概率論與數理統計總復習1講主講教師：楊勇佛山科學技術學院數學系概率論與數理統計總復習1講共46頁，您現在瀏覽的是第1頁!1.學會使用簡單事件表示復雜事件章例如：設A，B，C為三個事件，用它們表示下列事件：（1）A，B，C中至少有一個發生；A∪B∪C（2）A，B，C同時發生；ABC（3）A不發生；概率論與數理統計總復習1講共46頁，您現在瀏覽的是第2頁!2.常用公式P(

)=

P(A-B)=P(A)－P(AB)概率論與數理統計總復習1講共46頁，您現在瀏覽的是第3頁!（6）條件概率設A、B是兩個事件。若P(B)>0，則若P(A)>0，則（7）獨立性相互獨立或概率論與數理統計總復習1講共46頁，您現在瀏覽的是第4頁!解：概率論與數理統計總復習1講共46頁，您現在瀏覽的是第5頁!例4:三人獨立地去破譯一份密碼,已知每個人能譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4。問三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？

解：將三人分別編號為1,2,3，故，所求為P(A1∪A2∪A3)。記Ai={第i個人破譯出密碼}，i=1,2,3。概率論與數理統計總復習1講共46頁，您現在瀏覽的是第6頁!例5：8支步槍中有5支已校準過,3支未校準。一名射手用校準過的槍射擊時，中靶概率為0.8；用未校準的槍射擊時，中靶概率為0.3。現從8支槍中任取一支用于射擊，結果中靶。求：所用的槍是校準過的概率。解：設A={射擊時中靶}，B1={槍校準過},

B2={槍未校準}，則B1,B2是Ω一個劃分，得概率論與數理統計總復習1講共46頁，您現在瀏覽的是第7頁!則B1,B2,B3是Ω一個劃分，得P(B1)=0.35，P(B2)=0.40，P(B3)=0.25,P(A|B1)=0.03，P(A|B2)=0.02，P(A|B3)=0.01。概率論與數理統計總復習1講共46頁，您現在瀏覽的是第8頁!由貝葉斯公式有

概率論與數理統計總復習1講共46頁，您現在瀏覽的是第9頁!即隨機變量X具有概率分布(4)均勻分布，記作：X～U（a,b）即隨機變量X具有概率密度函數概率論與數理統計總復習1講共46頁，您現在瀏覽的是第10頁!(7)標準正態分布，記為X~

N(0,1)即隨機變量X具有概率密度函數或隨機變量X具有分布函數概率論與數理統計總復習1講共46頁，您現在瀏覽的是第11頁!設離散型隨機變量X的概率分布為

pk=P{X=xk},k=1,2,…,

則X的分布函數為概率論與數理統計總復習1講共46頁，您現在瀏覽的是第12頁!如何求解P(Y≤y)?在求P(Y≤y)過程中,關鍵的一步是設法從{g(X)≤y}中解出X,從而得到與{g(X)≤y}等價的X的不等式。再利用已知的

X的分布，求出相應的Y的分布函數

FY(y)。3連續型隨機變量函數的分布通過分布函數FY(y)可以求出概率密度函數求隨機變量函數

Y

=

g(X)

的分布函數F(y)=P(Y≤y)概率論與數理統計總復習1講共46頁，您現在瀏覽的是第13頁!解：例1：設隨機變量的分布律為X－2－101概率1/51/61/33/10求X的分布函數F(x)和概率論與數理統計總復習1講共46頁，您現在瀏覽的是第14頁!概率論與數理統計總復習1講共46頁，您現在瀏覽的是第15頁!解：設X的分布函數為Fx(x),Y的分布函數為FY(y)，則例4：設隨機變量X有概率密度求Y=2X+8的概率密度。概率論與數理統計總復習1講共46頁，您現在瀏覽的是第16頁!求導可得當y>0時,例5：設X具有概率密度fX(x)，求Y=X2的密度。解：設Y和X的分布函數分別為FY(y)和FX(x),注意到Y=X2≥0，故當y≤0時，FY(y)=0；概率論與數理統計總復習1講共46頁，您現在瀏覽的是第17頁!例6：設隨機變量X在

(0,1)

上服從均勻分布，求

Y=-2ln

X的概率密度。解：在區間

(0,1)

上，函數lnx<0，故

y

=-2lnx>0,于是y

=-2lnx在區間(0,1)上單調下降，有反函數由前述定理，得注意取絕對值概率論與數理統計總復習1講共46頁，您現在瀏覽的是第18頁!1.二維離散型隨機向量的聯合分布函數設二維離散型隨機向量(X,Y)的聯合分布律為

