捕食者-被捕食者模型穩定性分析捕食者-被捕食者模型穩定性分析捕食者-被捕食者模型穩定性分析資料僅供參考文件編號：2022年4月捕食者-被捕食者模型穩定性分析版本號：A修改號：1頁次：1.0審核：批準:發布日期：被捕食者—捕食者模型穩定性分析【摘要】自然界中不同種群之間還存在著一種非常有趣的既有相互依存、又有相互制約的生活方式：種群甲靠豐富的天然資源生存，種群乙靠捕食甲為生，形成食餌-捕食者系統，如食用魚和鯊魚，美洲兔和山貓，害蟲和益蟲等。本文是基于食餌—捕食者之間的有關規律，建立具有自身阻滯作用的兩種群食餌—捕食者模型，分析平衡點的穩定性，進行相軌線分析，并用數值模擬方法驗證理論分析的正確性。【關鍵詞】食餌—捕食者模型相軌線平衡點穩定性一、問題重述在自然界中，存在這種食餌—捕食者關系模型的物種很多。下面討論具有自身阻滯作用的兩種群食餌-捕食者模型，首先根據該兩種群的相互關系建立模型，解釋參數的意義，然后進行穩定性分析，解釋平衡點穩定的實際意義，對模型進行相軌線分析來驗證理論分析的正確性。二、問題分析本文選擇漁場中的食餌(食用魚)和捕食者(鯊魚)為研究對象，建立微分方程，并利用數學軟件MATLAB求出微分方程的數值解，通過對數值結果和圖形的觀察，猜測出它的解析解構造。然后，從理論上研究其平衡點及相軌線的形狀，驗證前面的猜測。三、模型假設1.假設捕食者（鯊魚）離開食餌無法生存；2.假設大海中資源豐富，食餌獨立生存時以指數規律增長；四、符號說明/——食餌(食用魚)在時刻的數量；/——捕食者(鯊魚)在時刻的數量；——食餌(食用魚)的相對增長率；——捕食者(鯊魚)的相對增長率；——大海中能容納的食餌(食用魚)的最大容量；——大海中能容納的捕食者(鯊魚)的罪的容量；——單位數量捕食者（相對于）提供的供養食餌的實物量為單位數量捕食者(相對于)消耗的供養甲實物量的倍；——單位數量食餌（相對于）提供的供養捕食者的實物量為單位數量捕食者(相對于)消耗的供養食餌實物量的倍；——捕食者離開食餌獨立生存時的死亡率。五、模型建立食餌獨立生存時以指數規律增長，且食餌(食用魚)的相對增長率為，即，而捕食者的存在使食餌的增長率減小，設減小的程度與捕食者數量成正比，于是滿足方程(1)比例系數反映捕食者掠取食餌的能力。由于捕食者離開食餌無法生存，且它獨立生存時死亡率為，即，而食餌的存在為捕食者提供了食物，相當于使捕食者的死亡率降低，且促使其增長。設這種作用與食餌數量成正比，于是滿足(2)比例系數反映食餌對捕食者的供養能力。方程(1)、(2)是在自然環境中食餌和捕食者之間依存和制約的關系，這里沒有考慮種群自身的阻滯作用，是Volterra提出的最簡單的模型。下面，我們加入種群自身的阻滯作用，在上兩式中加入Logistic項，即建立以下數學模型：(3)(4)六、模型求解在此，我們采用MATLAB軟件求解此微分方程組中的、的圖形及相軌線圖形。設，，，，,,使用MATLAB軟件求解，程序代碼如下：1)建立M文件functiony=fun(t,x)y=[x(1).*(1-x(1)./*x(2)./500),.*x(2).*(-1+4.*x(1)./3500-x(2)./500)]';2)在命令窗口輸入如下命令：[t,x]=ode45('fun1',[0,40],[2000,35])得到數值解如下：t(x(1),x(2))+003*(單位：千克)0>>plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)')圖1.數值解，的圖形>>plot(x(:,1),x(:,2)),grid,圖2.相軌線圖形從數值解及，的圖形可以看出他們的數量變化情況，隨著時間的推移，都趨于一個穩定的值，從數值解中可以近似的得到穩定值為：(1250,214)。下面對其平衡點進行穩定性分析：由微分方程(3)、(4)得到如下平衡點:,,因為僅當平衡點位于平面坐標系的第一象限時()才有意義，所以，對而言要求>0。按照判斷平衡點穩定性的方法計算：根據等于主對角線元素之和的相反數，而為其行列式的值，我們得到下表：平衡點穩定條件<1>1不穩定七、模型分析與檢驗1.平衡點穩定性的分析及其實際意義：1)對而言，有=，=，故當<1時，平衡點是穩定的。意義：如果穩定，則種群乙滅絕，沒有種群的共存。2)對而言，有=，=，故當>1時，平衡點是穩定的。意義：如果穩定，則兩物種恒穩發展，會互相依存生長下去。3)對而言，由于，，又有題知>0,>0,故<0,即是不穩定的。2.平衡點的檢驗：對于平衡點，把前面給出的初始值帶入，在這使用MATLAB軟件進行簡單的求解，在命令窗口輸入如下代碼：>>x(1)=(3500.*(1+)./(1+.*4);>>x(2)=(500.*(4-1))./(1+.*4);>>[x(1);x(2)]ans=+003*把此處求解出的解和前面得出的數值解進行比較可知，平衡點是穩定的。八、模型的評價與推廣1.模型的評價自然界中，任何物種即使是捕食者也有自身的阻滯作用，該模型從原始的沒帶自身阻滯作用模型中加入了阻滯項，使得此模型更接近于生態平衡系統。從此模型中，我們知道兩物種同時滅絕是不穩定的，也就是不太可能的，但兩種群有一種滅絕一種生存是完全有可能的，兩種群共存的可能也是可能的。2.模型的推廣本文只考慮兩物種模型，我們完全可以把此模型推廣到三物種的情形。自然界里長期存在的呈周期變化的生態平衡系統應該是結構穩定的，即系統受到不可避免的干擾而偏