勾股定理—2勾股定理—2勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．活動1abcABC如果在Rt△ABC中，∠C=90°,那么勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．活動結論變形c2

=

a2

+

b2abcABC結論變形c2=a2+b2abcABC（1）求出下列直角三角形中未知的邊．610ACB8A15CB練習30°2245°回答：①在解決上述問題時，每個直角三角形需知道幾個條件？②直角三角形哪條邊最長？（1）求出下列直角三角形中未知的邊．610ACB8A15CB1、下列陰影部分是一個正方形，求此正方形的面積15厘米17厘米解：設正方形的邊長為x厘米,則x2=172-152x2=64答：正方形的面積是64平方厘米。練一練1、下列陰影部分是一個正方形，求此正方形的面積15厘米17DABC例2螞蟻沿圖中的折線從A點爬到D點，一共爬了多少厘米？（小方格的邊長為1厘米）GFEDABC例2螞蟻沿圖中的折線從A點爬到D點，一共爬了多(1)如圖在△ABC中，∠ACB=90o，CD⊥AB，D為垂足，AC=2.1cm,BC=2.8cm.求①△ABC的面積；②斜邊AB的長；

③斜邊AB上的高CD的長。DABC(1)如圖在△ABC中，∠ACB=90o，CD⊥AB，D為活動2（2）一個門框尺寸如下圖所示．①若有一塊長3米，寬0.8米的薄木板，問怎樣從門框通過？②若薄木板長3米，寬1.5米呢？③若薄木板長3米，寬2.2米呢？為什么？ABC1m2m∵木板的寬2.2米大于1米，∴橫著不能從門框通過；∵木板的寬2.2米大于2米，∴豎著也不能從門框通過．∴只能試試斜著能否通過，對角線AC的長最大，因此需要求出AC的長，怎樣求呢？活動2（2）一個門框尺寸如下圖所示．①若有一塊長3米，寬想一想例1一個門框的尺寸如圖所示，一塊長3m，寬2.2m的長方形薄木板能否從門框內通過？為什么？

解：在Rt△ABC中，根據勾股定理，得AC2=AB2+BC2=12+22=5．

AC=≈2.24．因為大于木板的寬2.2m，所以木板能從門框內通過．將實際問題轉化為數學問題，建立幾何模型，畫出圖形，分析已知量、待求量，讓學生掌握解決實際問題的一般套路．ABCD1m2m想一想例1一個門框的尺寸如圖所示，一塊長3m，寬（3）有一個邊長為50dm

的正方形洞口，想用一個圓蓋去蓋住這個洞口，圓的直徑至少多長？50dmABCD解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°,AC=BC=50,∴由勾股定理可知：（3）有一個邊長為50dm的正方形洞口，想用一個圓蓋去蓋住例1：一個2.5m長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AC上，這時AC的距離為2.4m．如果梯子頂端A沿墻下滑0.4m，那么梯子底端B也外移0.4m嗎？

DE解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°

∴AC2+BC2＝AB22.42+BC2＝2.52∴BC＝0.7m由題意得：DE＝AB＝2.5mDC＝AC－AD＝2.4－0.4＝2m在Rt△DCE中，∴BE＝1.5－0.7＝0.8m≠0.4m答；梯子底端B不是外移0.4m

∵∠DCE=90°

∴DC2+CE2＝DE222+BC2＝2.52∴CE＝1.5m例1：一個2.5m長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AC上，這時A拓展提高形成技能今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問水深、葭長各幾何？利用勾股定理解決實際問題的一般思路：（1）重視對實際問題題意的正確理解；（2）建立對應的數學模型，運用相應的數學知識；（3）方程思想在本題中的運用．ABC拓展提高形成技能今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，例3:在我國古代數學著作《九章算術》中記載了一道有趣的問題這個問題意思是：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形,在水池的中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向岸邊，它的頂端恰好到達岸邊的水面，問這個水池的深度和這根蘆葦的長度各是多少？DABC解:設水池的深度AC為X尺,則蘆葦高AD為(X+1)尺.根據題意得:BC2+AC2=AB2∴52+X2=(X+1)225+X2=X2+2X+1

