第四陣的運引言數域K上的n元線性方程組可以用它的增廣矩陣來某公司有三個商場銷售電視機,電冰箱,洗衣機,音響2001年9月份的銷售額可以用一

a14a 24 a 24

第3商場銷售額

34Zhanglizhuo-Zhanglizhuo-電冰箱，洗衣機，音響的金額，i=1,2,3上述問題需要對矩陣進行運算，這一章就Zhanglizhuo-第四陣的運§4.1矩陣的§4.2特殊§4.4可逆§4.5矩陣的分§4.7Kn到KsZhanglizhuo-Zhanglizhuo-§4.1矩陣的Zhanglizhuo-一、矩陣的加法金額分別用矩陣A=(aij),B=(bij)表示，則這兩個月的銷a11 a12 a13

24C 24

34Zhanglizhuo-M

34 34

Zhanglizhuo-定義1設A=(aijB=(bij)都是數域K上mn矩陣，令則稱矩陣C是矩陣A與B的和設kK則稱矩陣M是數k與矩陣A的數量乘積，記Zhanglizhuo-k,lK，有10A+B=B+A加法交換律20(A+B)+C=A+(B+C加法結合律40設A=(aij)，矩陣(-aij)稱為A的負矩陣，記作-AZhanglizhuo-50607080k(A+B)=kA+kB利用負矩陣的概念可以定義減法A-BdefA+(-B)Zhanglizhuo-例1A

3 B 3，

2

1 計算A-2B【解】根據矩陣的加法及數量乘法定義A2B=A+(2)B=

3 2

3. 0 Zhanglizhuo-二、矩陣的設OP的坐標為(x,y)，它在旋轉下的象 設OP=rx=rcos,x=rcos(+),yZhanglizhuo-由此得

xxcosysinyxsiny

稱為旋轉的公式，把公式(1)的系 sin A cos 該矩陣A就表示了轉角為同理繞原點O轉角為的旋轉可以B sin來表

sin cosZhanglizhuo-現在相繼作旋轉與旋轉+的旋轉，同上理，可以用Ccos( sin()sin( cos()來表示。把相繼作旋轉與旋轉的總效果(旋轉)稱乘積，即C=AB，仔細觀察矩陣C與矩陣A,B的元間的關【注】比較函數關系fg(x)=f(g(x))Zhanglizhuo-:A

sin

:B

sin, cos sin :Ccoscossinsinsincoscossin

sincoscossin,coscossinsin 比較(2)與矩陣A,B，可以看出C的(i,j)元等于A的第i行與B的第j列對應Zhanglizhuo-定義2設A=(aij)ms,B=(bij)sn，令C=(cij)mn，scijai1b1jai2b2jaisbsjaikbkjski=1,2,…,m,j=1,2,…,則矩陣C稱為矩陣A與B的乘積，記作C=ABZhanglizhuo- a1s

1n

2n i

sn m

msc=a

+a

+…+a

i=1,2,…,m,j=1,2,…,n

cin

mnZhanglizhuo-從定義2只有左陣列數與右陣行數相同的兩個矩陣才能相乘ssAB(i;j)[A(i;k)][B(k;kZhanglizhuo-例2

A1,1,1,B111

求AB與BA【解】依矩AB1,1,11(3)11 【注】如果是1級矩陣，就可以寫成一個數。另ABBAZhanglizhuo-a1a一個列向量 a a n【注】一般地，矩陣乘法不 換律，即ABBAZhanglizhuo-例3設矩陣AB 2

4

1

1 A 0,B ,C 0, 4

0 1 BCA(BCAB)C【解】依矩 0 1

1 1BC 0 , 1

Zhanglizhuo-

2 0

5

1 A(BC)

0 10,

4

3 2 7 1 5(AB)C 6 0 10 10 0 2 Zhanglizhuo-10矩陣的乘法滿足設A=(aij)ms,B=(bij)st,C=(cij)tn，t【證】顯然(AB)C與A(BC)都是mnt[(AB)C](i;j)[(AB)(i;kt t ailblkckjailblkckjsk1l k1l s[A(BC)](i;j)ail[(BC)(l;l

ablkckjailblkckj

ailblkckj,l k l1k

k1l Zhanglizhuo-因[(AB)C](i;j)=[A(BC)](i;i=12m,j=12n，從(AB)C=A(BC)。Zhanglizhuo-20矩陣的乘法適合左分配律矩陣的乘法適合證明方法類似于Zhanglizhuo-例4A 1

1

，B

，C 2 求AB與AC【解】依矩AB

1

1 0 1

1 0 AC= 1 2= 0 1

2 0 【注AB=OA=O或B=O；AB=AC且AOB=CZhanglizhuo-一般地，對于矩陣如果存在一個非零矩陣C，使CA=O，則稱A右零因子左零因子與右零因子簡稱為零因子Zhanglizhuo-容易看Zhanglizhuo-40矩陣的乘法與數【證】設A=(aij)msB=(bij)snk(AB),kA)B,A(kB)都是mn k(AB)(i;j)kAB(i;j)kailblj

l1 (kA)B)(i;j)kA(i;l)blj

l

A(kB)(i;j)

kB(l;j)

kaijbijl [k(AB)](i;j)=[(kA)B](i;j)=[A(kB)](i;j)。Zhanglizhuo-(kE)A=k(EA)=kA,A(kE)=k(AE)=kA容易看

【注】數量矩陣Zhanglizhuo- 如果AB=BA，則稱A與B可交換如果A是n級矩即數量矩陣與任Zhanglizhuo-Amdefm稱為矩陣A ，還規定A0def容易看出，n級矩陣 適合下列規則其中m,k是任意自然Zhanglizhuo-由于矩陣的乘法但是如果A與B(AB)k=AkBkZhanglizhuo-例如f(x)=3x2+6x-2，A為nf(A)=3A2+6A-2E【注】方陣的多Zhanglizhuo-三、線性方程組根據矩陣乘法的a11x1a12

a1nxn x x b

寫

amnxn

a1nx1 b1

x b

2n

2

2

x b m mn n mZhanglizhuo-如果

a1n x1 b1

x bA

2n,X 2, 2,

x b m2則方程組(1)可以

mn n m列向量是齊次線性方程組的解當且僅當A=OZhanglizhuo-依矩陣乘法法Zhanglizhuo-線性方程組(1)x11+x22+A=(1,2,…, AX=x11+x22+x1x(1,2,…, 2=x11+x22+x x n【注】每個i不是一個數，但仍可以向矩Zhanglizhuo-設sn矩陣B=(bij)

b1n AB(,,,)

2n

s sn(b111b212bs1s,,b1n1b2n2bsnsZhanglizhuo-類似地，設矩陣B的行向量組為12sms矩陣

a1s1 a111

a1s

aa

a AB

2s

2

2 ,

ms s

s【注】兩個矩陣相乘，可以把左矩陣的第1行、第2Zhanglizhuo-四、矩陣的轉置例5設A 0,B1

2，求(AB)T，BTAT

2 1 【解】依矩AB

0 2 8,

2

1 8 (

3 2 8 8 3 3BT

2 2 1

8 【注】(AB)T=BTATZhanglizhuo-1020(kA)T=kAT30(AB)T=BTATT推廣(A1A2…As)T=AsTAs-1T…A1，其中sTZhanglizhuo-矩陣((AB)(i;j)(AB)(j;i)abT k BTAT(i;j)

BT(i;k)AT(k;j)k

ajkbkik因此 (AB)T(i;j)=BTAT(i;i=1,2,…,n,j=1,2,…,從而(AB)T與B