清北學堂第39屆全國中學生物理競賽決賽模擬題1考試時間180分鐘320分一、位力定理（40分）位力定理是力學中描述穩(wěn)定的多自由度孤立體系的總動能和總勢能時間平均之間的一個數學關系。此數學關系的意義在于對于那些無法求得精確解的非常復雜的系統(tǒng)，可以通過此定理獲得一些有意義的結論。本題旨在帶領大家從證明此定理到初步體會其在不同系統(tǒng)中的實際應用。（1）位力定理的證明(1.1.1)我們定義這樣一個量：I=i=iNpi?ri求和是對整個多質點的系統(tǒng)進行的，其中pi（1.1.2）我們假設這個系統(tǒng)的相互作用勢能的形式如下Vij=?A（1.1.3）接上小問，請求出在天體系統(tǒng)和彈簧系統(tǒng)中的數學關系。（2）本小問討論位力定理在熱力學系統(tǒng)中的應用。（1.2.1）利用上一問的結論，請推導出理想氣體壓強p和分子平均動能E，分子數密度n的關系。我們假設理想氣體分子之間沒有任何的相互作用。（1.2.2）接上小問，請推出光子氣體系統(tǒng)中的壓強p和分子平均動能E，分子數密度n的關系二、簡單相對論（69分）以下反應是高能物理早期的一個重要反應：p+p→在這個反應中，來自加速器的高能質子撞擊靜質子而產生π+介子和氘核D。已知質子、π+介子和氘核D(2.1)計算實驗室參照系中入射質子動能的閾值Tmin(2.2)假定入射質子的動能為第（1）問中求得的閾值的Tmin兩倍，試計算該反應中產生的π+介子的動量的可能的最大值。（2.3)續(xù)第（2）問，設在質心系中這一反應是各向同性的，即在質心系中任意方向單位立體角內產生一個π+介子的概率相同。求：在實驗室參照系中，在質子入射方向上單位立體角內產生一個π+介子的概率。三、簡單動力學（20分）有一小蟲子沿正方形盤上的一軌道運動，正方形盤放在一光滑水平面上，正方形盤和蟲子的質量分別為M,m，軌跡相對盤為y=bsin2πxR，盤的邊長為2R.（3.1）請寫出正方形盤繞z軸的轉動慣量。（3.2）求出蟲子運動到x=R的時候正方形盤轉過的角度。你可以保留定積分（蒲公英語）（3.3）bR=0.5四、復雜動力學（81分）圖2是車的簡化模型，該車前后各有一圓柱體作為輪子，輪子結構如圖3。每個輪子的質量為m2，圓柱輪由外半徑為R，內半徑為0.8R，質量為0.8m2的圓柱殼和總質量為0.2m2的8根輻條組成。質量為m1的車身對稱地架在輪子上（車身與輪軸之間是固定的，其長為L，厚度為t。前后輪中心之間間距為l，圓柱輪中心到車身底部距離為?(4.1)通過量綱分析可知每一個圓柱車輪轉動慣量I=am2R現在考慮車剎車時剎車片給前輪的阻力矩為M。假設沒有輪子脫離地面。引入無量綱常數b=2?(4.2)若前后輪均做純滾動，求剛剎車時加速度a，前后輪均做純滾動時,MR(4.3)若前輪純滾動、后輪滑動，求剛剎車時加速度a，前輪純滾動、后輪滑動時MR滿足的條件，能達到前輪純滾動、后輪滑動時Rl滿足的條件，以及沒有輪子脫離地面的條件(4.4)若前后輪均滑動，求剛剎車時加速度a。五、互LC震蕩（35分）我們知道電感有自感和互感.但是,雖然我們有“互電容”的概念,其并不能與互感很好地對應.我們現在來構造一種與互感相對應的概念“互容”:若兩個電容器的電容量分別為C1和C2,且它們之間的互容系數為N,則U1=Q考慮四塊的面積為S的平行極板,依次編號為a–d.極板a和極板c看作一個電容器,極板間距為d1;極板b和極板d看作一個電容器,極板間距為d2;極板b和極板c的間距為d.其中d<d1(5.1)求這兩個電容器之間的互容系數.(5.2)設有兩個LC電路,電路中分別有電容C1與C2,電感L1與L2.兩個電容之間的互容系數為N,兩個電感之間的互感系數為M.求電路的振動頻率.若該振動由多個頻率不同的簡諧振動疊加而成,六、地鐵站閘機（75分）某地鐵站的出入站閘機采用三錕閘設計.三錕閘是這樣一種裝置:考慮三維空間中的三根長度均為l的細硬輕桿,每根桿都有一端被固定在點O處,且它們兩兩之間的夾角被固定為α.顯然存在一條過O的軸z使得三錕閘繞z軸有2π3旋轉對稱.z軸與地面的夾角被適當地選取,以至于三錕閘在初始狀態(tài)可以與地面達成這樣一種相對位形:其中一根桿與地面平行,另外兩根桿的自由端的連線也與地面平行.有一堵固定在地面上的墻,其位置滿足:在初始狀態(tài)下,三錕閘的水平桿垂直于墻,且墻面緊貼在水平桿的自由端.將通過閘機的人簡化為剛性長方體.人通過閘機的過程中,長方體推動三錕閘繞z軸轉動,長方體的一個面緊貼地面,另一個面緊貼墻面。長方體足夠高（6.1）求滿足以下條件的長方體的最大寬度w0:人能完全通過閘機,且長方體的厚度可以任意大（6.2）接上問,若長方體的寬度大于w0,求滿足以下條件的長方體的最大橫截面積:人能完全通過閘機.