平面問題的有限單元法Definition2001年10月1日1ANSYS平面問題的有限單元法共29頁，您現在瀏覽的是第1頁!結構的離散化用有限元法對結構進行應力分析時，首先要將結構進行離散化。即將一個連續體看成由有限個單元組成的體系。彈性力學平面問題中最常見的單元是三角形單元。所有作用在單元上的載荷都按靜力等效的原則移置到結點上，并在受幾何約束的結點處設置相應的鉸支座。這樣就得到了用以代替原來彈性體的有限單元計算模型。

Procedure1......2......3......

2001年10月1日2ANSYS平面問題的有限單元法共29頁，您現在瀏覽的是第2頁!位移模式取一個典型的三角形單元進行力學分析。在有限單元位移法中，假設結點上的位移是基本未知量。為了能用單元的結點位移表示單元中的應變和應力分量，必須假定一個位移模式，也就是說根據單元的結點位移去構造單元上的位移插值函數。LessonObjectives2001年10月1日3ANSYS平面問題的有限單元法共29頁，您現在瀏覽的是第3頁!位移模式（續）2001年10月1日4ANSYS平面問題的有限單元法共29頁，您現在瀏覽的是第4頁!位移模式(續)聯立求解上述方程，可得：2001年10月1日5ANSYS平面問題的有限單元法共29頁，您現在瀏覽的是第5頁!位移模式(續)于是可以得到：其中：同理得：2001年10月1日6ANSYS平面問題的有限單元法共29頁，您現在瀏覽的是第6頁!單元中的應變和應力有了單元的位移模式，就可以借助平面問題的幾何和物理方程，導出用單于的結點位移表示單元中的應變和應力分量的公式。由：ModuleObjective2001年10月1日7ANSYS平面問題的有限單元法共29頁，您現在瀏覽的是第7頁!單元中的應變和應力(續)將應變代入物理方程：可得：即為用單元中的結點位移表示單元中應力的關系式。2001年10月1日8ANSYS平面問題的有限單元法共29頁，您現在瀏覽的是第8頁!單元的總勢能我們已經知道由各個單元的位移模式就形成了整個結構的位移模式。按彈性力學最小勢能原理，結構中最接近于真實解的位移應該是使結構總勢能取得最小值的那組位移函數。由于在位移函數公式中，結點位移為自變量，這樣就使一個泛函的極值問題變為一個多元函數的極值問題。為此我們來討論單元的總勢能關于結點位移的表達式。每一個單元的總勢能由該單元的應變能以及此單元上所有外力的勢能組成。Definition2001年10月1日9ANSYS平面問題的有限單元法共29頁，您現在瀏覽的是第9頁!單元的應變能（續）將{ε}和[Bi]代入上式，應用矩陣相乘的轉置的逆序法則,注意到彈性矩陣[D]的對稱性,有：2001年10月1日10ANSYS平面問題的有限單元法共29頁，您現在瀏覽的是第10頁!單元的應變能（續）從而單元的應變能可寫為：利用{ε}=[B]{δ}e，有：2001年10月1日11ANSYS平面問題的有限單元法共29頁，您現在瀏覽的是第11頁!單元上體積力的勢能物體中常見的體力為旋轉離心體力和重力。在平面問題中，體積力在z軸方向的分力為零，設單元體積中的體積力為：

單元上體積力具有的勢能為：Definition2001年10月1日12ANSYS平面問題的有限單元法共29頁，您現在瀏覽的是第12頁!單元節點上集中力的勢能如果彈性物體受到集中力{R}e的作用，通常劃分單元網格時都在集中力的作用點設置結點。設某單元3個結點上所受到的集中力為：于是該單元上集中力的勢能是：Definition2001年10月1日13ANSYS平面問題的有限單元法共29頁，您現在瀏覽的是第13頁!單元中的總勢能分別引進單元體積力，表面力，集中力向量如下：Definition2001年10月1日14ANSYS平面問題的有限單元法共29頁，您現在瀏覽的是第14頁!物體中的總勢能把各單元的總勢能疊加起來，就可得到整個彈性體的總勢能。為了便于疊加和歸并，需將單元剛度矩陣表達式(2-18)作適當的改寫。假設結構離散化后共有n個結點，將編號為l的結點位移記為：則結構的結點位移向量：是一個2n維的列向量。Definition2001年10月1日15ANSYS平面問題的有限單元法共29頁，您現在瀏覽的是第15頁!物體中的總勢能（續）如果在物體上劃分的單元總數是e0,再引進結構的總剛度陣：物體總勢能就可寫為：2001年10月1日16ANSYS平面問題的有限單元法共29頁，您現在瀏覽的是第16頁!

位移插值函數

采用線性插值，即假定單元上的位移分量是坐標的線性函數：它們可以由結點位移確定如下：Definition2001年10月1日17ANSYS平面問題的有限單元法共29頁，您現在瀏覽的是第17頁!位移模式(續)其中：而：是三角形ijm的面積。2001年10月1日18ANSYS平面問題的有限單元法共29頁，您現在瀏覽的是第18頁!位移模式(續)可以將位移模式改寫為矩陣模式：2001年10月1日19ANSYS平面問題的有限單元法共29頁，您現在瀏覽的是第19頁!單元中的應變和應力(續)得到：或簡寫為：2001年10月1日20ANSYS平面問題的有限單元法共29頁，您現在瀏覽的是第20頁!單元中的應變和應力(續)式中[D]為彈性矩陣，對于平面應力問題，矩陣為：2001年10月1日21ANSYS平面問題的有限單元法共29頁，您現在瀏覽的是第21頁!單元的應變能平面應力狀態下，設物體厚度為h，則單元中的應變能為：Definition2001年10月1日22ANSYS平面問題的有限單元法共29頁，您現在瀏覽的是第22頁!單元的應變能（續）因為矩陣[B]及[D]的元素都是常量，所以可記：2001年10月1日23ANSYS平面問題的有限單元法共29頁，您現在瀏覽的是第23頁!單元的應變能（續）注意到[B]=[BiBjBm]，記子矩陣2001年10月1日24ANSYS平面問題的有限單元法共29頁，您現在瀏覽的是第24頁!單元上表面力的勢能設物體邊界上一單元某邊上受到表面力的作用，單位長度上所受到的表面力為：則單元上表面力的勢能為：Definition2001年10月1日25ANSYS平面問題的有限單元法共29頁，您現在瀏覽的是第25頁!單元中的總勢能綜合前面的幾種情況，可以得到單元中的總勢能為：Definition2001年10月1日26ANSYS平面問題的有限單元法共29頁，您現在瀏覽的是第26頁!單元中的總勢能則單元中的總勢能可以表示為：Definition2001年10月1日27ANSYS平面問題的有限單元法共29頁，您現在瀏覽的是第27頁!物體中的總勢能（續）