第三章靜磁場1第三章靜磁場1主要內容超導體的電磁性質阿哈羅夫－玻姆(Aharonov-Bohm)效應磁多極矩磁標勢矢勢及其微分方程2主要內容超導體的電磁性質阿哈羅夫－玻姆(Aharonov-B本章重點：1、矢勢的引入和它滿足的微分方程、靜磁場的能量2、引入磁標勢的條件及磁標勢滿足的方程與靜電勢方程的比較3、了解A-B效應和超導體的電磁性質機動目錄上頁下頁返回結束本章難點：利用磁標勢解決具體問題3本章重點：機動目錄上頁下頁返回§1矢勢及其微分方程4§1矢勢及其微分方程4在給定的傳導電流附近可能存在一些磁性物質，在電流的磁場作用下，物質磁化而出現磁化電流，它反過來又激發附加的磁場。磁化電流和磁場互相約制。與解決靜電學問題一樣，求微分方程邊值問題的解。5在給定的傳導電流附近可能存在一些磁性物質，在電流的磁場作用下恒定電流磁場的基本方程J是自由電流密度。上兩式結合物質的電磁性質方程是解磁場問題的基礎。1、矢勢6恒定電流磁場的基本方程J是自由電流密度。上兩式結合物質的電磁靜電場是有源無旋場，電場線從正電荷出發而止于負電荷，永不閉合，可以引入標勢來描述。靜磁場則是有旋無源場，磁感應線總是閉合曲線，一般可以引入另一個矢量來描述。由于特性上的顯著差異，描述磁場和電場的方法就有所不同。7靜電場是有源無旋場，電場線從正電荷出發而止于負電荷，永不閉合則B可表為另一矢量的旋度若根據矢量分析的定理A稱為磁場的矢勢8則B可表為另一矢量的旋度若根據矢量分析的定理A稱為磁場的矢勢矢勢A的意義：通過曲面S的磁通量把B對任一個以回路L為邊界的曲面S積分9矢勢A的意義：通過曲面S的磁通量把B對任一個以回路L為邊界設S1和S2是兩個有共同邊界L的曲面，則10設S1和S2是兩個有共同邊界L的曲面，則10這正是B的無源性的表示。因為是無源的，在S1和S2所包圍的區域內沒有磁感應線發出，也沒有磁感應線終止，B線連續的通過該區域，因而通過曲面S1的磁通量必須等于通過曲面S2的磁通量。這磁通量由矢勢A對S1或S2的邊界的環量表示。11這正是B的無源性的表示。因為是無源的，在S1和S2所包圍的區因此，矢勢A的物理意義是它沿任一閉合回路的環量代表通過以該回路為界的任一曲面的磁通量。只有A的環量才有物理意義，而每點上的值沒有直接的物理意義。12因此，矢勢A的物理意義是它沿任一閉合回路的環量代表通過以該回其中B0為常量。例：設有沿Z軸方向的均勻磁場13其中B0為常量。例：設有沿Z軸方向的均勻磁場13由定義式14由定義式14有解另一解15有解另一解15因為任意函數的梯度的旋度恒為零，故有即A+與A對應于同一個磁場B。A的這種任意性是由于只有A的環量才有物理意義，而每點上的A本身沒有直接的物理意義。16因為任意函數的梯度的旋度恒為零，故有即A+與A對應于同由A的這種任意性，為了方便，我們可以對它加上一定的限制條件即輔助條件對于上式總可以找到一個A適合17由A的這種任意性，為了方便，我們可以對它加上一定的限制條件即證明：設有某一解不滿足上式另取一解18證明：設有某一解不滿足上式另取一解18A’的散度為取為泊松方程的一個解，就得證。對A所加的輔助條件稱為規范條件。19A’的散度為取為泊松方程的一個解，就得證。對A所加的輔助條2、矢勢微分方程在均勻線性介質內。把B=H和B=A代入式H=J，得矢勢A的微分方程202、矢勢微分方程在均勻線性介質內。把B=H和B=A代由矢量分析公式若取A滿足規范條件A=0，得矢勢的微分方程21由矢量分析公式若取A滿足規范條件A=0，得矢勢的微分方A的每個直角分量Ai滿足泊松方程形式與靜電場的方程相同22A的每個直角分量Ai滿足泊松方程形式與靜電場的方程相同22對比靜電場的解得矢勢方程的特解式中x是源點,x’為場點，r為由x’到x的距離。