X=12∴X+1=12+1=13答:水池的深度為12尺,蘆葦高為13尺.DABC解:設水池的深度AC為X尺,根據題意得:∴52+X2鞏固練習如圖，一棵樹被臺風吹折斷后，樹頂端落在離底端3米處，測得折斷后長的一截比短的一截長1米，你能計算樹折斷前的高度嗎？鞏固練習如圖，一棵樹被臺風吹折斷后，樹頂端落在離底端例4:矩形ABCD如圖折疊，使點D落在BC邊上的點F處，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的長。ABCDFE解:設DE為X,X(8-X)則CE為(8－

X).由題意可知:EF=DE=X,XAF=AD=1010108∵∠B=90°

∴AB2+BF2＝AF282+BF2＝102∴BF＝6∴CF＝BC－BF＝10－6＝464∵∠C=90°

∴CE2+CF2＝EF2(8－

X)2+42=X264－16X+X2+16=X280－16X=016X=80X=5例4:矩形ABCD如圖折疊，使點D落在BC邊上的點F處，已知ABCDEF如右圖將矩形ABCD沿直線AE折疊,頂點D恰好落在BC邊上F處,已知CE=3,AB=8,則BF=___________。如圖，有一個直角三角形紙片，兩直直角邊AC=6cm,BC=8cm,現將直角邊AC沿∠CAB的角平分線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，你能求出CD的長嗎？AECDBABCDEF如右圖將矩形ABCD沿直線AE折疊,頂點D恰好落例2：如圖，鐵路上A，B兩點相距25km，C，D為兩莊，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km，現在要在鐵路AB上建一個土特產品收購站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，則E站應建在離A站多少km處？CAEBDx25-x解：設AE=xkm，根據勾股定理，得

AD2+AE2=DE2

BC2+BE2=CE2又∵

DE=CE∴AD2+AE2=BC2+BE2即：152+x2=102+（25-x)2答：E站應建在離A站10km處?！郮=10則BE=（25-x）km1510例2：如圖，鐵路上A，B兩點相距25km，C，D為兩莊，DA例6：如圖，邊長為1的正方體中，一只螞蟻從頂點A出發沿著正方體的外表面爬到頂點B的最短距離是（）.

（A）3（B)√

5

（C）2（D）1ABABC21分析：由于螞蟻是沿正方體的外表面爬行的，故需把正方體展開成平面圖形（如圖）.B例6：如圖，邊長為1的正方體中，一只螞蟻從頂點A出發沿著正如圖，一個圓柱形紙筒的底面周長是40cm，高是30cm，一只小螞蟻在圓筒底的A處，它想吃到上底與下底面中間與A點相對的B點處的蜜糖，試問螞蟻爬行的最短的路程是多少？如圖，一個圓柱形紙筒的底面周長是40cm，高.如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為20dm、3dm、2dm，A和B是這個臺階兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到B點的最短路程是_________.如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、一只螞蟻從長為4cm、寬為3cm，高是5cm的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它所行的最短路線的長是____________cm。AB一只螞蟻從長為4cm、寬為3cm，高是5cm的AB◆在長30cm、寬50cm、高40cm的木箱中，如果在箱內的A處有一只昆蟲，它要在箱壁上爬行到B處，至少要爬多遠？CDA.B.305040◆在長30cm、寬50cm、高40cm的木箱中，如果在箱圖①305040CDA.B.ADCB305040圖①305040CDA.B.ADCB305040CCDA.B.ACBD圖②304050304050CCDA.B.ACBD圖②304050304050CCDA.B.圖③50ADCB4030304050CCDA.B.圖③50ADCB4030304050活動3（3）如圖，分別以Rt△ABC三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之間有的關系式為

