第1及其SignalandIts信號的分類與描述（SignalClassificationandDescription周期信號與離散頻譜（Periodicsignalanddiscretespectrum瞬變非周期信號與連續頻譜（Transientnonperiodicsignalwithcontinuousspectrum）隨機信號（Randomsignal序亮

信 信亮亮亮 亮 如心電圖，就是利用儀器上獲得的心臟動的數據，通常顯示在儀器上供之用或記錄在紙病例記 信號（signal）：隨時間或空間變化的物理量電信號易于變換、處理和傳輸，非電信號→電信號信號分析與處理 ysisand信號的分類與描述（SignalClassificationandDescription按能否用數學--確定性信號與非確定性信號從自變量與幅值關--連續時間信號與離散時間信號從信號的幅值和能--能量信號與功率信時限信號與頻限信--時域與頻域從可實現性--物理可實現信號與物理不可實現信號 諧波信 周期信號確定性信

一般周期信準周期信 非周期信號 一般非周期信 各態歷經信 平穩隨機信號隨機性信

非各態歷經信 非平穩隨機信周期信號(periodsignal)T0：周期

x(t)

(n

f：頻率(frequency)，周期的倒數，f1/T0，單位：（Hz赫茲 即0=2f0=2實際應用中，nT0=2/0=1/

x(t)

x0

ktkmkmkm

0式中式中x0、φ0——取決于初始條件的常數；

2

A0t圖1-1A0tA—質點m的靜態平衡位這種單一頻率的正弦或余弦信號稱為諧波(harmonious)信號正弦信號x(t)

余弦信號x(t)

復雜周期信號：（如周期方波、周角波等）由多個乃至無窮多個頻率成分（頻率不同的諧波分量）疊加所組成，疊加后==50=A2Sin(2π?

3500123

3(b)復雜周期信號：x(t)=Asin0.5t+AsintAsin2周期性運動。例如，下圖是某鋼廠機上測得的振動信 圖1-3某鋼 機測點3振動信號波圖1-4某鋼廠 AA202tA202t- 周期性方非周期信號(Nonperiod（a）準周期信號(quasi-periodicsignal)也由多個頻率成分疊xx(t)A1 2tA2sin(3t2tetex0mkt0omomk00FF0V(t)0T(a)錘擊物體的力信 (b)V(t)0T0W0W(t)0(c)半個正弦信 (d)矩形窗信信號的分測的特性，無法用數學關系式來描述，只能通過統計觀察來

圖1-7加工過程中螺紋車床主軸受

信號的分ttt隨機信號：白噪

隨機信號疊加白噪聲的正弦信信號的分連續（continuous）信號和離散（discrete）信 tt tt 連續時間信號:在所有時間點

離散時間信號:在若干VV0水溫T(oC)0(a)汽車速度連續信 (b)開水房鍋爐水溫度的每 的指數變（離散信號

某地每日的平均氣溫變（離散信號每隔5分鐘測定開水房鍋水的溫度變化（離散信號

每隔2微妙對正弦信號采樣得的離散信指指03月5日3月6日3月7日3月8t/平均氣溫(oC)28.4oC28.3o28oC27.6o06月1日6月2日6月3日水溫T(oC)05t/位移8024t/能量信號和功率信當信號x(t)在所分析的區間（-∞，∞），能量為x2(t)dt功率信當信號x(t)在所分析的區間（-∞，∞），能

x2(t)dt內，信號在有限區間（t1,t2）內的平均功率是有限的，信號在有限區間(t1,t2)上的平均功率

,t2)

t2

2x2tdttt一般周期信一般持續時間無限的一般周期信噪聲噪聲信信號分類中的其它概

——時域有限信號是在有限區間（t1，t2）內有定義，而其在有圖1-10時域有限信號一定帶寬（f1，f2），其外垣等于零。例如，正弦信號、sinc（t）函數、限帶白噪聲等，為頻域有限信號。白

1-11物理可實現信號：又稱為單邊信號，滿足條件：t＜0時，x(t)0

te-sin2f0tcos2f0t33、求：設有一組合信號，由頻率分別為724Hz、44Hz優點0000000x(t)0

A

)

