LM檢驗。具體是通過在對常數和q個滯后變量的線性回歸，得到的的T倍服從自由度為q的極限卡方分布，因此可以用具有q個自由度的卡方分布進行檢驗。552、博拉斯萊夫提出的拉格朗日統計量。55當此統計量的值大于臨界值表明ARCH或GARCH效應存在，否則認為ARCH或GARCH效應不存在。56當此統計量的值大于臨界值表明ARCH或GARCH效應存在，否（二）預測這里的預測是指自回歸條件異方差模型，有自回歸條件異方差的線性回歸、自回歸模型的誤差項條件方差的預測。該條件方差的預測可以用迭代的方法進行多步預測。記為條件方差超前s預測期的線性預測57（二）預測57可以得到線性預測的迭代公式其中，當時。假定有有限方差，而那么當時，超前s期預測58可以得到線性預測的迭代公式58向量自回歸和自回歸條件異方差模型59向量自回歸和自回歸條件異方差模型1本章介紹時間序列的向量自回歸和自回歸條件異方差模型。向量自回歸模型是自回歸移動平均模型從單個時間序列到多個時間序列的擴展。自回歸條件異方差模型主要考察時間序列數據波動性的變化，在金融領域的風險分析中有重要應用。本章介紹這兩種模型的意義和特征、參數估計、檢驗和應用等。60本章介紹時間序列的向量自回歸和自回歸條件異方差模型。2第一節向量自回歸模型一、向量自回歸模型概述ARMA模型分析針對單個時間序列，存在忽略經濟變量之間內在聯系的缺點。克服這個缺點的方法是把ARMA模型擴展到針對多個時間序列，把ARMA模型中的變量換成向量。因為自回歸移動平均模型可相互轉換，而且在向量變量的情況下自回歸模型比較方便，因此一般主要考慮向量變量的自回歸模型，稱為“向量自回歸模型”（Vectorautoregressionmodel，VAR）。61第一節向量自回歸模型一、向量自回歸模型概述3(一)VAR模型的表示形式把p階自回歸模型AR(p)中的變量和誤差項都變成向量，系數變成系數向量或矩陣，就得到一個p階向量自回歸模型VAR(p)：引進滯后算子，向量自回歸模型可以寫成或者62(一)VAR模型的表示形式4引進下列記號：則p階向量自回歸模型VAR(p)，也可寫成一階自回歸形式VAR(1)：63引進下列記號：5其中的協方差矩陣為64其中的協方差矩陣為6為了分析的方便，也常常假設服從多元正態分布，即~，其中可以包含一定自相關性，即是對稱正定矩陣，但不一定是對角線矩陣。當滿足該假設時，上述向量自回歸模型也稱為“高斯向量自回歸模型”。65為了分析的方便，也常常假設服從多元正態分布，即向量自回歸模型VAR(p)展開，可以寫成每個變量對常數項和向量中所有變量的1-p階滯后項回歸的，n個方程構成的聯立方程組系統66向量自回歸模型VAR(p)展開，可以寫成每個變量對常數項和這個展開形式上與一般聯立方程組模型相似，但其實有本質差異：1、VAR模型不強調變量之間關系的理論根據，模型形式、變量、滯后期數等并不以特定經濟理論為依據，模型變量也不存在內生、外生之分，每個方程都包含所有的變量；2、VAR模型的主要作用是進行預測分析而不是經濟結構分析；3、由于模型結構性質的差別，VAR模型的參數估計和檢驗等與聯立方程組模型也有差別。67這個展開形式上與一般聯立方程組模型相似，但其實有本質差異：9（二）平穩性分析1、平穩性定義如果向量自回歸過程的一階矩和二階矩關于時期t都是獨立的，則稱為“協方差平穩的”，或者直接稱“平穩的”。平穩意味著向量中包含的各個時間序列都是平穩的。68（二）平穩性分析102、平穩性條件利用一階自回歸形式進行迭代可得因為平穩過程意味著隨著時間的不斷增大，擾動的效應必須逐漸消失，因此上述向量自回歸過程的平穩性要求隨著s不斷增大692、平穩性條件11因此矩陣F的特征方程的根都必須滿足，也就是在單位圓內。另一種表達方法:滿足方程的所有值（根）都必須在單位圓之外。70因此矩陣F的特征方程12(三)性質1、均值對于平穩的向量自回歸模型，兩邊求數學期望得：可得到其均值為：71(三)性質132、MA(∞)表示方法一個平穩的向量自回歸過程可以寫成一個白噪聲向量的無限移動平均過程MA(∞)：其中是上述移動平均表達式的滯后算子多項式，與自回歸形式的滯后算子多項式之間的關系為，意味著722、MA(∞)表示方法14二、向量自回歸模型參數估計普通最小二乘估計能得到一致估計。因為不同方程的誤差之間有相關性，因此ML能得到更有效的估計在模型誤差項服從多元正態分布的前提下，模型參數向量的最大似然估計與最小二乘估計是相同的，只是誤差方差的估計不同。73二、向量自回歸模型參數估計15以誤差向量服從多元高斯過程的高斯向量自回歸模型為例，說明最大似然估計。一個p階高斯向量自回歸模型即其中~。74以誤差向量服從多元高斯過程的高斯向量自回歸模型為例，說明最大如果已經得到向量時間序列的個時期的觀測值，那么因為在時期t為常數，而~，因此75如果已經得到向量時間序列的個時期的引進記號:上述服從的條件分布可以寫成下列緊湊形式因此第t個觀測值的條件密度為76引進記號:18向量自回歸模型的（條件）似然函數為:對數似然函數則為77向量自回歸模型的（條件）似然函數為:19可以證明其中的最大似然估計實際上與最小二乘估計相同，為