只需寫出它是什么函數在什么區(qū)間上的最大值即可.（6.3）長方體的寬度為w.人在完全通過閘機的過程中,與桿之間存在滑動摩擦,摩擦系數為μ.在三錕閘的轉軸內有滑動摩擦力矩,其大小恒定為K.求人在緩慢地完全通過閘機的過程中,對桿做的功.可以保留積答案解析一、位力定理（40分）位力定理的證明（1.1.1）根據動量定理和速度的定義：dIdt考慮到系統(tǒng)做周期運動，一個周期后還原I不變，所以有dIdt所以有i（1.1.2）根據勢能的定義：FFijr考慮到非相對論情形下物體動能為：Ek所以有p?帶入上一問的結論后就有：n（1.1.3）對于天體，n=?1對于彈簧n（1.2.1）系統(tǒng)受力僅僅來自于器壁的壓強：dF=pdS所以有r?所以有?N(1.2.2)對于光子E=所以有?3pVNEV或者p=u為光子氣體的內能密度。評分標準：共40分1，2，4，5，6，7，8，10，12，16式各4分。二、簡單相對論（69分）（2.1）設入射質子動量為p0E0=根據動量守恒末態(tài)能量為Ef=其中Ec由能量守恒：Ef=所以p0min=那么T0min帶入數據后得到：T（2.2）根據能量守恒Ep2T0min所以Ec=繼續(xù)帶入數據后得到：Ec=同時，考慮到在質心系中：Ec于是我們得到：pccE繼續(xù)帶入數據后得到：pc同時我們可以求出質心速度為：βc=p代入數據后得到：βc=要使得動量最大，就要求pcpmax代入數據后得到：pmax(2.3)在質心系中物理過程是完全各向同性的，所以各個方向的概率都為：Pc然后我們換系：Plab考慮到θc那么Plab同時考慮到在質心系中βπ利用相對論的動量變換或者你可以直接默寫角度變換(即光行差公式)dθlab=β評分標準：共69分1到23式各3分三、簡單動力學（20分）（3.1）由垂直軸定理：I(3.2)考慮體系動能：E=其中r=同時考慮到角動量守恒后：L=積分：?=0(3.3)帶入數值后得到：?=?0.03rad評分標準：共20分1，2，3，4式各5分。四、復雜動力學（81分）（4.1）對于軸部分：I1對于輪部分：I2所以I=所以有：α=262（4.2）受力分析如圖：考慮質心運動定理：N1m1對輪子的角動量定理：IωIω考慮對于A點體系總角動量L1,外力矩MLM1=?L1如果是純滾Rω1帶入后得到：a=考慮到條件：μN帶入后分別得到：MR≤MR≤1同時要求N1≥0顯然在純滾的時候N1所以我們得到：MR≤(4.3)若前輪比后輪先滑動：βm得到：Rl若后輪滑動：f2=μ全部帶入之前算出來的式子后可以得到：a=同時要求N2得到：MR并且同時又有：μN得到：MR(4.4)此時有f帶入計算后可以得到：a=?2M評分標準：共81分。1到27式各3分五、互LC震蕩（35分）（5.1）如圖所示,四塊極板將空間分割為五個部分,分別設為I–V.分別列出五塊區(qū)域中的電場(以向下為正):2從而電勢差U比較互容的定義,可得互容系數N（5.2）分別對兩個LC電路應用Kirchhoff電壓定律,可得方程組Q1CQ2C定義電容矩陣C電感矩陣L從而可重寫為C或者Q其中Q?Q1L其中Λ?q從而可重寫為qq其解為qq2=從而可得解Q因此電路中的振動是由頻率為ω1和ω經過一番冗長的計算后可得ω其中p評分標準：共35分1式中每一個小式子各2分，共10分2式中每個小式子3分，共6分3式3分6.7式各3分8式10分。六、地鐵站閘機（6.1）如圖所示,建立坐標系.以人前進的方向為x軸和x'軸,z'軸水平,y,y',z初始時,桿OA水平,于是可以寫出初始時A,B,C三點的坐標x因為三根桿兩兩夾角為α,所以我們可以通過將它們的坐標點乘來獲得β與α的關系x現在研究xyz坐標系與x'y'z'x再考慮三根桿的旋轉變換.設三根桿旋轉了φ角后A在xyz坐標系中的坐標為a?a令R于是可得三根桿轉了φ角后A在xyz坐標系中的坐標a其中a是A的初始坐標.將式全部展開后化簡可得a同時我們可以獲得B和C的坐標b若長方體的寬度小于等于三根桿的末端到墻的距離(三個中最小的那個)的最大值,則它的厚度可以無限大.很明顯,當三根桿的末端到墻的距離最大時,應有φ=w（6.2）設長方體的寬度為w.假定長方體可以完全通過三錕閘.令長方體的厚度逐漸增加,直到它恰好能完全通過三錕閘.在臨界情況下,它剛好能夠把OA桿推至一個它不需要再推就能使它繼續(xù)通過的角度(即l?a'3?經過上述討論可以得知,我們需要考察OB桿上與A點恰好具有相同的z'd在臨界情況下,寬度為l?a'3?S?代入可得S?φ=由題目中所說,長方體的寬度大于w0,所以在研究