上式也是第一章中由畢奧－薩伐爾定律導出的公式從畢奧薩伐爾定律可以證明上式滿足規范條件，因此，該式確實是微分方程的解。23對比靜電場的解得矢勢方程的特解式中x是源點,x’為場點，r把磁場的散度和旋度作為基本規律，從微分方程出發引入矢勢A，由A的方程獲得特解，即可求得B。24把磁場的散度和旋度作為基本規律，從微分方程出發引入矢勢A，由過渡到線電流情形，設I為導線上的電流強度，作代換JdVIdl，得這就是畢奧－薩伐爾定律。25過渡到線電流情形，設I為導線上的電流強度，作代換JdVId3、矢勢邊值關系當全空間的電流分布J給定時，可以計算磁場。對于電流和磁場互相制約的問題，則必須解矢勢微分方程的邊值問題。263、矢勢邊值關系當全空間的電流分布J給定時，可以計算磁場。磁場邊值關系可以化為矢勢A的邊值關系，對于非鐵磁介質，矢勢的邊值關系為在兩介質分界面上磁場的邊值關系為27磁場邊值關系可以化為矢勢A的邊值關系，對于非鐵磁介質，矢勢在分界面兩側取一狹長回路，計算A對此狹長回路的積分。回路短邊長度趨于零上述邊值關系式也可以用較簡單的形式代替。28在分界面兩側取一狹長回路，計算A對此狹長回路的積分。回路短邊由于回路面積趨于零，有因此29由于回路面積趨于零，有因此29若取規范A=0，可得即在兩介質分界面上，矢勢A是連續的。所以30若取規范A=0，可得即在兩介質分界面上，矢勢A是連續的4、靜磁場的能量在靜磁場中，可以用矢勢和電流表示總能量。由B=A磁場的總能量314、靜磁場的能量在靜磁場中，可以用矢勢和電流表示總能量。由B則和靜電情形一樣，此式僅對總能量有意義，不能把A

J/2看作能量密度，因為我們知道能量分布于磁場內，而不僅僅存在于電流分布區域內。32則和靜電情形一樣，此式僅對總能量有意義，不能把AJ/2看在上式中，矢勢A是電流分布J本身激發的。如果我們要計算某電流分布J在給定外磁場中的相互作用能量，以Ae表示外磁場的矢勢，Je表示產生該外磁場的電流分布，則總電流分布為J+Je，總磁場矢勢為A+Ae。33在上式中，矢勢A是電流分布J本身激發的。如果我們要計算某電流此式減去J和Je分別單獨存在時的能量之后，得電流J在外場中的相互作用能34此式減去J和Je分別單獨存在時的能量之后，得電流J在外場中的由于因此電流J在外場Ae中的相互作用能量為35由于因此電流J在外場Ae中的相互作用能量為35例1無窮長直導線載電流I，求磁場的矢勢和磁感應強度。36例1無窮長直導線載電流I，求磁場的矢勢和磁感應強度。設P點到導線的垂直距離為R,電流元Idz到P點的距離為積分是發散的。計算兩點的矢勢差值可以免除發散。解利用得37設P點到導線的垂直距離為R,電流元Idz到P點的距離為積分若取R0點的矢勢為零，計算可得38若取R0點的矢勢為零，計算可得38取A的旋度得磁感應強度39取A的旋度得磁感應強度39例2半徑為a的導線園環載電流I，求矢勢和磁感應強度40例2半徑為a的導線園環載電流I，求矢勢和磁感應強度解線圈電流產生的矢勢為41解線圈電流產生的矢勢為41用球坐標(R,θ,)，由對稱性可知A只有分量，A只依賴于R,θ,而與無關。因此我們可以選定在xz面上的一點P來計算，在該點上A=

Ay

