第六章二次型與對稱矩陣

二次型及其對稱矩陣在數(shù)學(xué)理論、數(shù)值計算及工程應(yīng)用中都占有重要地位。

§1二次型及其矩陣

在解析幾何中，為了便于研究二次曲線的幾何性質(zhì)，我們可以選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換：把方程化為標(biāo)準(zhǔn)形

(1)的左邊是一個二次齊次多項式,從代數(shù)學(xué)的觀點看,化標(biāo)準(zhǔn)型的過程就是通過變量的線性變換化簡一個二次齊次多項式,使它只有平方項.

現(xiàn)在我們把這類問題一般化,討論n個變量的二次齊次多項式的化簡問題.4.1二次型概念

定義1.1

n個變量x1,x2,…xn的二次齊次多項式稱為n元二次型,實數(shù)域上的二次型稱為實二次型,復(fù)數(shù)域上的二次型稱為復(fù)二次型.其中若令（1）1、二次型的矩陣形式則其中

1）稱A為二次型f的矩陣，顯然A=AT

；2）A=(aij),若aij

為復(fù)數(shù)，稱

f為復(fù)二次型；

3）A=(aij),若aij

為實數(shù)，稱

f為實二次型；

4）R(A)稱為二次型f

的秩R(f).

n元二次型f與n階對稱矩陣是相互唯一決定的，因而是一一對應(yīng)的。（2）

例1把下面的二次型寫成矩陣形式：

二次型理論研究的問題之一就是適當(dāng)選取變量的線性變換把一般二次型化成只含平方項而不含交叉項的簡單二次型。

2、線性變換

定義1.2

把變量x1,x2,…,xn化為變量y1,y2,…,yn的一組線性關(guān)系式叫做由變量x1,x2,…,xn化為變量y1,y2,…,yn的一個線性變換。若記

x=Py。（3）

則線性變換可表示為上式中的矩陣P稱為該變換的系數(shù)矩陣.當(dāng)P可逆時，(3)稱為可逆的線性變換;當(dāng)P不可逆時,(3)稱為不可逆的線性變換.當(dāng)線性變換(3)可逆時,線性變換y=P-1x(4)稱為(3)式的逆變換.今后關(guān)心的，就是用可逆線性變換化簡二次型。

定義1.3

對于n階矩陣A、B,如果有n階可逆矩陣P使得PTAP=B則稱矩陣A與B合同,記為A

B.對方陣A進(jìn)行的運算PTAP稱為對A的合同變換,P稱為合同因子.

設(shè)x=Py是可逆的線性變換,將二次型化為

f=(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y.令B=PTAP,則B是對稱矩陣,yTBy是新變量y1,y2,…,yn的一個二次型。變換前后兩個二次型矩陣A、B間的這種關(guān)系稱為合同關(guān)系.

顯然，合同矩陣具有如下性質(zhì)：2）對稱性：若A

B，則B

A；1）反身性：若A

A

；3）傳遞性：若A

B，B

C,則A

C;4）若A

B，則R(A)=R(B);5）若A

B，且A為對稱矩陣,則B亦為對稱矩陣.※合同與相似是兩個互相獨立的概念.合同的矩陣未必相似,相似的矩陣也未必合同.但是,對于實對稱矩陣A,當(dāng)合同因子P是正交矩陣時,由于P-1=PT,所以此時對A的合同變換與相似變換是一致的.

顯然，如果二次型xTAx經(jīng)可逆的線性變換

x=Py化為二次型

yTBy，則必有A

B，即f(x)=xTAx=(Py)TA(Py)=yTPTAPy=yTBy。

綜上所述，二次型f(x)=xTAx能用可逆的線性變換x=Py化為yTBy的充分必要條件是有可逆矩陣P，使PTAP=B.作業(yè)習(xí)題6.1(A)1(3),5(B)2§2

二次型的標(biāo)準(zhǔn)形

定義2.1

稱只含有平方項的二次型為標(biāo)準(zhǔn)形式的二次型，簡稱為標(biāo)準(zhǔn)形。

顯然,一個二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的充分必要條件是它的矩陣為對角矩陣。（5）

所謂一般二次型的化簡問題，就是尋找一個可逆的線性變換：

定理2.1

設(shè)A為n階對稱矩陣,二次型f(x)=xTAx能用可逆線性變換x=Py化為標(biāo)準(zhǔn)形（5）的充分必要條件是存在

n階可逆矩陣P使

PTAP=Λ=diag(λ1,λ2,…,λn).

二次型經(jīng)可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形的問題與對稱矩陣化為對角矩陣的問題實質(zhì)上是同一問題。f(x)=xTAx=(Py)TA(Py)=yTPTAPy=yTΛy

x=Py把含有交叉項的二次型f(x)化為標(biāo)準(zhǔn)形，即

2.1

用正交變換化實二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

定理2.2

對于任意的n元二次型f(x)=xTAx，必有正交變換x=Py，使f化為標(biāo)準(zhǔn)形其中λ1,λ2,…,λn恰是A的全部特征值。

證明

由于A為n階實對稱矩陣.由第五章定理5.3

知有n階正交矩陣P,使得PTAP=P-1AP=diag(λ1,λ2,…,λn)，其中λ1,λ2,…,λn恰是A的全部特征值.由定理2.1便知定理成立。

求實二次型f(x)=xTAx標(biāo)準(zhǔn)形問題,其實質(zhì)上就是用正交變換化實對稱矩陣A為對角矩陣的問題。

總結(jié)用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的一般步驟：

1、將二次型寫成矩陣形式；

2、由|λE-A|=0，求出A的全部特征值；

4、把求出的n個兩兩正交的單位向量,拼成正交矩陣P,作正交變換x=Py;

3、由(λE-A)x=0，求出A的特征向量:對于ni重特征值λi

所對應(yīng)的ni個線性無關(guān)的特征向量,用Schimidt標(biāo)準(zhǔn)正交化方法把他們化為ni個兩兩正交的單位向量.

5、用x=Py，把f化成標(biāo)準(zhǔn)形

解(1)二次型的矩陣為

例2

求一個正交變換x=Py，把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.得A的特征值為λ1=-3，λ2=λ3=λ4=1，

(3)