其中第j行就是對回歸得到的回歸系數向量。的最大似然估計則是78可以證明其中的最大似然估計實際上與最小二乘估計相同，為20最大似然估計肯定是一致估計，其漸近分布是漸近正態分布其中，是克羅內克積。第i個系數估計量漸近分布79最大似然估計肯定是一致估計，其漸近分布是漸近正態分布21如果由其一致估計代，而則由一致估計代，則可以將近似看作當樣本容量較大時，可以利用該漸近分布進行統計推斷檢驗。80如果由其一致估計三、向量自回歸模型檢驗（一）需要通過模型檢驗加以確定的問題包括：滯后期長度的確定；模型的參數是否顯著，是否存在特定約束關系等。81三、向量自回歸模型檢驗23（二）似然比檢驗

似然比檢驗實際上就是把不同約束，有約束和無約束的參數估計、最大似然估計分別代入上述似然函數，根據是否有顯著差異說明參數約束或者所對應的檢驗假設是否成立。82（二）似然比檢驗24：一組變量數據由階而不是階滯后的高斯向量自回歸生成。：這組變量數據是由階滯后的高斯向量自回歸生成。分別在兩個不同的假設下估計這個系統，也就是分別求每個變量關于常數項和系統中所有變量的階和滯后的回歸。83：一組變量數據由階而不是階滯分別代入上述似然函數公式得到得到似然比統計量為84分別代入上述似然函數公式得到26Sims（1980）也提出了一種適應小樣本情況的修正的似然比檢驗統計量在確定向量自回歸模型的滯后期數等方面，進行參數估計回歸時的SIC和AIC信息數標準同樣也是重要的參考依據。一般來說，這兩個指標較小的選擇是較好的。85Sims（1980）也提出了一種適應小樣本情況的修正的似然比四、向量自回歸模型的應用（一）預測——向量自回歸模型最重要的應用由于向量自回歸模型沒有當期外生變量，因此在預測方面沒有確定外生變量水平的困難，預測比較容易。向量自回歸模型的最優預測就是條件期望預測。86四、向量自回歸模型的應用28基于的的預測如下：作為一個動態系統，向量自回歸模型很容易得到多步、多期預測。例如作基于的、等預測時，只要把前期預測作為變量值代入模型，就可以得到多步預測、等。這種方法的缺點是前期的預測誤差會不斷積累，導致長期預測的較大偏差。87基于的的預測如下：29（二）因果性分析（三）脈沖——響應函數分析把向量自回歸模型表示為移動平均模型形式時，等于把時間序列向量自身的慣性趨勢，轉化成了一系列隨機擾動、新生的白噪聲擾動影響的疊加，該移動平均模型的系數矩陣滿足88（二）因果性分析30它反映了t時期的擾動（創新）對時期t+s向量或其中各個變量水平的影響。如果已知變化，那么對的綜合影響為因此系數矩陣稱為“脈沖——響應函數”。脈沖——響應函數是研究新生沖擊的長期影響的方法。89它反映了t時期的擾動（創新）對時期t+s向量或其中各個變量水在實際應用中，由于把向量自回歸模型變換成移動平均形式并不是很容易，因此一般采用模擬的方法求向量自回歸模型的脈沖——響應函數。令90在實際應用中，由于把向量自回歸模型32根據上述向量自回歸模型模擬時期t、t+1、t+2…的向量，其中即對應矩陣的第j列。讓j取遍1,…,n，即可計算出中所有元素。91根據上述向量自回歸模型模擬時期t、t+1、t+2…的第二節自回歸條件異方差模型許多學者在分析通貨膨脹、匯率、股票價格等金融時間序列時，都發現時間序列模型擾動方差的穩定性比通常認為的差，時間序列數據也存在異方差問題。經濟時間序列數據的這種方差變化也稱為波動集聚性（volatilityclustering），對于研究和控制金融風險等非常有用。92第二節自回歸條件異方差模型許多學者在分析通貨膨脹、匯率、股恩格爾（Engle）1982年提出一種自回歸條件異方差模型（autoregressiveconditionalhetroscedasticitymodel，ARCH），來描述上述時間序列的方差波動。后來該模型又被擴展到GARCH、EGARCH、ARCH-M等模型。93恩格爾（Engle）1982年提出一種自回歸條件異方差模型（自回歸條件異方差模型可以在一個自回歸模型的基礎上引出1、自回歸模型是p階自回歸過程AR(p)