A

10sin(210

0t-時

0面 雞 黃 香

時域和頻域的對應關131Hz165Hz175Hz

信號的頻譜f)代表了信號在不同頻率分量處信號成分的大小，它能夠提供比時域信號波形更直

周期信號的頻域描X(t)=

變 頻譜分析的應頻譜分析主要用于識別信號中的周期分量，是 案例案例：在齒輪箱齒輪案例：螺旋漿設可以通過頻譜分析確定螺旋的固有頻率和臨界轉速，確螺旋漿轉速工作范圍大型空氣壓縮機傳動裝置故 spectrun)和相位譜(phasespectrum)。周期信號與離散號)x（t）都可以展開成傅里葉級數。x(t)

(an

cosbnsin T/

x(t

T/ x TT/

TT/ T/ x TT/T――周期，ω0――基礎波角頻率T an是n或nω0的偶函數，a-bn是n或nω0的奇函數，b-n=-bnx(t)

A0

An

)

)

)

a2a2b2arctannn

——第nbnbn率的間隔＝0＝2／T0，因而譜線是離散的0稱為基頻．并把成分Ansin(n0t+φn)稱為n次諧波x(t)

A0

An

n

2)

n)式中第一項A0波）、二次諧波、三次諧波、……、n；頻譜圖的概 (ω0)為橫坐標，bn、an為縱坐標畫圖，稱為實頻－虛頻譜圖

為縱坐標畫圖，則稱2以fn為橫坐標，2

為縱坐標畫圖，則稱功率譜

x(t)x(t)

A

nT0),

t

A≤ A≤

2t≤…A…A22…0ta00，annb n

xnttt

00

d

000

000

[cos

nn

cos00 00 0T2T0

TT00 0T20 0 0T20 0T0T0tt;)(0]

n10

n102

nn x(t)4Asint1sin3t1sin5tπ將所求bnπ

4A x(t)a0(ancosn0tbnsin

ππ

2n

sin(2n

周期方波信號的合信號的描頻域x(t)

π

4π

n0

2n1

sin(2n

，

2πa

arctan 幅值

T0/

txat;)(

0周期0

00

T0/

0

T0/

x(t)

an

cos

若周期函數x(t)為奇函數，即x(t)=-x(-aa0x(t)

bn

sin

an0x(t0x(t)sinT/2x(t)a0ancos T/2a0TT/2x(t)dt;anT4bnx(t)ax(t)a (acosntbsin0n0n0x(t)a Asin(nt0n0n1、由于n為整數，各頻率分量僅在的頻率處取值，因得到的是關于幅An和相角n的離散譜線2、諸分量頻率都是基波頻率的整數倍 上節課提要一、信號的分二、信號的描

cos

sin T/2

T/d TT/2 T/ x TT/歐拉公

e

jsin

(j

1)

1(e020

j(e2

0 x(t)0

cos

a

(e

j

(e

ejnt2 2

a0

2

e

020

ejnt00n Ca

1

jb)

1

jb

相當于nx(t)

Cn

e

Cn

e

~-1

e

e

e

e即由

1(a

jbn b

d d T0

x(t)cosnt

x(t)Cx(t)C0nn a 1nnn2 T0Tx()cos000T0Tx()sin 0001 1 0jsin0tcos0e0000一般情況下，C是復n

ReCn

jIm

ejn

(ReCn

(ImCn

Im22Re22Cn與C-n共

Cn n

n

CnT0T0/T/x(t)eCnT0T0/T/x(t)ejn0t0C,幅頻譜圖：|Cn|；雙邊幅頻圖，n=-∞~+∞，nω=實頻譜圖： -CnI--0sint0

j(e例2:例2:畫出正弦函數sinω0t的頻譜圖

ej0tx(t)

Cn

e

n 1100

Cn

j12

0201C-1=j/2，C1=-j/2，Cn=0（n=0,2,3,…1在:0jj處（即n=-1）C-1在:0jj

CnR

C-1I

處（即n

2

CC-2-2C 12110012021212121202n0 210單邊幅頻雙邊幅頻雙邊相頻解：cos0t

12

ej0t10t010t10t010t0-0

00-01011010

例3：畫

x(t)

4的雙邊頻譜0sin(A+B)=0x(t)

sin

j12

j

12

j

1(12f

j)ej2(f0

2

ej 0處

1

1nn 2nn

虛頻實頻在虛頻實頻1雙邊相頻雙邊相頻雙邊幅頻

1

CnI1212121201202220404nn

00100123畫出畫出復指數函數形式的頻譜為雙邊譜（-三角函數形式的頻譜為單邊譜（0+）

An/

C,Cn nC,

n

信號的描綜上所述，周期信號頻譜的特點如下周期信號的頻譜是離散譜而減小→在頻譜分析中沒有必要取次數過高的諧波分

0

tx(t)