．活動3（3）如圖，分別以Rt△ABC三邊為邊向外作三個活動3（3）變式：你還能求出S1、S2、S3之間的關系式嗎？S1S2S3活動3（3）變式：你還能求出S1、S2、S3之間的關系式8.一架5長的梯子，斜立靠在一豎直的墻上，這是梯子下端距離墻的底端3，若梯子頂端下滑了1,則梯子底端將外移（）9.如圖，要在高3m,斜坡5m的樓梯表面鋪地毯，地毯的長度至少需（）米10.把直角三角形兩條直角邊同時擴大到原來的3倍，則其斜邊（）A.不變B.擴大到原來的3倍C.擴大到原來的9倍D.減小到原來的1/3ABC17B8.一架5長的梯子，斜立靠在一豎直的墻ABC17B6．做一個長、寬、高分別為50厘米、40厘米、30厘米的木箱，一根長為70厘米的木棒能否放入，為什么？試用今天學過的知識說明．6．做一個長、寬、高分別為50厘米、40厘米、3問題解決例1、如圖，某隧道的截面是一個半徑為3.6米的半圓形，一輛高2.4米、寬3米的卡車能通過隧道嗎？OAB解：過點A作AB⊥OC于點B，C∵∠ABO=90°∴AB2+OB2=OA2

且OA=3.6，OB=1.5∴AB2+1.52=3.62

∴AB≈3.27問題解決例1、如圖，某隧道的截面是一個半徑為3.6米的OAB勾股定理—2勾股定理—2勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．活動1abcABC如果在Rt△ABC中，∠C=90°,那么勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．活動結論變形c2

=

a2

+

b2abcABC結論變形c2=a2+b2abcABC（1）求出下列直角三角形中未知的邊．610ACB8A15CB練習30°2245°回答：①在解決上述問題時，每個直角三角形需知道幾個條件？②直角三角形哪條邊最長？（1）求出下列直角三角形中未知的邊．610ACB8A15CB1、下列陰影部分是一個正方形，求此正方形的面積15厘米17厘米解：設正方形的邊長為x厘米,則x2=172-152x2=64答：正方形的面積是64平方厘米。練一練1、下列陰影部分是一個正方形，求此正方形的面積15厘米17DABC例2螞蟻沿圖中的折線從A點爬到D點，一共爬了多少厘米？（小方格的邊長為1厘米）GFEDABC例2螞蟻沿圖中的折線從A點爬到D點，一共爬了多(1)如圖在△ABC中，∠ACB=90o，CD⊥AB，D為垂足，AC=2.1cm,BC=2.8cm.求①△ABC的面積；②斜邊AB的長；

③斜邊AB上的高CD的長。DABC(1)如圖在△ABC中，∠ACB=90o，CD⊥AB，D為活動2（2）一個門框尺寸如下圖所示．①若有一塊長3米，寬0.8米的薄木板，問怎樣從門框通過？②若薄木板長3米，寬1.5米呢？③若薄木板長3米，寬2.2米呢？為什么？ABC1m2m∵木板的寬2.2米大于1米，∴橫著不能從門框通過；∵木板的寬2.2米大于2米，∴豎著也不能從門框通過．∴只能試試斜著能否通過，對角線AC的長最大，因此需要求出AC的長，怎樣求呢？活動2（2）一個門框尺寸如下圖所示．①若有一塊長3米，寬想一想例1一個門框的尺寸如圖所示，一塊長3m，寬2.2m的長方形薄木板能否從門框內通過？為什么？

解：在Rt△ABC中，根據勾股定理，得AC2=AB2+BC2=12+22=5．

AC=≈2.24．因為大于木板的寬2.2m，所以木板能從門框內通過．將實際問題轉化為數學問題，建立幾何模型，畫出圖形，分析已知量、待求量，讓學生掌握解決實際問題的一般套路．ABCD1m2m想一想例1一個門框的尺寸如圖所示，一塊長3m，寬（3）有一個邊長為50dm

的正方形洞口，想用一個圓蓋去蓋住這個洞口，圓的直徑至少多長？50dmABCD解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°,AC=BC=50,∴由勾股定理可知：（3）有一個邊長為50dm的正方形洞口，想用一個圓蓋去蓋住例1：一個2.5m長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AC上，這時AC的距離為2.4m．如果梯子頂端A沿墻下滑0.4m，那么梯子底端B也外移0.4m嗎？

DE解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°

∴AC2+BC2＝AB22.42+BC2＝2.52∴BC＝0.7m由題意得：DE＝AB＝2.5mDC＝AC－AD＝2.4－0.4＝2m在Rt△DCE中，∴BE＝1.5－0.7＝0.8m≠0.4m答；梯子底端B不是外移0.4m