。取y分量。由于42用球坐標(R,θ,)，由對稱性可知A只有分量，A則得上式的積分可用橢園積分表示。當時，可以較簡單的計算出近似結果。43則得上式的積分可用橢園積分表示。當時，可以較簡單的計算出近把根式對若我們要計算B(R,)到二級近似。則A需要算到三級項。展開。在積分表達式中展開式的偶次項對’積分為零，因此只需保留奇次項。44把根式對若我們要計算B(R,)到二級近似。則A需要算到三包括遠場此式的適用范圍是和近軸場45包括遠場此式的適用范圍是和近軸場45我們計算近軸場。這種情況下用柱坐標(,,z)較為方便。展開式實際上是對取至3項，有取A的旋度，得

的展開式。46我們計算近軸場。這種情況下用柱坐標(,,z)較為方便。上式對任意z處的近軸場成立。若求近原點處的場,z<<a，可把上式再對z/a展開，得47上式對任意z處的近軸場成立。若求近原點處的場,z<<a，第三章靜磁場48第三章靜磁場1主要內容超導體的電磁性質阿哈羅夫－玻姆(Aharonov-Bohm)效應磁多極矩磁標勢矢勢及其微分方程49主要內容超導體的電磁性質阿哈羅夫－玻姆(Aharonov-B本章重點：1、矢勢的引入和它滿足的微分方程、靜磁場的能量2、引入磁標勢的條件及磁標勢滿足的方程與靜電勢方程的比較3、了解A-B效應和超導體的電磁性質機動目錄上頁下頁返回結束本章難點：利用磁標勢解決具體問題50本章重點：機動目錄上頁下頁返回§1矢勢及其微分方程51§1矢勢及其微分方程4在給定的傳導電流附近可能存在一些磁性物質，在電流的磁場作用下，物質磁化而出現磁化電流，它反過來又激發附加的磁場。磁化電流和磁場互相約制。與解決靜電學問題一樣，求微分方程邊值問題的解。52在給定的傳導電流附近可能存在一些磁性物質，在電流的磁場作用下恒定電流磁場的基本方程J是自由電流密度。上兩式結合物質的電磁性質方程是解磁場問題的基礎。1、矢勢53恒定電流磁場的基本方程J是自由電流密度。上兩式結合物質的電磁靜電場是有源無旋場，電場線從正電荷出發而止于負電荷，永不閉合，可以引入標勢來描述。靜磁場則是有旋無源場，磁感應線總是閉合曲線，一般可以引入另一個矢量來描述。由于特性上的顯著差異，描述磁場和電場的方法就有所不同。54靜電場是有源無旋場，電場線從正電荷出發而止于負電荷，永不閉合則B可表為另一矢量的旋度若根據矢量分析的定理A稱為磁場的矢勢55則B可表為另一矢量的旋度若根據矢量分析的定理A稱為磁場的矢勢矢勢A的意義：通過曲面S的磁通量把B對任一個以回路L為邊界的曲面S積分56矢勢A的意義：通過曲面S的磁通量把B對任一個以回路L為邊界設S1和S2是兩個有共同邊界L的曲面，則57設S1和S2是兩個有共同邊界L的曲面，則10這正是B的無源性的表示。因為是無源的，在S1和S2所包圍的區域內沒有磁感應線發出，也沒有磁感應線終止，B線連續的通過該區域，因而通過曲面S1的磁通量必須等于通過曲面S2的磁通量。這磁通量由矢勢A對S1或S2的邊界的環量表示。58這正是B的無源性的表示。因為是無源的，在S1和S2所包圍的區因此，矢勢A的物理意義是它沿任一閉合回路的環量代表通過以該回路為界的任一曲面的磁通量。只有A的環量才有物理意義，而每點上的值沒有直接的物理意義。59因此，矢勢A的物理意義是它沿任一閉合回路的環量代表通過以該回其中B0為常量。例：設有沿Z軸方向的均勻磁場60其中B0為常量。例：設有沿Z軸方向的均勻磁場13由定義式61由定義式14有解另一解62有解另一解15因為任意函數的梯度的旋度恒為零，故有即A+與A對應于同一個磁場B。A的這種任意性是由于只有A的環量才有物理意義，而每點上的A本身沒有直接的物理意義。