其中是白噪聲：94自回歸條件異方差模型可以在一個自回歸模型的基礎上引出36假定特征方程的根都在單位圓之外，則該過程是弱平穩的。的無條件均值則是對的最優線性預測為95假定特征方程2、自回歸條件異方差模型服從q階自回歸過程:其中服從獨立同分布的白噪聲過程962、自回歸條件異方差模型38給定，的條件方差隨時間而變化，而且模型中包含的q階自回歸結構，因此稱服從q階“自回歸條件異方差過程”，記作~ARCH(q)。97給定，的條件方差39的分布是受限制的，上述自回歸過程中的系數必須滿足；對都必須成立。平穩性條件特征方程的根必須都在單位圓之外。98的分布是受限制的，上述自回歸過程中的系數必須滿足因為，，，該平穩條件等價于上述平穩性條件成立時，的無條件方差仍然為常數。99因為，，3、可以用另一種更方便的方法表示服從ARCH(q)過程。假設其中是獨立同分布序列，并假設1003、可以用另一種更方便的方法表示服從ARCH(q)過程此時的條件期望為條件方差為與前一種表示方法完全是相同的。101此時的條件期望為43自回歸條件異方差模型的特點就是可以計算時間序列的條件方差，從而可以評價相關經濟指標的風險。如果自回歸條件異方差模型的參數已知，那么可以根據前期的數據和公式

估計預測未來的條件方差。不過一般來說，自回歸條件異方差模型的參數是需要估計的。102自回歸條件異方差模型的特點就是可以計算時間序列的條件方差，二、自回歸條件異方差模型參數估計(一)一般的OLS方法其實在誤差項服從ARCH過程的情況下，如果模型仍然服從基本假設，例如線性回歸模型的5條假設或平穩自回歸模型的條件，那么一般的OLS仍然是有效的。103二、自回歸條件異方差模型參數估計45ARCH過程最常用的模型是在回歸模型

其中是已知的回歸變量構成的向量，可以包括滯后，是回歸參數向量。誤差項服從ARCH(q)，即，是白噪聲，而。104ARCH過程最常用的模型是在回歸模型46由于的無條件均值和方差都滿足古典線性回歸模型的假設，因此理論上可以用OLS法估計線性回歸模型的參數，得到的參數估計量是有效線性估計量（BLUE估計）。即使不是正態分布的，通常的OLS檢驗統計量也是漸近有效的。105由于的無條件均值和方差都滿足古典線性回歸模型的假設，但由于存在自回歸條件異方差性，因此用加權最小二乘估計有可能獲得比OLS估計更有效，但不是無偏的估計量。在誤差項正態分布的條件下，最大似然估