∵∠DCE=90°

∴DC2+CE2＝DE222+BC2＝2.52∴CE＝1.5m例1：一個2.5m長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AC上，這時A拓展提高形成技能今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問水深、葭長各幾何？利用勾股定理解決實際問題的一般思路：（1）重視對實際問題題意的正確理解；（2）建立對應的數學模型，運用相應的數學知識；（3）方程思想在本題中的運用．ABC拓展提高形成技能今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，例3:在我國古代數學著作《九章算術》中記載了一道有趣的問題這個問題意思是：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形,在水池的中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向岸邊，它的頂端恰好到達岸邊的水面，問這個水池的深度和這根蘆葦的長度各是多少？DABC解:設水池的深度AC為X尺,則蘆葦高AD為(X+1)尺.根據題意得:BC2+AC2=AB2∴52+X2=(X+1)225+X2=X2+2X+1

X=12∴X+1=12+1=13答:水池的深度為12尺,蘆葦高為13尺.DABC解:設水池的深度AC為X尺,根據題意得:∴52+X2鞏固練習如圖，一棵樹被臺風吹折斷后，樹頂端落在離底端3米處，測得折斷后長的一截比短的一截長1米，你能計算樹折斷前的高度嗎？鞏固練習如圖，一棵樹被臺風吹折斷后，樹頂端落在離底端例4:矩形ABCD如圖折疊，使點D落在BC邊上的點F處，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的長。ABCDFE解:設DE為X,X(8-X)則CE為(8－

X).由題意可知:EF=DE=X,XAF=AD=1010108∵∠B=90°

∴AB2+BF2＝AF282+BF2＝102∴BF＝6∴CF＝BC－BF＝10－6＝464∵∠C=90°

∴CE2+CF2＝EF2(8－

X)2+42=X264－16X+X2+16=X280－16X=016X=80X=5例4:矩形ABCD如圖折疊，使點D落在BC邊上的點F處，已知ABCDEF如右圖將矩形ABCD沿直線AE折疊,頂點D恰好落在BC邊上F處,已知CE=3,AB=8,則BF=___________。如圖，有一個直角三角形紙片，兩直直角邊AC=6cm,BC=8cm,現將直角邊AC沿∠CAB的角平分線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，你能求出CD的長嗎？AECDBABCDEF如右圖將矩形ABCD沿直線AE折疊,頂點D恰好落例2：如圖，鐵路上A，B兩點相距25km，C，D為兩莊，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km，現在要在鐵路AB上建一個土特產品收購站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，則E站應建在離A站多少km處？CAEBDx25-x解：設AE=xkm，根據勾股定理，得

AD2+AE2=DE2

BC2+BE2=CE2又∵

DE=CE∴AD2+AE2=BC2+BE2即：152+x2=102+（25-x)2答：E站應建在離A站10km處?！郮=10則BE=（25-x）km1510例2：如圖，鐵路上A，B兩點相距25km，C，D為兩莊，DA例6：如圖，邊長為1的正方體中，一只螞蟻從頂點A出發沿著正方體的外表面爬到頂點B的最短距離是（）.

（A）3（B)√

5

（C）2（D）1ABABC21分析：由于螞蟻是沿正方體的外表面爬行的，故需把正方體展開成平面圖形（如圖）.B例6：如圖，邊長為1的正方體中，一只螞蟻從頂點A出發沿著正如圖，一個圓柱形紙筒的底面周長是40cm，高是30cm，一只小螞蟻在圓筒底的A處，它想吃到上底與下底面中間與A點相對的B點處的蜜糖，試問螞蟻爬行的最短的路程是多少？如圖，一個圓柱形紙筒的底面周長是40cm，高.如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為20dm、3dm、2dm，A和B是這個臺階兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到B點的最短路程是_________.如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、一只螞蟻從長為4cm、寬為3cm，高是5cm的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它所行的最短路線的長是____________cm。AB一只螞蟻從長為4cm、寬為3cm，高是5cm的AB◆在長30cm、寬50cm、高40cm的木箱中，如果在箱內的A處有一只昆蟲，它要在箱壁上爬行到B處，至少