63因為任意函數的梯度的旋度恒為零，故有即A+與A對應于同由A的這種任意性，為了方便，我們可以對它加上一定的限制條件即輔助條件對于上式總可以找到一個A適合64由A的這種任意性，為了方便，我們可以對它加上一定的限制條件即證明：設有某一解不滿足上式另取一解65證明：設有某一解不滿足上式另取一解18A’的散度為取為泊松方程的一個解，就得證。對A所加的輔助條件稱為規范條件。66A’的散度為取為泊松方程的一個解，就得證。對A所加的輔助條2、矢勢微分方程在均勻線性介質內。把B=H和B=A代入式H=J，得矢勢A的微分方程672、矢勢微分方程在均勻線性介質內。把B=H和B=A代由矢量分析公式若取A滿足規范條件A=0，得矢勢的微分方程68由矢量分析公式若取A滿足規范條件A=0，得矢勢的微分方A的每個直角分量Ai滿足泊松方程形式與靜電場的方程相同69A的每個直角分量Ai滿足泊松方程形式與靜電場的方程相同22對比靜電場的解得矢勢方程的特解式中x是源點,x’為場點，r為由x’到x的距離。上式也是第一章中由畢奧－薩伐爾定律導出的公式從畢奧薩伐爾定律可以證明上式滿足規范條件，因此，該式確實是微分方程的解。70對比靜電場的解得矢勢方程的特解式中x是源點,x’為場點，r把磁場的散度和旋度作為基本規律，從微分方程出發引入矢勢A，由A的方程獲得特解，即可求得B。71把磁場的散度和旋度作為基本規律，從微分方程出發引入矢勢A，由過渡到線電流情形，設I為導線上的電流強度，作代換JdVIdl，得這就是畢奧－薩伐爾定律。72過渡到線電流情形，設I為導線上的電流強度，作代換JdVId3、矢勢邊值關系當全空間的電流分布J給定時，可以計算磁場。對于電流和磁場互相制約的問題，則必須解矢勢微分方程的邊值問題。733、矢勢邊值關系當全空間的電流分布J給定時，可以計算磁場。磁場邊值關系可以化為矢勢A的邊值關系，對于非鐵磁介質，矢勢的邊值關系為在兩介質分界面上磁場的邊值關系為74磁場邊值關系可以化為矢勢A的邊值關系，對于非鐵磁介質，矢勢在分界面兩側取一狹長回路，計算A對此狹長回路的積分。回路短邊長度趨于零上述邊值關系式也可以用較簡單的形式代替。75在分界面兩側取一狹長回路，計算A對此狹長回路的積分。回路短邊由于回路面積趨于零，有因此76由于回路面積趨于零，有因此29若取規范A=0，可得即在兩介質分界面上，矢勢A是連續的。所以77若取規范A=0，可得即在兩介質分界面上，矢勢A是連續的4、靜磁場的能量在靜磁場中，可以用矢勢和電流表示總能量。由B=A磁場的總能量784、靜磁場的能量在靜磁場中，可以用矢勢和電流表示總能量。由B則和靜電情形一樣，此式僅對總能量有意義，不能把A

J/2看作能量密度，因為我們知道能量分布于磁場內，而不僅僅存在于電流分布區域內。79則和靜電情形一樣，此式僅對總能量有意義，不能把AJ/2看在上式中，矢勢A是電流分布J本身激發的。如果我們要計算某電流分布J在給定外磁場中的相互作用能量，以Ae表示外磁場的矢勢，Je表示產生該外磁場的電流分布，則總電流分布為J+Je，總磁場矢勢為A+Ae。80在上式中，矢勢A是電流分布J本身激發的。如果我們要計算某電流此式減去J和Je分別單獨存在時的能量之后，得電流J在外場中的相互作用能81此式減去J和Je分別單獨存在時的能量之后，得電流J在外場中的由于因此電流J在外場Ae中的相互作用能量為82由于因此電流J在外場Ae中的相互作用能量為35例1無窮長直導線載電流I，求磁場的矢勢和磁感應強度。83例1無窮長直導線載電流I，求磁場的矢勢和磁感應強度。設P點到導線的垂直距離為R,電流元Idz到P點的距離為積分是發散的。計算兩點的矢勢差值可以免除發