Asin9t

瞬變信號

x(t)

et

sin信號的描傅里葉變換（fourier非周期信號可以看成是周期T0趨于無窮大的周期信號T 0譜線無限靠近，變為連續譜周期信

(t)

傅立葉級離散頻譜(0T非周期信號x(t)

傅立葉變

連續頻譜()信號的描x(t)

Cnn

1

x(t)e

Cnnn當T0→∞

①積分區間由[-T0/2,T0/2]變為當T0→∞時，ω0=2π/T→0③離散頻率nω0→連續變量④求和Σ→積分。則

x(t)

Cnn

1將 10

0

x(t)2

(

jjn

limT0

n

[T/

求和Σ→limT0

000

x(t)e-

x(t)e-

jt(

T

x(t)e-

2

x(t)e-

非周期信號x（t）（2）積分

x(t)dt

收斂即x（t）x(t)e-

x(t)

2 X()

2

x(t)e

（1-27

X()1

x(t)ex(t)

X

x(t)

X()e

2

x(t)X

X

x(t)e

[x(t)]x(t)

為X(

)

x(t)

(1-x(t)

X(

)e

2ft

(1-這樣就避免了傅里葉變換中出現1/2πX(

由前面的推倒可知

[x(t)]

X

1由x(t)的復指數展開式系數 10

T0/

XXlimCTlimTn0ff0∴X(ω)一般為復數，用表示為物理意義：X(ω)為單位頻寬上的諧波幅值，具有度函數(spectrumdensity)函數，或簡稱“頻譜函數”。它反映了信號能量沿頻域的分布狀況X(

)

X(f)

jImX(f)

X(

X(f)

[ReX(

[ImX(

)

ImX(f結論

ReX(f|X(?)|為連續頻譜，而|Cn|為離散頻譜；但是兩者量綱不同|Cn|為信號幅值的量綱。|X(?)|為信號單位頻寬上的幅值，是

X(f

~f（連續

f)~f相位頻譜（連續X(

)

x(t)

j2ft

1w(t)

(t

(t T

-

W(f)

w(t)e

1ej2πftdt e

ejπfT

Tje

ejπfT

sinj2πf

sinc(πfT

fT

W(f)T稱為窗寬

j(e2

森克函數，以為周期隨衰減震W(W(fTTT01TT2T3Tf(f321 T3Tsinc以2為周期并隨的增sinc是偶函數，在（n=1,2,…）處其值為0非周期信號頻譜的特基頻無限小，包含了從0|X(?)|為連續頻譜，而|Cn|為離散頻譜；|Cn|的量綱和信號幅值的量綱一致，即振幅，而|X(?)|的量綱相當于|Cn|/?，為單位頻寬上的幅值，即頻譜密度函數”，振幅頻率（cmHz）傅里葉變換的主要性1函數x(t)的傅里葉變換Xf)為實變量fX(f)

x(t)ej2πftdt

x(t)cos(2ft)dt

ReX(f)

jImX(fa.若x(t)a2.若x(t)為實奇函數，則ReX(?)=0，而X(?)是虛奇函數 x(t)cos2ftdtReX(f jx(t)sin2ftdtjImX(fb.若x(t)b1.若x(t)為虛偶函數，則ReX(?)=0，而X(?)是虛偶函數b2.若x(t)為虛奇函數，則ImX(?)=0，而X(?)是實奇函 ee-0cost-jsin00

x(t)cos2ftdtjImX(f jx(t)sin2ftdtReX(f

x1(t)

x2(t) 則證明

c2x2

c1X1(

)c2X2(fcx(t)

c

j

ft

cx(t)e

j

ftdt

cx(t)e

j

ft c1X1(f)c2X2(f例子：求下圖波形的用線用線性疊加定理簡+3、對稱性：若x(t)X(f)；則X(tx(-f

x(t)

X(

)ej2πft-t代替tx(t

X(

)ej2πftt

x(f)

X(t)ej2πftdt

[X(t)]所以：X(t)x(-f)譜可利用x(-ω)給出。特別的：若

(t)

x(

X(t)

(-(-

X(t)