pij，i=1,2,,j=1,2,.于是,(X,Y)的聯合分布函數為第三章概率論與數理統計總復習1講共46頁，您現在瀏覽的是第19頁!則X的邊緣概率分布為Y的邊緣概率分布為設(X,Y)是二維離散型隨機向量，聯合概率分布為3二維離散型隨機向量的邊緣分布概率論與數理統計總復習1講共46頁，您現在瀏覽的是第20頁!5隨機變量的獨立性設X,Y是兩個隨機變量,對任意的x,y,若則稱X與Y相互獨立。用聯合分布函數與邊緣分布函數表示上式,就是概率論與數理統計總復習1講共46頁，您現在瀏覽的是第21頁!例1：設(X,Y)的概率密度為求(1).c的值;(2).邊緣密度。=5c/24=1,c=24/5;解:(1).概率論與數理統計總復習1講共46頁，您現在瀏覽的是第22頁!注意積分限注意取值范圍概率論與數理統計總復習1講共46頁，您現在瀏覽的是第23頁!解:對一切x,y∈R,均有f(x,y)=fX(x)fY(y).故，X與Y相互獨立。例2：設(X,Y)的概率密度為問(1)P(0<X<1,0<Y<1),(2)X與Y是否獨立？(2)概率論與數理統計總復習1講共46頁，您現在瀏覽的是第24頁!（4）加法公式若P(B)>0,則P(AB)=P(B)P(A|B)；若P(A)>0，則P(AB)=P(A)P(B|A)；（5）乘法公式概率論與數理統計總復習1講共46頁，您現在瀏覽的是第25頁!解：概率論與數理統計總復習1講共46頁，您現在瀏覽的是第26頁!例3：

從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記A={抽到K

},B={抽到黑色的牌}。故,P(AB)=P(A)P(B).解：由于P(A)=4/52=1/13,這說明事件A,B獨立。問事件A,B是否獨立？P(AB)=2/52=1/26。P(B)=26/52=1/2，概率論與數理統計總復習1講共46頁，您現在瀏覽的是第27頁!已知P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4，且P(A1∪A2∪A3)A1，A2，A3相互獨立，概率論與數理統計總復習1講共46頁，您現在瀏覽的是第28頁!例6：一批同型號的螺釘由編號為I,II,III的三臺機器共同生產。各臺機器生產的螺釘占這批螺釘的比例分別為35%,40%,25%。各臺機器生產的螺釘的次品率分別為3%,2%和1%。現從該批螺釘中抽到一顆次品。求:這顆螺釘由I,II,III號機器生產的概率各為多少?解：設A={螺釘是次品},

B1={螺釘由I號機器生產},

B2={螺釘由II號機器生產},

B3={螺釘由III號機器生產}。則概率論與數理統計總復習1講共46頁，您現在瀏覽的是第29頁!解：記A={將信息X傳送出去}，B={接收到信息X}。則例7：

將兩信息分別編碼為X和Y后傳送出去，接收站接收時，X被誤收作Y的概率為0.02，而Y被誤收作X的概率為0.01。信息X與信息Y傳送的頻率程度之比為2：1。若接收站收到的信息是X,問原發信息也X是的概率是多少？并且

概率論與數理統計總復習1講共46頁，您現在瀏覽的是第30頁!第二章1.常見概率分布(1)（0－1）分布（兩點分布）,記成X～b(1,p)。即隨機變量X具有概率分布P(X=1)=p,P(X=0)=1-p.E(X)=p,D(X)=p(1-p).(2)二項分布,記成X~b(n,p)。

即隨機變量X具有概率分布E(X)=np,D(X)=np(1-p).概率論與數理統計總復習1講共46頁，您現在瀏覽的是第31頁!即隨機變量X具有概率密度函數(5)指數分布，記成X~E(λ)。(6)正態分布,記作即隨機變量X具有概率密度函數概率論與數理統計總復習1講共46頁，您現在瀏覽的是第32頁!定義1:設

X是一個隨機變量，稱函數F(x)=P{X≤x},-∞<x<＋∞為隨機變量

X

的分布函數。2.常見概念因此隨機變量

X

的分布函數F(x)實際表示事件{X≤x}的概率例如

F(1)實際表示事件{X≤1}的概率.F(-1)實際表示事件{X≤-1}的概率.概率論與數理統計總復習1講共46頁，您現在瀏覽的是第33頁!設連續型隨機變量X的概率密度函數為

f(x)

則X的分布函數為因此概率論與數理統計總復習1講共46頁，您現在瀏覽的是第34頁!其中x=h(y)是y=g(x)的反函數，定理1:

設X是一個取值于區間[a,b],具有概率密度fX(x)的連續型隨機變量,又設

y=g(x)處處可導的嚴格單調函數,記

(α,

β)

為g(x)的值域，則隨機變量Y

=

g(X)是連續型隨機變量，概率密度為概率論與數理統計總復習1講共46頁，您現在瀏覽的是第35頁!解：例2：設隨機變量X的概率密度為求隨機變量X的分布函數。概率論與數理統計總復習1講共46頁，您現在瀏覽的是第36頁!解：當X取值-1，0，1，2時，

Y取對應值4，1，0和1。由P{Y=0}=P{X=1}=0.1，P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.3+0.4=0.7，P{Y=4}=P{X=-1}=0.2.例3：設隨機變量

X

有如下概率分布：求Y=(X–1)2的概率分布。得

Y

的概率分布：概率論與數理統計總復習1講共46頁，您現在瀏覽的是第37頁!于是Y的密度函數注意到得概率論與數理統計總復習1講共46頁，您現在瀏覽的是第38頁!則Y=X2

的概率密度為：若X～U（1,4）,即概率論與數理統計總復習1講共46頁，您現在瀏覽的是第39頁!已知X在(0,1)上服從均勻分布，代入

的表達式中得即Y服從參數為1/2的指數分布。概率論與數理統計總復習1講共46頁，您現在瀏覽的是第40頁!概率密度設二維隨機向量(X,Y)的聯合分布函數為F(x,y)，如果存在一個非負函數f(x,y),使得對任意實數

x,y,有則稱(X,Y)為二維連續型隨機向量,f(x,y)為(X,Y