對稱性：若x(t)X(f)；則X(tx(-f)

xtsincfct

x(-fx(-f

t2

WRtsin

wR

f1 fc1 f fc

cXf c

對稱性舉4若x(t

X(f

，則kx(kt)

fkXk

（k 信號在時域中展寬（k 信號在時域中壓縮（k>1）

上節課提要一、周期函數的復指數級數二、非周期函數的富氏變X(

)

x(t)ej2ft

x(t)

X(

三、富士變換的性1、奇偶虛實2、線性疊加3、對稱性若x(t)X(f)；則X(tx(-f特別的若x(tx(-t)；則X(tx(f、時間尺度改變特性x(kt)

fkXk 5若x(t)Xf，則在時域中信號沿時間軸平移一常值t0（移）

x(t

t0)

X(

)e如果信號在時域中延遲了時間如果信號在時域中延遲了時間t0，其頻譜幅值不會改變而相頻譜中各次諧波的相移2π?t0 求圖所示矩形脈沖函數的頻譜解：該函數可視為一個中心位于坐標原點的窗函數時移至t0點位置形成，則其傅里葉變換及幅頻譜和相頻譜分別X(f

X(f

Tsinc(fTf)

f sinc(fT)

sinc(fT) 綜合尺度改變的性質綜合尺度改變的性質F[x(att01aX afj2πfa000（a）時域矩形 圖（a）對應的幅頻和相頻特性曲0000(c)時移的時域矩形 (d)圖(c)對應的幅頻和相頻特性曲W(

)

sinπfT

1τ-τ1τ-τt問題描述為求w(tτw(tw(tτ)F

w(t)

sinc(πfT)(ej2πf1ej2πf)sinc(πfT)(12cos2πf) x(t)

X(f

X(

f0)

x(t)e

j或寫成：x(t)ej2f0tXff0時域表達式

1(e

ejt

(t)x(t)

1

|t|00|t|00

121

Re

121

R11 1

00 根據頻移性x(t)e X(ff0 T

0

7x1(t)*x2(x1(t)*x2(t)x1()x2(t)d若x1(t)?X1(?)，x2(t)?X2(?)x1x1(t)*x2(t)x1(t)·x2(t)

信號的描x(t?Xdnx(t)dtn

nX(f9、積分特性 若：x(t)?Xtt

x(t)dt

X(f

X(f

存性質性質性質偶虛實實偶函實偶函頻移x(t)eX(f實奇函虛奇函*轉x(-X(-虛偶函虛偶函*軛X*(-虛奇函實奇函時域卷X1(f)線性疊頻域卷x1(t)x(-時域微dnx(t)dtnj2πfnX(f尺度變1Xf ,k k*頻域分j2πtndnX(f)dfn時移x(tX(f)e*tx(t)dt1 XfXf)存f

信號的描周期信號都可表示為諧波關系的正弦信號 ——非周期信號都可用正弦信號 作業4：P40-41題1-3、1-6、1-

1T

t2

x(t) 12

0t21.3.3種典型信號的頻（severaltypicalsignal’s一、單位脈沖函數(δ函數11、δ(t)的定在ε時間內激發矩形脈沖

（或三角脈沖、雙邊指脈沖，鐘形脈沖）所包含的面積為當ε→0時，(t)的極限就稱為單位脈沖函數，記作1110t0t 單位面積0 單位面積0t1δ（t） (t)lim

(t)

(t 且其面積（強度

δ

limδ

limδ(t)dt/2

1t2δ函數的采樣性（乘積性

x(t)δ(t)

t0)

x(t0

t0

x(t)δ(t)dt

δ(t)dt

x(t)δ(tt0

x(t0 δ(tt0

x(t0（2）δ(t)（2）δ(t)

x(t)

x(0)

x(0)

x(t)(tt0)dtx(t0)(tt0)dtx(t0)

t0

t0×＝0t0t0t×＝0t0t0tx(tx(t)*(t)x()(t)dx()[-(-x()(-t)dx(t)(-t)dx(t)x(t)δ(tt0)x(t0)δ(tt0A*=0tA*=0t0tx(t)*A0tδ函數的卷積特當脈沖函數為δ(t±t0)時，與函數x(t)x(t)δ(t

t0)

t0)

t0A(tt0*=0t-0tx(t)*(tt0A-0tδ函數的卷積特性3、δ函數的頻譜x(t)δ(t)

(f (f 0f1(f)

δ(t)ej2πftdt

ej2πf0 δ(t)

1ej2πftδ

δ(t)

δ(t)、δ(

)δ(f

δ(t) 1?δ(?) 根據時移特性

根據頻移特性

t0)

X(

)ej

X(

f0)

x(t)e

j

t0)

ej

(f

f0

j2f0t (t（單位瞬時脈沖1（均勻頻譜密度函數1（幅值為1的直流量(f（單位脈沖譜線(tej2πft0ej2πf0tδ(ff0常值函數(又稱直流量)的頻譜幅值為1f=0處的δej2π

f0t

δ(

f0T趨于無窮時，矩形窗函數就成

(a

tx(t)

(a

t X(f)

x(t)ej2πft00

ej2πft

eat

ej2πfteat

e

e (a

j2πf

(aj2πf 1

(a a2

j2πf)(2πf)2

(a

j2πf4(sign)函數和單位階躍(unitstep)符號函數可以看作是雙邊指數衰減函數當a0x(t)

1

lim

(a

t1

limeat

(a

t 0X(f)0

lim

ej2πft

ej2πft

1

(aj2πf a0(aj2πf單位階躍函數可以看作是單邊指數衰減函數a0時的極

(tx(t)

1

eat

(a

t X(f)x(t)ej2πftdtlim

ej2πft a0a

j2π

e(aj2πf

2π10t01正余弦函數不滿足絕對可積條件，不能直接對之進行sin2πf0t

je2

ej2πf0t

f0

j2f0tcos2πf0t

1e2

ej2πf0tFsin

0t

2

)δ(

f0Fcos

0t

1δ(2

)δ(

f00t0f0t0f相等間隔的周期單位脈沖序列，常稱為梳狀函comb(t,Ts)

δ(t

nTs

comb(t,Ts1n=0,±1,±2,±3,…

-

-

-

(a) comb(t,T)

Ce

comb(t,T

j2πkfstks ksk

Ts因為在（-Ts/2，Ts/2）區間內只有一個函數(t)1 1

Ts

δ(t)ej2πkfstdt

=1/

1Ck代入：comb(t,Ts1

e

comb(t,Ts)

Ckk

=1/

sk

ej

(

f0COMB(f

fs)

1[comb(t,Ts)]1s

δ(k

kfs)11

δ(k

k時域中，序列的周期為Ts，頻域中，序列的周期為1/Ts時域中，幅值為 ，頻域中，幅值為1-1--0

1 隨機信號具有不重復性（在相同條件下，每次觀測的隨機信號必須采用概率和統計隨機現象樣本(sample)函數：隨機現象的單個時間歷程，即對隨機信號按時間歷程所作的各次長時間觀測記錄。記隨機過程：在相同試驗條件下，隨機現象可能產生的{x(t)}={{x(t)}={0

0

0

00 ttt

量：隨機過程在某一時刻t1的取值x(t1)是一個隨 間軸進行．而是將集合中所有樣本函數對同一時刻ti平均

連續信號

lim

0

0

0

0

0

TTttttt集合平均：一般而言，任何一個樣本函數都無法恰當地代表隨機過程{x(t)}，隨機過程在任何時刻的統計特性需用其樣N(t)lim1N

x(t即：t時刻的均值為

)}/

N(樣本數目 N

k0t0t000ttt

各態歷經過程：若平穩隨機過程任一樣本函數的時間平均統計特性等于該過程的集合平均統計特性，則稱該各態歷經過程的物理含義：任一樣本函數在足夠長的時間區間內，包含了各個樣本函數所有可能出現的狀態。對于各態歷經過程，其時間平均等于集合平均，因此各態歷經過程的所有特性都可以用單個樣本函數上的時間平均來描述。工程中絕大多數隨機過程都是各態歷時間域頻率域：自功率譜密度函數、互功率譜密度函數、相干函1、均值

各態歷經信號的均值(mean)

NN N

x

T1T1

x(t)dtN為離散點數，xn

TT為觀測時間，x（t）為樣本函均值(mean)：表示信號的常值分xx

22nx lim1nx

[xn

1

[x(t)]

N

n

T xxx方差描述隨機信號的波動分量，它是x（t）μ平方的均值xxx方差(Variance)反映信號偏離均值的波動情況2lim T[x(t)]2

TT

xxx標準差(standardvariance)為方差的正xxxxxxT2lim x2(t)dtT TT均方值正的平方根為均方根值(rootofmeansquare)xxrmsx2lim T[x(t)]2

TT

x2x22xx 當μx=0時 對于集合平均，則t1M 1M

tx，t1

M